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第二章随机过程汇总

第 2 章随机过程

2.1 引言

?确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。 ?通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。

?描述随机信号的数学工具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到

时间函数。

2.2 随机过程的统计特性

一.随机过程的数学定义：

?设随机试验E 的可能结果为)(t g ，试验的样本空间S 为{x 1(t), x 2(t)， …, x n (t),…}， x i (t)

是第i 次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作)(t g 。随机过程举例：

二.随机过程基本特征

其一，它是一个时间函数；

其二，在固定的某一观察时刻1t ，)(1t g 是随机变量。随机过程具有随机变量和时间函数的特点。

● 随机过程)(t g 在任一时刻都是随机变量； ● 随机过程)(t g 是大量样本函数的集合。

三.随机过程的统计描述

设)(t g 表示随机过程，在任意给定的时刻T t ∈1， )(1t g 是一个一维随机变量。 1.一维分布函数：随机变量)(t g 小于或等于某一数值x 的概率，即

})({);(1x t g P t x P ≤= 2.2.1

2.一维概率密度函数:一维概率分布函数对x 的导数.

t x P t x p ??=

)

;(),(11 2.2.2 3.对于任意两个时间1t 和2t ,随机过程的对应的抽样值)(1t g )(2t g 为两个随机变量.他们的联合分布定义为)(t g 的二维分布

})(;)({),;,(221121212x t g x t g P t t x x P ≤≤= 2.2.3

4.二维分布密度定义为

12121221212)

,;,(),;,(x x t t x x P t t x x p ???=

2.2.4

四.随机过程的一维数字特征

设随机过程)(t g 的一维概率密度函数为),(1t x p .

1.数学期望(Expectation)

dx t x xp t g E t g );()]([)(1?∞

∞

-==μ 2.2.5

2.方差(Variance)

dx t x p t x t t g E t g Var t g g g ),()]([]))()([()]([)(122

2μμσ-=

-==?

∞

- 2.2.6

五.随机过程的二维数字特征

1.自协方差函数(Covariance)

1212122211221121),;,())())((())]()())(()([(),(dx dx t t x x p t x t x t t g t t g E t t C g g g g g μμμμ--=--=?

∞∞-∞

∞

- 2.2.7

2. 自相关函数(Autocorrelation)

?2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t g t g E t t R g ??∞∞-∞

∞-== 2.2.8

3.自相关函数和自协方差函数的关系

)]([)]([),(),(212121t g E t g E t t R t t C g g ?-= 2.2.9 4.设两个随机过程分别为)(),(t h t g ,在时刻1t 和2t ,对)(),(t h t g 抽样,两个随机过程的互相关函数(Cross-correlation)定义为

)]()([),(2121t h t g E t t R gh = 2.2.10

5.两个随机过程的互协方差函数(Cross-covariance)定义为

)]()())(()([(),(221121t t h t t g E t t C h g gh μμ--= 2.2.11

2.3 平稳随机过程

一.狭义平稳的随机过程(严平稳的随机过程)

对于任意的正整数n 和实数τ,若随机过程)(t g 的n 维概率密度函数满足

),,;,,(),,;,,,(21212121n n n n n n t t t x x x p t t t x x x p ??????=+???++???τττ 2.3.1

则称)(t g 为狭义平稳的随机过程.

统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为平稳随机过程。

平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。即具有完备时间平移不变性.

推论：一维分布与时间t 无关，二维分布只与时间间隔τ有关。从而有

二.广义平稳的随机过程(宽平稳的随机过程)

对于任意小于和等于n 的正整数和实数τ,若随机过程)(t g 的n 维概率密度函数满足

),,;,,(),,;,,,(21212121n n n n n n t t t x x x p t t t x x x p ??????=+???++???τττ 2.3.2

则称)(t g 为n 阶广义平稳的随机过程. 判断随机过程)(t g 为广义平稳的条件: 1. 随机过程的均值为常数; 2. 方差为常数;

3. 自相关函数仅是τ的函数，即)(),(ττg g R t t R =+. 2.3.3

三.平稳随机过程的各态历经性四.平稳随机过程的相关函数

自相关函数的意义：

● 平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关函数来描述 ● 自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了

