第17章分式 (2)
§17.1 分式及其基本性质 (2)
1.分式的概念 (2)
2.分式的基本性质 (3)
§17.2分式的运算 (5)
1.分式的乘除法 (5)
2.分式的加减法 (6)
阅读材料 (9)
§17.3可化为一元一次方程的分式方程 (10)
§17.4零指数幂与负整指数幂 (12)
1.零指数幂与负整指数幂 (12)
2.科学记数法 (13)
小结 (14)
复习题 (15)
第17章 分 式
现要装配30台机器,在装配好6台后,采用了新的技术,每天的工作效率提高了一倍,结果共用了3天完成任务。如果设原来每天能装配x 台机器,那么不难列出方程:
326306=-+x
x
这个方程左边的式子已不再是整式,这就涉及到分式与分式方程的问题.
§17.1 分式及其基本性质
1.分式的概念
做一做
(1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为_____米; (2)面积为S 平方米的长方形一边长a 米,则它的另一边长为________米; (3)一箱苹果售价p 元,总重m 千克,箱重n 千克,则每千克苹果的售价是______元;
形如B
A
(A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式(fraction ).
其中 A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母(denominator ).
整式和分式统称有理式(rational expression ), 即有
有理式 整式,
分式.
例1 下列各有理式中,哪些是整式?哪些是分式?
(1)
x 1;(2)2
x ;(3)y x xy +2;(4)33y
x -.
解:属于整式的有:(2)、(4);属于分式的有:(1)、(3).
注意:在分式中,分母的值不能是零.如果分母的值是零,则分式没有意义.
例如,在分式a
S 中,a ≠0;在分式n m -9
中,m ≠n.
例2 当x 取什么值时,下列分式有意义?
(1)11-x ;(2)3
22
+-x x .
分析 要使分式有意义,必须且只须分母不等于零. 解 (1)分母1-x ≠0,即x ≠1.
所以,当x ≠1时,分式1
1
-x 有意义.
(2)分母23+x ≠0,即x ≠-2
3
.
所以,当x ≠-23时,分式3
22
+-x x 有意义.
2.分式的基本性质
在进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质.类似地,分式有如下基本性质:
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
与分数类似,根据分式的基本性,可以对分式进行约分和通分. 例3 约分
(1)4
3
22016xy
y x -; (2)44422+--x x x 分析 分式的约分,即要求把分子与分母的公因式约去.为此,首先要找出
分子与分母的公因式.
解(1)4
3
22016xy
y x -=-y xy x xy 544433??=-y x 54. (2)44422+--x x x =2)2()2)(2(--+x x x =2
2
-+x x .
约分后,分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为最简分式.
例4 通分
(1)
b
a 2
1,21
ab ; (2)y x -1,y x +1; (3)
221y x -,xy
x +21
.
分析 分式的通分,即要求把几个异分母的分式分别化为原来的分式相等的
同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母,通常取各分母所有因式的
最高次幂的积作为公分母(叫做最简公分母).例如第(1)小题中的两个分式b
a 2
1
和21
ab
,它们的最简公分母是a 2b 2. 解 (1)b
a 21与21
ab 的最简公分母为a 2b 2,所以
b a 21=b b a b ??21=2
2b a b , 21ab =a ab a ??21=2
2b
a a
. (2)
y x -1与y
x +1
的最简公分母为(x -y )(x +y ),即x 2-y 2,所以 y x -1=))((1y x y x y x +-+?)(=2
2y x y
x -+, y x +1=))(()(1y x y x y x -+-?=2
2y
x y
x --. (3)因为 x 2-y 2=________________,
x 2+xy =________________, 所以
221y x -与xy x +21
的最简公分母为__________,因此
2
21
y
x -=___________, xy
x +21
=___________.
练 习 1. 约分:
(1)2
232axy
y
ax ; (2))(3)(2b a b b a a ++-; (3)32)()(a x x a --; (4)y xy x 242+-.
2. 通分: (1)
231x ,xy 125; (2)x x +21,x
x -2
1. 3. 军训期间,小华打靶的成绩是m 发9环和n 发7环,请问,小华的平均成绩
是每发多少环? 习题17.1
1. 用分式填空:
(1) 小明t 小时走了s 千米的路,则他走这段路的平均速度是____千
米/时;
(2) 一货车送货上山,上山速度为x 千米/时,下山速度为y 千米/时,则
该货车的平均速度为____千米/时.
2. 指出下列有理式中,哪些是分式?
x 1, 21(x +y ), 3x , x
m -2, 3-x x , 1394y x +
3. 当x 取什么值时,下列分式有意义?
(1)x 21; (2)22+-x x ; (3)142++x x ; (4)5
34-x x .
4. 通分:
(1)ab c 、bc a 、ac b ; (2)x
x +21,1212++-x x .
5. 某机械厂欲成批生产某种零件,第一道工序需要将一批长l 厘米、底面半径为2r 厘米的圆钢锻造成底面半径为r 厘米的圆钢.请问锻造后的圆钢长多少厘米?
§17.2 分式的运算
1.分式的乘除法
试一试 计算:
(1)a b b a 32232?; (2)b a b a 232÷.
解 (1)a b b a 32232?=a b b a 32322??=b a
32.
(2)b a b a 232÷=2232a b b a ?=22b
a
.
概括
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式,应该通过约分进行化简.
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 例1计算:
(1)x b ay by x a 2222?; (2)222222x b yz a z b xy a ÷.
解 (1)x b ay by x a 2222?=x b by ay x a 2222??=33
b
a .
(2)222222x b yz a z b xy a ÷=yz a x b z b xy a 222222?=33
z x .
例2计算:4
9
3222--?+-x x x x . 解 原式=
)2)(2()3)(3(32-+-+?+-x x x x x x =2
3
+-x x .
思 考
怎样进行分式的乘方呢?试计算:
(1)(m n )3 (2)(m
n
)k (k 是正整数)
(1)(m
n )3 =m n m n m n ??=
)()(m m m n n n ????=________; (2)(
m n )k =443
4421Λ个
k m n m n
m n ???=)()(m m m n n n ??????ΛΛ=___________. 仔细观察所得的结果,试总结出分式乘方的法则.
练 习 1.计算:
(1)c a a b ?; (2)y x xy xy y x 234322+?-; (3)2
22
6103x y x y ÷; (4)2221x x x x x +?-. 2.计算:
(1)(x y 2-)2 ; (2)(22c
a
-)3
3.上海到北京的航线全程s 千米,飞行时间需a 小时;铁路全长为航线长的m 倍,乘车时间需b 小时.飞机的速度是火车速度的多少倍?(用含a 、b 、s 、m 的分式表示)
2.分式的加减法
试一试
计算:
(1)a
a b 2+; (2)ab a 322-.
