概率论期末复习知识点

知识点

第一章随机事件与概率

本章重点：随机事件的概率计算． 1．**事件的关系及运算 (1) (或)．

(2) 和事件：；（简记为）．

(3) 积事件：，（简记为或)．

(4) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即 (5) 对立事件：．

(6) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，记作(或) ．

(7) 德摩根（De Morgan ）法则：对任意事件A 和B 有

, .

2．**古典概率的定义 古典概型：

．

几何概率

·

3．**概率的性质 (1) ．

(2) (有限可加性) 设n 个事件

两两互不相容，则有

．

(3)．

(4) 若事件A ，B 满足，则有

A B ?B A ?A B ?1

2n A A A ??? 1

n

i

i A

= AB 12n A A A ??? 12n A A A 1

n

i

i A = AB φ=A A B -AB A B A B ?=?A B A B ?=?()A n A P A n =

=

Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数()A P A =

的长度（或面积、体积）

样本空间的的长度（或面积、体积）()0P φ=1,2,,n

A A A 121

()()

n

n i i P A A A P A =???=∑ ()1()P A P A =-A B ?

,

．

(5) ．

(6) (加法公式) 对于任意两个事件A ，B ，有

.

对于任意n 个事件

，有

.

4．**条件概率与乘法公式

.

乘法公式：

.

5．*随机事件的相互独立性

事件A 与B 相互独立的充分必要条件一：

，

事件A 与B 相互独立的充分必要条件二：

．

对于任意n 个事件

相互独立性定义如下：对任意一个，任意的

，若事件总满足

，

则称事件

相互独立．这里实际上包含了个等式．

6．*贝努里概型与二项概率

设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生次的概率为

，

7．**全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式：

()()()P B A P B P A -=-()()P A P B ≤()1P A ≤()()()()P A B P A P B P AB ?=+-1,2,,n

A A A 111

111

()()()()(1)()

n

n

n i i i j i j k n i i j n

i j k n

i P A P A P A A P A A A P A A -=≤<≤≤<<≤==-

+

-+-∑∑

∑

()(|)()P AB P A B P B =

()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==()()()P AB P A P B =(|)()P A B P A =1,2,,n

A A A 2,,k n = 11k i i n ≤<<≤ 1,2,,n A A A 11()()()

k k i i i i P A A P A P A = 1,2,,n

A A A 21n

n --()(01)P A p p =<

n k n n P k p p k n

k -??=-= ???

如果事件

两两互不相容，且

，

，，则

．

第二章一维随机变量及其分布

本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算．

概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布． 1．**离散型随机变量及其分布律

分布律也可用下列表格形式表示：

2．*概率函数的性质 (1)

，

(2)

．

3．*常用离散型随机变量的分布 (1) 0—1分布，它的概率函数为

，

其中，或1，．

(2) 二项分布，它的概率函数为

，

其中，，． (４)** 泊松分布，它的概率函数为

1,2,,n

A A A 1

n

i i A ==Ω

()0i P A >1,2,,i n = 1

()(|)

(|),1,2,,()(|)

k k k n

i

i

i P A P B A P A B k n

P A P B A ==

=∑ (),1,2,,,.i i p P X a i n === 0i p ≥1,2,,,;i n = 1

1

i

i p

∞

==∑(1,)B p 1()(1)i i P X i p p -==-0i =01p <<(,)B n p ()(1)i

n i

n P X i p p i -??==- ???0,1,2,,i n = 01p <<()P λ

，

其中，，． ．4．*二维离散型随机变量及联合概率

二维离散型随机变量的分布可用下列联合概率函数来表示：

其中，

．

5．*二维离散型随机变量的边缘概率

设为二维离散型随机变量，为其联合概率（），称概率

为随机变量的边缘分布律，记为并有

，

称概率

为随机变量Y 的边缘分布率，记为

，并有

=

.

