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克莱因论数学文化

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克莱因论数学文化

(转自中国数学在线,选自《数学与文化》,张祖贵译,北京大学出版社1990年版)

克莱因,美国当代数学家、数学史家、数学教育家,主要著作有《古今数学思想》。

数学研究的是现实世界中的数量关系和空间形式,它作为一门基础科学,既广泛应用于技术工程中,又是研究许多理论科学必不可少的工具。然而,由于数学具有高度的抽象性,一般人对它存在着片面的认识。本文开篇就提出了鲜明的观点:“数学一直是形成现代文化的主要力量,同时又是这种文化极其重要的因素。”作者列举了历史上人们对数学的误解,在各个层面上论述了数学在人类文化中的作用,对它的本质和应用作了精要的分析。作者引用怀特海关于“阿基米德死于一个罗马士兵之手”的精彩论述,将数学放在广阔的社会背景中来说明它的文化意义,发人深省。本文文质兼美,作者旁征博引,说理透辟,议论精警。

数学一直是形成现代文化的主要力量,同时又是这种文化极其重要的因素。这种观点在许多人看来是难以置信的,或者充其量来说也只是一种夸张的说法。这种怀疑态度完全可以理解,它是一种普遍存在的对数学实质的错误概念所带来的结果。

由于受学校教育的影响,一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师,或许还有金融家才有用的一系列技巧。这样的教育导致了对这门学科的厌恶和对它的忽视。当有人对这种状况提出异议时,某些饱学之士可以得到权威们的支持。圣?奥古斯丁〔圣?奥古斯丁(354?430)〕基督教神学家、哲学家,北非希波主教。生于北非塔加斯特(现在阿尔及利亚的苏克阿赫腊斯)。他的神学体系5至12世纪在西欧基督教会中占统治地位。主要著作有《上帝之城》《预定论》《论三位一体》等。

他说过:“好的基督徒应该提防数学家和那些空头许诺的人。这样的危险已经存在,数学家们已经与魔鬼签订了协约,要使精神进入黑暗,把人投入地狱。”古罗马法官则裁决“对于作恶者、数学家诸如此类的人”,应禁止他们“学习几何技艺和参加当众运算像数学这样可恶的学问”。叔本华〔叔本华(1788?1860)〕19世纪德国哲学家,惟意志论的创始人。认为人生就是苦难。他对科学研究评价不高,认为科学研究是为了满足物质欲望。,这位在现代哲学史上占有重要地位的哲学家,也把算术说成是最低级的精神活动,他之所以持这种态度,是基于算术能通过机器来运算这一事实。

由于学校数学教学的影响,这些权威性的论断和流行的看法,竟被认为是正确的!但是一般人忽视数学的观点仍然是错误的。数学学科并不是一系列的技巧。这些技巧只不过是它微不足道的方面:它们远不能代表数学,就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解,就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。

因此,让我们看一看20世纪人们对这门学科的态度。首先,数学主要是一种寻求众所周知的公理法思想的方法。这种方法包括明确地表述出将要讨论的概念的定义,以及准确地表述出作为推理基础的公理。具有极其严密的逻辑思维能力的人从这些定义和公理出发,推导出结论。数学的这一特征由17世纪一位著名的作家在论及数学和科学时,以某种不同的方式表述过:“数学家们像恋人……承认一位数学家的最初的原理,那么他由此将会推导出你也必须承认的另一结论,从这一结论又推导出其他的结论。”

仅仅把数学看作一种探求的方法,就如同把达?芬奇〔达?芬奇(1452?1519)〕意大利文艺复兴时期的美术家、科学家、工程师。绘画代表作有《最后的晚餐》《蒙娜丽莎》等。《最后的晚餐》看作是画布上颜料的组合一样。数学也是一门需要创造性的学科。在预测能被证明的内容时,和构思证明的方法时一样,数学家们利用高度的直觉和想像。例如,牛顿和开普勒〔开普勒(1571?1630)〕德国物理学家、天文学家,提出了行星运动的三大定律。就是极富于想像力的人,这使得他们不仅打破了长期以来僵化的传统,而且建立了新的、革命性的概念。在数学中,人的创造能力运用的范围,只有通过检验这些创造本身才能决定。有些创造性成果将在后面讨论,但这里只需说一下现在这门学科已有八十多个广泛的分支就够了。

如果数学的确是一种创造性活动,那么驱使人们去追求它的动力是什么呢?研究数学最明显的、尽管不一定是最重要的动力是为了解决因社会需要而直接提出的问题。商业和金融事务、航海、历法的计算、桥梁、水坝、教堂和宫殿的建造、作战武器和工事的设计,以及许多其他的人类需要,数学能对这些问题给出最完满的解决。在我们这个工程时代,数学被当作普遍工具这一事实更是毋庸置疑。

数学的另外一个基本作用(的确,这一点在现代特别突出),那就是提供自然现象的合理结构。数学的概念、方法和结论是物理学的基础。这些学科的成就大小取决于它们与数学结合的程度。数学已经给互不关联的事实的干枯骨架注入了生命,使其成了有联系的有机体,并且还将一系列彼此脱节的观察研究纳入科学的实体之中。

智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣,激励许多数学家研究数的性质和几何图形,并且取得了富有创造性的成果。今天很受重视的概率论,就开始于牌赌中的一个问题??一场赌博在结束之前就被迫中止了,那么赌注如何分配才合理?另外一个与社会需要或科学没有什么联系的最突出的成就,就是由古代希腊人创造出来的,他们把数学转变成了抽象的、演绎的和公理化的思想系统。事实上,数学学科中一些最伟大的成就??射影几何、数论、超穷数理论和非欧几何〔非欧几何〕一种不同于欧几里得几何学的几何体系的简称,一般指罗巴切夫斯基的双曲几何和黎曼的椭圆几何。它们与欧氏几何的最主要区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。,这里我只提到我们将要讨论的内容??都是为了解决纯智力的挑战。

进行数学创造的最主要的驱动力是对美的追求。罗素②〔罗素(1872?1970)〕英国哲学家、数理逻辑学家,分析哲学的创始人。1950年获诺贝尔文学奖。一生著述一百多种,主要著作有《论几何学的基础》《数学原理》(与怀特海合著)《西方哲学史》《人类知识》等。,这位抽象数学思想的大师曾直言不讳地说:

数学,如果正确地看它,则具有……至高无上的美,正像雕刻的美,是一种冷而严肃的美,这种美不是投合我们天性的微弱的方面,这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰,它可以纯净到崇高的地步,能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神,一种精神上的亢奋,一种觉得高于人的意识??这些是至善至美的标准,能够在诗里得到,也能够在数学里得到。

除了完善的结构美以外,在证明和得出结论的过程中,运用必不可少的想像和直觉也给创造者提供了高度的美学上的满足。如果美的组成和艺术作品的特征包括洞察力和想像力,对称性和比例、简洁,以及精确地适应达到目的的手段,那么数学就是一门具有其特有完美性的艺术。

尽管历史已清楚地表明,上述所有因素推动了数学的产生和发展,但是依然存在着许多错误的观点。有这样的指责(经常是用来为对这门学科的忽视作辩解的),认为数学家们喜欢沉湎于

毫无意义的臆测;或者认为数学家们是笨拙和毫无用处的梦想家。对这种指责,我们可以立刻作出使其无言以对的驳斥。事实证明,即使是纯粹抽象的研究,也是有极大用处的,更不用说由于科学和工程的需要而进行的研究了。圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)自被发现两千多年来,曾被认为不过是“富于思辨头脑中的无利可图的娱乐”,可是最终它却在现代天文学、仿射运动理论和万有引力定律中发挥了作用。