解平稳随机过程自相关函数的性质。若)(t g 为广义平稳随机过程,则它的自相关函数具有如下主要性质:

1. s t g E R g ==)]([)0(2 [)(t g ]的平均功率]

3.4 2. )()(ττg g R R =- [偶函数,由2.2.8] 2.3.5 3. )0()(g g R R ≤τ [上界] 2.3.6

4. 2

)(lim g g R μττ=∞

→ [直流功率] 2.3.7

)]([)]([)]([)]()([lim )(lim 2t g E t g E t g E t g t g E R g =+=+=∞

→∞

→τττττ 2.3.8

(当时间差τ无穷大时, )(),(τ+t g t g 统计独立)

5. 2

)0(g g g R μσ+= [由2.2.6] 2.3.9 总功率(平均功率)等于直流功率加交流功率. 例2.3.1 例2.3.2

2.4 高斯随机过程

若随机过程在任意时间抽样得到的随机变量是高斯型的随机变量,则该随机过程为高斯(正态)过程.

一.高斯过程的定义

一个随机过程)(t g ,当且仅当它的n 维概率密度函数可表示为 )]()(5.0ex p[]

det )

2[(1

),;,,(12

/11μμπ---=

??????-x C x C t t x x p T n n n n 2.4.1

其中, n 为任意正整数,且定义

(1)均值矢量T

n g g T n t t t g t g E Eg )](),([)](),([11μμμ???=???== 2.4.2 (2)协方差阵]))([(T

g g E C μμ--= 2.4.3 则称随机过程为高斯过程或正态过程.

若为广义平稳的随机过程,均值矢量为常数矢量,即

n T n g g T n t t t g t g E Eg ],[)](),([)](),([111μμμμμ???=???=???== 2,4,4

协方差阵C 的对角元为常数,非对角元为仅与时间差有关的量. 二.几种特殊的高斯过程 1.一维同分布的高斯过程

任意抽样时刻得到的随机变量具有相同分布特性的高斯随机变量. ])(5

.0ex p[21)(2

σμσ

π--=

x x p 2.4.5

当均值为0,方差为1时,为归一化的随机变量 ]2ex p[21

)(2

x x p -=

π 2.4.6

2.独立的高斯过程

任意抽样时刻得到的随机]变量为互相独立的高斯随机变量. 协方差C 为对角矩阵,即

),(2

21n diag C σσ???= 2.4.7

])(5.0exp[21),;,,(221

11i i i i

i n n n x t t x x p μσσπ--=??????-=∏

2.4.8

3.独立且同分布的高斯过程

满足(1) (2)条件的高斯过程为独立且同分布的高斯过程

n n n n x t t x x p ]})(5.0exp[21{

),;,,(2211μσσ

π--=??????- 2.4.9

与时间没有关系,可表示为

n n n x x x p ]})(5.0exp[21{

),(221μσσ

π--=???- 2.4.10

可用一个随机变量的统计特性描述平稳的独立同分布高斯过程,也称为白高斯过程. 例2.4.1

2.5 平稳随机过程的功率谱

一.什么是功率谱?

功率谱是信号的功率在频率轴的分布情况.对于确知信号,傅立叶变换的模的平方为功率谱或能量谱.

设广义平稳过程)(t g 的功率谱为)(f P g ,则信号的总(平均)功率可表示为

df f P S g )(?∞

∞

信号在某个频带内的功率可表示为df f P S f f g )(22

设平稳随机过程)(t g 的截断过程(信号)

?≤≤-=others T t T t g t g T 0

/2/)()( )()(ωT T G t g ?

)(t g T 为能量信号,其能量为dt t g E T

T )(2

?∞

∞-= 由帕塞瓦尔公式,从时域所求截断信号的能量,等于从频域所求截断信号的能量.

ωωπ

d G E dt t g E T T T 22

|)(|21

)(?

?∞

∞

-∞

∞-=

2|)(|ωT G E 反映截断信号)(t g T 的能量在频域的分布情况,称为截断信号的能量谱.