6．随机变量的相互独立性．

设为二维离散型随机变量，与相互独立的充分必要条件为

多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．

7．*随机变量函数的分布

设是一个随机变量，是一个已知函数，是随机变量的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量，下面来求这个新的随机变量的分布．

设离散型随机变量的概率函数为

则随机变量函数的概率函数可由下表求得

()!

i

P X i e i λ

λ-==

0,1,2,,,i n = 0λ>(,)X Y (,),,1,2,,

i j ij P X a Y b p i j ==== 0,,1,2,,

1

ij ij

i

j

p i j p

≥==∑∑ (,)X Y ij p

,1,2,i j = ()(1,2,)i P X a i == X i p .(),1,2,i i ij j

p P X a p i ====∑

()(1,2,)

j P Y b j == .j

p .j

p (),1,2,j ij i

P Y b p j ===∑

(,)X Y X Y ,,1,2,.

ij i j p p p i j == 对一切X ()g x ()Y g X =X X Y X Y g =

但要注意，若的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率相加．

第三章连续型随机变量及其分布

本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算． 1．*分布函数

随机变量的分布可以用其分布函数来表示，

． 2．分布函数的性质 (1) (2)

;

由已知随机变量的分布函数，可算得落在任意区间内的概率 ．

3．联合分布函数

二维随机变量的联合分布函数

． 4．联合分布函数的性质 (1) ；

(2)

，

；

(3)

．

5．**连续型随机变量及其概率密度

设随机变量的分布函数为，如果存在一个非负函数，使得对于任一实数，有

()i g a i

p ()F x 0()1;F x ≤≤()0,()1

lim lim x x F x F x →-∞

→+∞

==X ()F x X (,]a b (,)X Y 0(,)1F x y ≤≤(,)0,(,)0

lim lim x y F x y F x y →-∞

→-∞

==(,)0,(,)1

lim lim x x y y F x y F x y →-∞

→+∞→-∞

→+∞

==121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+X ()F x ()f x x ()()

F x P X x =<()()()

P a X b F b F a ≤<=-(,)(,)

F x y P X x Y x =<<

成立，则称X 为连续型随机变量，函数称为连续型随机变量的概率密度． 6．**概率密度及连续型随机变量的性质 （１） （２）；

（３）；

（4）设为连续型随机变量，则对任意一个实数c ，； (5) 设是连续型随机变量的概率密度，则有

＝

．

7．**常用的连续型随机变量的分布 (1) 均匀分布，它的概率密度为

其中，．

(2) 指数分布，它的概率密度为

其中，．

(3) 正态分布，它的概率密度为

，

其中，，当时，称为标准正态分布，它的概率密度为

，

标准正态分布的分布函数记作，即

()()x

F x f x dx

-∞

=?()f x X ()f x ()0;f x ≥()1

f x dx +∞-∞

=?

()()F x f x '=X ()0P X c ==()f x X ()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=≤≤=<≤()b

a

f x dx

?(,)R a b 1

,;()0,a x b f x b a

?<

=-???其余.)a b -∞<<<+∞()E λ,0;()0,x e x f x λλ-?>=?

?其余.0λ>2

(,)N μ

σ22

()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞

,0μσ-∞<<+∞>0,1μσ==(0,1)

N 22

(),x f x x -

=

-∞<<+∞

()x Φ

，

当出时，可查表得到；当时，可由下面性质得到

．

设

，则有 ；

．

８．**二维连续型随机变量及联合概率密度

对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数，如果存在一个二元非负函数，使得对于任意一对实数有

成立，则为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量的联合概率密度． ９．**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) ；

(2)

；’

(3) 在的连续点处有

;

(4) 设为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域有

．

1０，**二维连续型随机变量的边缘概率密度

设为二维连续型随机变量的联合概率密度，则的边缘概率密度为

；

的边缘概率密度为

2

2

()t x

x dt -Φ=?

0x ≥()x Φ0x <()x Φ()1()x x Φ-=-Φ2

~(,)X N μσ()(

)

x F x μ

σ

-=Φ()(

)(

)

b a P a X b μ

μ

σ

σ

--<≤=Φ-Φ(,)F x y (,)f x y (,)x y (,)(,)x

y

F x y f s t dtds

-∞-∞

=?