另一方面,一些“具有社会头脑”的作家断言:数学完全或者主要是由于实际需要,如需要建筑桥梁、制造雷达和飞机而产生或发展的。这种断言也是错误的。数学已经使这些对人类方便有用的东西成为可能,但是伟大的数学家在进行思考和研究时却很少把这些放在心上。有些人对实际应用漠不关心,这可能是因为他们成果的应用在几百年后才实现。毕达哥拉斯和柏拉图的唯心主义数学玄想,比起货栈职员采用“”号和“”号的实际行动来(这曾使某一作家深信“数学史上的一个转折点乃是由日常的社会活动所致”),所作的贡献要大得多。确实,几乎每一个伟大的人物所考虑的都是他那个时代的问题,流行的观点会制约和限制他的思想。如果牛顿早生两百年,他很有可能会成为一位出色的神学家。伟大的思想家追求时代智力风尚,就如同妇女在服饰上赶时髦一样。即使是把数学作为纯粹业余爱好的富有创造性的天才,也会去研究令专业数学家和科学家感到十分激动的问题。但是,那些“业余爱好者”和数学家们一般并不十分关心他们工作的实用价值。

实用的、科学的、美学的和哲学的因素,共同促进了数学的形成。把这些做出贡献、产生影响的因素中的任何一个除去,或者抬高一个而去贬低另外一个都是不可能的,甚至不能断定这些因素中谁具有相对的重要性。一方面,对美学和哲学因素作出反应的纯粹思维决定性地塑造了数学的特征,并且作出了像欧氏几何和非欧几何这样不可超越的贡献。另一方面,数学家们登上纯思维的顶峰不是靠他们自己一步步攀登,而是借助于社会力量的推动。如果这些力量不能为数学家们注入活力,那么他们就立刻会身疲力竭,然后他们就仅仅只能维持这门学科处于孤立的境地。虽然在短时期内还有可能光芒四射,但所有这些成就会是昙花一现。

数学的另一个重要特征是它的符号语言。如同音乐利用符号来代表和传播声音一样,数学也用符号表示数量关系和空间形式。与日常讲话用的语言不同,日常语言是习俗的产物,也是社会和政治运动的产物,而数学语言则是慎重的、有意的而且经常是精心设计的,凭借数学语言的严密性和简洁性,数学家们就可以表达和研究数学思想,这些思想如果用普通语言表达出来,就会显得冗长不堪。这种简洁性有助于思维的效率。J.K.杰罗姆〔J.K.杰罗姆(1859?1927)〕英国小说家、剧作家。主要作品有《懒汉的痴想》《三人出游记》等。,为了需要求诸于代数符号,在下面一段描写中,尽管与数学无关,却清楚地表现了数学的实用性和明了性:

当一个20世纪的青年堕入情网时,他不会后退三步,看着他心爱的姑娘的眼睛,对她说她是世界上最漂亮的人儿。他说他要冷静下来,仔细考虑这件事。如果他在外面碰上一个人,并且打破了他的脑袋??我指另外一个人的脑袋??于是那就证明了他的??前面那个小伙子??姑娘是个漂亮姑娘。如果是另外一个小伙子打破了他的脑袋??不是他自己的,你知道,而是另外那个人的??对第二个小伙子来说的另外一个。因为另外一个小伙子只是对他来说是另外一个,而不是对前面那个小伙子??那么,如果他打破了他的头,那么他的姑娘??不是另外一个小伙子,而是那个小伙子,他……瞧:如果A打破了B的脑袋,那么A的姑娘是一个漂亮的姑娘。但如果B打破了A 的头,那么A的姑娘就不是一个漂亮的姑娘,而B的姑娘是一个漂亮的姑娘。

简洁的符号能够使数学家们进行复杂的思考时应付自如,但也会使门外汉听数学讨论如堕五里云雾。

数学语言中使用的符号十分重要,它们能区别日常语言中经常引起混乱的意义。例如,英语中使用“is”一词时,就有多种不同的意义。在“他在这儿”(He is here)这个句子中,“is”就表示一种物理位置。在“天使是白色的”(An angel is white)这个句子中,它表示天使的一种与位置或物理存在无关的属性。在“那个人正在跑”(The man is running)这个句子中,这个词“is”表示的是动词时态。在“二加二等于四”(Two and two are four)这个句子中,is的形式被用于表示数字上的相等。在“人是两足的能思维的哺乳动物”(Men are the two legged thinking mammals)这个句子中,is的形式被用来断言两组之间的等同。当然,在一般日常会话中引用各种各样不同的词来解释is的所有这些意义,不过是画蛇添足,因为尽管有这些意义上的混乱,人们也不会因此产生什么误会。但是,数学的精确性??它与科学和哲学的精确性一样,要求数学领域的研究者们更加谨慎。

数学语言是精确的,它是如此精确,以致常常使那些不习惯于它特有形式的人觉得莫名其妙。如果一个数学家说:“今天我没看见一个人”(I did not see one person today),那么他的意思可能是,他要么一个人也没看见,要么他看见了许多人。一般人则可能简单地认为他一个人也没看见。数学的这种精确性,在一个还没有认识到它对于精密思维的重要性的人看来,似乎显得过于呆板,过于拘泥于形式。然而任何精密的思维和精确的语言都是不可分割的。

毕达哥拉斯定理数学风格以简洁和形式的完善作为其目标,但有时由于过分地拘泥于形式上的完美和简洁,以致丧失了精确竭力要达到的清晰。假定我们想用一般术语表述图1所示的内容,我们很有可能说:“有一个直角三角形,画两个以该三角形的直角边作为其边的正方形,然后再画一个以该三角形斜边作为其边的正方形,那么第三个正方形的面积就等于前面两个正方形面积之和。”但是没有一个数学家会用这样的方式来表达自己的想法。他会这样说:“直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。”这种简洁的用词使表述更为精练,而且这种数学表达式具有重要的意义,因为它的确是言简意赅。还有,由于这种惜墨如金的做法,任何数学文献的读者有时会发现自己的耐心受到了极大的考验。

数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言,数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系,其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用,同时影响着政治家和神学家的学说;满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想;甚至可能有时以难以察觉到的方式但无可置疑地影响着现代历史的进程。在最广泛的意义上说,数学是一种精神,一种理性的精神。正是这种精神,使得人类的思维得以运用到最完善的程度,也正是这种精神,试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活;试图回答有关人类自身存在提出的问题;努力去理解和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。

数学还有一个更加典型的特征与我们的论述密切相关。数学是一棵富有生命力的树,它随着文明的兴衰而荣枯。它从史前诞生之时起,就为自己的生存而斗争,这场斗争经历了史前的几个世纪和随后有文字记载历史的几个世纪,最后终于在肥沃的希腊土壤中扎稳了生存的根基,并且在一个较短的时期里茁壮成长起来了。在这个时期,它绽出了一朵美丽的花??欧氏几何。其他的花蕾也含苞欲放。如果你仔细观察,还可以看到三角和代数学的雏形;但是这些花朵随着希腊文明的衰亡而枯萎了,这棵树也沉睡了一千年之久。

这就是数学那时的状况。后来这棵树被移植到了欧洲本土,又一次很好地扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年,她又获得了在古希腊顶峰时期曾有过的旺盛的生命力,而且准备开创史无前例的光辉灿烂的前景。如果我们将17世纪以前所了解的数学称为初等数学,那么我们能说,初等数学与从那以后创造出的数学相比是微不足道的。事实上,一个人拥有牛顿处于顶峰时期所

掌握的知识,在今天不会被认为是一位数学家。因为与普通的观点相反,现在应该说数学是从微积分开始,而不是以此为结束。在我们这个世纪,这门学科已具有非常广泛的内容,以致没有任何数学家能够宣称他已精通全部数学。

数学发展的这幅素描,尽管简略,但却表明数学的生命力正是根植于养育她的文明的社会生活之中。事实上,数学一直是文明和文化的重要组成部分,因此许多历史学家通过数学这面镜子,了解了古代其他主要文化的特征。以古典时期的古希腊文化为例,它大约从公元前600年延续到公元前300年。由于古希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论,因此他们所关心的并不是这些成果的实用性,而是教育人们去进行抽象的推理,和激发人们对理想与美的追求。因此,看到这个时代具有很难为后世超越的优美文学,极端理性化的哲学,以及理想化的建筑与雕刻,也就不足为奇了。