截断信号的功率谱可表示为T G E T /|)(|2

ω,T 为截断窗口的长度.当截断窗口长度趋于无限大时,截断信号)(t g T 趋于原始的平稳随机过程)(t g ,而傅立叶变换)(ωT G 趋于)(t g 的傅氏变换)(ωG ,截断信号的功率谱趋于)(t g 的功率谱)(f P g .

因此定义平稳随机过程的功率谱为

G E f P T T g 2

)

(lim

)(ω∞

→=

二.维纳-辛钦公式

由于截断信号的功率谱

{}

)

(

)

(

)

(

)(

(

dtds

=?--

Eτ

ωωτ

)

(

)

(

=?--

∞

→

∞

→

Pτ

ωωτ

)

(

)

lim

(

lim

)

ωτ

ωτd

∞

→

(

)

(

)

lim

即τ

τωτd

P j

∞

?=)(

)

(

平稳随机过程的功率谱为’自相关函数的傅立叶变换.

三.常见的加性平稳零均值高斯噪声

1.理想宽带加性高斯白噪声

功率谱密度可表示为∞

-∞

P o

)

()

自相关函数可表示为)

(

)

(τ

τo

2.理想带通加性高斯白噪声

功率谱密度可表示为)]()(([2)(B

f f rect B f f rect n f P c

c o n -++=

自相关函数可表示为τωτπτc o n B BSa n R cos )()(= 3.理想低通高斯白噪声

功率谱密度可表示为)2(2)(B

f rect n f P o n =

自相关函数可表示为)2()(τπτB BSa n R o n =

2.6 窄带随机过程

一窄带随机过程

1.必要性：任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。

2、窄带条件：中心频率为f c ，带宽为△f ，当△f << f c 时，就可认为满足窄带条件。若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。

本节主要内容：

*窄带随机过程的表示方式(以窄带高斯过程为例), 除了用数学表达式对窄带过程进行直观的描述之外, 还要用统计特性描述其性能。二、窄带过程的数学表示

1、用包络和相位的变化表示

由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc 附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为fc 且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。所以可以表示成：

)](cos[)()(t t t a t n n c n ?ω+= 2.6.1 其中：)(t a n 是窄带随机过程包络函数；)(t n ?是窄带随机过程的随机相位函数。二者

均为随机过程。包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观，相位的变化，则看不出来，只能理解。

2、用同相分量和正交分量表示

t t n t t n t n c s c c ωωsin )(cos )()(-= (2.6-2) 其中:

)(cos )()(t t a t n n n c ?= 称为同相分量.

)(sin )()(t t a t n n n s ?=称为正交分量.

思考题：如果随机过程的)(),(t n t n s c 那么怎样确定它的包络和相位呢？(即由第二种表达方式确定第一种表达方式) 三、窄带过程的统计特性 1、)(),(t n t n s c 的统计特性需要解决的问题:

*)(t n 与)(),(t n t n s c 的数学期望;

*)(),(t n t n s c 的自相关函数、互相关函数及它们之间的关系； *)(),(t n t n s c 各自的概率密度函数及联合概率密度函数；

讨论这几个问题是有条件的，即窄带过程)(t n 是平稳的，且是均值为0的高斯过程(即窄带高斯过程)。 1）、数学期望

t t n E t t n E t n E c s c c ωωsin )]([cos )]([)]([-=

因为)(t n 的均值为0, 0sin )]([cos )]([)]([=-=t t n E t t n E t n E c s c c ωω 上式对所有t 均成立,故

0)]([,0)]([==t n E t n E s c

2）、自相关函数因为)(t n 平稳与t 无关,

-++=+=)(cos ),(),()(τωτττt t t R t t R R c n n n c

2.7 余弦波加窄带高斯过程

在通信系统中,信道内存在的噪声都可以认为是高斯白噪声,为了提高系统的可靠性,在接收机都加了一个窄带滤波器,信道内的高斯白噪声经过BPF之后,变成了窄带高斯噪声,对于这种窄带噪声,我们在上节中已作了详细的讨论。

但在实际通信中,窄带滤波器不仅输出噪声,而且还有信号存在,因此,我们还要讨论信号加窄带噪声, 最典型的就是我们这节的内容：正弦波＋窄带高斯过程。因为在模拟通信中，许多信号都可以分解成正弦（或余弦）信号；而在数字通信中，往往用一个单一的频率表示"0"信号或"1"信号。

本节主要内容：

1、讨论正弦波＋窄带高斯过程的表达方式

a. 同相、正交

b. 包络、相位

2、讨论它们各自的pdf及联合pdf

重点掌握: 包络的概率密度函数f(z/θ)；同相分量, 正交分量的概率密度函数。

一、用同相分量，正交分量描述

设信号：

窄带高斯噪声：

第2章随机过程习题及答案

第二章随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =?