?

(,)X Y (,)f x y (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞(,)1

f x y dxdy +∞+∞

-∞

-∞

=??

(,)f x y 2(,)

(,)

F x y f x y x y ?=??(,)X Y D ((,))(,)D

P X Y D f x y dxdy

∈=??(,)X Y (,)f x y X ()(,)X f x f x y dy

+∞

-∞

=?

Y

．

11．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布

如果在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为

(2) 二维正态分布

如果的联合概率密度

则称服从二维正态分布，并记为

.

如果，则，

，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布． 12．**随机变量的相互独立性．

，

那么，称随机变量与相互独立．

设为二维连续型随机变量，则与相互独立的充分必要条件为

如果

．那么，与相互独立的充分必要条件是． 第四章随机变量的数字特征

本章重点：随机变量的期望。方差的计算． 1．**数学期望

设是离散型的随机变量，其概率函数为

则定义的数学期望为

()(,)Y f y f x y dx

+∞

-∞

=?

(,)X Y 1,(,)x y f x y G ?

∈?

=???，（)G;的面积

0,其余.22

1212(,,,,)N μμσσρ(,)X

Y 221121222

1121()()()()1(,)22(1)x x y x f x y μμμμρρσσσσ????----??=

--+????-??????

(,)X Y 22

1212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ211~(,)X N μσ2

22~(,)Y N μσ(,)()(),,X Y F x y F x F y x y =-∞<<+∞对一切X Y (,)X Y X Y (,)()(),X Y f x y f x f y =在一切连续点上.221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρX Y 0ρ=X (),1,2,,

i i P X a p i === X

；

设为连续型随机变量，其概率密度为，则定义的数学期望为

．

2．*随机变量函数的数学期望

设为离散型随机变量，其概率函数

则的函数的数学期望为

设为二维离散型随机变量，其联合概率函数

则的函数的数学期望为

；

3．**数学期望的性质

(1) (其中c 为常数)；

(2) (为常数)； (3) ；

(4) 如果与相互独立，则. 4．**方差与标准差 随机变量的方差定义为

．

计算方差常用下列公式：

’

当为离散型随机变量，其概率函数为

则的方差为

；

()i i

i

E X a p =∑X ()f x X ()()E X xf x dx

+∞

-∞

=?X (),1,2,,i i P X a p i === X ()g X [()]()i i

i

E g X g a p =∑(,)X Y (,),,1,2,,

i j ij P X a Y b p i j ==== (,)X Y (,)g X Y [(,)](,)i j ij

j

i

E g X Y g a b p =∑∑()E c c =()()E kX b kE X b +=+,k b ()()()E X Y E X E Y +=+X ()()()E XY E X E Y =X 2()[()]D X E X E X =-22()()[()]D X E X E X =-X (),1,2,,i i P X a p i === X 2()(())i i

i

D X a

E X p =-∑

当为连续型随机变量，其概率密度为，则的方差为

. 随机变量的标准差定义为方差

.

5．**方差的性质

(1) (c 是常数)；

(2)

(为常数)； (3) 如果与独立，则. 6．原点矩与中心矩

随机变量的阶原点矩定义为

； 随机变量的阶中心矩定义为

]； 7．**常用分布的数字特征

(1) 当服从二项分布时，

．

(2) 当服从泊松分布时，

，

(3) 当服从区间上均匀分布时，

(4) 当服从参数为的指数分布时，

(5) 当服从正态分布

时， ．

(6) 当服从二维正态分布

时， ； ；

X ()f x X 2()(())()D X x E x f x dx

+∞

-∞

=-?X ()D X ()0D c =2

()()D kX k D X =k X Y ()()()D X Y D X D Y ±=+X k ()k

E X X k [(())]k E X E X -X (,)B n p (),()(1)E X np D X np p ==-X ()p λ(),()E X D X λλ==X (,)a b 2

