高考大题专练(1)
1.已知函数
.
(1)若在上单调递减,求实数的取值范围;
(2)若
,求函数
的极小值.
2.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形, 135BCD ∠=?,侧面PAB ⊥底面ABCD , 90BAP ∠=?, 2AB AC PA ===, E , F 分别为BC , AD 的中点,点M 在线段PD 上. (Ⅰ)求证: EF ⊥平面PAC .
(Ⅱ)若M 为PD 的中点,求证: ME 平面PAB .
(Ⅲ)如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所在的角相等,求
PM
PD
的值.
3.已知抛物线2:4C y x =,点M(m, 0)在x 轴的正半轴上,过M 点的直线l 与抛物线 C 相交于A ,B 两点,O 为坐标原点.
(1) 若m=l ,且直线l 的斜率为1,求以AB 为直径的圆的方程;
(2) 是否存在定点M ,使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动, 22
11
AM BM
+恒为定值?
4.已知函数()2
ln 2
a f x x x x =-
,直线l : ()21y k x k =--+,且k Z ∈. (1)若2
0,x e e ???∈??,使得()00f x >成立,求实数a 的取值范围;
(2)设0a =,当1x >时,函数()f x 的图象恒在直线l 的上方,求k 的最大值.
5.已知直线240x y +-=与抛物线21
2
y x =
相交于,A B 两点(A 在B 上方),O 是坐标原点。
(Ⅰ)求抛物线在A 点处的切线方程;
(Ⅱ)试在抛物线的曲线AOB 上求一点P ,使ABP ?的面积最大.
6.已知圆()2
2
1:18F x y ++=,圆心为1F ,定点()210F ,,P 为圆1F 上一点,线段2
PF 上一点N 满足222PF NF = ,直线1PF 上一点Q ,满足2·0QN NF =
. (Ⅰ) 求点Q 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ) O 为坐标原点, O 是以12F F 为直径的圆,直线:l y kx m =+与O 相切,并与
轨迹C 交于不同的两点A ,B. 当·OAOB
λ= 且满足3455λ??
∈????
,时,求△OAB 面积S 的取值范围.
7.如图,正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直. EF AC , AB ,
1CE EF ==.
(1)求证: AF 平面BDE .
(2)求证: CF ⊥平面BDE .
(3)在直线CD 上是否存在点M ,使得AM ⊥平面BDE ?并说明理由.
8.如图, PA ⊥面ABC , AB BC ⊥, 22AB PA BC ===, M 为PB 的中点.
(Ⅰ)求证: AM ⊥平面PBC . (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.
(Ⅲ)在线段PC 上是否存在点D ,使得BD AC ⊥,若存在,求出PD
PC
的值,若不存在,说明理由. 9.已知函数()()()2
111ln 2
f x x a x a x =-
+++-, a R ∈. (Ⅰ)当3a =时,求曲线():C y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程. (Ⅱ)当[]1,2x ∈时,若曲线():C y f x =上的点(),x y 都在不等式组12,
{, 3
,
2
x x y y x ≤≤≤≤+所
表示的平面区域内,试求a 的取值范围. 10.已知函数()ln a
f x x x
=+ (0)a >. (Ⅰ)求()f x 的单调区间;
(Ⅱ)如果()00,P x y 是曲线()y f x =上的任意一点,若以()00,P x y 为切点的切线的斜
率1
2
k ≤
恒成立,求实数a 的最小值. 11.已知函数()()1
ln 1,1
x f x ax a x -=+-
∈+R . (1)若()f x 在1x =时取到极值,求a 的值及()f x 的图象在1x =处的切线方程; (2)若()ln2f x ≥在0x ≥时恒成立,求a 的取值范围.
12.已知函数()2
14f x x =+
, ()()1
ln 2e 2
g x x =. (Ⅰ)求函数()()y f x g x =-的最小值.
(Ⅱ)是否存在一次函数()h x ,使得对于()0,x ?∈+∞,总有()()f x h x ≥,且
()()h x g x ≥成立?若存在,求出()h x 的表达式;若不存在,说明理由.
参考答案
1.(1)
(2)
【解析】(1)函数,则,由题意可得
在上恒成立,∴,
∵,时,函数取最小值
,,
(2)当时,,,
令,得,解得
或(舍去),即.
当时,,当
时,
,
∴
的极小值为
.
考点:利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值.
2.(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
PM PD =
【解析】试题分析:
(1)在平行四边形ABCD 中,由条件可得AB AC ⊥,进而可得EF AC ⊥。由侧面PAB ⊥底面ABCD ,得PA ⊥底面ABCD ,故得PA EF ⊥,所以可证得EF ⊥平面PAC .(2)先证明平面MEF 平面PAB ,由面面平行的性质可得ME 平面PAB .(3)建立空间直
角坐标系,通过求出平面的法向量,根据线面角的向量公式可得PM PD =
。 试题解析:
(1)证明:在平行四边形ABCD 中,
∵AB AC =, 135BCD ∠=?, 45ABC ∠=?, ∴45BAC ∠=?, ∴AB AC ⊥,
∵E , F 分别为BC , AD 的中点, ∴EF AB , ∴EF AC ⊥,
∵侧面PAB ⊥底面ABCD ,且90BAP ∠=?, ∴PA ⊥底面ABCD , 又EF ?底面ABCD , ∴PA EF ⊥,
又PA AC A ?=, PA ?平面PAC , AC ?平面PAC , ∴EF ⊥平面PAC .
(2)证明:∵M 为PD 的中点, F 为AD 的中点, ∴MF PA ,
又MF ?平面PAB , PA ?平面PAB , ∴MF 平面PAB , 同理EF 平面PAB ,
又MF EF F ?=, MF ?平面MEF , EF ?平面MEF , ∴平面MEF 平面PAB , 又ME ?平面MEF , ∴ME 平面PAB .