随机过程习题第2章

2.1 设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<<ΛΛ121。试证明： )/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n ΛΛ 即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。证明：首先，由条件概率的定义式得 ) ,,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++= ΛΛΛΛΛΛ 根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得 ) () ()/()()/()/() ()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++== n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n ΛΛΛΛ 于是， )/() (),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++== n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n ΛΛ 2.2 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。试证明： )/()/()/,(23/21/231/,2321231x x f x x f x x x f t t t t t t t = 证明：首先，由条件概率的定义式得 ) () ,,()/,(2321,,231/,2321231x f x x x f x x x f t t t t t t t = 然后，根据马尔可夫性将上式中的分子展开，并化简得 ) (),() /()() ()/()/()/,(221,23/2112/23/231/,22123211223231x f x x f x x f x f x f x x f x x f x x x f t t t t t t t t t t t t t t ==

第二章随机过程汇总

第 2 章随机过程 2.1 引言 ?确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。 ?通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。 ?描述随机信号的数学工具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到时间函数。 2.2 随机过程的统计特性一.随机过程的数学定义： ?设随机试验E 的可能结果为)(t g ，试验的样本空间S 为{x 1(t), x 2(t)， …, x n (t),…}， x i (t) 是第i 次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作)(t g 。随机过程举例：

二.随机过程基本特征其一，它是一个时间函数；其二，在固定的某一观察时刻1t ，)(1t g 是随机变量。随机过程具有随机变量和时间函数的特点。 ● 随机过程)(t g 在任一时刻都是随机变量； ● 随机过程)(t g 是大量样本函数的集合。三.随机过程的统计描述设)(t g 表示随机过程，在任意给定的时刻T t ∈1， )(1t g 是一个一维随机变量。 1.一维分布函数：随机变量)(t g 小于或等于某一数值x 的概率，即 })({);(1x t g P t x P ≤= 2.2.1 2.一维概率密度函数:一维概率分布函数对x 的导数. x t x P t x p ??= ) ;(),(11 2.2.2 3.对于任意两个时间1t 和2t ,随机过程的对应的抽样值)(1t g )(2t g 为两个随机变量.他们的联合分布定义为)(t g 的二维分布 })(;)({),;,(221121212x t g x t g P t t x x P ≤≤= 2.2.3 4.二维分布密度定义为 2 12121221212) ,;,(),;,(x x t t x x P t t x x p ???= 2.2.4 四.随机过程的一维数字特征设随机过程)(t g 的一维概率密度函数为),(1t x p . 1.数学期望(Expectation) dx t x xp t g E t g );()]([)(1?∞ ∞ -==μ 2.2.5 2.方差(Variance)

《随机过程》第二章题目与答案

第二章一、填空题 1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为＿＿、＿＿、＿＿、＿＿四类. 2、＿＿是随机过程{X(t)，t∈T}在时刻t的平均值，＿＿是随机过程在时刻t对均值m x(t)的偏离程度，而＿＿和＿＿则反映随机过程{X(t)，t∈T}在时刻s和t 时的线性相关度. 3、若随机变量x服从（01）分布，即p k=p{x=k}=,k=0,1则其特征函数g(t)=＿＿. 4、若随机变量X服从参数为的指数分布，则其特征函数g(t)=＿＿. 5、若随机变量X服从退化分布，即p(X=c)=1，其中c为常数，则其特征函数g(t)=＿＿. 二、计算题 1、已知Γ分布，X～Γ(α，β)，若其中α，β>0，试求Γ分布的特征函数. 2、设随机变量X服从泊松分布,即p k=p(X=k)=,k=0,1,…,n,求其特征函数. 3、设随机过程X(t)=Y+Zt，t>0,其中Y，Z是相互独立的N（0，1）随机变量，求{ X(t)，t>0}的一，二维概率密度族.

