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2016文科数学高考真题分类第十一单元概率分析

第十一单元 概率

K1 随事件的概率

18.K1,K6,K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位:元),继续购买该险种

2016文科数学高考真题分类第十一单元概率分析

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

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(1)记A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P (A )的估计值; (2)记B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P (B )的估计值;

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

18.解:(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60+50

200

=0.55,故P (A )的估计值为0.55.

(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为

30+30

200

=0.3,故P (B )的估计值为0.3. (3)由所给数据得

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调查的0.85a ×0.30+a ×0.25+1.25a ×0.15+1.5a ×0.15+1.75a ×0.10+2a ×0.05=1.192 5a . 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .

K2 古典概型 3.K2[2016·全国卷Ⅰ] 为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )

A.13

B.12

C.23

D.56

3.C [解析] 从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色的花在一个花坛的种法有2种,故所求概率P =46=23.

5.K2[2016·全国卷Ⅲ] 小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M ,I ,N 中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )

A.815

B.18

C.115

D.130

5.C [解析] 由古典概型公式得所求概率P =1×13×5=1

15

.

6.J2,K2[2016·北京卷] 从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925

6.B [解析] 甲被选中的概率为C 14

C 25=25

.

7.K2、K4[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是________.

7.5

6

[解析] 本题为古典概型,基本事件共有36个,点数之和大于等于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,6),(6,5),(6,4),共计6个基本事件,故点数之和小于10的有30

个基本事件,所求概率为5

6

.

11.K2[2016·上海卷] 某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.

11.1

6 [解析] 将四种水果每两种分为一组,有C 24=6(种)方法,则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16

.

13.J1,K2[2016·四川卷] 从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a ,b ,则log a b 为整数的概率是________.

13.1

6 [解析] 由题意可知,(a ,b )可能的情况有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12种情况,其中只有(2,8),(3,9)满足题意,故所求概率为212=1

6

.

16.K2[2016·山东卷] 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图1-4所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域

中的数.设两次记录的数分别为x ,y .奖励规则如下:

①若xy ≤3,则奖励玩具一个; ②若xy ≥8,则奖励水杯一个; ③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率;

(2)

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16.解:用数对(x ,y )表示儿童参加活动时先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S

={(x ,y )|x ∈N ,y ∈N ,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应.

因为S 中元素的个数是4×4=16, 所以基本事件总数n =16. (1)记“xy ≤3”为事件A ,

则事件A 包含的基本事件共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),

所以P (A )=516,即小亮获得玩具的概率为5

16

.

(2)记“xy ≥8”为事件B ,“3

则事件B 包含的基本事件共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),

所以P (B )=616=3

8

.

事件C 包含的基本事件共5个,

即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),

所以P (C )=5

16

.

因为38>516

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

04[2016·浙江卷] “计数原理与概率”模块

(1)已知(1+2x )4(1-x 2)3=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10,求a 2的值.

(2)设袋中共有8个球,其中3个白球、5个红球,从袋中随机取出3个球,求至少有1个白球的概率.

解:(1)因为(1+2x )4二项展开式的通项为C r 4(2x )r

,r =0,1,2,3,4.

(1-x 2)3二项展开式的通项为C r 3(-x 2)r

,r =0,1,2,3.

所以a 2=C 24·22·C 03+C 04·C 1

3·(-1)=21. (2)从袋中取出3个球,总的取法有C 38=56(种); 其中都是红球的取法有C 35=10(种).

因此,从袋中取出3个球至少有1个白球的概率是 1-C 35

C 38=2328.

K3 几何概型 8.K3[2016·全国卷Ⅱ] 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )

A.710

B.58

C.38

D.310

8.B [解析] 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40-1540=5

8

.

K4 互斥事件有一个发生的概率

2.K4[2016·天津卷] 甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,

则甲不输的概率为( )

A.56

B.2

5

C.16

D.13

2.A [解析] 甲不输的概率P =13+12=56

.

7.K2、K4[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是________.

7.5

6

[解析] 本题为古典概型,基本事件共有36个,点数之和大于等于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,6),(6,5),(6,4),共计6个基本事件,故点数之和小于10的有30

个基本事件,所求概率为5

6

.

19.B1,I2,K4[2016·全国卷Ⅰ] 某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

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图1-5

记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n 表示购机的同时购买的易损零件数.

(1)若n =19,求y 与x 的函数解析式;

(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值;

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?

19.解:(1)当x ≤19时,y =3800;

当x >19时,y =3800+500(x -19)=500x -5700. 所以y 与x 的函数解析式为

y =?

????3800,x ≤19,500x -5700,x >19(x ∈N ). (2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故

n 的最小值为19.

(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易

损零件上的费用为3800元,20台的费用为4300元,10台的费用为4800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

1

100

×(3800×70+4300×20+4800×10)=4000(元). 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000元,10台的费用为4500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

1

100

×(4000×90+4500×10)=4050(元). 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

K5 相互对立事件同时发生的概率 K6 离散型随机变量及其分布列 18.K1,K6,K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位:元),继续购买该险种

2016文科数学高考真题分类第十一单元概率分析

2016文科数学高考真题分类第十一单元概率分析

(1)记A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P (A )的估计值; (2)记B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P (B )的估计值;

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

18.解:(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60+50

200

=0.55,故P (A )的估计值为0.55.

(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为

30+30

200

=0.3,故P (B )的估计值为0.3. (3)由所给数据得

2016文科数学高考真题分类第十一单元概率分析

调查的0.85a ×0.30+a ×0.25+1.25a ×0.15+1.5a ×0.15+1.75a ×0.10+2a ×0.05=1.192 5a . 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .

K7 条件概率与事件的独立性

K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布 18.K1,K6,K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位:元),继续购买该险种

2016文科数学高考真题分类第十一单元概率分析

2016文科数学高考真题分类第十一单元概率分析

2016文科数学高考真题分类第十一单元概率分析

(1)记A (2)记B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P (B )的估计值;

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

18.解:(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60+50

200

=0.55,故P (A )的估计值为0.55.

(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为

30+30

200

=0.3,故P (B )的估计值为0.3. (3)由所给数据得

2016文科数学高考真题分类第十一单元概率分析

调查的200名续保人的平均保费为

0.85a ×0.30+a ×0.25+1.25a ×0.15+1.5a ×0.15+1.75a ×0.10+2a ×0.05=1.192 5a . 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .