数列应用题专题训练
数列应用题专题训练
高三数学备课组以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。
一、储蓄问题
对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2) 存几年。
单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r,经过n期，按
单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr) 。
复利是一种计算利率的方法, 即把前一期的利息和本金加在一起做本金, 再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。
例1、(储蓄问题) 某家庭为准备孩子上大学的学费,每年6月30 日在银行中存入2000 元, 连续 5 年，有以下两种存款的方式：
(1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n 6.5%)计本利(n为年数);
⑵如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n a计算本利(n为年数)。
问用哪种存款的方式在第六年的7月 1 日到期的全部本利较高？分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。
解：若不计复利， 5 年的零存整取本利是
2000(1+5 X 0.065)+2000(1+4 X 0.065)+ …+2000(1+0.065)=11950
若计复利，则
2000(1+5%) 5+2000(1+5%) 4+ …+2000(1+5%)?1186元。
所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。
二、等差、等比数列问题等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。
例2、(分期付款问题) 用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150 元，以后每月这一天都交付50 元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150 元以后的第
一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这
件家电实际花了多少钱？
解：购买时付出150元，余欠款1000元，按题意应分20次付清。
设每次所付欠款顺次构成数列｛a n｝，则
a i=50+1000 >0.01=60 元,
a2=50+(1000-50) 0>仁59.5 元，
^=50+(1000-50 2) >.01=59 ,
a n=60-(n-1) 0.5
所以｛a n｝是以60为首项，-0.5为公差的等差数列，
故a10=60-9 >.5=55.5 元
20次分期付款总和
「60 50.5 一
S20= X20=1105 兀，
2
实际付款1105+150=1255(元)
答：第10个月该付55.5元，全部付清后实际共付额1255元。
例3、(疾病控制问题) 流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某
市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的
传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最
多？并求这一天的新患者人数。
分析：设11月n日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n日，每天新感染者人
数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。
略解：由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列a n, a1=20,d1=50,11月n
日新感染者人数a n=50n—30;从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列b n,b1=50n-60,d2= —30, b n=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11 月30 日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.
n 2-61 n+588=0,解得n=12或n=49（舍），即11月12日这一天感染者人数最多，为
例4 （住房问题）某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为 6 m 2,如果该城市每年人口 平均增长率为1%,每年平均新增住房面积为 30万m 2，求2000年底该城市人均住房面积为多
少m 2?（精确到0.01）
解：1991年、1992年、……2000年住房面积总数成
a 1 = 6 爲00 = 3000 万 m 2, d = 30 万 m 2, a 10 = 3000 + 9 3（0= 3270
1990年、1991年、……2000年人口数成
b 1 = 500 , q = 1% , bg 500 1.019
500 1.0937 546.8 ??? 2000年底该城市人均住房面积为:
3270 546.8
2
5.98 m
点评：实际问题中提炼出等差、等比数列。
例5 （浓度问题） 从盛有盐的质量分数为 20%的盐水2 kg 的容器中倒出1 kg 盐水，然后加入1 kg 水，
问：
以后每次都倒出1 kg 盐水，然后再加入 1 kg 水， 1.第5次倒出的的1 kg 盐水中含盐多少g ？
2经6次倒出后，一共倒出多少 kg 盐？此时加1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多 少？
解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为
1
a 1= 0.2 kg ,
a 2= X0.2 kg ,
2 1 由此可见：an= （ —）n 1X ）.2 kg ,
2
2?由1?得｛a n ｝是等比数列
{a n }，则:
1 2 a 3= ( )2X).2 kg
1 1
a5= ( )5 1X0.2= (— )4>0.2=0.0125 kg
2
2
1 a 1 =0.