()(),()212a b b a E X D X +-==

X λ21

1

(),()E X D X λ

λ=

=

X 2

(,)N μσ2(),()E X D X μσ==(,)X Y 22

1212(,,,,)N μμσσρ211(),()E X D X μσ==222(),()E Y D Y μσ==

概率论知识点总结

概率论知识点总结 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω、样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间、样本空间用Ω表示、一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为或。 相等关系：若且，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A 与事件B的差事件,记为 A－B。用交并补可以表示为。互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事

件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为。对立事件的性质：。事件运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC（4）对偶律（摩根律）： 第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性： P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）（4）P(A－B)＝P(A)－ P(AB)（5）P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节古典概率模型 1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成、则定义事件A的概率为 2、几何概率：设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可、第四节条件概率条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B)、乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设是一个完备事件组，则

概率论重要知识点总结

概率论重要知识点总结 概率论重要知识点总结 第一章随机事件及其概率 第一节基本概念 随机实验：将一切具有下面三个特点： （1）可重复性 （2）多结果性 （3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用表示。 随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件发生必然导致事件B发生，则称B 包含A，记为，则称事件A与事件B 相等，记为A＝B。 事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 事件的积：称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为A－B。用交并补可以表示为互斥事件：如果A，B两事件不

能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事件：称事件“A不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质：事件运算律：设A，B，C为事件，则有： （1）交换律：AB=BA，AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)＝(AB)(AC)ABAC （4）对偶律（摩根律）： 第二节事件的概率 概率的公理化体系：第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域上随机投掷一点，该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作乘法公式： P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设第五节事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A、B 满足P(AB)=相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=两两独立独立的性质：若A 均相互独立总结： 1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。 2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，应

概率论知识点总结

概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件与概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布…………………１０ 第四章随机变量得数字特征……………………1３ 第五章极限定理………………………………。。。1８ 二、学习概率论这门课得心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件与概率 第一节:1、、将一切具有下面三个特点:(１)可重复性(2)多结果性(3)不确定性得试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用E表示。 在一次试验中,可能出现也可能不出现得事情(结果)称为随机事件,简称为事件、 不可能事件:在试验中不可能出现得事情,记为Ф。 必然事件:在试验中必然出现得事情,记为S或Ω。 ２、我们把随机试验得每个基本结果称为样本点,记作e 或ω、全体样本点得集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示。 一个随机事件就就是样本空间得一个子集。 基本事件—单点集,复合事件—多点集

一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含得一个样本点出现。 事件间得关系及运算,就就是集合间得关系与运算。 3、定义:事件得包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生,则称Ｂ包含A,记为B?A或A?Ｂ。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等,记为Ａ=B。 定义:与事件 “事件A与事件B至少有一个发生”就是一事件,称此事件为事件A与事件B得与事件、记为A∪B。用集合表示为: A∪B＝{e｜e∈A,或ｅ∈B｝、 定义:积事件?称事件“事件Ａ与事件B都发生”为A与B得积事件,记为Ａ∩B或AＢ,用集合表示为AB=｛ｅ|e∈A且e∈Ｂ｝。 定义:差事件 称“事件Ａ发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B得差事件,记为A-B,用集合表示为 A—Ｂ=｛e｜e∈A,e?B} 。 定义:互不相容事件或互斥事件?如果A,B两事件不能同时发生,即ＡＢ=Φ ,则称事件A与事件B就是互不相容事件或互斥事件。 定义6:逆事件／对立事件 称事件“A不发生"为事件A得逆事件,记为ā。A与ā满足:A ∪ā= S,且Aā=Φ。 运算律: 设A,Ｂ,C为事件,则有

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论期末复习知识点

本章重点：随机事件的概率计算. **事件的关系及运算 A). 对立事件：A . 差事件：若事件A发生且事件B不发生，记作A B（或AB）. 德g摩根（De Morgan）法则：对任意事件A和B有 古典概型: 几何概率占八、、 第一章随机事件与概率 和事件: n L A n (简记为yA). 积事件：AB A A2 L n I A A n (简记为AAL A n或i 1 ). 互不相容:若事件A和B不能同时发生，即AB 2 . ** 古典概率的定义 B A B, A B A B. P(A) A 中所含样本点的个数 中所含样本点的个数 n A P(A) A的长度（或面积、体积） 样本空间的的长度（或面积、体积）

