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2019年人教版最新高考数学大题练习Word版

1．（12分）已知向量=（sinθ，cosθ-2sinθ），=（1，2）（1）若⊥，求tanθ的值；a b

（2）若∥，且θ为第Ⅲ象限角，求sinθ和cosθ的值。a b 2．(12分) 在如图所示的几何体中，EA

⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且

AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点.

(I)求证：CM ⊥EM：

(Ⅱ)求DE与平面EMC所成角的

正切值.

3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.

(Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

(Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分）

在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。

若=且sinC=cosA B A cos cos a b

（1）求角A ．B ．C 的大小；

（2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x-）,求函数f(x)的单调递

增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。2C

5．（13分）已知函数f(x)=x+的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+，设

点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴

的垂线，垂足分别为M ，N. x a 22

（1）求a 的值；

（2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值，

若不是，则说明理由：

（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。

6．（13分）设函数f(x)=p(x-)-2lnx,g(x)=(p 是实数，e 为自然

对数的底数)x 1x e

（1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；

（2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的

图象相切于点（1，0），求p 的值；

（3）若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)＞g(x0)成立，求p 的取值范围.

7. (12分)设P:函数y =ax2－2x+1在［1,+∞)内单调递减,Q ：曲线y=x2－2ax+4a+5与x 轴没有交点；如果“﹁P 或Q ”为真，“﹁P 且Q ”为假，求a 的取值范围.

8.（12分）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个。

{}1,2,3,4,5

(Ⅰ) 记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满

足性质r 的概率；

(Ⅱ) 记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望 E

ξξξ9. （12分）已知函数，其中1()ln(1),01x

f x ax x x

-=++

≥+0a > ()I 若在x=1处取得极值，求a 的值；求的单调区间；

()f x ()II ()f x

（Ⅲ）若的最小值为1，求a 的取值范围。 ()f x

10.（12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，

记余下工程的费用为万元。m

x (2x y

（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；y x

（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？ m y 11. （12分）若是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12； ()0f x <(0,5),

()f x []1,4-

（I ）求的解析式； ()f x

（II ）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。,

m 37()0f x x

=(,1)m m +m

12. （14分）已知函数，数列是公差为d 的等差数列，是公比为

q 2

()(1)f x x =-{}n a {}n b

（）的等比数列.若,1

q R q ∈≠1(1),a f d =-3(1),a f d =+1(1),

b f q =-3(1).

b f q =+

(Ⅰ)求数列，的通项公式； {}n a {}n b

(Ⅱ)若对，恒有，求的值；{}

n c

n N *∈312

123

23n n n c c c c a b b b nb ++++???+=13521

n c c c c -+++???+

(Ⅲ)试比较与的大小.3131n n b b -+1

2n n a a ++

答案：

1．解：（1）⊥sin+2cos-4sin=0tan=………6分a b ?θθθ?θ32

（2）∥2sin-(cos-2sin)=0tan= ?θθθ?θ41

sin=- cos=-………………………6分θ1717θ1717

2．解析：本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理能力.

方法一：

(I)证明：因为AC=BC ，M 是AB 的中点，所

以CM⊥AB. 又EA ⊥平面ABC ，

所以CM⊥EM. (Ⅱ)解：连结MD,设AE=, 则BD=BC=AC=2, 在直角梯形EABD 中,

AB=,M 是AB 的中点,所以DE=3,EM=,MD=因此DM⊥EM, 因为CM⊥平面EMD,所以CM⊥DM,因此DM⊥平面EMC, 故∠DEM 是直线DE 和平面EMC 所成的角. 在Rt△EMD 中,MD=EM=,tan∠DEM=

方法二：

如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，.，.

（I）证明：因为，，

所以，

故.（II）解：设向量与平面EMC垂直，则n⊥, n⊥,

即n·=0,n·=0.

因为, ,

所以y0=﹣1,z0=﹣2,

即n=(1, ﹣1, ﹣2).

因为=(),

cos＜n, ＞=

DE与平面EMC所成的角θ是n与夹角的余角，

所以tanθ=.

3．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)=0.6,P(B)=0.75.

（Ⅰ）解法一任选1名下岗人员，该人没有参加培训的概率是

P1=P(·)＝P()·P()=0.4×0.25＝0.1.

所以该人员参加过培训的概率是1－P1＝1－0.1＝0.9.

解法二任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

P2=P(A·)＋P（·B）＝0.6×0.25＋0.4×0.75＝0.45.

该人参加过两项培训的概率是P1＝P（A·B）＝0.6×0.75＝0.45.