4、设随机过程：0),sin()cos( )(>+=t t Z t Y t X θθ，其中Y 、Z 是相互独立的随机变量，且EY=EZ=0，DY=DZ=δ2，求{X(t)，t>0}的均值函数、协方差函数和方差函数. 5、设随机变量Y 具有概率密度f(y)，令 )0,0(,)(>>=-Y t t X e Yt ，求随机过程X(t)的一维概率密度及EX(t)，R x (t 1,t 2). 6、设随机过程Z t =，t 0，其中X 1,X 2,…,X n 是相互独立的，且服从 N(0, )的随机变量，ω1, ω2,…, ωn 是常数，求{Z t ，t }的均值函数m(t)和相关函数R(s,t).

随机过程作业题及参考答案(第二章)

第二章平稳过程 P103 2. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。试证（1）若t T ∈，而{}12T =，，，则(){}12X t t =，，，是平稳过程；（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){} 0X t t ≥，不是平稳过程。证明：由题意，U 的分布密度为：()1 0220u f u π π?<

随机过程习题第2章

设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<< 121。试证明： )/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n 即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。证明：首先，由条件概率的定义式得 ) ,,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++= 根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得 ) () ()/()()/()/() ()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++== n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n 于是， )/() (),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++== n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。试证明： )/()/()/,(23/21/231/,2321231x x f x x f x x x f t t t t t t t = 证明：首先，由条件概率的定义式得 ) () ,,()/,(2321,,231/,2321231x f x x x f x x x f t t t t t t t = 然后，根据马尔可夫性将上式中的分子展开，并化简得 ) (),() /()() ()/()/()/,(221,23/2112/23/231/,22123211223231x f x x f x x f x f x f x x f x x f x x x f t t t t t t t t t t t t t t ==

第二章随机过程基本概念.

2随机过程的基本概念 §2.1 基本概念随机过程是指一族随机变量 . 对随机过程的统计分析称为随机过程论 , 它是随机数学中的一个重要分支,产生于本世纪的初期 . 其研究对象是随机现象 ,而它特别研究的是随“ 时间” 变化的“ 动态” 的随机现象 . 一随机过程的定义 1 定义设 E 为随机试验, S 为其样本空间,如果 (1对于每个参数 t ∈ T , X(e,t为建立在 S 上的随机变量, (2对每一个 e ∈ S , X(e,t为 t 的函数,那么称随机变量族 {X(e,t, t∈ T, e∈ S}为一个随机过程,简记为 {X(e,t, t∈ T}或 X(t。 ((((({} {} [](为随机序列。时,通常称 , 取可列集合当可以为无穷。通常有三种形式: 参数一般表示时间或空间, 或有时也简写为一个轨道。随机过程的一个实现或过程的样本函数,或称随机的一般函数,通常称为为对于 :上的二元单值函数。为即若用映射来表示注意:

t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X R S T t e X t 21321, , , , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 3, 2, 1, 0T , . 4, . 3, , 2, :, . 1=---==??×?′?′L L L 为一个随机过程。则令掷一均匀硬币, 例 , ( (cos (}, {1 t e X t X R t T e t H e t t X T H S =??íì====p2 随机过程举例例 2:用 X(t表示电话交换台在 (0, t 时间内接到的呼唤的次数 , 则 (1对于固定的时刻 t, X(t为随机变量 , 其样本空间为{0, 1, 2, …..}, 且对于不同的 t, 是不同的随机变量 . (2对于固定的样本点 n, X(t=n是一个 t 的函数 . (即:在多长时间内来 n 个人 ? 所以 {X(t,t>0}为一个随机过程 . 相位正弦波。为随机过程,称为随机则令例 (

第二章 随机过程汇总

第2章 随机过程习题及答案

最新随机过程练习(第二章)

随机过程习题第2章

第二章 随机过程汇总

《随机过程》第二章题目与答案

随机过程作业题及参考答案(第二章)

随机过程习题第2章

第二章随机过程基本概念.

第二章随机过程汇总

第2章随机过程习题及答案

第二章随机过程汇总