解(1)a a b 2+=a b 2
+
(2)ab a 322-=b a a b a b 2232-
=b a a b 232- 概括
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;
异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减.
例3计算:xy
y x xy y x 2
2)()(--+. 解xy y x 2)(+-xy y x 2
)(-
=xy
y x y x 2
2)()(--+
=xy
y xy x y xy x )2()2(2222+--++
=xy
xy
4=4.
例4 计算:16
24
432
---x x . 分析 这里两个加项的分母不同,要先通分.为此,先找出它们的最简公分母.注意到162-x =)4)(4(-+x x
,所以最简公分母是)4)(4(-+x x .
解 16
24
432
---x x =
)4)(4(24
43-+--x x x =
)
4)(4(24
)4)(4()4(3-+--++x x x x x
=
)
4)(4(24
)4(3-+-+x x x
=
)4)(4(12
3-+-x x x
=)
4)(4()
4(3-+-x x x
=
4
3
+x . 练 习 1. 计算:
(1)a a 2
1+; (2)ab ab 610-; (3)b a b b a a +++; (4)a
b b b a a -+
-. 2. 计算:
(1)v u 11+; (2)24a b
a b -;
(3)a a a +--22214; (4)224
-++a a .
习题17.2 1. 计算: (1)
nx
my
mx ny ?
; (2)y x y x 28712÷; (3)x x x x x x +-÷-+-2
221112; (4)2
23??
?
??-a b . 2. 计算:
(1)a c b a c b ++
-; (2)b
c a c -; (3)x
x -++11
11; (4)
112---x x x . 3. 计算:
(1)323111
x x x x
???? ??+-;
(2)
??
? ??--+?+-y x x y x y x x 2121. 4. 林林家距离学校a 千米,骑自行车需要b 分钟,若某一天林林从家出发迟了c 分钟,则她每分钟应多骑多少千米,才能使到达学校的时间和往常一样? 5. 周末,小颖跟妈妈到水果批发市场去买苹果.那儿有两种苹果,甲种苹果每箱
重m 千克,售a 元;乙种苹果每箱重n 千克,售b 元.请问,甲种苹果的单价是乙种苹果的多少倍?
阅读材料
历史上的分数运算法则
(1)最早的分数运算法则 我们伟大的祖国,作为世界四大文明古国之一,在世界数学发展的历史长河中,曾作出过许多杰出的贡献,远远走在世界的前列.许多光辉的成就,在世界数学史上享有崇高的荣誉.分数运算法则的出现就是我们引以为荣的成就。
早在西汉时期,张苍、耿寿昌等学者在整理、删补自秦代以来的数学知识的基础上,编成了数学的经典――《九章算术》.后来,魏晋时代伟大的数学家刘徽对此书作了注解,于魏景元四年(263)年写成了《九章算术注》.在《九章算术》的《方田》章中,提出了完整的分数运算法则,讲到了约分、合分(分数的加法)、减分(分数的减法)、乘分(分数的乘法)、经分(分数的除法)的法则,这些与我们现在的分数运算法则完全相同.另外,还记载了课分(比较分数大小)、平分(求分数的平均值)等关于分数的知识,是世界上最早的系统传述分数的著作.
分数运算,大约15世纪才在欧洲流行.欧洲人普遍认为,这种算法起源于印度.实际上,印度到7世纪婆罗门笈多的著作中才开始出现分数的运算法则,即使与刘徽的时代相比,印度也要比我国迟400年左右.
(2)中国最早的约分 《九章算术》中的算法是在假设读者已具备了正整数四则运算方法的基础上展开的.《方田》一章中讲述了分数运算,“约分术”是第一个算法,其述文是:
“可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”
意思是:分母、分子若都是偶数,先同被2除;若不都是偶数,则用“更相减损术”求其“等数”(即最大公约数).再用最大公约数去同除分母与分子.
所谓“更相减损”,就是辗转相减.例如,求91与49的“等数”方法是:
775
77
4242
49424949
91?
于是有
13
7
791749=÷÷. 如果我们注意到,那时的计算是用算筹进行的,那么上述求等数的更相减损法,用起来是很方便的:只要从多的一边筹码数中将另一边较少筹码数减去,如此反复进行,直到两边所剩数相等即可,这也是“等数”名称的由来。
(等数)
(连减5次)
§17.3 可化为一元一次方程的分式方程
问 题
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时,求轮船在静水中的速度. 分 析
设轮船在静水中的速度为x 千米/时,根据题意,得
3
60
380-=
+x x . (1) 概 括
方程(1)中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程. 思 考
怎样解分式方程呢?有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢?试动手解一解方程(1).
方程(1)可以解答如下:
方程两边同乘以(x +3)(x -3),约去分母,得
80(x -3)=60(x +3).
解这个整式方程,得
x =21.
所以轮船在静水中的速度为21千米/时. 概 括
上述解分式方程的过程,实质上是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
例1 解方程:1
2
112
-=-x x . 解 方程两边同乘以(x 2-1),约去分母,得
x +1=2.
解这个整式方程,得
x =1.
解到这儿,我们能不能说x =1就是原分式方程的解(或根)呢?细心的同学可能会发现,当x =1时,原分式方程左边和右边的分母(x -1)与(x 2-1)都是0,方程中出现的两个分式都没有意义,因此,x =1不是原分式方程的解,应当舍去.所以原分式方程无解.
我们看到,在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根),这种根通常称为增根.因此,在解分式方程时必须进行检验.
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见,也可将它代入所乘的整式(即最简公分母),看它的值是否为零.如果为零,即为增根.如例1中的x =1,代入x 2-1=0,可知x =1是原分式方程的增根.
有了上面的经验,我们再来完整地解一个分式方程.
例2 解方程:7
30
100-=
x x . 解 方程两边同乘以x (x -7),约去分母,得
100(x -7)=30x .
解这个整式方程,得
x =10.
检验:把x =10代入x (x -7),得
10×(10-7)≠0
所以,x =10是原方程的解.
例3某校招生录取时,为了防止数据输入出错,2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍,然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩?
解 设乙每分钟能输入x 名学生的成绩,则甲每分能输入2x 名学生的成绩,根据题意得
x 22640=6022640
?-x
. 解得 x =11.
经检验,x =11是原方程的解.并且x =11,2x =2×11=22,符合题意. 答:甲每分钟能输入22名学生的成绩,乙每分钟能输入11名学生的成绩.
练 习
1. 解方程:
(1)1
4-x =1; (2)35
13+=
+x x . 2. 解方程:
(1)11-x =221-x ; (2)321+-x =
x
x
--21. 3. 电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件,它们都具有电阻.如图所示,当两个电阻R 1、R 2并联时,总电阻R 满足
2
1R 1R 1R 1+=.若R 1=10欧,R 2=15欧,求总电阻R.