所以该人参加过培训的概率是P2＋P1＝0.45＋0.45＝0.9. （Ⅱ）解法一任选3 名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是

P4＝×0.92×0.1＝0.243.

3人都参加过培训的概率是P5＝0.93＝0.729. 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是P4+P5=0.243+0.729=0.972.

解法二任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是

×0.9×0.12＝0.027.

3人都没有参加过培训的概率是0.13＝0.001.

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是1－0.027－0.001＝0.972.

4．解：（1）由结合正弦定理得，则sin2A=sin2B,则在三角形中有

A=B ，或A+B=a b B A =cos cos A B B A sin sin cos cos =

2π

当A=B 时，由sinC=cosA 得cosA=sin2A=2sinAcosA 得sinA=或

cosA=0（舍）21

∴A=B=，C=6π3

2π

当A+B=时，由sinC=cosA 得cosA=1（舍）2π

综上：∴A=B=，C=……………………………………………………

（6分）6π3

2π

（2）由（1）知f(x)=sin(2x+)+cos(2x-)=sin(2x+)+cos(-+2x+)6π3π6π2π6π

=2sin(2x+)6π

由2k π-≤2x+≤2k π+得k π-≤x ≤k π+（k ∈Z ）2π6π2π3π6π

所以函数f(x)的单调递增区间为[k π-,k π+]（k ∈Z ）……………

（6分）3π6π

相

邻

两

对

称

轴

间

的

距离

为…………………………………………………（1分）2π

5．解（1）∵f(2)=2+=2+，∴a=………………………………（3

分）2a 2

（2）设点P 的坐标为（x0,y0），则有y0=x0+,x0＞0 0

由点到直线的距离公式可知：|PM|==，|PN|=x0,

2||00y x -01

故有|PM|·|PN|=1，即|PM|·|PN|为定值，这个值为1…………………（5分）

（3）由题意可设M(t,t)，可知N(0,y0). ∵PM 与直线y=x 垂直，

∴kPM ·1=-1，即=-1，t x t

y --00 解得t=（x0+y0），又y0=x0+2102

∴t=x0+.022

∴S △OPM=+，S △OPN=+

021x 222120x 22

∴S △MPN= S △OPM+ S △OPN=（+）+≥1+

20x 201x 2

当且仅当x0=1时，等号成立。 ∴

此

时

四

边

形

OMPN

面

积

有

最

小

值

1+……………………………………（5分）2

6．（1）∵f ’(x)=，要使f(x)为单调增函数，须f ’(x)≥0恒成立，

即px2-2x+p ≥0恒成立，即p ≥=恒成立，又≤1，

222x p

x px +-1

22+x x

x x 12+x x 12

所以当p ≥1时，f(x)在(0,+∞)为单调增函数。

要使f(x)为单调减函数，须f ’(x) ≤0恒成立，

即px2-2x+0≤0恒成立，即p ≤=恒成立，又＞0，1

+x x x x 12

+x x 12

+ 所以当p ≤0时，f(x)在(0,+ ∞)为单调减函数。

综上所述，f(x)在(0,+∞)为单调函数，p 的取值范围为p ≥1或p ≤0…（4分）

（2）∵f ’(x)=p+,∴f ’(1)=2(p-1)，设直线l ：y=2(p-1)(x-1)，x x p 2

y=2(p-1)(x-1) y= x e 2

当p=1时，方程无解；当p ≠1时由△=(p-1)2-4(p-1)(-e)=0，

得p=1-4e ，综上，p=1-

4e ……………………………………………………（4分）

（3）因g(x)=在[1，e]上为减函数，所以g(x)∈[2，2e]x e

①当p ≤0时，由（1）知f(x)在[1,e]上递减f(x)max=f(1)=0＜2，不合题意?

②当p ≥1时，由（1）知f(x)在[1,e]上递增，f(1) ＜2，又g(x)在[1,e]上为减函数，故只需f(x)max ＞g(x)min ，x ∈[1,e]，

∵l 与g(x)图象相切，∴

得(p-1)(x-1)=x e

,即(p-1)x 2-(p-1)x-e=0

即：f(e)=p(e-)-2lne ＞2p ＞.e 1?142

-e e

③当0＜p ＜1时，因x-≥0，x ∈[1,e]x 1

所以f(x)=p(x-)-2lnx ≤(x-)-2lnx ≤e--2lne ＜2不合题意x 1x 1e 1

综上，p 的取值范围为（,+∞）……………………………………

（5分）142

-e e

7、解：由P 知，a=0或解得a ≤0.?