(3)解:由PA ⊥底面ABCD , AB AC ⊥,可得AP , AB , AC 两两垂直, 建立如图空间直角坐标系A xyz -,
则()0,0,0A , ()2,0,0B , ()0,2,0C , ()0,0,2P , ()2,2,0D -, ()1,1,0E ,
所以()2,0,2PB =- , ()2,2,2PD =-- , ()2,2,0BC =-
, 设[]()0,1PM
PD
λλ=∈,则()2,2,2PM λλλ=-- , ∴()2,2,22M λλλ--, ()12,12,22ME λλλ=+--
,
易得平面ABCD 的法向量()0,0,1m =
, 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =
,则:
由220
{ 220
n BC x y n PB x z ?=-+=?=-=
,得{ y x z x ==,
令1x =,得()1,1,1n =
,
∵直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等,
∴cos ,cos ,ME m ME n = ,即||||
ME m ME n ME m ME n
??=??
,
∴21λ-=
,
解得λ=
或λ=(舍去),
故
PM PD =
. 点睛:用向量法确定空间中点的位置的方法
根据题意建立适当的空间直角坐标系,由条件确定有关点的坐标,运用共线向量用参数(参数的范围要事先确定)确定出未知点的坐标,根据向量的运算得到平面的法向量或直线的方向向量,根据所给的线面角(或二面角)的大小进行运算,进而求得参数的值,通过与事先确定的参数的范围进行比较,来判断参数的值是否符合题意,进而得出点是否存在的结论。 3.(1)()()2
2
3216x y -+-=. (2)存在定点M(2, 0).
【解析】试题分析:(I )由题意得M (1,0),直线l 的方程为y=x ﹣1与抛物线方程联立,利用韦达定理,可得圆心坐标与圆的半径,从而可得圆的方程; (II )若存在这样的点M ,使得
22
11
AM BM
+为定值,直线l :x=ky+m 与抛物线方程联立,计算|AM|,|BM|,利用
22
11AM BM +恒为定值,可求点M 的坐标. 试题解析:
(1)当m=1时,M(1,0),此时,点M 为抛物线C 的焦点, 直线l 的方程为y=x-1,设()()1122,,A x y B x y ,,联立24{
1
y x y x ==-,
消去y 得, 2
610x x -+=,∴126x x +=, 121224y y x x +=+-=, ∴圆心坐标为(3, 2).
又1228AB x x =++=,∴圆的半径为4, ∴圆的方程为()()2
2
3216x y -+-=.
(2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+,则直线l 的方程与抛物线2
:4C y x =联立,
消去x 得: 2440y ky m --=,则124y y m =-, 124y y k +=,
()()22
2222
112211
11
AM BM
x m y x m y +=
+-+-+
()()()
22122222222
1212
11
111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()
()()
2
2212
12
2
22
2222
1221682111621
y y y y k m k m
k
y y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值, 于是m=2,此时
22
1114
AM BM
+=. ∴存在定点M(2, 0),满足题意.
点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现. 4.(1)2,
e ?
?
-∞ ???
;(2)k 的最大值为4. 【解析】(1)由题意可得2ln 2a x x x <,即2ln x a x
<, 令()2ln x h x x
=
, 2
,x e e ??∈??, ∴()2
22ln 'x
h x x -=,
令()'0h x >,解得0x e <<,
∴()h x 在2
,x e e ??∈??上递减,
∴当x e =时, ()max 2
h x e
=, ∴2a e <
,即a 的取值范围是2,e ?
?-∞ ??
?. (2)由题意可知()ln 21x x x k k >--+在()1,x ∈+∞上恒成立,即ln 21
1
x x x k x +-<-,
令()ln 21
(1)1
x x x h x x x +-=>-,
∴()()
2
ln 2
'1x x h x x --=
-,
令()ln 2(1)x x x x ?=-->, ()11'10x x x x
?-=-
=>, ∴()x ?在()1,x ∈+∞上递增,又()31ln30?=-<, ()42ln40?=->,
∴存在唯一实数()03,4x ∈,使得()00x ?=,即00ln 20x x --=,(*) ∴()h x 在()01,x x ∈上递减,在()0,x x ∈+∞上递增, ∴()()()()00000000min 00221ln 2114,511
x x x x x x h x h x x x x -+-+-==
==+∈--,
∴()min k h x <,又k Z ∈,∴k 的最大值为4.
点睛:本题以含参数的函数解析式为背景,精心设置了两道问题,旨在考查运用导数与函数
的单调性之间的关系等有关知识的综合运用。解答第一问时,先将不等式进行转化,再构造函数运用导数求其最值,使得问题获解;求解第二问时,先将参数从不等式中分离出来,再构造函数,运用导数知识求出其最值,使得问题巧妙获解。 5.(1)420x y -+=(2)1
1,22P ??- ???
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据题意求出A 的坐标,利用导数求出切线的斜率,即可求抛物线在A 点处的切线方程;(Ⅱ)设切点为()00,x y ,过切点()00,x y 的切线与直线
240x y +-=平行,求出切点的坐标,该点为抛物线上与线段AB 的距离最大的点.
试题解析:(I )由 2240
{ 1
2
x y y x
+-==得()21A ,
故令1'4y y k =
== 抛物线在A 点的切线方程为420x y -+=.
(II )由2
1
2
y x =
及直线240x y +-=的位置关系可知,点P 应位于直线240x y +-=的下方.
故令'y y ==, 设切点为()00,x y 过切点()00,x y 的切线与直线240x y +-=平行,
所以12=-.所以012x =,
所以切点坐标为1
122??-
???
,, 此时该点为抛物线上与线段AB 的距离最大的点, 故点 11,22P ??- ???
即为所求.
所以在抛物线的曲线AOB 上存在点11,22P ??- ???
,使ABP ?的面积最大.
6.(Ⅰ)2
212x y +=.(Ⅱ)5
5????,.
【解析】试题分析:(Ⅰ)直接根据已知条件结合椭圆的定义求出曲线的方程.
(Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系建立方程组,进一步利用一元二次方程根和系数的关系建立关系式,进一步求出参数的取值范围. 试题解析:
(Ⅰ)∵222PF NF =
∴ N 为2PF 的中点
∵2·0QN NF =
∴ QN 为线段2PF 的中垂线 ∴2QP QF =
∵1112F P F Q QP F Q QF =+=+=∴由椭圆的定义可知Q 的轨迹是以12,F F
为焦点,长轴长为
设椭圆的标准方程为()22
2210x y a b a b
+=>>,
则1a c =
=,
∴2
1b =.