数学创造力的缺乏也表现在一个时代文明的文化里,这一点也是真实的。看看罗马的情况吧。在数学史上,罗马人在一定时期内曾作出过贡献,但从那以后他们就开始停滞不前了。阿基米德,最伟大的古希腊数学家和科学家,在公元前221年被突然闯入的罗马士兵杀害了,当时他正在研究画在沙盘中的几何图形。对此,A.N.怀特海〔A.N.怀特海(1861?1947)〕英国数学家、逻辑学家,过程哲学的创始人。曾任美国哈佛大学哲学教授,英国科学院院士。主要著作有《数学原理》(与罗素合著)《数学导论》《相对论原理》《科学与近代世界》等。说过:阿基米德死于一个罗马士兵之手,是一个世界发生头等重要变化的标志;爱好抽象科学、擅长推理的古希腊在欧洲的霸主地位,被重实用的罗马取代了。洛德?比肯斯菲尔德(Lord Beaconsfield),在他的一部小说中,曾把重实用的人称为是重复其先辈错误的人。罗马是一个伟大的民族,但是他们却由于只重实用而导致了创造性的缺乏。他们没有发展其祖先的知识,他们所有的进步都局限于工程技术的细枝末节。他们并不是那种能够提出新观点的梦想家,这些新观点能给人以更好地主宰自然界的力量。没有一个罗马人因为沉湎于数学图形而丧命。

事实上,西塞罗〔西塞罗(公元前106?前43年)〕古罗马共和国末期的政治家和哲学家。公元前63年任执政官,公元前51年任西里西亚总督。主要哲学著作有《论目的》《神学论》《论命运》等。夸耀自己的同胞??感谢上帝??不是像希腊人一样的梦想家,而是把他们的数学研究派上实际用场的人。

注重实用的罗马帝国,将其精力用于权术和征服外邦。为迎接军队胜利归来的拱形的凯旋门,也许是罗马帝国的最好象征,但它们不是显得得体优雅,而是显得毫无生气。罗马最突出的特征也许是麻木不仁,罗马人几乎没有真正的独创精神。简言之,罗马文化是外来的,罗马时期的大多数成就主要渊源于小亚细亚的希腊,此时小亚细亚的希腊正处于罗马政权统治之下。

这几个例子告诉我们,一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显。在不抹煞历史学家、经济学家、哲学家、作家、诗人、画家和政治家功绩的前提下,我们可以这样说:其他文明已经产生了在能力和成就方面同等的效果。另一方面,尽管欧几里得和阿基米德无疑地是极其卓越的思想家,尽管我们的数学家得以达到更高的水平,这仅仅是因为像牛顿所说的那样,他们是站在巨人的肩膀上。然而,正是在我们这个时代,数学才达到了它应该达到的范围,而且有着不同寻常的用途。这样,由于数学已经广泛地影响着现代生活和思想,今天的西方文明与以往任何历史上的文明都有着明显的区别。

(转自中国数学在线,选自《数学与文化》,张祖贵译,北京大学出版社1990年版)

浅谈数学文化

浅谈数学文化 数学文化,是数学作为人类认识世界和改造世界的一种工具、能力、活动、产品,是在社会历史实践中所创造的物质财富和精神财富的积淀,是数学与人文的结合。数学文化主要以数学史、数学问题、数学知识等为载体,介绍数学思想、数学方法、数学精神。 一、数学方法——数学文化的辩证法 数学方法和数学思想将数学的智慧和魅力展现得淋漓尽致,这些凝聚了数学家们智慧的知识不是几句话就能说明白。 数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。通过数学思想的培养,数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想,就是掌握数学的精髓。数学的方法是贯穿了整个数学,也是学习数学的基础。数学文化中数学文化的辩证性法有具体与抽象,演绎与归纳,发现与证明,分析与综合。这些方法之间有联系又有区别。 1.(1)、具体与抽象 具体是社会实践,是客观存在的东西,因为数学是源于社会实践的。同时数学是一种利用自身已有的概念、定理、公设,借助已知的相互关系,通过推理、计算而获得新发现的学科。数学的概念是抽象的,数学的方法也是抽象的。爱因斯坦相对论的发现恰恰是借助于数学的方法论路径去实现的,如果没有非欧几何人类可能还要在牛顿的时空观中走过许多年才能寻找到相对论。 数学方法的抽象是借助数学概念、公理、定理、公设等,把所有涉及研究对象的概念以及研究对象的抽象性归并汇集在一起,找出他们更具体抽象、统一的结论。这种抽象方法,人们一般冠以公理化方法。它大大拓宽了人们的视野,从只抽象个别对象扩展到抽象整个数学理论的逻辑结构。现在,数学研究的对象已不是具体、特殊的对象,而是抽象的数学结构。 1.(2)、演绎与归纳 演绎法是由一般到特殊的推理,它有三段论的表现形式,由一般的判断,特殊判断,结论三部分组成。 归纳与演绎不同,归纳是这样一种推理:其中所得到的结论超越了经验材料所提供的东西的一种经验猜想。看起来归纳与演绎很有区别的,事实归纳与演绎是相依而存、互为发展、对立统一的。恩格斯在《自然辩证法》中说:“我们用世界上的一切归纳法都永远不能把归纳过程弄清楚,只有对这个过程的分析才能做到这一点——归纳与演绎,正如分析与综合一样是必然相互联系着的,不应当牺牲一个而把另一个捧上天,应当把每一个用到该用的地方,而要做到这一点,就只有注意它们的相互联系,它们的相互补充。” 1.(3)、发现与证明 发现实际上就是定律的发现和理论地提出问题,最主要是通过假说,猜想。猜想是提出新思想,一个猜想可以带出或生出一个新的学科方向。比如,对欧氏第五公设的证明产生了非欧几何理论,四色猜想对开辟数学研究新途径有重要意义。在数学史上有很多有名猜想,人们熟悉的费马猜想,曾是一个悬赏10万马克的定理,实际上,它是源于几千年前的勾股定理。德国数学家曾宣称:当n大于2时,不存在一个整数n次幂是另外两个整数n次幂之和。数学家韦尔斯花了34年心血来解这道难题,并获得沃尔夫奖。许许多多数学猜想是由简单到复杂无休无止地产生出来。一个猜想解决了,又猜想出来了,数学家们总有解决不完的猜想。许多重要猜想,总能吸引众多数学家为此皓首穷经。在证明各个猜想的过程中,数学们会取得一系列重要理论成果。 1.(4)、分析与综合 分析是由未知去推导已知,在假定的前提下导出结论,而这一结论恰恰是已给出的条件或已知的命题。综合是由已知命题开始,通过演绎、归纳能一连串来导出未有的命题,或解

浅谈数学的文化价值

浅谈数学的文化价值 一、数学:打开科学大门的钥匙 科学史表明,一些划时代的科学理论成就的出现,无一不借助于数学的力量。早在古代,希腊的毕达哥拉斯学派就把数看作万物之本源。享有“近代自然科学之父”尊称的伽利略认为,展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书,如不掌握数学的符号语言,就像在黑暗的迷宫里游荡,什么也认识不清。物理学家伦琴因发现了X射线而成为1910年开始的诺贝尔物理奖的第一位获得者。当有人问这位卓越的实验物理学家科学家需要什么样的修养时,他的回答是:第一是数学,第二是数学,第三还是数学。对计算机的发展做出过重大贡献的冯·诺依曼认为“数学处于人类智能的中心领域”。他还指出:“数学方法渗透进支配着一切自然科学的理论分支,……它已愈来愈成为衡量成就的主

要标志。” 科学家们如此重视教学,他们述说的这些切身经验和坚定的信念,如果从哲学的层次来理解,其实就是说,任何事物都是量和质的统一体,都有自身的量的方面的规律,不掌握量的规律,就不可能对各种事物的质获得明确清晰的认识。而数学正是一门研究“量”的科学,它不断地在总结和积累各种量的规律性,因而必然会成为人们认识世界的有力工具。 马克思曾明确指出:“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时,才算真正发展了。”这是对数学作用的深刻理解,也是对科学化趋势的深刻预见。事实上,数学的应用越来越广泛,连一些过去认为与数学无缘的学科,如考古学、语言学、心理学等现在也都成为数学能够大显身手的领域。数学方法也在深刻地影响着历史学研究,能帮助历史学家做出更可靠、更令人信服的结论。这些