4. 求解本章导图提出的问题.
习题17.3 1. 解方程:
(1)132+=x x ;(2)326--=-x x x x ;(3)255522-++x x x ;(4)2
1
21-=--x x x .
2. 供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走,15分钟后,抢修车装载着所需材料出发,结果他们同时到达.已知抢修
车的速度是摩托车的1.5倍,求这两种车的速度.
3. 某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比为1︰8.今年夏天由于家电购买量明显增多,家电部经理从销售人员中抽调了22人去送货.结果送货人员与销售人员人数之比为2︰5.求这个商场家电部原来各有多少名送货人员和销售人员.
你知道吧吗?
The symbol 5! is called five factorial(阶乘)and means 5·4·3·2·1;thus5!=120.
What’s the result of !
)!
1(n n ?Do you
know?
§17.4 零指数幂与负整指数幂
1.零指数幂与负整指数幂
在§13.1中介绍同底数幂的除法公式a m ÷a n =a m-n 时,有一个附加条件:m >n ,即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数,即m =n 或m <n 时,情况怎样呢? 探 索
先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式: 52÷52,103÷103,a 5÷a 5(a ≠0).
一方面,如果仿照同底数幂的除法公式来计算,得
52÷52=52-2=50, 103÷103=103-3=100, a 5÷a 5=a 5-5=a 0(a ≠0).
另一方面,由于这几个式子的被除式等于除式,由除法的意义可知,所得的商都等于1. 概 括
由此启发,我们规定:
50=1,100=1,a 0=1(a ≠0).
这就是说:任何不等于零的数的零次幂都等于1. 探 索
我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况,例如考察下列算式:
52÷55, 103÷107,
一方面,如果仿照同底数幂的除法公式来计算,得
52÷55=52-5=5-3, 103÷107=103-7=10-4.
另一方面,我们可利用约分,直接算出这两个式子的结果为
52
÷55
=5255=322555?=35
1
,
103
÷107
=731010=433101010?=4
101
.
概 括
由此启发,我们规定:
5-3=
351, 10-4=410
1. 一般地,我们规定
n n a
a 1
=
-(a ≠0,n 是正整数) 这就是说,任何不等于零的数的-n (n 为正整数)次幂,等于这个数的n 次幂的倒数.
例1计算:
(1)3-2; (2)10
1031-????
??
解(1)3-2=
2
31=91. (2)10
1031-???
?
??=1×1101=101.
例2 用小数表示下列各数:
(1)10-4; (2)2.1×10-5.
解 (1)10-4=410
1
=0.0001.
(2)2.1×10-5=2.1×510
1
=2.1×0.00001=0.000021.
探 索
现在,我们已经引进了零指数幂和负整指数幂,指数的范围已经扩大到了全体整数.那么,在§13.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢?与同学们讨论并交流一下,判断下列式子是否成立.
(1))3(232-+-=?a a a ; (2)(a ·b )-3=a -3b -3; (3)(a -3)2=a (-3)×2 (4) )3(232---=÷a a a
2.科学记数法
在§2.12中,我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数,即利用10的
正整数次幂,把一个绝对值大于10的数表示成 a ×10n 的形式,其中n 是正整数,1≤∣a ∣<10.例如,864000可以写成8.64×105.
类似地,我们可以利用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些绝对值较 小的数,即将它们表示成a ×10-n 的形式,其中n 是正整数,1≤∣a ∣<10.例如,
上面例2(2)中的0.000021可以表示成2.1×10-5
.
例3 一个纳米粒子的直径是35纳米,它等于多少米?请用科学记数法表示.
分析 在七年级上册第66页的阅读材料中,我们知道:1纳米=9101米.由910
1
=
10-9可知,1纳米=10-9米.所以35纳米=35×10-9米.
而35×10-9=(3.5×10)×10-9
=35×101+(-9)=3.5×10-8, 所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8米.
练习
1. 计算:
(1)(-0.1)0;(2)020031??? ??;
(3)2-2;(4)2
21-??
?
??. 2. 用科学记数法填空:
(1)1秒是1微秒的1000000倍,则1微秒=_________秒; (2)1毫克=_________千克;
(3)1微米=_________米; (4)1纳米=_________微米; (5)1平方厘米=_________平方米; (6)1毫升=_________立方米. 3. 用科学记数法表示: (1)0.000 03;(2)-0.000 0064;(3)0.000 0314;(4)2013 000. 4. 计算下列各式,并且把结果化为只含有正整指数幂的形式: (1)(a -3)2(ab 2)-3; (2)(2mn 2)-2(m -2n -1)-3. 习题17.4 1. 计算:
(1)510
÷254
; (2)(-117)0
; (3)4-2
; (4)2
41-??
?
??-.
2. 计算下列各式,并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式: (1)(x -3yz -2)2;(2)(a 3b -1)-2(a -2b 2)2;(3)(2m 2n -3)3(-mn -2)-2.
3. 已知空气的单位体积质量是0.001 239克/厘米3,试用科学记数法表示.(单位仍用克/厘米3)
小 结
一、知识结构
二、注意事项
1. 分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似,因而在学习过程中, 要注意不断地与分数情形进行类比,以加深对新知识的理解.
2. 解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉,从而将分式方程转化为 整式方程来解,这时可能会出现增根,必须进行检验.学习时,要理解增根产生的原因,认识到检验的必要性,并会进行检验.
3. 由于引进了零指数幂与负整指数幂,绝对值较小的数也可以用科学记数 法来表示.
复习题
A 组
1. 填空:
(1)若某梨园m 平方米产梨n 千克,则平均每平方米产梨__________千克; (2)某工厂原计划a 天完成b 件产品,若现在需要提前x 天完成,则现在每天要比原来多生产产品__________件;
(3)德国著名物理学家普朗克发现:能量子=h ×频率.这里的h 被称为普朗克常数,约为0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 663焦·秒,用科学记数可简洁地记为__________焦·秒;
(4)一种细菌的半径是4×10-5米,用小数表示为__________米. 2. 计算:
(1)0
711??
?
??-; (2)0.01-1;
(3)5-2; (4)(-0.1)-2. 3. 把下列各数用科学记数法表示:
(1)100 000; (2)0.000 01; (3)-112 000; (4)-0.000 112. 4. 把下列各有理式分别填入相应的圈中:
2
1x ,)(51y x +,x -3,0,3a ,c ab 12+,y x
+2
.
整式 分式
5. 写出下列各等式中未知的分子或分母:
(1)22)1(1+-x x =1?+x ; (2)c c 7?2
+=7
1+c ; (3)?2-a =7
21+a ; (4)323+x x =?692x x -.
6. 约分:
(1)22a ab ; (2)xyz
y
x 932-; (3)x x x 62332--; (4)2
2222y x y xy x -+-. 7. 通分: (1)ax 1,bx 1; (2)x
a b
-,xy ay c -;
(3)
12+x ,23
+x ; (4)521+x ,25422-x . 8. 计算:
(1)22)()(y xy y x y x y x xy +-?-+; (2)2
2
2
246???
?
??-÷??? ??x y x y ; (3)13-a -a
-22
; (4)ab b a ab b a 222)(---. 9. 解下列分式方程:
(1)11+x +21=65; (2)2
3
32-=
-x x ; (3)6
1
65122++=-+x x x x .
10. 某校参加市法律知识竞赛的n 名学生的成绩分别为a 1,a 1,…,a n ,则这n 名学生的平均成绩为___________.
11. 甲、乙两辆汽车同时分别从A 、B 两城沿同一条高速公路驶向C 城.已知A 、C 两城的距离为450千米,B 、C 两城的距离为400千米,甲车比乙车的速度快10千米/时,结果两辆车同时到达C 城.求两车的速度.
12. 一台电子收报机,它的译电效率相当人工译电效率的75倍,译电3 000
个字
比人工少用2小时28分.求这台收报机与人工每分钟译电的字数.
B 组
13. 计算:
(1)b a a -2-a -b ; (2)1
11212
+-÷
??? ??
+-x x x ; (3)
))((2c a b a ab --+))((2a c b a bc --; (4)2211y
x xy
y x y x -÷???? ??++-. 14. 一根蜡烛在凸透镜下成一实像(如图),物距u (蜡烛到凸透镜中心的距离)、像距v (像到凸透镜中心的距离)和凸透镜的焦距f 满足关系式:f
v u 1
11=+.若u =24cm 时,v =8cm ,求该凸透镜的焦距.
(第14题)
15. 自然界中隐含着许多规律,一定质量的理想气体,当温度保持不变时,它的压强p 与体积v 的乘积也稳定不变.现在它的压强p 1=1.01×105帕,体积V 1=2米3.若将这些气体加压到p 2=3.03×105帕时,求这些气体的体积V 2.(已知p 1、V 1、p 2、V 2满足
1
2
21V p V p =) C 组
16. (1)已知a +a
1
=2,求a 2+21a 的值;
(2)已知a -a 1=2
3
,求a 2+21a 的值.
17. 观察下面一列单项式:
x ,-2x 2,4x 3,-8x 4,16x 5,…
(1)计算一下这里任一个单项式与它前面的单项式的商,你有什么发现? (2)根据你发现的规律写出第10个单项式.
第十一章 数的开方 11.1平方根与立方根(1) 【教学目标】:以实际问题的需要出发,引出平方根的概念,理解平方根的意义,会求某些数的平方根。 【教学重、难点】:重点:了解平方根的概念,求某些非负数的平方根。 难点:平方根的意义 【教具应用】:老师:三角板、小黑板 学生: 【教学过程】: 一、 提出问题,创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm 2的正方形纸片,纸片的边长应是多少? 问题2、已知圆的面积是16πcm 2,求圆的半径长。 要想解决这些问题,就来学习本节内容 二、 自学提纲: 1、 你能解决上面两个问题吗?这两个问题的实质是什么? 2、 看第2页,知道什么是一个数的平方根吗? 3、 25的平方根只有5吗?为什么? 4、 会求110的平方根吗?试一试 5、 -4有平方根吗?为什么? 6、 想一想,你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根? 7、 根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗? 8、 什么叫开平方? 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果,老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方,要求这个数。 ② 概括:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根。 如52=25,(-5)2=25 ∴25的平方根有两个:5和-5 ③ 根据平方根的意义,可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于-4,所以-4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a (a ≥0)的平方根的运算,叫做开平方。 四、 知识应用 1、 求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④(-0.2)2 2、 将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③(- 5 3)2 五、 测评 1、 说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③125 4 2、 求未知数x 的值 ①(3x )2=16 ②(2x -1)2=9 六、 小结:
华师大版八年级下册数学知识点总结 文件编码(GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968)
八年级华师大版数学(下) 第16章 分式 §分式及基本性质 一、分式的概念 1、分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子B A 叫做分式。 2、对于分式概念的理解,应把握以下几点: (1)分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式,分母是除式,分数线起除号和括号的作用;(2)分式的分子可以含有字母,也可以不含字母,但分式的分母一定要含有字母才是分式;(3)分母不能为零。 3、分式有意义、无意义的条件 (1)分式有意义的条件:分式的分母不等于0; (2)分式无意义的条件:分式的分母等于0。 4、分式的值为0的条件: 当分式的分子等于0,而分母不等于0时,分式的值为0。即,使 B A =0的条件是:A=0, B ≠0。 5、有理式 整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。 分类:有理式 单项式:由数与字母的乘积组成的代数式; 多项式:由几个单项式的和组成的代数式。 二、分式的基本性质 1、分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。 ??????→? ???分式多项项单项式整式
用式子表示为:A B = A ·M B ·M = A ÷M B ÷M ,其中M (M ≠0)为整式。 2、通分:利用分式的基本性质,使分子和分母都乘以适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是:确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是: (1)如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。(2)如果各分母中有多项式,就先把分母是多项式的分解因式,再参照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 3、约分:根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意:(1)如果分子、分母都是单项式,那么可直接约去分子、分母的公因式,即约去分子、分母系数的最大公约数,相同字母的最低次幂;(2)如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式,然后找出它们的公因式再约分;(3)约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则: (1)-a b = a -b =-a b ;(2)-a -b =a b ;(3)- -a -b =a b §分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则: (1)乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。(意思就是,分式相乘,分子与分子相乘,分母与分母相乘)。 用式子表示: bd ac d c b a =? (2)除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,再与被除式相乘。 用式子表示: bc ad c d b a d c b a =?=÷