∴点Q 的轨迹C 的方程为2
212
x y +=.
(Ⅱ)∵圆O 与直线l 相切,
1=,即221m k =+,
由2
21
{ 2
x y y kx m
+==+,消去y 整理得()222124220k x kmx m +++-=. ∵直线l 与椭圆交于两个不同点,
∴()()()()
22
2
2
24412228210km k
m k
m ?=-+-=-+>,
将221m k =+代入上式,可得20k >, 设()()1122,,A x y B x y ,,
则2121222
4221212km m x x x x k k
-+=-=++,, ∴()()()22
2
2
121212122
212m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+,
∴
AB =
, ∴2
12122
112k OA OB x x y y k λ+=?=+=+ ,
∵
3455λ≤≤,解得21
23
k ≤≤. 满足2
0k >.
又1
12
ABC
S S AB ?==?=
设4
2
k k μ=+,则4
69
μ
≤≤.
∴S =
=
,
S ≤≤
故△OAB 面积S 的取值范围为??. 点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是
一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用. 7.(1)见解析;(2) 见解析(3)不存在 【解析】(1)设AC 与BD 交于点G ,
∵ E F A G , 1EF =, 1
12
AG AC ==, ∴ 四边形AGEF 为平行四边形, ∴ A F E G ,
∵ EG ?平面BDE , AF ?平面BDE , ∴ AF 平面BDE . (2)连接FG ,
∵ E F C G , 1EF CG ==, 1CE =,
∴ 平行四边形CEFG 为菱形, ∴CF EG ⊥,
∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴BD AC ⊥,
又平面ACEF ⊥平面ABCD ,平面ACEF ?平面ABCD AC =, ∴BD ⊥平面ACEF , ∴CF BD ⊥, 又BD EG G ?=, ∴ CF ⊥平面BDE .
(3)直线CD 上是否存在点M 。理由如下。
以C 为原点, CB , CD , CE 分别为x , y , z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系
C xyz -,
则()0,0,0C ,
)
D
,
()B , ()0,0,1E ,
)
A
∴
),,0BD =
,
()0BE = ,
()
1DE = ,,
设平面BDE 一个法向量为(),,n x y z =
,
由·0
{ ·0
n BD n DE z ===+=
,得{ y x z ==, 令1x =
,得(n =
,
设()00,,0M y
,则()
0AM y =
,
若AM ⊥平面BDE ,则有AM n
,
但AM kn =
,即AM 与n 平行不会成立,
∴ 不存在点M 使得AM ⊥平面BDE .
点睛:解决与平行、垂直有关的探索性问题的策略
通常假定题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若导出与条件或实际情况相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在. 8.(1)见解析(2
(3)见解析. 【解析】试题分析:(1)AM BC ⊥, AM PB ⊥,所以AM ⊥平面PBC ;(2)建立空间直角坐标系,求得平面APC 和平面PBC 的法向量,求得二面角的余弦值;(3)由点D 在
线段PC 上,则PD PC λ= , ()01λ≤≤,由0BD AC ?= ,得4
5
λ=,所以存在点D 。
试题解析:
(1)证明:∵PA ⊥平面ABC , BC ?平面ABC , ∴PA BC ⊥.
∵BC AB ⊥, PA AB A ?=, ∴BC ⊥平面PAB . 又AM ?平面PAB , ∴AM BC ⊥.
∵PA AB =, M 为PB 的中点, ∴AM PB ⊥.
又∵PB BC B ?=, ∴AM ⊥平面PBC .
(2)如图,在平面ABC 内作AZ BC ,则AP , AB , AZ 两两垂直,建立空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A , ()2,0,0P , ()0,2,0B , ()0,2,1C , ()1,1,0M .
()2,0,0AP = , ()0,2,1AC = , ()1,1,0AM =
.
设平面APC 的法向量为(),,n x y z =
,则:
{ 0
n AP n AC ?=?=
,即0{ 20x y z =+=,令1y =,则2z =-.
∴()0,1,2n =-
.
由(1)可知()1,1,0AM =
为平面PBC 的一个法向量,
∴cos 10AM n n AM AM n
??==
=
. ∵二面角A PC B --为锐角, ∴二面角A PC B --
的余弦值为
10
. (3)证明:设(),,D v w μ是线段PC 上一点,且PD PC λ=
, ()01λ≤≤,
即()()2,,2,2,1v w μλ-=-, ∴22μλ=-, 2v λ=, w λ=.
∴()22,22,BD λλλ=--
. 由0BD AC ?= ,得[]4
0,15
λ=∈,
∴线段PC 上存在点D ,使得BD AC ⊥,此时4
5
PD PC λ==. 9.(Ⅰ)2250x y -+=(Ⅱ)12a ≤≤
【解析】试题分析:
(1)根据导数的几何意义求出切线方程即可。(2)将问题转化为:当12x ≤≤时,不等式
()32x f x x ≤≤+
恒成立。构造函数设()()()2
11ln 2
g x f x x x ax a x =-=-++-, []1,2x ∈,只需证明()3
02g x ≤≤即可。因此将问题转化为求函数()g x 在区间[]1,2上的
最大值和最小值即可。 试题解析:
(1) 当3a =时, ()2
142ln 2
f x x x x =-+-, 0x >, ∴()24f x x x
'=-+-, ∴()11f '=, 又()712
f =
, ∴曲线C 在点()()
1,1f 处的切线方程为7
12
y x ==-, 即2250x y -+=.
(2)“当[]1,2x ∈时,曲线C 上的点(),x y 都在不等式组12
{ 32
x x y y x ≤≤≤≤+
所表示的平面区域
内,”
等价于“当12x ≤≤时, ()3
2
x f x x ≤≤+恒成立。” 设()()()2
11ln 2
g x f x x x ax a x =-=-
++-, []1,2x ∈, 则()()()()2
1111x x a x ax a a g x x a x x x
??-----++--??=-++==',
①当11a -≤,即2a ≤时,
当[]
1,2x ∈时, ()0g x '≤, ()g x 单调递减, 故()()()21g g x g ≤≤,
根据题意有()()()131{ 22
222120
g a g a a ln =-
≥
=-++-≥,解得12a ≤≤. ②当112a <-<,即23a <<时,
则当[]
1,1x a ∈-, ()0g x '≥, ()g x 单调递增, 当[]
1,2x a ∈-, ()0g x <, ()g x 单调递减.