情况使人们认为,人类智力活动中未受到数学的影响而大为改观的领域已寥寥无几了。 二、数学:科学的语言 有不少自然科学家、特别是理论物理学家都曾明确地强调了数学的语言功能。例如,著名物理学家玻尔就曾指出:“数学不应该被看成是以经验的积累为基础的一种特殊的知识分支,而应该被看成是普通语言的一种精确化,这种精确化给普通语言补充了适当的工具来表示一些关系,对这些关系来说普通字句是不精确的或过于纠缠的。严格说来,量子力学和量子电动力学的数学形式系统,只不过给推导关于观测的预期结果提供了计算法则。”狄拉克也曾写道:“数学是特别适合于处理任何种类的抽象概念的工具,在这个领域内,它的力量是没有限制的。正因为这个缘故,关于新物

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《数学文化与数学教育》读后感 读了这本书对我的感触很深,使我懂得了好多数学的道理,对我的学习有了更大的帮助,而数学史对于大学数学教学来说就是一种十分有效、不可或缺的工具。认识到数学史在大学数学教学中的作用,并将数学史与大学数学教学紧密的结合起来,不但能有效的激发学生学习数学的兴趣,而且对于提高其数学方面的素质修养以及逻辑思维能力、启发文科学生的人格成长、发展其认知能力等都有十分重要的作用。 1.数学史是大学数学教学的重要的组成部分 俗言说的好“冰冻三尺非一日之寒”。数学知识的发生和发展过程其实就是数学家与困难、问题的斗争史。数学本身不仅是一门科学,而且还是一种精神,一种探索精神。比如,微积分是由牛顿、莱布尼兹、欧拉、维尔斯特拉斯等多位大数学家前赴后继,历尽艰辛,历时千年才建立和发展完善的。了解数学理论知识建立的历史,不但可以使学生对所学知识有一个全局的完整的认识,而且可以使学生学会由易到难、由已知到未知,逐步的克服障碍,在探索中学习。 2.数学史可以构建数学与人文之间的桥梁,激发学生学好大学数学的兴趣 数学学科的抽象性、严密的逻辑性, 使得很多学生有畏难心理, 大学数学的学习也相应的恶化成枯燥无味的公式记忆和解题演练。荷兰数学家和教育家赖登塔尔就批评那种注重逻辑严密性、而没有丝毫历史感的教育乃是“把火热的发明变成了冷冰冰的美丽”[2]。因此, 如何构建数学与人文之间的桥梁, 激发学生学习的兴趣就成了教师的首要任务。数学是各个时代人类文明的标志之一。数学对整个人类文明产生了不容质疑的影响,无论是物质文明还是精神文明两方面都是这样。数学对人类物质文明的影响,最突出的是反映在它直接或间接参与了从根本上改变人类物质生活方式的三次重大的产业革命。比如,第一次产业革命的主体技术是蒸汽机、纺织机等,它们的设计涉及对运动与变化的计算,而这只有在微积分发明后才有可能。又如,原子能的释放,首先是由于爱因士坦利用数学工具导出的著名公式揭示出质能转化的可能性。而现在的航天事业的发展更离不开数学的参与。“神舟飞船”的历次成功飞行都离不开数学家的参与。数学对于人类精神文明的影响同样也很深刻。比如,日心说的决定性胜利是在牛顿用当时最新的数学工具——微积分和严密的数学推理从动力学定律、万有引力定律出发推演出太阳系的运动之后。哥白尼的学说得到证实恰是通过这样的事实:天文学家加勒根据几位数学家在数学上的推算和预报找到了一颗新的行星——海王星。在大学数学的教学中,在学到相关数学知识的时候,适时的将数学知识与其在促进当时社会的发展联系起来,使学生认识到数学与人们的生活息息相关,其来源于生活、服务于生活。这将有助于树立学生对数学课正确的认识,增强学习兴趣。 3.数学史在大学数学教学中具有重要的德育功能 数学中蕴涵着丰富的辩证唯物主义的思想。在数学史上,数学概念的形成与演变,重要思想方法的确立与发展,重大理论的创立与变革等,无不体现唯物辩证法的核心思想——发展、运动与变化。比如,自从数学中引入了变量,运动就进入了数学。在高等数学中至始至终贯穿着动态的变量的思想,函数就是这一思想的具体体现。通过函数出现历史的介绍,就可以教会学生学会用变化、运动的观点看待事物、看待世界。在大学数学教学中融入数学史,

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数学史与数学文化讲座体会 左安门中学孙丽颖通过丰台分院组织的数学史与数学文化系列讲座讲座,我了解到数学是一门伟大的科学,它作为一门科学具有悠久的历史,与自然科学相比,数学更是积累性科学。它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征,美国数学史家克莱因曾经说过:“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显。”数学已经广泛地影响着人类的生活和思想,是形成现代文化的主要力量。 一、数学史的研究对象 数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学,简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程,而且还探索影响这种过程的各种因素,以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此,数学史研究对象不仅包括具体的数学内容,而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容,是一门交叉性学科。 从研究材料上说,考古资料、历史档案材料、历史上的数学原始文献、各种历史文献、民族学资料、文化史资料,以及对数学家的访问记录,等等,都是重要的研究对象,其中数学原始文献是最常用且最重要的第一手研究资料。从研究目标来说,可以研究数学思想、方法、理论、概念的演变史;可以研究数学科学与人类社会的互动关系;可以研究数学思想的传播与交流史;可以研究数学家的生平等等。 数学史研究的任务在于,弄清数学发展过程中的基本史实,再现其本来面貌,同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价,进而探究数学科学发展的规律与文化本质。作为数学史研究的基本方法与手段,常有历史考证、数理分析、比较研究等方法。

浅谈从数学文化中理解数学的价值

浅谈从数学文化中理解数学的价值 张瑶03级3班1030500723 数学是什么?数学的特点是什么?数学的价值是什么?我想不是每一个人都能清楚地回答出这三个问题,尽管我们学习的数学专业,但对数学的本质,数学的精髓还知之甚少,需要我们大量阅读关于数学文化,数学史方面的书籍,从而领悟其中的精华。 R.柯朗和H.罗宾斯在《数学是什么》一书告诉我们:数学,作为人类智慧的一种表达形式,反映生动活泼的意念,深入细致的思考,以及完美和谐的愿望。它的基础是逻辑和直觉,分析和推理,共性和个性。也许我们对这段话还不是很理解,以下我想主要从以下几个大方面谈谈数学的特点和价值在这些方面的具体体现。 一、数学文化的概念 由于数学对象并非物质世界中的真实存在,而是人类抽象思维的产物,所以,数学本身就是一种文化,古希腊的亚里士多德指出,数学是研究大小的量和书的,但是它们所研究的量和书,并不是那些我们可以感觉到的,占有空间的广延性的,可分的量和书,而是作为某种特殊性质的抽象的量和数,使我们在思想中将它们分离开来研究的。从而,在亚里士多德看来,数学对象就只是一种抽象的存在,即是人类抽象思维的产物。 1.数学传统的内涵: 数学对象是客体的,但数学活动的主体——数学家从事的数学活动必定是在一定传统指导之下进行的,他们的行为方式形成了数学传统。数学家有着自己特殊的“工作方式”。以下这个笑话被用来表明在解决问题时,数学家采取与一般科学家(如:物理学家)不同的方法: 有人提出这样一个问题:“架设在你面前有煤气灶,水龙头,水壶和火柴,你想烧些水,应当怎样去做?”对此某人回答到:“在壶上放上水,点燃煤气,在把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答,然后又追问道:“如果其他的条件都没有变化,只是水壶中已经有了足够多的水,那你有应当怎么做?”这时被提问者往往有信心地回答道:“点燃煤气,在把水壶放到煤气灶上。”因为“只有物理学家才会这样做,而数学家们则会倒去壶中的水,并声称他已把后一问题划归为原先的问题了。”这笑话说明了数学思维的一个重要特点:“在解决问题时,数学家往往不是对问题实行直接的攻击,而是不断地对此进行变形,直至最终把它转化成了某个已经得到解决的问题。 2.数学在历史发展中存在三个辩证关系: 1)抽象化与具体化 由于数学的发展在很大程度上凭助更高层次的抽象得以实现,所以更新,更高的抽 象程度是数学发展的一个重要特征;但是我们不能认为抽象化是数学发展的唯一形 式。事实上,例如:“计算数学,运筹学,统计数学等与实践密切相关的学科的建 立与发展就是具体化的实际例子。更重要的是,数学向着更高抽象程度的发展又并 非是一个单向的简单过程,而是在抽象与具体的辩证运动中得以实现的 2)一般化与特殊化 对于特殊化发法在数学解题中的作用人们已经作了较为透彻的研究,因为特殊化可 以更好地弄清题意,我们可以通过特例对可能的结论进行猜测,通过有一般向特殊 的化归解决原来的问题。与此相对照,就一般化方法而言,人们只注意了它的构造 性功能,忽视这一方法在解题中的作用。例如:由“轨迹作图法”在几何作图中的 广泛应用可看出:“轨迹作图具有“化难为易”的功能,而由原来所求作的对象到 相应轨迹的过渡事实上就是一个一般化的过程。所以我们不应片面强调一般化或特 殊化,而应明确地肯定一般化与特殊化的辩证运动是数学发展的一个基本规律。 3)多样化与一体化