八年级华师大版数学(下) 第16章分式 §16.1分式及基本性质 一、分式的概念 A 1、分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子 B 叫做分式。 3、分式有意义、无意义的条件 (1)分式有意义的条件:分式的分母不等于0; (2)分式无意义的条件:分式的分母等于0。 4、分式的值为0的条件: A=0的条当分式的分子等于0,而分母不等于0时,分式的值为0。即,使 B 件是:A=0,B≠0。 二、分式的基本性质 通分:利用分式的基本性质,使分子和分母都乘以适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是:确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是:(1)如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。(2)如果各分母中有多项式,就先把分母是多项式的分解因式,再参照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 约分:根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意:(1)如果分子、分母都是单项式,那么可直接约去分子、分母的公因式,即约去分子、分母系数的最大公约数,相同字母的最低次幂;(2)如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式,然后找出它们的公因式再
约分;(3)约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则: (1)-a b = a -b =-a b ;(2)-a -b =a b ;(3)- -a -b =a b §16.2分式的运算 一、分式的乘除法 应用法则时要注意:(1)分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同,即“同号得正,异号得负,多个负号出现看个数,奇负偶正”;(2)当分子分母是多项式时,应先进行因式分解,以便约分;(3)分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的加减法 (一)同分母分式的加减法 1、 用式子表示: 2、注意事项:(1)“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减,各个分子都应有括号;当分子是单项式时括号可以省略,但分母是多项式时,括号不能省略;(2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 (二)异分母分式的加减法 1、法则:异分母分式相加减,先通分,转化为同分母分式后,再加减。用式子表示: bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。 2、注意事项:(1)在异分母分式加减法中,要先通分,这是关键,把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。(2)若分式加减运算中含有整式,应视其分母为1,然后进行通分。(3)当分子的次数高于或等于分母的次数时,应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算,可使运算简便。 四、分式的混合运算 注意事项:(1)有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用,要灵活运用交换律、结合律和分配律;(2)分式运算结果必须化到最简,能约分的要约b c a b c b a ±=±
八年级数学试题 2015.10.22 一、选择题(每小题3分,共36分) 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是() 2.下列说法中正确的是( ) A.面积相等的两个图形是全等形 B.周长相等的两个图形是全等形 C.所有正方形都是全等形 D.能够完全重合的两个图形是全等形 3.点(3,2)关于x轴的对称点为( ) A.(3,-2) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(2,-3) 4. 如图,已知点A、D、C、F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要 添加一个条件是() A. ∠BCA=∠F B. ∠B=∠E C. BC∥EF D. ∠A=∠EDF 5. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示,则说明∠A/O/B/=∠A O B的依据是 ( ) A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 6. 下列四种图形都是轴对称图形,其中对称轴条数最多的图形是 () A. 等边三角形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 7.如图,△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,若CD=4,则点D到AB的距离是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8. 一名同学想用正方形和圆设计一个图案,要求整个图案关于正方形的某条对角线对称,那么下列图案中不符合 ...要求的是( )
9.如图,已知AB∥CF,E为DF的中点,若AB=9cm,CF=4cm,则BD等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 10. 如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为( ) A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 11. 如图,正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A/B/C/D/E/F/.下列判断错误 ..的是(). A. AB=A/B/ B. BC//B/C/ C.直线l⊥BB/ D.∠A/=120° 12. 如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(每小题3分,共24分) 13. 写出一个成轴对称图形的汉字:______________ 14.如图,△ABC≌△DEF,请根据图中提供的信息,写出x= .
2013年华师大版八年级数学下册教案(全册) 四川省射洪中学八年级数学下册教案华师大版第17章分式 §com 分式的概念 教学目标 1经历实际问题的解决过程从中认识分式并能概括分式 2使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3能通过回忆分数的意义类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件渗透数学中的类比分类等数学思想 教学重点 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件 教学难点 能通过回忆分数的意义探索分式的意义 教学过程 一做一做 1面积为2平方米的长方形一边长3米则它的另一边长为_____米 2面积为S平方米的长方形一边长a米则它的另一边长为________米 3一箱苹果售价p元总重m千克箱重n千克则每千克苹果的售价是___元二概括 形如 AB是整式且B中含有字母B≠0 的式子叫做分式其中A叫做分式的分
子B叫做分式的分母 整式和分式统称有理式即有理式整式分式 三例题 下列各有理式中哪些是整式哪些是分式 1 2 3 4 解属于整式的有24属于分式的有13 注意在分式中分母的值不能是零如果分母的值是零则分式没有意义例如在分式中a≠0在分式中m≠n 当取什么值时下列分式有意义 1 2 分析要使分式有意义必须且只须分母不等于零 解 1分母≠0即≠1 所以当≠1时分式有意义 2分母2≠0即≠- 所以当≠-时分式有意义 四练习 P5习题171第3题13 1.判断下列各式哪些是整式哪些是分式 9x4 2 当x取何值时下列分式有意义 1 2 3 3 当x为何值时分式的值为0
1 2 3 五小结 什么是分式什么是有理式 六作业 P5习题171第12题第3题24 七教学反思 §com 分式的基本性质 教学目标 1掌握分式的基本性质掌握分式约分方法熟练进行约分并了解最简分式的意义 2使学生理解分式通分的意义掌握分式通分的方法及步骤 教学重点 让学生知道约分通分的依据和作用学会分式约分与通分的方法 教学难点 1分子分母是多项式的分式约分 2几个分式最简公分母的确定 教学过程httpx kb1com 1分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变 用式子表示是 其中M是不等于零的整式 与分数类似根据分式的基本性质可以对分式进行约分和通分