∵()312
g >
, ∴23a <<不符合题意.
③当12a -≥,即3a ≥时,注意到()15
122
g a =-≥,显然不合题意. 综上所述,实数[]
1,2a 的取值范围为.
10.(Ⅰ)()f x 的单调递增区间为(),a +∞ ,单调递减区间为()0,a ;(Ⅱ)
12
. 【解析】试题分析:(Ⅰ)求出原函数的定义域,求出函数的导函数,由导函数的零点把定义域分段,根据导函数的符号得原函数的单调区间;(Ⅱ)把原函数求导后直接得到斜率的表达式,代入1
2
k ≤后把参数a 分离出来,然后利用二次函数的性质求最值,得到实数a 的最小值.
试题解析:(Ⅰ) ()ln a
f x x x
=+,定义域为()0,+∞, 则()221'a x a
f x x x x
-=
-=. 因为0a >,由()0,f x '>得(),x a ∈+∞, 由()0,f x '<得()0,x a ∈, 所以()f x 的单调递增区间为(),a +∞ ,单调递减区间为()0,a . (Ⅱ)由题意,以()00,P x y 为切点的切线的斜率k 满足()002
01
2
x a k f x x -==
≤' 0(0)x >, ∴2
0012
a x x ≥-
+对00x >恒成立. 又当00x >时, 20011
22
x x -+≤,
∴a 的最小值为
12
. 11.(1) ln2y = (2) [
)1,∞+.
【解析】试题分析:(1)对()f x 求导,由()f x 在1x =时取到极值,可求得a 的值,再根据导数的几何意义,即可求出切线方程;(2)由定义域可得0a ≥,再对a 进行分类讨论,分别求出不同情况时()f x 的单调性及最小值,即可求出a 的取值范围.
试题解析:(1) ()()()()
222
22
'1111a ax a f x ax x ax x +-=-=++++, ∵()f x 在1x =时取到极值,∴()'10f =,解得1a = 故在1x =处的切线方程为: ln2y =
(2)由定义域知: 10ax +>对于0x ≥恒成立,可得0a ≥
()()()
22
2
'11ax a f x ax x +-=
++
①当0a =时,在()0,∞+上, ()'0f x <恒成立,所以此时()f x 在()0,∞+递减 注意到()1
2023
f ln =-
<<,故此时()ln2f x ≥不恒成立 ②当2a ≥时,在区间()0,∞+上, ()'0f x >恒成立,所以此时()f x 在()0,∞+递增
()()012f x f ln ≥=>,故此时()ln2f x ≥恒成立
③当02a <<时, ()f x
的单调减区间为? ?
,
单调增区间为∞?+??? ()f x
在x =
处取得最小值,
只需ln2f ≥恒成立
设()
)
ln 12)f g a a ==+
<<
设()0,t ∞=
+, (
)221ln 111t t
m t f t t
-??==++ ?++??
()()
()
2
2
2
4'011
t m t t t
-=
<++, ()m t 在()0,∞+递减,又()1ln2m =
所以1t ≤1≤,解得12a ≤< 综上可知,若()ln2f x ≥恒成立,只需a 的取值范围是[
)1,∞+.
点睛:本题主要考查了函数性质的综合应用问题,其中解答中涉及到利用到时研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值与最值,以及不等关系的证明,同时着重考查了分类讨论思想的应用,合理构造新函数,正确利用导数研究函数的性质是解答的关键. 12.(Ⅰ)0.(Ⅱ)()h x x =.
【解析】试题分析:(1)表示出()()y f x g x =-,用导数判断其单调性,根据单调性即可求出最小值; (2)由(Ⅰ)知111222f g ????==
? ?????,从而得11
22
h ??= ???,于是h (x )可表示为关于k 的
一次函数,根据f (x )≥h(x )恒成立可求得k 值,从而可求得h (x )表达式,再验证h
(x ))≥g(x )对一切x >0恒成立即可; 试题解析:(Ⅰ)
()()y f x g x =-的定义域为{}0x x ,
()()()211
ln 2e 42
y x g x x x =-=+
-, 2141
222x y x x x
='-=-,
易知102x <<
时, 0y '<, 1
2
x >时, 0y '>, ∴()()y f x g x =-在10,2?
? ???上单调递减,在1,2??+∞ ???
上单调递增, ∴当1
2
x =
时, ()()y f x g x =-取得最小值为0. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 1118222f ??==
?
??
, 所以11
22
h ??=
???, 故可证()122
k
h x kx =+
-,代入()()f x h x ≥,
得2
1
024
k x kx -+
-≥恒成立, ∴()2
10k ?=-≤, ∴1k =, ()h x x =,
设()()1ln 2e 2G x x x =-,则()112G x x ='-, 当102x <<时, ()0G x '<,当1
2
x >时, ()0G x '>,
∴()G x 在10,
2?? ?
??上单调递减,在1,2??+∞ ???
上单调递增, ∴()102G x G ??
≥=
???
, 即()()h x g x ≥对一切0x >恒成立,
综上,存在一次函数()h x ,使得对于()0,x ?∈+∞,总有()()f x h x ≥, 且()()h x g x ≥, ()h x x =.