数学文化与数学史答案

《数学文化与数学史》复习 Lecture 0 为什么要开设数学史 1.介绍文艺复兴时期意大利艺术大师达·芬奇(L. Da Vinci, 1452~1519)和19 世纪 英国业余数学家伯里加尔(H. Perigal, 1801~1898)证明勾股定理的方法。 达·芬奇 H. Perigal的水车翼轮法 2.谈谈你对数学史教育价值的认识。 一门学科一座桥梁一条进路一种资源一组专题 对学生来讲,通过对数学史的学习,有利于学生对数学知识的掌握和数学能力的提高,它不仅使学生获得了一种历史感,而且,通过从新的角度看数学学科,他们将对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力,有利于学生对数学的思考, 促进学生的数学理解,启发学生的人格成长,有利于激发学生的情感、兴趣和良好的学习态度,有利于辩证唯物主义世界观的形成, 有利于学生了解数学的应用价值和文化价值。 对于教师来讲,要使个体知识的发生遵循人类知识的发生过程,那么数学史就成为了数学教学的有效工具。将数学史作为一种资源运用到教学中,给教学提供一种新的视角,发挥其启发和借鉴的作用,并丰富课堂教学,使教学活动变得自然而有趣。这对数学教育改革也具有极其重要的意义。 Lecture 2 古代数学(I):埃及 3.Rhind 纸草书问题79 是一个等比数列求和问题,介绍其中蕴涵的等比数数列求和方法。

124 房屋 猫老鼠麦穗容积总数 7 49 343 24011680719607 2801 56021120419607 ()5749343230116807 717493432301 72801 19607 S =++++=++++=?= () ()() 21 221 1 11n n n n n n n n S a aq aq aq a q a aq aq aq a qS a q S aq a aq S q q ----=++++=++++=+=+--?=≠-L L 4. “埃及几何学中的珍宝”是什么 正四棱台体积公式: Lecture 3 古代数学(II ):美索不达米亚 3. 研究古巴比伦时期的泥版 BM 15285。设想你是一位祭司,你会提出什么数学问题 5 古代巴比伦人是如何求平方根近似值的 1211322, 1212a a a a a a a a a ??=+ ????? =+ ???L L 设第一个近似值为则第二个近似值为;第三个近似值为; 2 3 11 2 11;3021121;301;2521;30121;251;24,51,1021;25245110 1 1.4142155 606060?? += ????? += ????? += ??? + ++=设第一个近似值为, 则第二个近似值为; 第三个近似值为;第四个近似值为。 7. 美国哥伦比亚大学收藏的 Plimpton 322 号巴比伦泥版的内容是什么 泥版上有15行、4列数字,原来人们还以为是一份帐目。但是,奥地利著名数学史家诺伊格鲍尔(O. Neugebauer, 1899~1990)经过研究惊奇地发现:第3列数与第2列数的平方差竟都是平方数(少数行不满足这一规律,但显然是抄写错误所致)!例如(见下表,表中数字均为60进制):

数学文化其教育功能

数学文化及其教育功能 摘要:数学是人类思维的结晶,是每个学生接触的最为广泛的学科,对于学生的思维能力以及学习能力都是必不可少的。本文就从数学文化的角度出发,分析数学文化及其文化价值,在此基础上理解其独特的教育功能,进而对数学文化如何作用于人提出了可行性的见解,通过这些方法,通过数学思维的灌输来塑造完善的人。 关键词:数学文化;抽象思维;科学性;教育功能 数学是人类的一种文化,其中蕴涵的内容、思想方法等都是现代文明发展的重要标志,数学文化中包含的传统性、渗透性、哲学性等特征,都能够帮助学生对数学有更加深刻的感悟。如何使学生成为有思想、有学识、有完整人格的人,这是摆在教育者面前的一个亟待解决的问题。 一、数学文化及其价值体现 1.数学文化 数学文化,就是在数学问题解决渗透的过程中,逐渐认识到数学文化魅力的过程,这个过程中包括人的理解、观点、态度、学习方法以及技巧等,这些远远比数学的成果更加有意义,解答问题的过程就是一个创造性思维的过程,这对人类思维能力的启发和拓展、对人类的终身发展是有促进作用的。这些解决数学问题中透漏出的数学思想方法、思想观念以及数学精神品质等都属于数学文化的范围。 2.数学文化的价值体现

数学文化的价值体现在社会生活的各个方面,教会人如何去思考,也就为解决生活中的问题提供了工具。首先,数学对于人们的观念和思维方式有促进作用。例如,现在很多数学和物理规律的推理过程中都要用到微积分的思想,数学文化的思维方式贯穿在解决问题的整个环节中。其次,数学文化中包含了理性的精神。这表现在数学公式和定理的推断过程中,无数的数学家经历了无数次的演算和推断,这前仆后继的精神是值得学习的。再次,数学在人类文明史上有着重要的意义,正如数学家在其著作中写到的这样:”数学是一种理性的精神,正是这种精神激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度,并且努力去理解和控制自然,尽力去探求和确立已经获得的知识的最深刻和最完美的内涵”。 二、数学文化的教育功能 1.帮助学生形成正确的数学观,认识数学的本质 数学观包括对数学内容、概念和意义的理解,也包括对数学的文化价值、历史价值、社会价值的认识,是对数学基本看法的总和。在以往的认识中,数学就是数学,是一门自然学科,忽略了它其中包含的文化,忽略了文化价值,这不利于学生形成辩证和综合的数学观。只有将数学放在社会之中,才能形成密切联系的动态的数学观,使学生认识到数学不单单是知识的渗透,更重要的是技巧和方法的累积以及思维方法的培养,这才是人们学习数学的目的。 2.发展理性精神 传统上的数学教育就是把数学当成一种单纯的学科,把数学学