**概率的性质 有限可加性）设n 个事件A'A'L ,几两两互不相容，则有 P(A) 1 P(A). 若事件A , B 满足A B ，则有 P(A) 1. 加法公式）对于任意两个事件A , B ,有 对于任意n 个事件A I ,A 2,L ,人，有 P(AA j A k ) L ( 1)n 9(A 1L A n ) j k n 4 . **条件概率与乘法公式 P(AIB) Pt . 乘法公式: 5. *随机事件的相互独立性 P(A B) P(A) P(B) P (AB). P(AB) P(A)P(B I A) P(B)P(A|B). (1) P( ) 0. P(A i A L A n ) n P(A i ) i 1 P(B A) P(B) P(A), P(A) P(B). n P( U n P(A) P (AA j ) i 1 1 i j n

概率论知识点

第一章 随机事件及其概率 §1.1 随机事件及其运算 随机现象：概率论的基本概念之一。是人们通常说的偶然现象。其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3. 随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。 样本空间: 概率论术语。我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。 随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集?不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件. 互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。 互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。 互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =）， Ω== n 1i i A ,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空 间Ω的一个划分)。 §1.2 随机事件的概率 概率：随机事件出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。 统计概率：在一定条件下，重复做n 次试验，A n 为n 次试验中事件A 发生的次数，如果随着n 逐渐增大，频率n n A 逐渐稳定在某一数值p 附近，则数值p 称为事件A

概率论与数理统计期末考试题及答案

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??

8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??

概率论知识点总结

概率论知识点总结 第一章 随机事件及其概率 第一节 基本概念 随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。 随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω. 样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件的关系与运算（就是集合的关系和运算） 包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ?或B A ?。 相等关系：若A B ?且B A ?，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为 A ∪B 。 事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。 事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。 用交并补可以表示为B A B A =-。 互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时B A ?可记为A ＋B 。 对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质： Ω=?Φ=?B A B A ,。 事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ?=? B A B A ?=? 第二节 事件的概率 概率的公理化体系： （1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1 （3）可数可加性： ????n A A A 21两两不相容时

北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随 机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1） 该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为，

概率论与数理统计复习要点知识点doc

第一章 随机事件及其概率 一、随机事件及其运算 1. 样本空间、随机事件 ①样本点：随机试验的每一个可能结果，用ω表示； ②样本空间：样本点的全集，用Ω表示； 注：样本空间不唯一. ③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示； ④必然事件就等于样本空间；不可能事件()?是不包含任何样本点的空集； ⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。 2. 事件的四种关系 ①包含关系：A B ?，事件A 发生必有事件B 发生； ②等价关系：A B =， 事件A 发生必有事件B 发生，且事件B 发生必有事件A 发生； ③互不相容（互斥）： AB =? ，事件A 与事件B 一定不会同时发生。 ④互逆关系（对立）：A ，事件A 发生事件A 必不发生，反之也成立； 互逆满足A A AA ??=Ω ?=? ? 注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。） 3. 事件的三大运算 ①事件的并：A B ?，事件A 与事件B 至少有一个发生。若AB =?，则A B A B ?=+； ②事件的交：A B AB ?或，事件A 与事件B 都发生； ③事件的差：-A B ，事件A 发生且事件B 不发生。 4. 事件的运算规律 ①交换律：,A B B A AB BA ?=?= ②结合律：()(),()()A B C A B C A B C A B C ??=????=?? ③分配律：()()(),()()()A B C A B A C A B C A B A C ??=?????=??? ④德摩根（De Morgan ）定律： ,A B AB AB A B ?==? 对于n 个事件，有

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答(DOC)

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(的概率密 度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关 系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A 与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： .