高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析: (1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121, 2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2 n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得:,73=a 同理得.1,312==a a (2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a
刷题增分练1集合的概念与运算 刷题增分练①小题基础练提分快 一、选择题 1.[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B =() A.{3}B.{5} C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7} 答案:C 解析:A∩B={1,3,5,7}∩{2,3,4,5}={3,5}.故选C. A=() 2.[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x2-x-2>0},则? R A.{x|-1 共有9个.故选A. 2.[2019·湖南联考]已知全集U =R ,集合A ={x |x 2-3x ≥0},B ={x |1 1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-,则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点,且|AB|=2,αββα-=-)()(f f . 1.(本小题满分12分)(2019陕西咸阳一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2 =1(a >1)的上顶点为B , 右顶点为A ,直线AB 与圆M :(x -2)2+(y -1)2 =1相切. (1)求椭圆C 的方程. (2)过点N (0,-1 2 )且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,求证:BP ⊥BQ . 1.(1)解:由题意知,A (a ,0),B (0,1),则直线AB 的方程为x +ay -a =0. 由直线AB 与圆M :(x -2)2+(y -1)2=1相切,得圆心M 到直线AB 的距离d =2 1+a 2 =1,求得a =3, 故椭圆C 的方程为x 23 +y 2 =1. (2)证明:直线l 的方程为y =kx -1 2 ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 联立? ??y =kx -1 2 , x 23 +y 2=1,消去y 整理得(4+12k 2)x 2-12kx -9=0. ∴x 1+x 2=12k 4+12k 2,x 1x 2 =-9 4+12k 2 . 又BP →=(x 1,y 1-1),BQ → =(x 2,y 2-1), ∴BP →·BQ → =x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)=x 1x 2+(kx 1-32)·(kx 2-32)=(1+k 2)x 1x 2-32k (x 1+x 2)+94 = -9(1+k 2)4+12k 2-18k 24+12k 2 +94=0,∴BP ⊥BQ . 2.(本小题满分12分)(2019内蒙古一模)已知函数f (x )=2ax +bx -1-2ln x (a ∈R ). (1)当b =0时,确定函数f (x )的单调区间. (2)当x >y >e -1时,求证:e x ln(y +1)>e y ln(x +1). 2.(1)解:当b =0时,f ′(x )=2a -2x =2(ax -1) x (x >0). 当a ≤0时,f ′(x )<0在(0,+∞)上恒成立. ∴函数f (x )在(0,+∞)上单调递减. 1 A B C D S E F N B 高考数学试题(整理三大题) (一) 17.已知0αβπ<<4,为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期,1tan 14αβ????=+- ? ????? ,, a (cos 2)α=, b ,且?a b m =.求 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值. 18. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜 甲的概率为0.6,比赛按以下规则进行;第一局:甲对乙;第二局:第一局胜者对丙; 第三局:第二局胜者对第一局败者;第四局:第三局胜者对第二局败者,求: (1)乙连胜四局的概率; (2)丙连胜三局的概率. 19.四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD 。已知∠ABC =45°,AB =2,BC=22,SA =SB =3。 (Ⅰ)证明:SA ⊥BC ; (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小; (二) 17.在ABC △中,1tan 4A =,3 tan 5 B =. (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)若ABC △ 18. 每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). (I )连续抛掷2次,求向上的数不同的概率; (II )连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率; (III )连续抛掷5次,求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。 19. 如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱SD ⊥底面ABCD ,E 、F 分别是 AB 、SC 的中点。 求证:EF ∥平面SAD ; (三) 17.已知ABC △的面积为3,且满足06AB AC ≤≤,设AB 和AC 的夹角为θ. (I )求θ的取值范围;(II )求函数2()2sin 24f θθθ?? =+ ??? π的最大值与最小值. 18. 某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球获得二得奖;摸出两个红球获得一等奖.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.求 (1)甲、乙两人都没有中奖的概率; (2)甲、两人中至少有一人获二等奖的概率. 19. 在Rt AOB △中,π 6 OAB ∠= ,斜边4AB =.Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到,且二面角B AO C --是直二面角.动点D 的斜边AB 上. (I )求证:平面COD ⊥平面AOB ; (II )当D 为AB 的中点时,求异面直线AO 与CD 所成角 的大小; (III )求CD 与平面 AOB 所成角的最大值 (四) 17.已知函数2 π()2sin 24f x x x ??=+ ???,ππ42x ??∈???? ,. (I )求()f x 的最大值和最小值; (II )若不等式()2f x m -<在ππ42 x ??∈???? ,上恒成立,求实数m 的取值范围. 18. 甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛,参赛同学成绩及格的概率都为0.6,且参赛同学的成绩相互之间没有影响,求: (1)甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率; (2)甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率. 19. 如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 四边长为1的菱形, 4 ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点。 (Ⅰ)证明:直线MN OCD 平面‖; (Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点B 到平面OCD 的距离。 O C A D B E 小题提速练(一) 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合A ={x |x 2-4x -5≤0},B ={x |x |≤2},则A ∩(?R B )=( ) A .[2,5] B .(2,5] C .[-1,2] D .[-1,2) 解析:选B.由题得A =[-1,5],B =[-2,2],则?R B =(-∞,-2)∪(2,+∞),所以A ∩(?R B )=(2,5],故选B. 2.如果复数m 2+i 1+m i 是纯虚数,那么实数m 等于( ) A .-1 B .0 C .0或1 D .0或-1 通解:选D.m 2+i 1+m i =(m 2+i )(1-m i ) (1+m i )(1-m i ) =m 2+m +(1-m 3)i 1+m 2,因为此复数为纯虚数,所以? ????m 2 +m =0, 1-m 3≠0,解得m =-1或0,故选D. 优解:设m 2+i 1+m i =b i(b ∈R 且b ≠0),则有b i(1+m i)=m 2+i ,即-mb +b i =m 2+i ,所以 ?????-mb =m 2 ,b =1, 解得m =-1或0,故选D. 3.设x ,y 满足约束条件???? ?2x +y -6≥0,x +2y -6≤0,y ≥0,则目标函数z =x +y 的最大值是( ) A .3 B .4 C .6 D .8 通解:选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作直线x +y =0,平移该直线,当直线经过点A (6,0)时,z 取得最大值,即z max =6,故选C. 