第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 教学目标: 1、经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3、能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件,渗透数学中的类比,分类等数学思想。 教学重点: 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点: 能通过回忆分数的意义,探索分式的意义。 教学过程: 一、做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为_____米; (2)面积为S 平方米的长方形一边长a 米,则它的另一边长为________米; (3)一箱苹果售价p 元,总重m 千克,箱重n 千克,则每千克苹果的售价是___元; 二、概括: 形如 B A (A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式,分式. 三、例题: 例1 下列各有理式中,哪些是整式?哪些是分式? (1) x 1; (2)2 x ; (3)y x xy +2; (4)33y x -. 解:属于整式的有:(2)、(4);属于分式的有:(1)、(3). 注意:在分式中,分母的值不能是零.如果分母的值是零,则分式没有意义.例如,在分式a S 中,a ≠0;在分式n m -9中,m ≠n. 例2 当x 取什么值时,下列分式有意义? (1) 11-x ; (2)3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义,必须且只须分母不等于零. 解 (1)分母1-x ≠0,即x ≠1. 所以,当x ≠1时,分式 1 1 -x 有意义. (2)分母23+x ≠0,即x ≠-2 3 . 所以,当x ≠-23时,分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习: P5习题17.1第3题(1)(3) 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 2 38y y -,91-x 2. 当x 取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (3) 4522--x x x x 235-+2 3+x
华师大版八年级下册数 学教学计划 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
华师大版八年级下册数学教学计划 一、教学目标 1、知识与技能:主要内容包括“分式” “ 函数及其图象”“全等三角形” “平行四边形的判定” “数据的整理与初步处理”共五章,各章都力图讲清知识的来龙去脉,将知识的形成和应用过程呈现给同学们。 2、过程与方法: [1] 经历“观察----探索----猜测----证明”的学习过程,体验科学发现的一般规律。 [2] 通过探索、学习,使学生逐步学会正确、合理地进行运算,逐步学会观察、分析、综合、抽象,会用归纳、演绎、类比进行简单地推理。 3、情感态度与价值观:通过学习交流、合作、讨论的方式,积极探索,改进学生的学习方式,提高学习质量,逐步形成正确地数学价值观。 二、内容分析 第十七章分式是是代数式中重要的基本概念;分式的概念、分式的基本性质及约分、通分等变形,是全章的理论基础,分式的加、减、乘、除及乘方运算,是全章的重点内容,分式方程的概念,主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解分式方程时,应用化归思想,并且要注意检验是必不可少的步骤。本章应尽可能采用类比方法学习,联系实际,培养学生有条理的思考与表达。同时培养学生的阅读理解和多角度思考问题的能力。 第十八章函数及其图象通过对变量的考察,体会函数的概念,并进一步研究一次函数、反比例函数。了解函数的有关性质和研究方法,并初步形成利用函数的观点认识现实世界
的意识和能力。在教材中,通过体现“问题情境——建立数学模型——概念、规律、应用与拓展”的模式,让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数、反比例函数的概念,并进行探索一次函数、反比例函数的图象及其性质,最后利用一次函数、反比例函数及其图象解决有关现实问题。 第十九章全等三角形主要介绍了三角形全等的性质和判定方法及直角三角形全等的特殊条件。更多的注重学生推理意识的建立和对推理过程的理解,学生在直观认识和简单说明理由的基础上,比较严格地证明全等三角形的性质,探索三角形全等的条件。 第二十章平行四边形的判定将在上册学习平行四边形性质的基础上,充分运用图形的变换探索发现判定平行四边形的方法,合理运用几何证明所得数学结论,努力实现合情推理与演绎推理的有机结合。 第二十一章数据的整理与初步处理是在前几册统计与概率内容的基础上,使学生学会选用合适统计图表,进行数据整理,清晰而又准确地表示所收集的数据,同时通过情境引入平均数、中位数与众数以及方差、极差与标准差,较为正确地比较所得数据,使学生掌握分析处理数据的基本方法,用数学语言表述自己的见解。 三、采取措施 1、认真学习钻研新课标,掌握教材;课堂内讲授与练习相结合,及时根据反馈信息,扫除学习中的障碍点。 2、认真备课、精心授课,抓紧课堂四十五分钟,认真上好每一堂课,争取充分掌握学生动态,努力提高教学效果。
第十六章分式 16.1分式 16.1.1从分数到分式 一、教学目标 1.了解分式、有理式的概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:,,,. 2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时,逆流航行60千米所用时间 小时,所以=. 3. 以上的式子,,,,有什么共同点?它们与分数有什么相同点 和不同点? 五、例题讲解 P5例1. 当x为何值时,分式有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x的取值范围. [提问]如果题目为:当x为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m为何值时,分式的值为0? (1)(2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m的解集中的公共部分,就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1
六、随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, , , , , 2. 当x取何值时,下列分式有意义? (1)(2)(3) 3. 当x为何值时,分式的值为0? (1)(2) (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系,并指出哪些是正是?哪些是分式? (1)甲每小时做x个零件,则他8小时做零件个,做80个零件需小时. (2)轮船在静水中每小时走a千米,水流的速度是b千米/时,轮船的顺流速度是千米/时,轮船的逆流速度是千米/时. (3)x与y的差于4的商是 . 2.当x取何值时,分式无意义? 3. 当x为何值时,分式的值为0? 八、答案: 六、1.整式:9x+4, , 分式: , , 2.(1)x≠-2 (2)x≠ (3)x≠±2 3.(1)x=-7 (2)x=0 (3)x=-1 七、1.18x, ,a+b, ,; 整式:8x, a+b, ; 分式:, 2. X = 3. x=-1 课后反思:
第十六章 分式 16.1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1. 了解分式、有理式的概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:710,a s ,33200,s v . 2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时,逆流航行60千米所用时间v -2060小时,所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100,v -2060,a s ,s v ,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不 同点? 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时,分式有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x 的取值围. [提问]如果题目为:当x 为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) 1 -m m 32 +-m m 112+-m m
[分析] 分式的值为0时,必须同时.. 满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1 六、随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 2 38y y -,91-x 2. 当x 取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (3) 3. 当x 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系,并指出哪些是正是?哪些是分式? (1)甲每小时做x 个零件,则他8小时做零件 个,做80个零件需 小时. (2)轮船在静水中每小时走a 千米,水流的速度是b 千米/时,轮船的顺流速度是 千米/时,轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 . 2.当x 取何值时,分式 无意义? 3. 当x 为何值时,分式 的值为0? 八、答案: 六、1.整式:9x+4, 209y +, 54-m 分式: x 7 , 2 38y y -,91-x 2.(1)x ≠-2 (2)x ≠ (3)x ≠±2 3.(1)x=-7 (2)x=0 (3)x=-1 七、1.18x, ,a+b, b a s +,4y x -; 整式:8x, a+b, 4y x -; 分式:x 80, b a s + 2. X = 3. x=-1 4522--x x x x 235-+23 +x x x 57+x x 3217-x x x --221x 80 2332 x x x --12 312-+x x