2. 设}4 B =x ≤ x ≤ A S：则 x x = x < 3 1: }, { 2: { }, ≤ = {≤< 5 0: （1）= A，（2） ?B = AB，（3）=B A， （4）B A?= ，（5）B A= 。 §1 .3 概率的定义和性质 1.已知6.0 A P ?B = P A B P，则 ( ,5.0 ( ) ) ,8.0 (= ) = (1) =) (AB P, (2)() P)= , (B A (3)) P?= . (B A 2. 已知, 3.0 P A P则 =AB ( (= ) ,7.0 ) P= . A ) (B §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1 A P =B A P则 = A P B | ( | ) ,3/1 ) ) ,4/1 ( (=

概率论期中考试试卷及答案

1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里，求下列事件的概率: (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 解: 把4个球随机放入5个盒子中共有45=625种等可能结果. （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 30 2415=C C 种方法 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果. 故 12572 625360)(= =B P 2.某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙在24小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。 解： 设x,y 分别为两船到达码头的时刻。 由于两船随时可以到达，故x,y 分别等可能地在[0,60]上取值，如右图 方形区域，记为Ω。设A 为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。 222024,024024,024,2111 ()24576,()2322506.522 () ()0.8793 () x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===?+?===Ω={(x,y)}, A={(x,y)或},有所以， 3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是3：1：1，且第一、二、三厂家的正品率依次为98%、98%、96%，若在该商场随机购买一件商品，求： (1) 该件商品是次品的概率。 (2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。 解: 厦门大学概统课程期中试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业 考试时间

高中数学概率统计知识点总结

高中数学概率统计知识 点总结 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]

高中数学概率统计知识点总结 一、抽样方法 1．简单随机抽样 2．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法。 3．系统抽样：K （抽样距离）=N （总体规模）/n （样本规模） 4．分层抽样： 二、样本估计总体的方式 1、用样本的频率分布估计总体分布 （1）频率分布直方图的画法；（2）频率的算法；（3）频率分布折线图；（4）总体密度曲线；（5）茎叶图。 茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数、平均数的算法；（2）标准差、方差公式。 3、样本均值：n x x x x n +++= 21 4、．样本标准差：n x x x x x x s s n 2 22212)()()(-++-+-== 三、两个变量的线性相关 1、正相关 2、负相关 正相关：自变量增加，因变量也同时增加（即单调递增） 负相关：自变量增长，因变量减少(即单调递减) 四、概率的基本概念 （1）必然事件（2）不可能事件（3）确定事件（4）随机事件 （5）频数与频率（6）频率与概率的区别与联系 必然事件和不可能事件统称为确定事件 1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小； 2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值； 3频率是近似值，概率是准确值

《概率论》期末考试试题A卷及答案

07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案 一、 填空题（满分15分）： 1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为 10 1 。 解答：10 1 !5!321=?= p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =?==则=)(B A P q r - 。 解答：q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-?=-?=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3 )(===k a k X P k 则a = 3 2 . 解答：32233 111310 =?=-?== ∑ ∞ =a a a a k k 4.设随机变量为ξ与η，已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答： 37 4.065236252)(),cov() ,cov(2)(,,=???-+=-+=-= -+=-ηξηξρηξηξηξη ξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D 5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1 ===-k p q k P k ξ。则ξ的特征函数 =)(t f ξ 。 ()() .1)(:1 1 1 1it it k k it it k k itk it qe pe qe pe p q e e E t f -====∑∑∞ =--∞ =ξ ξ解 二、 单项选择题（满分15分）： 1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ). ① C B A ??. ② C B A C B A C B A ++

概率统计公式大全(复习重点)汇总

第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n — 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 , （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 * 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生， 称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 ￥

北民大概率论期末考试试题分析

北方民族大学试题 课程代码：24100082 课程：概率论与数理统计（A 卷） 一、填空题：（每小题3分，共30分） 1.设8.0)(,5.0)(==A B P A P ，则=)(AB P ＿＿＿＿＿＿ 。 2.设在一次试验中，事件A 发生的概率为p,现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ＿＿＿＿＿＿ 。 3.设X 的分布律为 则分布函数值=)2 5 (F ＿＿＿＿＿＿ 。 4.设随机变量X ～N(0,1),)x （Φ为其分布函数，则)()x x -Φ+Φ（=＿＿＿＿＿＿ 。 5.已知连续型随机变量X 的分布函数为 2200,1),1(31 ,31)(≥<≤

9. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2)(,1)(==Y D X D 则=-)(Y X D ＿＿＿＿＿＿ 。 10.若4321,,,X X X X 为来自正态分布N(0,4)的样本，则∑=4 1 241i i X ～＿＿ ＿＿＿＿ 分布 。 二、设有N 件产品，其中有D 件次品，今从中任取n 件，问其中恰有k(D k ≤)件次品的概率。（10分） 三、设随机变量X 的概率密度函数为， 其他 10,0,3)(2<≤???=x x x f 求： （1）X 的分布函数；（2）? ?? ???≤<-212 1 X P .（10分） 四、设随机变量X 具有概率密度， 其他 ,0,)(>???=-x e x f x 求随机变量2X Y =的概率密度。（10分） 五、设二维离散型随机变量（X,Y ）的联合分布律为 若随机变量X 与Y 相互独立，求：常数βα，.（10分） 六、已知二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为 ， 其他，,, 10,10,0,)1(4)(<<<

《概率论》期末考试试题及答案

07级《概率论》期末考试试题B 卷及答案 一、 填空题（满分15分）： 1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）“第一卷出现在旁边”的概率为 5 2 。 5 2 !5!422=?= p 2.设,)(,)(,)(r AB P q B P p A P ===则=)(B A P r p - 。性质 r p AB P A P AB A P B A P B A P -=-=-=-=)()()][)()( 3.设随机变量ξ的密度函数为() 0 3，其它 ?? ?>=-x ce x x ?则c= 3 . 33 )(130 =?= ==-+∞ +∞ ∞ -? ? c c dx e c dx x x ? 4. 设ξ、η为随机变量，且D （ξ＋η）＝7，D （ξ）＝4，D （η）＝1， 则Cov(ξ,η)= 1 . 1 21 472)(),cov() ,cov(2)(=--=--+=++=+ηξηξηξηξηξηξD D D D D D 5.设随机变量ξ服从两点分布) 1 ,1(B ，其分布律为 则ξ的特征函数为= )(t f ξit e 3 132+。 二、 单项选择题（满分15分）： 1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件恰好一个发生”为( ②. ). ① C B A ??. ② C B A C B A C B A ++ ③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++ 2.设随机变量ξ的分布函数为

00)(2 2 <≥?? ???+=-x x B Ae x F x 则其中常数为（① ）。 ①A=-1,B=1 ②A=1,B=-1 ③ A=1,B=1 ④ A=-1,B =-1 B A B e A x F B B e A x F x x x x x x +=+===+==-→→- +∞ →+∞ →++2 2 22lim )(lim 0lim )(lim 1 解得1,1=-=B A 3设随机变量ξ的分布列为.,2,1,2 1 )2)1(( ==-=k k P k k k ξ则ξE （ ④ ） ①等于1. ② 等于2ln ③等于2ln - ④ 不存在 445111 =?==∑ ∞ =C C C i i ∑∑+∞=+∞ =+=?-11 1 1 4545) 1(i i i i i i i ，由调和级数是发散的知，EX 不存在 4.对于任意两个随机变量ξ与η，下面（④ ）说法与0),cov(=ηξ不等价。 ①相关系数0,=Y X ρ ② )()()(ηξηξD D D +=+ ③ ηξξηE E E ?=)( ④ ξ 与η相互独立 5.设随机变量ξ服从二项分布)2 1 ,4(B ,由车贝晓夫不等式有 ( ② ). ①.31 )32(≤ ≥-ξP ②.91 )32(≤≥-ξP ③ 3 1 )32(≥<-ξP . ④ 9 1)32(≥ <-ξP 因为9 1 )32(,1,2≤≥-==ξξξP D E 三、（满分20分） （1）两人相约7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。 解：