高考数学大题经典习题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N] 1. 对于函数()321 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()321 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-,则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过22sin cos t t t -+ 所以()2'2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故22sin cos 1t t t -≥ (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=23)((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、))(,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点,且|AB|=2,αββα-=-)()(f f . (Ⅰ)求b 的值; (Ⅱ)求函数)(x f 的解析式; (Ⅲ)若m m x f x 6 )(],1,2[- >-∈恒成立,求实数m 的取值范围. 2. (Ⅰ) b =0 (Ⅱ)3'2()()30,f x ax cx f x ax c αβ =+∴=+=的两实根是 则 03c a αβαβ+=????=?? |AB|=2222()()()()4()2f f αβαβαβ?-+-=?-= 又0 1a a >∴= 3()3 2 x f x x =- (Ⅲ) [2,1]x ∈-时,求()f x 的最小值是-5 3. 已知()d cx bx ax x f +++=23是定义在R 上的函数,其图象交x 轴于A ,B ,C 三点,若点 B 的坐标为(2,0),且()x f 在]0,1[-和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性. 2017年普通高等学校招生全国统一考试(xx卷)数学(理科) 第Ⅰ卷(共50分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)【2017年xx,理1,5分】设函数的定义域为,函数的定义域为,则()(A)(B)(C)(D) 【答案】D 【解析】由得,由得,,故选D. (2)【2017年xx,理2,5分】已知,是虚数单位,若,,则()(A)1或(B)或(C)(D) 【答案】A 【解析】由得,所以,故选A. (3)【2017年xx,理3,5分】已知命题:,;命题:若,则,下列命题为真命题的是() (A)(B)(C)(D) 【答案】B 【解析】由时有意义,知是真命题,由可知是假命题, 即,均是真命题,故选B. (4)【2017年xx,理4,5分】已知、满足约束条件,则的最大值是()(A)0(B)2(C)5(D)6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示,平移发现, 当其经过直线与的交点时,最大为 ,故选C. (5)【2017年xx,理5,5分】为了研究某班学生的脚长(单位:厘米)和身高(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系,设其回归直线方程为,已知,,,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为() (A)160(B)163(C)166(D)170 【答案】C 【解析】,故选C. (6)【2017年xx,理6,5分】执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的值为7,第 二次输入的值为9,则第一次、第二次输出的值分别为()(A)0,0(B)1,1(C)0,1(D)1,0 【答案】D 【解析】第一次;第二次,故选D. (7)【2017年xx,理7,5分】若,且,则下列不等式成立的是()(A)(B)(C)(D) 【答案】B 【解析】,故选B. (8)【2017年xx,理8,5分】从分别标有1,2,…,9的9xx卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1xx,则抽到在2xx卡片上的数奇偶性不同的概率是() (A)(B)(C)(D) 高考数学大题 1.(12分)已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,2) (1)若a ⊥b ,求tan θ的值; (2)若a ∥b ,且θ为第Ⅲ象限角,求sin θ和cos θ的值。 2.(12分)在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,且AC=BC=BD=2AE ,M 是AB 的中点. (I)求证:CM ⊥EM: (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3.(13分)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高 下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (Ⅱ)任选3名下岗人员,求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4.(12分) 在△ABC 中,∠A .∠B .∠C 所对的边分别为a .b .c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA (1)求角A .B .C 的大小; (2)设函数f(x)=sin (2x+A )+cos (2x- 2C ),求函数f(x)的单调递增区间,并指出它相邻两对称轴间的距离。 5.(13分)已知函数f(x)=x+x a 的定义域为(0,+∞)且f(2)=2+22,设点P 是函数图象上的任意一点,过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线,垂足分别为M ,N. (1)求a 的值; (2)问:|PM|·|PN|是否为定值?若是,则求出该定值, 若不是,则说明理由: (3)设O 为坐标原点,求四边形OMPN 面积的最小值。 6.(13分)设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数,e 为自然对数的底数) (1)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p 的取值范围; (2)若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求p 的值; (3)若在[1,e]上至少存在一点x 0,使得f(x 0)>g(x 0)成立,求p 的取值范围. 小题专题练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 1.已知集合M ={x |x >1},N ={x |x 2 -2x -8≤0},则M ∩N =( ) A .[-4,2) B .(1,4] C .(1,+∞) D .(4,+∞) 2.已知函数f (x )=?????log 12x ,x >12+4x ,x ≤1,则f ??????f ? ????12=( ) A .4 B .-2 C .2 D .1 3.设a ,b ∈R ,则“a >b ”是“a |a |>b |b |”成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 4.已知不等式|x +3|+|x -2|≤a 的解集非空,则实数a 的取值范围是( ) A .[1,5] B .[1,+∞) C .[5,+∞) D .(-∞,1]∪[5,+∞) 5.已知集合A ={(x ,y )|x 2 +y 2 ≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( ) A .9 B .8 C .5 D .4 6.已知函数f (x )=? ?? ??12x -cos x ,则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 7.已知在(-∞,1]上单调递减的函数f (x )=x 2 -2tx +1,且对任意的x 1,x 2∈[0,t +1],总有|f (x 1)-f (x 2)|≤2,则实数t 的取值范围为( ) A .[-2,2] B .[1,2] C .[2,3] D .[1,2] 8.函数f (x )=(x +1)ln(|x -1|)的大致图象是( ) 9.若偶函数f (x )满足f (x -1)=f (x +1),且当x ∈[0,1]时,f (x )=x 2 ,则关于x 的方 创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 (这份试题共八道大题,满分120分 第九题是附加题,满分10分,不计入总分) 一.(本题满分15分)本题共有5小题,每小题选对的得3分;不选,选错或多选得负1分1.数集X = {(2n +1)π,n 是整数}与数集Y = {(4k ±1)π,k 是整数}之间的关系是 ( C ) (A )X ?Y (B )X ?Y (C )X =Y (D )X ≠Y 2.如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点,那么( C ) (A )F =0,G ≠0,E ≠0. (B )E =0,F =0,G ≠0. (C )G =0,F =0,E ≠0. (D )G =0,E =0,F ≠0. 3.