八年级数学上册复习提纲 第11章数的开方 §11.1平方根与立方根 一、平方根 1、平方根的定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。(也叫做二次方根) 即:若x2=a,则x叫做a的平方根。 2、平方根的性质:(1)一个正数有两个平方根。它们互为相反数;(2)零的平方根是零;(3)负数没有平方根。 二、算术平方根 1、算术平方根的定义:正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质:(1)一个正数的算术平方根只有一个且为正;(2)零的算术平方根是零;(3)负数没有算术平方根;(4)算术平方根的非负性:a ≥0。 三、平方根和算术平方根是记号:平方根±a(读作:正负根号a);算术平方根a(读作根号a) 即:“±a”表示a的平方根,或者表示求a的平方根;“a”表示a的算术平方根,或者表示求a的算术平方根。 其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根,∴被开方数a必须为非负数,即:a≥0。 四、开平方:求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方。其实质就是:已知指数和二次幂求底数的运算。 五、立方根 1、立方根的定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。(也叫做三次方根) 即:若x3=a,则x叫做a的立方根。 2、立方根的性质:(1)一个正数的立方根为正;(2)一个负数的立方根为负;(3)零的立方根是零。 3、立方根的记号:3a(读作:三次根号a),a称为被开方数,“3”称为根指数。 3a中的被开方数a的取值范围是:a为全体实数。 六、开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。其实质就是:已知指数和三次幂求底数的运算。 七、注意事项: 1、“±a”、“a”、“3a”的实质意义:“±a”→问:哪个数的平方是a;“a”→问:哪个非负数的平方是a;“3a”→问:哪个数的立方是a。 2、注意a和3a中的a的取值范围的应用。 如:若3 x有意义,则x取值范围是。(∵x-3≥0,∴x≥3)
八年级数学下册单元测试题及答案全套 第16章检测卷 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.使分式2 x -1有意义的x 的取值范围是( ) A .x ≠0 B .x >1 C .x <1 D .x ≠1 2.计算3x -2 x 的结果是( ) A.6x 2 B.6x C.52x D.1x 3.一种微粒的半径是0.000041米,0.000041这个数用科学记数法可表示为( ) A .41×10-6 B .4.1×10- 5 C .0.41×10-4 D .4.1×10- 4 4.如果把2y 2x -3y 中的x 和y 都扩大5倍,那么分式的值( ) A .扩大5倍 B .不变 C .缩小为原来的1 5 D .扩大4倍 5.分式方程1x =2 x -2的解为( ) A .x =2 B .x =-2 C .x =-23 D .x =2 3 6.已知a =????12-2 ,b =-????-12,c =(-2)3,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .b <a <c B .b <c <a C .c <b <a D .a <c <b 7.化简a 2-4a 2+2a +1÷a 2-4a +4(a +1)2-2 a -2的结果为( ) A.a +2a -2 B.a -4a -2 C.a a -2 D .a 8.若关于x 的分式方程2x -a x -2=12 的解为非负数,则a 的取值范围是( ) A .a ≥1 B .a >1 C .a ≥1且a ≠4 D .a >1且a ≠4 9.甲、乙两人同时分别从A ,B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地.已知A ,C 两地间的距离为110千米,B ,C 两地间的距离为100千米.甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时.结果两人同时到达C 地,求两人的平均速度.为解决此问题,设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时.由题意列出方程,其中正确的是( ) A.110x +2=100x B.110x =100x +2 C.110x -2=100x D.110x =100x -2 10.关于x 的分式方程5x =a x -5有解,则字母a 的取值范围是( )
Ⅰ《数的开方》 一、填空题 1、0 的平方根是 ; 9的平方根是 ; 2、64的算术平方根是 ; 27-的立方根是 ; 3、若1212=x ,则x = ;若1253-=x ,则x = ; 4、计算:① 4= ;② ()23-= ;③9 7 1± = ;④169-= 5、计算:①30= ;②=327 10 2 ;③31-= ;④3216--= 6、 的平方根是它本身, 的立方根是它本身; 7、8-的立方根与16的平方根的和是 ; 8、若8=x ,则x = ;若33-=x ,则x = ; 9、在16,π,2-,3 1 ,0,3.1010010001…,3.1415926这些数中,无理数 是 ; 10、制作一个表面积为12的正方体纸盒,则这个正方体的棱长是 ; 11、10在连续的两个整数a 和b 之间,a < 10
A、-1立方根是-1; B、-1的立方是-1; C、-1是1的平方根 D、-1的平方根是-1 6、下列各数中:0,32,(-5)2,-4,9,-︱-16︱,π,有平方根的数的个数是( ). A、3个; B、4个; C、5个; D、6个 7、下列各式中,正确的是( ). A、; B、 ;C、;
))))))) 八年级华师大版数学(下)分式第16章 16.1分式及基本性质§一、分式的概念A那么式子中含有字母,表示两个整式,并且B如果1、分式的定义:A、B B分式叫做。2、对于分式概念的理解,应把握以下几点:)分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式,分母是除式,分数线(1)分式的分子可以含有字母,也可以不含字母,但分式(2起除号和括号的作用;3)分母不能为零。的分母一定要含有字母才是分式;(3、分式有意义、无意义的条件;(1)分式有意义的条件:分式的分母不等于0 。(2)分式无意义的条件:分式的分母等于0 的条件:4、分式的值为0A的条。即,使0=0当分式的分子等于0,而分母不等于0时,分式的值为B 0件是:A=0,B≠。5、有理式整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。?式单项?整式??分类:有理式项项多????分式??? 单项式:由数与字母的乘积组成的代数式;多项式:由几个单项式的和组成的代数式。二、分式的基本性质、分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零1))))))). ))))))) 的整式,分式的值不变。 A·M AA÷M用式子表示为:= = ,其中M(M≠0)为整式。 MBB÷M·B2、通分:利用分式的基本性质,使分子和分母都乘以适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成同分母
的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是:确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是:(1)如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。(2)如果各分母中有多项式,就先把分母是多项式的分解因式,再参照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 3、约分:根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意:(1)如果分子、分母都是单项式,那么可直接约去分子、分母的公因式,即约去分子、分母系数的最大公约数,相同字母的最低次幂;(2)如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式,然后找出它们的公因式再约分;(3)约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则: -a a-a-a aaa(1)= =-;(2)= ;(3)-= bbbb-b-b-b§16.2分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则: (1)乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。(意思就是,分式相乘,分子与分子相乘,分母与分母相乘)。 acac bdbd用式子表示:))))))).