数学史和数学文化

《数学史与数学文化》 班级:网营14-1班 姓名:毕倩榕 学号: 云南财经大学中华职业学院 数学史和数学文化 数学可能是中国所有上学的人爱恨交加的科目了吧,一方面苦于数学的枯燥和难懂,另一方面又应用于各个方面,可以说对它的感情很复杂了。而数学史和数学文化这门课却讲了不少数学史中有意思数学家和他们的故事以及数学文化,数学俨然给人一种活泼感,就好像是一个印象中“严肃刻板”的人,做出了一系列生动幽默的动作,发生了一连串的故事;而数学文化就像是人类其他形式的文化一样,它活跃在人类历史进程中,推进了人类的进步。 数学是美的,数学美把就是把数学溶入语言之中,人们自然会联想到令人心驰神往的优美而和谐的黄金分割;各种有趣的数字比如说:完全数、水仙花数、亲和数、黑洞数等等;雄伟壮丽的科学宫殿的欧几里得平面几何;数学皇冠上的明珠?哥德巴赫猜想。 数学美可以分为形式美和内在美。? 数学中的公式、定理、图形等所呈现出来的简单、整齐以及对称的美是形式美的体现。数学中有字符美和构图美还有对称美,数学中的对称美反映的是自然界的和谐性,在几何形体中,最典型的就是轴对称图形。数学中的简洁美,数学具有形式简洁、有序、规整和高度统一的特点,许多纷繁复杂的现象,可以归纳为简单的数学公式。? 数学的内在美有数学的和谐美,数量的和谐,空间的协调是构成数学美的重要因素。数学中的严谨美,严谨美是数学独特的内在美,我们通常用?滴水不漏?来形容数学。它表现在数学推理的严密,数学定义准确揭示概念的本质属性,数学结构系统的协调完备等等。总之,数学美的魅力是诱人的,数学美的力量是巨大的,数学美的思想是神奇的,数学是一个五彩缤纷的美的世界。 数学是好玩的,在北京举行国际数学家大会期间,91岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题词,写下了“数学好玩”4个大字。数是一切事物的参与者,数学当然就无所不在了。在很多有趣的活动中,数学是幕后的策划者,是游戏规则的制定者。玩七巧

数学文化研究文献综述

数学文化研究文献综述 段灿松曲靖2013 年5月25日星期六 “数学是一种文化”的新观点起于20 世纪60 年代,是美国学者怀尔德 ( R.Wilder ,1896-1982 )在他的数学著作《作为文化系统的数学》中最早提出来的, 怀尔德从文化生成和发展的理论等方面提出了数学文化的概念及有关理论体系,他的数学文化观是长时间以来出现的第一个比较成熟的数学哲学观。 国内最早关注数学文化的是北京大学的孙小礼教授,1992 年,她与邓东皋、张祖贵合编了《数学与文化》一书,书中精选了一批国内外著名的数学家以及研究数学的哲学家的文章,从各个侧面来说明数学在整个文化中的地位。该书提出:“数学学科并不是一系列的技巧。这些技巧只不过是它微不足道的方面,它们远不能代表数学, 就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。数学在形成现代生活和思想中起重要作用” ,“数学一直是形成现代文化的主要力量” ,[1]他们都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来,充分揭示数学文化的内涵,肯定数学文化存在的价值。自从邓东皋等编著的《数学与文化》出版以来,相关人士开始从文化的角度关注数学及其文化价值,开始对数学与文化的关系进行深刻思考, 并且有越来越多的人投身于研究之中。 齐民友著的《数学与文化》一书探讨了数学与文化的关系,从数学和文化的起源谈起,直至它们的演变和进化,用诸多的事例,说明数学对人类文化的影响不仅显示在现代科学技术方面,更重要的是它表现了一种理性的探索精神,该书还特别指出:“一个没有现代数学的文化是注定要衰落的。” [2]王宪昌等出版的专著《数学文化学》,强调并指出数学文化是“数学共同体”产生的文化效应,数学文化并非是自生自灭的封闭系统,而是一个开放的系统。[3]院士王梓坤在《今日数学及其应用》一文中总结了数学的四个作用,数学对全体人民的科学思维与文化素质的哺育就是其中的一个作用,他指出:“数学文化具有比数学知识体系更为丰富和深邃的文化内涵,数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括。[4] 近几年来,我国从事数学文化教育研究的人越来越多,许多文章、书籍相继面世。如郑毓信的《数学的文化价值何在、何为—语文课反照下的数学教学》,张顺燕的《数学教育与数学文化》,王新民、马崛兴在《新课程中“数学文化”的涵义诊释》等

数学史知识融入课堂教学的意义

数学史知识融入课堂教学的意义 数学史作为数学文化的重要历史资源,蕴藏着丰富的哲理和理论内涵,展现了人类追求真理,勇于创新,献身科学的拼搏精神,对人类研究数学、掌握数学、创新数学等方面具有深远的意义和积极的影响。数学新课程标准中提出要“体现数学的文化价值”这一基本理念,深刻揭示了数学史在数学教学过程中的重要作用。如何体现数学的文化价值,我认为将数学史与数学教学适度融合是一个重要的、有效的方法。在课堂教学中融入数学史有助于学生深刻理解数学知识,有助于学生掌握数学思想方法树立正确的数学观,提高数学应用意识。因此,作为课堂教学主导者的数学教师应该选择适当的方式将数学史知识融入课堂教学,使数学史在课堂教学中发挥积极的作用。 一、在教学中引入数学史可以激发学生的数学学习兴趣 传统的数学课堂中往往通过严谨的推理,重复性的练习等巩固数学知识,这种教学方式存在缺乏人性化、与生活脱节等问题,影响了学生学习数学的兴趣。学生在课堂上感受不到学习的愉悦,从而厌倦数学,畏惧数学,对学习数学失去信心,最后导致放弃学习数学。由于学生对新鲜事物所具有的好奇心,数学史知识的引入则可以集中学生的注意力、激发学生的求知欲望、调动学生学习的积极性,有效改善数学课堂教学气氛,收到良好的教学效果。

例如在新课教学中,课题的引入是一个重要的环节,引入的方法灵活多样的。如果课题的引入符合学生的认知发展规律,贴近学生的最近发展区,则有利于学生对新知识新内容的接受,反之对学生有消极的影响。在教学中利用数学史引入课题,可以引起学生的注意力,调动学生的求知欲,起到良好的教学效果。如在学习等比数列前 n 项和的公式时,可以将著名的棋盘问题来引入课题;再如在教学过程中适时介绍一些著名数学家的成长轶事、源自日常生活的数学名题、在自然科学中被精彩运用的数学知识等数学史知识,都可以使学生与数学的“亲近感”,减小学生与数学“距离感”,消除学生对数学的“畏惧感”,进而激发学生学习数学的兴趣,积极参与到课堂活动中去。 二、在教学中引入数学史可以帮助学生更好的理解数学 数学与生活的严重脱节,使多数学生都认为数学远离生活,在生活中并无实用价值,只是数学家们抽象思维的产物,数学的学习仅仅为了应付考试。如果在课堂教学中引入数学史的知识,可以让学生认识到数学与人们生产生活是息息相关的学科,是人类在认识自然、改善自然的过程中慢慢发展起来的学科。经过了各个时期的数学家们的不断钻研,使得现在的数学体系得以完善和发展。通过对数学史有关知识的学习与了解,则可以在教学中把数学概念的演变过程和数学方法的应用实例呈现给学生,不仅有助于加深学生理解概念和方法,更有助于学生全面、系统的掌握数学知识内容。 例如,在学习对数时,教师往往只是介绍对数式与指数式的

数学文化的教育功能

数学文化的教育功能 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

数学文化的教育功能 段灿松曲靖 2013/5/25 任何一门学科都有它的教育功能,数学文化观下数学的教育功能除了教会学生掌握这门工具之外,还通过数学文化对学生进行非智力因素的培养,这不同于理论的灌输,更不是对知识贴标签,而是挖掘数学知识的思想内涵,将教育的内容渗透到知识的学习过程中,让学生受到数学文化的熏陶,从而提高学生的数学素养。实践证明数学文化是培养学生数学素养的重要途径,数学文化有着丰富而巨大的教育价值。 1有利于理性思维素质的提升与改善 理性思维是学生数学素养中不可缺少的组成部分。理性思维是一种历史的、科学的、富有哲理的思考,是批判的思维,是求异或创造性的思维,是一种在更高层次上进行的道德推理。在教育中,数学是培养人们理性思维素质最有效的学科。 数学的许多具体知识尤其是高等数学知识,对普通人而言在很多时候都用不到,但是通过数学学习,数学文化蕴含的思想方法可以使学生的思维得到很好的训练,思维的条理性、逻辑性、严谨性对他们将来从事任何一种职业都是需要的,且终生受益。[11]数学是思维的体操,这说明学习数学对培养人们的逻辑思维能力有非常重要的作用,学生在数学教学过程中教师应注重培养和发展学生的数学思维能力。 2培养学生的应用意识 随着现代科学技术的快速发展,数学在各行各业中的应用也日益广泛。中国传统数学是非常注重实用性的,《周髀算经》、《九章算术》等书中记载的数学问题基本上都是与人们的生产、生活实际相关的,实用性是中国传统数学的典型特征。数学与人类的生产、生活紧密相关,生活中许多问题都涉及数学,在这“数学化”日益加重的当代社会,要提高国