如果n 是正整数,那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 ( B ) (A )一定是零 (B )一定是偶数 (C )是整数但不一定是偶数 (D )不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 ( A ) (A )]1,0(∈x (B ))0,1(-∈x (C )]1,0[∈x (D )]2 ,0[π∈x 5.如果θ是第二象限角,且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ ( B ) (A )是第一象限角 (B )是第三象限角 (C )可能是第一象限角,也可能是第三象限角 (D )是第二象限角 二.(本题满分24分)本题共6小题,每一个小题满分4分 1.已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积 答:.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数? 答:x <-2. 3.求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答:},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4.求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答:-205.求1 321lim +-∞→n n n 的值 答:0 6.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算) 答:!647?P 三.(本题满分12分)本题只要求画出图形 1.设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2.画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解(1) (2) 1.(本题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =, (1)证明:数列{}n a 是等比数列; (2)若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=,12b =,求数列{}n b 的通项公式. 2.(本小题满分12分) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n. 5.已知数列{a n}满足,,n∈N×. (1)令b n=a n+1﹣a n,证明:{b n}是等比数列; (2)求{a n}的通项公式. 1.解:(1)证:因为34-=n n a S (1,2,)n =,则3411-=--n n a S (2,3,)n =, 所以当2n ≥时,1144n n n n n a S S a a --=-=-, 整理得14 3 n n a a -= . 5分 由34-=n n a S ,令1n =,得3411-=a a ,解得11=a . 所以{}n a 是首项为1,公比为4 3 的等比数列. 7分 (2)解:因为14 ()3 n n a -=, 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=,得114 ()3 n n n b b -+-=. 9分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b =1)34(33 41)34(1211 -=--+--n n , (2≥n ), 当n=1时也满足,所以1)3 4 (31-=-n n b . 2.解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由23269a a a =得32 34 9a a =所以21 9 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=,所以113 a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 (Ⅱ )111111log log ...log n b a a a =+++ (12...) (1) 2 n n n =-++++=- 故 12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311 n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 小题专项滚动练六 解析几何 小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点! 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(滚动考查)在复平面内与复数z=5i 1+2i 所对应的点关于虚轴对称的点为A ,则A 对应的复数为( ) A.1+2i B.1-2i C.-2+i D.2+i 【解析】选C.复数z= 5i 1+2i = 5i(1?2i) (1+2i)(1?2i) = 5(i+2)5 =2+i ,所对应的点(2,1)关于虚轴 对称的点为A(-2,1),所以A 对应的复数为-2+i. 2.已知点P(a ,b)是抛物线x 2=20y 上一点,焦点为F ,|PF|=25,则|ab|=( ) A.100 B.200 C.360 D.400 【解析】选D.抛物线准线方程为y=-5, |PF|=b+5=25,所以b=20, 又点P(a ,b)是抛物线x 2=20y 上一点, 所以a2=20×20,所以a=±20,所以|ab|=400. 3.(滚动考查)已知点P(x,y)的坐标满足条件{x≥1, y≥x?1, x+3y?5≤0, 那么点P到直线 3x-4y-13=0的最小值为( ) A.11 5 B.2 C.9 5 D.1 【解析】选B.由约束条件{ x≥1, y≥x?1, x+3y?5≤0 作出可行域如图, 由图可知,当P与A(1,0)重合时,P到直线3x-4y-13=0的距离最小,为 d= √32+(?4)2 =2. 4.(滚动考查)如图,函数f(x)=Asin(ωx+ )(其中A>0,ω>0,|φ|≤π 2 )与 坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(1,0),∠PQR=π 4 ,M(2,-2)为线段QR的中点,则A的值为( ) A.2√3 B.7√3 3 C.8√3 3 D.4√3 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,把答案填 在题中横线上) 1.复数i 1+2i (i 是虚数单位)的实部是________. 解析:因为i 1+2i =i(1-2i)5=25+i 5,所以复数i 1+2i (i 是虚数单位)的实部是2 5. 答案:2 5 2.执行如图所示的程序框图,若p =4,则输出的s =________. 解析:由程序框图知s =12+14+18+116=15 16 . 答案:1516 3.观察下表的第一列,填空: 答案:(b1bn)n 2 4.复数z =(1+i)2 1-i 对应的点在第________象限. 解析:z =(1+i)21-i =2i 1-i =-1+i ,其对应的点的坐标为(-1,1),所以点在第二 象限. 答案:二 5.设0<θ<π 2,已知a1=2cosθ,an +1= 2+an (n∈N+),猜想an = ________. 解析:因为0<θ<π2,所以a2=2+2cosθ=2cos θ 2 , a3= 2+2cos θ2=2cos θ 4 ,a4= 2+2cos θ4=2cos θ 8 , 于是猜想an =2cos θ 2n -1(n∈N+). 答案:2cos θ 2n -1 6.根据下面一组等式: S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, S6=16+17+18+19+20+21=111. 可得S1+S3+S5+…+S2n -1=________. 解析:从已知数表得S1=1,S1+S3=16=24,S1+S3+S5=81=34,从而猜想S1+S3+…+S2n -1=n4. 答案:n4 7.复数5 3+4i 的共轭复数是________. 解析:因为5 3+4i =5(3-4i) (3+4i)(3-4i)=3-4i 5,所以其共轭复数为35+ 4 5 i. 高考数学17题(1):解三角形 1.正弦定理:______________________ 2.余弦定理:______________________ ______________________ ______________________ 3.三角形面积公式: S=____________________________ 4.三角形中基本关系:A+B+C=_____ sin(A+B)=___________ cos(A+B)=___________ tan(A+B)=___________ 注:基本不等式:若________,则______________ 重要不等式:若________,则______________ 高考数学17题(2):数列 1.知S n 求a n:( 这个关系式对任意数列均成立) a n= _________________ 2.等差数列的有关概念 (1)定义:___________(n∈N*,d为常数). (2)等差中项:_____________, (3)通项公式:a n=_____________=______________ (4)前n项和公式:S n=____________=_______________ (5)等差数列性质:若_____________,则__________________3.等比数列的有关概念 (1)定义:___________(n∈N*,q为常数). (2)等比中项:_____________, (3)通项公式:a n=_____________=______________ (4)前n项和公式:S n=____________=_______________ (5)等比数列性质:若_____________,则__________________ .选择题(共26小题) x-y-2^0 1 .