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华师大版八年级下册数学教学工作计划 一、学情分析 本学期本人继续担任八年级(1)班的数学教学工作,八年级是初中学习过程中的关键时期,学生基础的好坏,直接影响到将来是否能升学。从上期期末考试的成绩来看 1 班同学的成绩差异很大,分数极差很大,中等生人数很少。有少数学生不上进,思维不紧跟老师,有部分同学基础较差,问题较严重。要在本期获得理想成绩,老师和学生都要付出努力,查漏补缺,充分发挥学生是学习的主体,教师是教的主体作用,注重方法,培养能力。 二、教材分析 本学期教学内容共计五章,知识的前后联系,教材的教学目标,重、难点分析如下: 第十七章分式 本章的主要内容包括:分式的概念,分式的基本性质,分式的约分与通分,分式的加、减、乘、除运算,整数指数幂的概念及运算性质,分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 第十八章函数及其图像 函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型,本单元学生在学习了一次函数后,进一步研究反比例函数。学生在本章中经历:反比例函数概念的抽象概括过程,体会建立数学模型的思想,进一步发展学生的抽象思维能力;经历反比例函数的图象及其性质的探索过程,在交流中发展能力这是本章的重点之一;经历本章的重点之二:利用反比例函数及图象解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力;经历函数图象信息的识别应用过程,发展学生形象思维;能根据所给信息确定反比例函数表达式,会作反比例函数图象,并利用它们解决简单的实际问题。本章的难点在于对学生抽象思维的培养,以及提高数形结合的意识和能力。 第十九章全等三角形 本章主要内容是探索三角形全等的判定方法,领略推理证明的奥秘,由于三角形全等的判定方法与全等三角形的性质具有“互逆”的特点,所以本章因势利导,介绍了命题与定理、逆命题与逆命题的有关知识。此外,本章教材最后还介绍了几种常用的基本作图和简单的尺规作图的方法。
第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 教学目标: 1、知识与技能:经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式 的意义。 2、过程与方法:使学生能正确地判断一个代数式是否是分式,能通过回忆 分数的意义,类比地探索分式的意义。 3、情感态度与价值观:渗透数学中的类比,分类等数学思想。 教学重点: 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点: 能通过回忆分数的意义,探索分式的意义。 教学过程: 一、做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为_____米; (2)面积为S 平方米的长方形一边长a 米,则它的另一边长为________米; (3)一箱苹果售价p 元,总重m 千克,箱重n 千克,则每千克苹果的售价是___元; 二、概括: 形如B A (A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式.其中 A 叫做分式的 分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式, 分式. 三、例题: 例1 下列各有理式中,哪些是整式?哪些是分式? (1) x 1; (2)2 x ; (3)y x xy +2; (4)33y x -. 解:属于整式的有:(2)、(4);属于分式的有:(1)、(3). 注意:在分式中,分母的值不能是零.如果分母的值是零,则分式没有意义.例如,在分式a S 中,a ≠0;在分式n m -9中,m ≠n. 例2 当x 取什么值时,下列分式有意义? (1)11-x ; (2)3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义,必须且只须分母不等于零. 解 (1)分母1-x ≠0,即x ≠1. 所以,当x ≠1时,分式1 1 -x 有意义. (2)分母23+x ≠0,即x ≠-2 3 . 所以,当x ≠-23时,分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习:
华师大版数学八年级(下) 第16章分式 §16.1分式及基本性质 一、分式的概念 A叫做 1.分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子 B 分式。整式和分式统称有理式。 对于分式的概念的理解重点把握三点: A中的A、B是整式; (1)分式 B (2)分母B中必须含有字母,这是区分整式与分式的主要依据; (3)整式B≠0。 2.分式有意义、无意义的条件 (1)分式有意义的条件:分式的分母不等于0; (2)分式无意义的条件:分式的分母等于0。 3.分式的值为0的条件: A=0的条件是:当分式的分子等于0,而分母不等于0时,分式的值为0。即,使 B A=0,B≠0。 4.分式的值为正或负的条件: 值为正:分子和分母同为正或同为负。值为负:分子和分母异号。 二、分式的基本性质 1.分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或都除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。 2.约分:根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分。 确定公因式的方法:(1)如果分子、分母都是单项式:先找分子、分母系数的最大公约数,再找相同字母的最低次幂;(2)如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式,然后找出它们的公因式再约分; 注意:约分一定要把公因式约完,化为最简分式。
3.最简分式:约分后,分子与分母不再有公因式,分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。 通分:利用分式的基本性质,使分子和分母都乘以适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是:确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是:(1)如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。(2)如果各分母中有多项式,就先把分母是多项式的分解因式,再参照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 三、分式的符号法则: B A B A B A B A --=--=--=)(1;B A B A B A B A ---=-=-=-)(2 §16.2分式的运算 一、分式的乘除法 1.分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母,如果得到的不是最简分式,应该通过约分进行化简。 即:).0,0(≠≠=?d b bd ac d c b a 2.分式的除法法则 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。 即:).0,0,0(≠≠≠=?=÷d c b bc ad c d b a d c b a 应用法则时要注意:(1)分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同,即“同号得正,异号得负,多个负号出现看个数,奇负偶正”;(2)当分子分母是多项式时,应先进行因式分解,以便约分;(3)分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 3.分式的乘方 分式的乘方等于把分子和分母分别乘方,用式子表示为: ).,0(为正整数n b b a b a n n n ≠=??? ??
华师大版八年级数学上册全套试卷 特别说明:本试卷为最新华师大版中学生八年级达标测试卷。 全套试卷共6份。 试卷内容如下: 1. 第十一章使用 2. 第十二章使用 3. 第十三章使用 4. 第十四章使用 5. 第十五章使用 6. 期末检测卷
第11章达标检测卷 (120分,90分钟) 一、选择题(每题3分,共30分) 1.(2015·泰州)下列4个数:9、22 7、π、(3)0,其中无理数是( ) A .9 B .22 7 C .π D .(3)0 2.8的平方根是( ) A .4 B .±4 C .8 D .±8 3.(2015·安徽)与1+5最接近的整数是( ) A .4 B .3 C .2 D .1 4.下列算式中错误的是( ) A .-0.64=-0.8 B .±1.96=±1.4 C . 925=±35 D .3-278=-3 2 5.如图,数轴上点N 表示的数可能是( ) A .10 B . 5 C . 3 D . 2 (第5题) 6.比较32,52,-6 3的大小,正确的是( ) A .32<52<-63 B .-63<32<5 2 C .32<-63<52 D .-63<52<32 7.若a 2=4,b 2=9,且ab >0,则a +b 的值为( ) A .-1 B .±5 C .5 D .-5 8.如图,有一个数值转换器,原理如下: (第8题)
当输入的x 为64时,输出的y 等于( ) A .2 B .8 C . 2 D .8 9.已知2x -1的平方根是±3,3x +y -1的立方根是4,则y -x 2的平方根是( ) A .5 B .-5 C .±5 D .25 10.如图,已知正方形的面积为1,其内部有一个以它的边长为直径的圆,则阴影部分的面积与下列各数最接近的是( ) (第10题) A .0.1 B .0.04 C .3 0.08 D .0.3 二、填空题(每题3分,共30分) 11.实数3-2的相反数是________,绝对值是________. 12.在3 5,π,-4,0这四个数中,最大的数是________. 13.4+3的整数部分是________,小数部分是________. 14.某个数的平方根分别是a +3和2a +15,则这个数为________. 15.若2x -y 3+|y 3-8|=0,则y x 是________理数.(填“有”或“无”) 16.点P 在数轴上和原点相距3个单位长度,点Q 在数轴上和原点相距2个单位长度,且点Q 在点P 的左边,则P ,Q 之间的距离为______________.(注:数轴的正方向向右) 17.一个正方体盒子的棱长为6 cm ,现要做一个体积比原正方体体积大127 cm 3的新盒子,则新盒子的棱长为________ cm . 18.对于任意两个不相等的实数a ,b ,定义运算※如下:a ※b =a +b a -b ,那么7※9=________. 19.若20n 是整数,则正整数n 的最小值是________. 20.请你认真观察、分析下列计算过程: (1)∵112=121,∴121=11; (2)∵1112=12 321,∴12 321=111; (3)∵1 1112=1 234 321,∴ 1 234 321=1 111;… 由此可得:12 345 678 987 654 321=______________________.