????≤<,11,0a a

由Q 知,Δ=(－2a)2－4(4a+5)<0,解得－1

“﹁P 或Q ”为真，“﹁P 且Q ”为假，∴P 与Q 一真一假；

若P 正确，Q 不正确，则有∴a ≤－1. ??

?≥-≤≤.51,

0a a a 或

若P 不正确，Q 正确，则有∴0

≤－1或0

?<<->.51,0a a

8、

9、解：（Ⅰ） 222

'(),1(1)(1)(1)

a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵在x=1处取得极值，∴解得()f x 2'(1)0,120,f a a =+-=即 1.a =

（Ⅱ） ∵ ∴22

'(),(1)(1)

ax a f x ax x +-=++0,0,x a ≥>10.ax +>

①当时，在区间∴的单调增区间为2a ≥(0,)'()0,f x +∞>上，()

f x (0,).+∞

②当时，由02a <<'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得

∴()f x +∞的单调减区间为（0）. （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知， 2a ≥()(0)1;f x f =的最小值为

当时，由（Ⅱ）②知，矛盾。02a <

+=-，即n=

所以 (2m

m x x

-1)+ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

22561'()2

m f x mx x

+=)

512(22125623

221

2-=+-=-x x m

mx x m

令，得，所以=64 '()0f x =32

512x =x

当0<<64时<0，在区间（0，64）内为减函数；

x '()f x ()f x

当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，64640x <<'()f x ()f x 所以在=64处取得最小值，此时，()f x x 640119.64

m n x =-=-= 故需新建9个桥墩才能使最小。y

11、解：（I ）是二次函数，且的解集是()f x ()0f x <(0,5),

∴可设在区间上的最大值是()(5)(0).f x ax x a =->()f x ∴[]1,4-(1)6.f a -=

由已知，得 612,a =2

2,()2(5)210().a f x x x x x x R ∴=∴=-=-∈

（II ）方程等价于方程

()0f x x

2210370.x x -+= 设则

()21037,h x x x =-+2'()6202(310).h x x x x x =-=- 当时，是减函数；当时，是增函数。 10(0,)3

x ∈'()0,()h x h x <10

(,)3

x ∈+∞'()0,()

h x h x >101

(3)10,()0,(4)50,

327h h h =>=-<=>

∴方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所

以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。

()0

h x =1010

(3,

),(,4)

(0,3),(4,)+∞3,

m =37

()0f x x

=(,1)m m +

12、解：(Ⅰ) ∵ ， ∴ . 即，解得 d =2.

312a a d

-=(1)(1)2f d f d d +--=22(2)2d d d --=

∴ . ∴ . ………………………………… 2分1(21)0

a f =

-=2(1)

n a n =-

∵ , ∴ . ∵ , ∴ .

231b q b =22

2(1)(1)(2)f q q q f q q +==--0, 1q q ≠≠3q = 又， ∴ .………………………………………… 4分1(1)1

b f q =

-=1

3n n b -=

(Ⅱ) 由题设知， ∴.1

c a b =1212c a b == 当时, , ,

n ≥3112

123

123(1)n n n n n

c c c

c c a b b b n b nb -+-++++

+=-31

123

23(1)n n

n c c c c a b b b n b --++++

两式相减,得.12n

n n n c a a nb +=-=

∴ (适合).…………………………… 7分1

223

n n n c nb n -==

1122c b a ==

设T=,13521n c c c c -++++

∴ 2

422263

103(42)3n T n -=+?+?+

两式相减 ,得

.55

94922n n

n =-+?-

∴ .………………………………………………… 9分

255

()316216n n T =

(Ⅲ) , .3131n n b b -+31=31

n n -+2131n

=-+12n n a a ++22

12(1)22n n n ==-++ 现只须比较与的大小. 31n

+22n +

当n=1时, ；3

1422n

n +==+ 当n=2时, ；3110226n

n +=>+= 当n=3时, ；3

128228n

n +=>+=

当n=4时, . 31822210n

n +=>+=

猜想时，.2n ≥3

122n

n +>+

用数学归纳法证明

(1)当n=2时，左边，右边，成立.3

110n

=+=226

n =+=3122n n +>+

(2)假设当n=k 时, 不等式成立，即.3122k

k +>+

当n=k+1时, 1

13313123k k k k ++=?+=++?

2223222k k k >++?>++2(1)2k =++.

即当n=k+1时，不等式也成立.

由（1）（2），可知时，都成立. 2n ≥3122n

n +>+

所以（当且仅当n ＝1时，等号成立）3

122n

n +≥+

所以.即. …………………………… 14分

2131

-+2122n ≥-

+3131n n b b -+12n n a a ++≥