设实数x , y 满足 \ i+2y-5>0,则 z 二 :丄+二的取值范围是( ) y x 17 2 2.已知三棱锥P -ABC 中,PA 丄平面ABC ,且■ Y 3 A . [4, T B . [^ ,—] C . [4, ,AC=2AB , PA=1, BC=3, 则该三棱锥的外接球的体积等于( 1371^ 兀 B. ““ C. D . 6 2 6 2 ) A . 3.三棱锥P -ABC 中,PA 丄平面ABC 且PA=2, △ ABC 是边长为.「;的等边三角形, 则该三棱锥外接球的表面积为( B . 4 n C . 8 n D . 20 n 6.抛物线y 2=4x 的焦点为F , M 为抛物线上的动点,又已知点N (- 1,0),则 - 卩IF 丨 的取值范围是( ) A . [1, 2 ::] B . [. ;] C .[二 2] D . [1,::] 7 .《张丘建算经》卷上第22题为 今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日 织九匹三丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第 2天开始,每天比前一天多 织相同量的布,第1天织了 5尺布,现在一月(按30天计算)共织390尺布,记该 女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ,贝U a 14+a 15+a 16+a 17的值为( ) A . 55 B . 52 C . 39 D . 26 8.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足:当x >0时,f (x ) =x 3+x 2,若不等式f (-4t )> f (2m+mt 2)对任意实数t 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A . H ■冋 B .(畑 Q ) 、一 订 4.已知函数f (x+1 )是偶函数,且 (x+3) f (x+4)V 0 的解集为( x > 1 时,f' (x )V 0 恒成立,又 f (4) =0,则 .「 :■ - , ■- D . - '" ' . . ■ ■ I '- 1 9.将函数f (妁二si 口(2时晋~)的图象向左平移G 〔0V ? )个单位得到y=g (x ) A . (-X,- 2)U( 4, +x) B . ,-6) U (4, 装 ) (-6,- 3)U( 0, 4) C . +x) D . (- 6,- 3)U( 0, +x 的图象,若对满足 | f (X 1)— g (X 2)| =2 的 X 1、X 2, | x 1 - X 2| min 2 7 T ,则?的值是( ) 10 . 7T 12 在平面直角坐标系xOy 中,点P 为椭圆C : 2 - =1 (a > b > 0)的下顶点, N 在椭圆上,若四边形 OPMN 为平行四边形, M , 〒,T A . (0, ],则椭圆C 的离心率的取值范围为( B . (0, !_3 a 为直线ON 的倾斜角,若a€ ) ]D . ] 2019-2020年高考数学大题综合练习(二) 1.已知函数22()2sin 2sin ()6 f x x x π=--,x R ∈. (1)求函数()y f x =的对称中心; (2)已知在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ,且( )262B b c f a π++=,ABC ? 的外接圆半径为△ABC 周长的最大值. 【解析】 ()1cos 21cos 2()cos(2)cos 263f x x x x x ππ??=----=--????1cos 2sin 2cos 222x x x =+- 12cos 2sin(2)26 x x x π=-=-. (1)令26x k π π-=(k Z ∈),则212 k x ππ=+(k Z ∈), 所以函数()y f x =的对称中心为(,0)212 k ππ+k Z ∈; (2)由()262B b c f a π++=,得sin()62b c B a π++=1cos 22b c B B a ++=, sin cos B a B b c +=+, sin sin cos sin sin A B A B B C +=+, sin sin cos sin A B B A B =+,又因为sin 0B ≠, cos 1A A -=,即1sin()62A π- =, 由0A π<<,得5666A πππ- <-<, 所以66A π π -=,即3A π =, 又ABC ?3a A ==, 由余弦定理得2222222cos ()3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-2 2 23()()()44b c b c b c +≥+-+=,即6b c +≤, 当且仅当b c =时取等号, 所以周长的最大值为9. 高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数,当(0,]x e ∈时,有()ln f x ax x =+(其中e 为自然对数的底,a ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)试问:是否存在实数0a <,使得当[,0)x e ∈-,()f x 的最小值是3?如果存在,求出实数a 的值;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设ln ||()||x g x x =([,0)(0,]x e e ∈- ),求证:当1a =-时,1 |()|()2 f x g x >+; 2. 若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足: ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+,则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知 2()h x x =,()2ln x e x ?=(其中e 为自然对数的底数). (1)求()()()F x h x x ?=-的极值; (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由. 3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β,且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f (I )求)(ααf 的值;(II )判断),()(βα在区间x f 上单调性,并加以证明; (III )若μλ,为正实数,①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小; ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. (I )求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()f x 的单调区间; (II )是否存在实数m ,使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立,若存在,求出m 的范围;若不存在,请说明理由. 5.若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- (1)求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间; (2)若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立,求实数a 的取值范围. 高考数学大题训练及解析 1.三角知识(命题意图:在三角形中,考查三角恒等变换、正余弦定理及面积公式的应用) (本小题满分12分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知 sin C 2=104. (1)求cos C 的值; (2)若△ABC 的面积为3154,且sin 2A +sin 2 B =1316sin 2 C ,求a ,b 及c 的值. 解 (1)因为sin C 2=10 4, 所以cos C =1-2sin 2C 2=-1 4. (2)因为sin 2 A +sin 2 B =1316sin 2 C ,由正弦定理得 a 2+ b 2=13 16c 2,① 由余弦定理得a 2 +b 2 =c 2 +2ab cos C ,将cos C =-14代入,得ab =38c 2 , ② 由S △ABC =3154及sin C =1-cos 2C =15 4,得ab =6,③ 由①②③得?????a =2,b =3,c =4,或???? ?a =3,b =2,c =4. 经检验,满足题意. 所以a =2,b =3,c =4或a =3,b =2,c =4. 2.数列(命题意图:考查数列基本量的求取,数列前n 项和的求取,以及利用放缩法解决数列不等式问题等.) (本小题满分12分)已知数列{a n }中,a 1=1,其前n 项的和为S n ,且满 足a n =2S 2n 2S n -1 (n ≥2). (1)求证:数列???? ?? 1S n 是等差数列; (2)证明:当n ≥2时,S 1+12S 2+13S 3+…+1n S n <3 2. 证明 (1)当n ≥2时,S n -S n -1=2S 2n 2S n -1 , S n -1-S n =2S n S n -1,1S n -1 S n -1=2, 从而???? ?? 1S n 构成以1为首项,2为公差的等差数列. (2)由(1)可知,1S n =1 S 1 +(n -1)×2=2n -1, ∴S n =1 2n -1 , ∴当n ≥2时,1n S n =1n (2n -1)<1 n (2n -2) =12·1n (n -1)=12? ????1n -1-1n 从而S 1+12S 2+13S 3+…+1n S n高考数学大题经典习题
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