数学史的意义

数学史的意义 摘要:随着数学知识学习难度的加深,有些学生逐步丧失了对数学的学习兴趣,使数学成为一门枯燥无味的学科,极大地影响了数学的学习。面对这种情况,我们应该加强学生对数学史的学习,帮助学生了解数学知识的来源和背景,引导学生体会真正的数学思维过程,去创造一种探索与研究的数学学习气氛,激发学生对数学的学习兴趣,培养学生的探索精神和审美能力都有非常重要的意义。 关键词:数学教学数学史意义 数学的各个分支是一个有机的整体,大部分数学概念的形成并不是偶然的,现在数学的分支越来越多,到现在已经没有人能够深入研究到数学的各各方面,通过数学史,可以对数学概念的来龙去脉有所了解,也可以对整个数学有个全局的了解。从基础教育课程改革的状况来看,很多数学老师还是在进行数学教学时,经常把有关的数学史知识省略不讲,这就极大的忽视了数学史对中学数学的促进作用。如果我们能在数学课程中对学生进行数学史教育,并通过挖掘数学史的文化价值进行教学,让数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学中,数学就会更加平易近人,数学教学就会通过历史文化让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。那么什么是数学史呢?我们要理解数学为什么要先了解数学的历史呢?学习数学史对我们学习数学有什么意义呢?下面我从以下几个方面谈谈: 一、数学史的概述 每一门学科都有它的历史,如文学有文学史,哲学有哲学史,天文学有天文学史等等。当然,数学也有它的历史。只是它与其它学科相比,数学有它的独特之处。数学是一门历史性或者说累积性很强的科学。它最显著的特点是体系的严谨性。它要求每一个概念都要给出明确的定义。但“数学”这个概念本身,却很难给出一个完美的定义。根本的原因是数学这门科学还在不断地发展之中。 数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学,简单地说研究数学的历史就是数学史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程,而且还探索

什么是数学为什么学习数学《数学文化》的目的和意义

什么是数学?为什么学习数学?《数学文化》的目的和意义 主要内容: 数学的本质 数学美学 数学与人的发展 数学与其它 一、数学研究对象的历史考察 从数学发展的每个历史时期,人们在实践中,对数学研究对象的发现与认识,来加以考察。数学,作为一门科学,它来源于人类社会实践,并促进人类社会实践,也随着人类社会的进步而发展。 1.数学萌芽时期(远古~公元前6世纪) 零零星星地认识了数学中最古老、原始的概念——“数”(自然数)和“形”(简单几何图形)。 数的概念起源于数(读snǔ),脚趾和手指记数、“结绳记数”等; 另一方面,人类还在采集果实、打造石器、烧土制陶的活动中,对各种物体加以比较,区分直曲方圆,逐渐形成了“形”的概念。 2.常量数学时期(公元前6世纪~公元17世纪) 特点:人们将零星的数学知识,进行了积累、归纳、系统化,采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系。 欧几里得(Euclid):《几何原本》 以空间形式为研究对象,以逻辑思维为主线,从5条公设、23个定义和5条公理推出了467条定理,从而建立了公理化演绎体系。 我国东汉时期:《九章算术》 由246个数学问题、答案和术文组成,全书主要研究对象是数量关系。 3.变量数学时期(17世纪~19世纪) 特点:“运动”成为自然科学研究的中心课题,数学由研究现实世界的相对静止的事物或现象进而探索运动变化的规律,常量数学已发展到变量数学。17世纪,迪卡尔(Descartes)将几何内容的课题与代数形式的方法相结合,产生了解析几何学,这标志着变量数学时期的开始。17世纪60年代,Newton和Leibniz各自从运动学和几何学研究的需要,创建了微积分。随后,相继建立了级数理论、微分方程论、变分学等分析学领域的各个分支。 15世纪~18世纪,人们还研究了大量的随机现象,发现存在着某种完全不确定规律性,建立了概率论。这个时期,数学的研究对象已由常量进入变量,由有限进入无限,由确定性进入非确定性;数学研究的基本方法也由传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法。马克思主义奠基人之一的恩格斯,在考察了18世纪前整个数学发展的历史基础上指出:“数和形的概念不是从任何地方得来的,而仅仅是从现实世界中得来的”、“纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系——这是非常现实的材料——为对象的”,这些论断揭示了科学的数学本质。 4.近现代数学时期(19世纪以后) 特点:数学由研究现实世界的一般抽象形式和关系,进入到研究更抽象、更一般的形式和关系,数学各分支互相渗透融合。随着计算机的出现和日益普及,数学愈来愈显示出科学和技术的双重品质。19世纪以来,由于社会发展的需要,以及数学自身的逻辑矛盾不断产生许多新问题,促使处于数学核心部分的几个主要分支——代数、几何、分析学科的内容发生了深刻变化,并产生了许多新的数学分支。抽象代数学、n维空间、无穷维空间以至于

《数学文化论文》

本科生《数学文化》选修课程论文 数学文化的思考 与中外数学文化的差异 学院:理学院 专业:化学工程与工艺 姓名: Zen Ting 学号: 联系电话: 电子邮箱: 指导教师:布和 教师职称:讲师 论文完成日期:二零一二年十二月一日 摘要 数学在人类发展史上有着举足轻重的作用,扮演着重要的角色,可以毫不夸张的说,没有数学这门科学,人类的历史就无法展开,它不仅在学术层面上重要,更是对我们绚丽多彩的文化起着重大的作用。本文将回顾数学的发展史,浅谈数学对文化的作用,以及中外数学文化的差异。 关键词:阿基里斯追龟论飞箭静止论《算术》希腊数学文化中国数学代表 引言 数学文化哲学作为一门学科或一个研究方向,是将数学置于人类文化大背景下而对其进行哲学反思。从数学哲学转向数学文化哲学是在数学文化背景下的必然选择。数学文化哲学不仅涵盖了对于数学本质及其价值更为深入的认识,而且从一个更为广泛的角度指明了影响数学发展的各个因素,因此是对传统数学哲学的深化和拓展。数学文化哲学的孕育和产生有着深刻的学术背景和社会因素。这种转向有助于使数学哲学走出现在的困境,更为重要的是,还将大大拓宽数学哲学研究的视野,从而为数学哲学的发展开辟更为广阔的前景。 正文

首先我们来回顾布和老师课上讲得第一个方面,即数学的发展。 古代数学最重要的两个分支就是古希腊和古代中国。古希腊文明是人类古代文明中的一个皇冠,而数学则是这皇冠上最大的那一颗钻石,向世人展示了希腊人的精神——好奇多思,渴求知识。其哲学与数学的发展则达到了那一时期的顶峰。公元480年以后鸭店称为希腊的文化,政治中心,各种学术思想开始在雅典争奇斗艳,古希腊数学家更是层出不穷,艾丽娅学派的芝若提出了四个著名的悖论(二分说,追龟说,飞箭静止说,运动场说)迫使哲学家和数学家开始思考极限的问题。 我依稀记得我接触最早的,也是使我对数学产生兴趣并选修这门课的原因,就是因为追龟说——阿基里斯永远跑不过乌龟,和飞箭静止说。下面我将详述这两个事列,阐述数学问题中极限对人类文化精神上带来的冲击与思考。 1.1追龟说 阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中,他速度为乌龟十倍,乌龟在前面100米跑,他在后面追,但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中,追者首先必须到达被追者的出发点,当阿基里斯追到100米时,乌龟已经又向前爬了10米,于是,一个新的起点产生了;阿基里斯必须继续追,而当他追到乌龟爬的这10米时,乌龟又已经向前爬了1米,阿基里斯只能再追向那个1米。就这样,乌龟会制造出无穷个起点,它总能在起点与自己之间制造出一个距离,不管这个距离有多小,但只要乌龟不停地奋力向前爬,阿基里斯就永远也追不上乌龟,“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点,此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。 我们看看这个故事的历史背景。当时柏拉图描述,芝诺说这样的悖论,是兴之所至的小玩笑。首先,巴门尼德编出这个悖论,用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 1-0.999...>0"思想。然后,他又用这个悖论,嘲笑他的学生芝诺的"1-0.999 0 但1-0.999...>0"思想。最后,芝诺用这个悖论,反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999 0 或1-0.999...>0"思想。有人解释道:若慢跑者在快跑者前一段,则快跑者永远赶不上慢跑者,因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点,而当他到达被追者的出发点,慢跑者又向前了一段,又有新的出发点在等着它,有无限个这样的出发点。芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟,跑步者肯定也能跑到终点。类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题,我们可以用无穷数列的求和,或者简单建立起一个方程组就能算出所需要

数学的文化价值何在、何为

【阅读提示】○就基础教育而言,数学的文化价值主要是指数学学习对于人们思维方式、价值观念乃至世界观等方面的重要影响。○如果说语文教学是一种以情感带动知识学习的“情知教学”,那么数学教学则是完全不同的“以知生情”,并且其涉及的情感也截然不同,而是与理性精神、客观研究、数学美、深层次的智力满足感等联系在一起。○语文教学带有明显的个性化倾向;数学教学则追求一种普遍的知识。因此数学教学带有“去情景化、去个人化和去时间化”的过程。○数学学习事实上也同样涉及人的本性,如人类固有的好奇心、上进心,因此也需要一个好的学习情境。○我们应当更加重视如何帮助学生学会数学地思维,尤其应强调由思维方法的学习向数学素养的过渡,即应当努力将文化落实到人格。近期参加了在南京举办的第三届“现代与经典”全国小学教学观摩研讨会,不仅听了数学课,也听了不少优秀的语文课。由于特殊的工作经历,笔者所关注的主要是数学教学,但仍然从语文课中获得了不少启示和教益,甚至还对国际数学教育界何以特别重视国际比较研究有了更深的体会:这主要是为我们更好地认识自身提供了一面镜子(而不是蓝本)。以下就从这样的角度谈自己的一些体会。两种文化的区别——两种文化的课堂表现。关于两种文化即“科学文化”与“人文文化”的整合显然是现今经常可以听到的一个主张,但仔细考察可以看出,这些还仅仅停留于一般性的口号,还未能对“如何才能实现所说的整合”做深入的分析,甚至对于究竟什么是两种文化各自的真谛以及两者的区别也没有很好的了解和体验。由于语文和数学可以被看成分属于“人文文化”与“科学文化”,我们就可通过两者的比较初步地去认识“两种文化”的区别。具体地说,我们在此不妨可以首先想象:如果在语文课上讲“圆”会是什么样的一个局面?教师.首先在黑板上画了一个大大的圆,然后问学生:看着这个圆你想到了什么?学生表现出了丰富的想象力:一轮红日;十五的月亮;这是世界上最美的图形:我爱死你了……类似地,面对“树上有5只鸟,猎人开枪打死2只,还剩下几只”这样一个问题,如果一个学生回答道:“一只也没有剩下,因为它们是一家子,猎人打死的是父母亲,这样三只小鸟就一只也活不下去了。”(这一例子是由黄爱华老师提供的)这个学生显然也是将数学课误当成了语文课。当然,如果在语文课上出现以下情况无疑也会使教师感到十分尴尬:“我们正在学习《太阳》一课,就在我进行总结归纳的时候,一只小手高高地举了起采。是铭——一个喜欢发言却又词不达意、经常会制造点麻烦的孩子。我皱了皱眉,有点无奈地请他站起来说。他结结巴巴地讲:‘老师,太阳不……不是圆的……’同学们一听,哈哈大笑起来,说:‘我们天天都看到太阳,太阳怎么可能不是圆的呢?’可是铭涨红了脸,固执地坚持:‘真的,太阳真的不是圆的。我从书上看来的。’……”①综上可见,语文课与数学课确实有着不同的味道,或者说,语文课具有自己特有的“语文味”,数学课则又具有自己特有的“数学味”。——究竟什么是数学课特有的数学味?从数学教育的角度看,我们当然应特别关注“数学文化”这样一个概念,因为,对于“数学文化”的突出强调事实上也就是新一轮数学课程改革的一个重要特点。很好地把握“数学文化”的内涵就不仅有助于我们更好地去认识两种文化,而且也可被看成是改进数学教学特别是充分发挥数学的文化价值的一个重要环节。“数学文化”有两种不同的含义。就基础教育而言,数学的文化价值主要是指数学学习对于人们思维方式、价值观念乃至世界观等方面的重要影响(尽管这种影响主要是以一种潜移默化的方式发挥作用的),这也就是说,我们在此所论及的主要是由数学教学所体现的“数学文化”。在此我们仍可通过与语文教学的对照来指明所说的“数学文化”的具体内涵,而这事实上也就为“究竟什么是数学课所特有的数学味”提供了直接解答。在这次观摩会上,笔者亲身体会到:听一堂好的语文课真是一种享受!而且,即使对于一个外行来说,多听几堂好的语文课也多少可以体会出究竟什么是语文课所特有的“语文味”。如果借用专业的语言,语文可以说主要是一种“情态教学”:教师将教材中的情感因素充分地发掘出来,从而在课堂上造成一种强烈的感情氛围,并使学生受到强烈的感染……例如,在笔者看来,由窦桂梅老师执教的《珍珠鸟》一课就很好地体现了语文课的上述特色:教师突出地强调了课文中如下关键词:小脑袋、小

数学文化教育的德育功能

数学文化教育的德育功能 “十年树木,百年育人”,探究数学文化教育的德育功能无论是对整个教育来说,还是对学生成长都有十分重要的意义。数学文化是对数学知识、技能、能力和素质的高度概括。学生学习数学的目的决非单纯的为了获取知识,更重要的是通过学习,使学生接受数学精神和思想方法,将其转化成自己的智慧。数学文化教育除了肩负着培养学生情感、态度、价值观的重任,还有自己独特的德育教育功能。 在数学中通过数据、计算题、应用题以及图片、幻灯片、影音资料,能使人直接感受到德育的体验。教师对数学文化中显性德育因素的内容,直接进行加工,使其发挥数学文化的显性德育功能。 结合中国数学发展的光辉历史和杰出成就,激发学生的民族自尊心和凝聚力。14世纪以前中国是世界上数学大国之一,中国的数学成就之高世界公认,诸如:十进制记数法、算法、正负数及其运算、多元一次方程组解法、中国剩余定理高次方程解法、天元术与四元术、高阶等差级数、圆周率及其求法、勾股定理等。“东学西传”的源头在中国,“东学西传”的史实,是中华民族立于世界民族之林的象征,是炎黄子孙对人类作出的贡献。用数学家的事迹和成果激发学生的爱国之情。 在数学教学中,可以采用形象生动的图表、富有说服力的数学材料、古老悠久的数学史,对学生进行爱国主义教育,形象具体,使学生易于理解接受,可以收到较好的效果。在讲授圆的周长的同时,可以引导学生看书中的说明:“早在1400多年前,我国古代数学家祖冲之就精密的计算出π的值在3.1415926和3.1415927之间,这是当今世界上算得最精密的圆周率的值。”接着老师开始叙述我国历史悠久,从古至今,有许多的杰出的科学家,他们创造了令人瞩目的伟大成就是值得我们引以自豪的,我们中华民族是个优秀的民族,希望同学们好好学习,将来为祖国做出贡献。寥寥数语,既使学生增长了知识,又受到了深刻的思想教育。在冀教版三年级数学中有这样一道应用题:“神舟”五号飞船2003年10月15日9:00发射升空,2003年10月16日6:23分安全返回。算一算:“神舟”五号飞船围绕地球飞行了多长时间?教师可以根据这一题材讲述杨利伟载人航天成功的壮举,以此激励学生为祖国繁荣昌盛而努力学习的远大志向,进行爱国主义教育。水不激不跃,人不激不奋,将崇高理想、眼前理想和现实中的学习结合起来,学生们的兴趣将是长久的,其间发挥的力量更是不可估量的。

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