2 ,
q=—
2
S
印(1
q 6
)
0.2(
1
0.39375 kg
1 2 0.4 0.39375 0.00625
0.00625 2 0.003125 点评：掌握浓度问题中的数列知识。 例6.（减员增效问题） 某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第 2 一年可以到原单位领取工资的
100 %，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的 领取工 3 资，该厂根据分流人员的技术特长， 计划创办新的经济实体， 该经济实体预计第一年属投资阶段， 第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增 50%，如果某 人分流前工资的收入每年 a 元，分流后进入新经济实体，第 n 年的收入为a n 元， （1 ）求｛a n ｝的通项公式；
故共感染者人数为：
(20 50n 30)n [50n 60 ( 20n 570)](30 n)
=8670，化简得:
2 2
AP
GP
570 人。
8a
（2） 当b
时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？
27
3a （3） 当b 时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入? 8 解：（1 ）由题意得，当n 1时,
a i a ，当 n 2 时，a n (n 1) …a n 1 n (2) 由已知b
2
时，a n 2 当且仅当a （2）
n b(3\n 8a 27， 2 n 1
a(3)
8a/3、n
27(2)
(n 2) 8a -
() 27 2 2，即(j)2n 2 n 1 8a 3 n 2[a(—) (—)
3 27 2
(2)4，解得 n 3, 3 8a
要使得上式等号成立,
9
因此这个人第三年收入最少为
8a 9
元. (3)当n 2时, a n
述等号成立，须b 2
、n 1 叫)
且 n 1 8
3
、n 2
b(=)
2
log 2： 3
2
/2、n
a
（3
） 1 log 2
3
3a 3 n 2
詐)
"J 1 ?(2)n2
2因此等号不能取到,
3a
当b 时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入. 8 例7.（等差等比综合问题） 银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即 将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.现在有某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性贷款 乙方案：每年贷款1 两种方案的期限都是 试比较两个方案 10 _________ . -10 10万元，第一年便可获得利润 1万元，以后每年比上年增加 万元，第一年可获得利润 1万元，以后每年比前一年多获利 10年，到期一次行归还本息.若银行贷款利息均以年息 哪个获得存利润更多？ 1?仁 2.594,1.3~ 13.796） 解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前 10 1.3 1 (1 30%) (1 30%)2 L 到期时银行的本息和为 10 （1 ? ??甲方案扣除本息后的净获利为： 乙方案：逐年获利成等差数列，前 1 (1 0.5) (1 2 0.5) L ，上
30%的利润； 5000 元. 10%的复利计算， （计算精确到千元，参考数据：
10项的和: 1 一 42.62 (万兀) 1.3 1 10 2.594 25.94 (万元) 42.62 25.94 16.7 (万元) (1 30%)9 10
10%) 10年共获利： (1 9 0.5)迥8 2 32.50 (万元) 1 110 17.53 （万元） 1.1 1
?乙方案扣除本息后的净获利为： 32.50 17.53 15.0 （万元） 所以，甲方案的获利较多.
贷款的本利和为：1.1[1 (1 10%) L (1 10%)9] 1.1
三、a n - a n-i =f （n ）,f （n ） 为等差或等比数列
有的应用题中的数列递推关系， a n 与a n-i 的差（或商）不是一个常数，但是所得的差 f （n ）本
身
构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。
例8、（广告问题）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广 告宣传且每件获利 a 元的前提下，可卖出b 件。若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为（n-1） 千元时多卖出B 件，（n € N *）。
2n
（1）试写出销售量s 与n 的函数关系式；
（2）当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大?
分析：对于（1）中的函数关系，设广告费为n 千元时的销量为S n ,则S n-1表示广告费为（n-1）元时的 K
销量，由题意，Sn — S n-1=--，可知数列｛S n ｝不成等差也不成等比数列，但是两者的差
2n
数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：
欲使T n 最大，则：
T n
T n 1，得门5，故n=5,此时S=7875。
T n T
n 1
n 5
即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大。
四、a n = C ? a n-i +B,其中B 、C 为非零常数且
1
2构成等比
2n
解法一、直接列式：由题， s=b+b + 2+2+…+
2 22 23
（广告费为1千元时，s=b+b ；2千元时，s=b+b
b
1
寸b (r )
2 2
b 2 22 ;??? n 千元时 s=b+b +
— 2 2
b b 、 2 + 2?十 +
2*
解法二、（累差叠加法）
s o 表示广告费为0千元时的销售量,
由题:
S i S 2 S n S o S i
S n
b 2n
相加得 b b b b
S n -S 0
=T 尹尹…肯
b
=b(2-
2n 2
1
(2) b=4000 时，S =4000(2-F ，设获利为 t,则有 t=S ? 10-1000n=40000(2-
2 即 S=b+ b + 2
b
+ +…+
22 23
!)。 1
尹1000n
例9、(企业生产规划问题) 某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于
企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保
持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番( 4倍)的目标？
(lg2=0.3 )。
分析：设经过n年后，该项目的资金为a n万元，则容易得到前后两年a n和a n-i之间的递推关
系：a n =a n-i (1+25%) -200 ( n> 2),对于这类问题的具体求解，一般可利用“待定系数法”：
5 5
解：由题，a n =a n-i (1+25%) -200 (n》2),即a n = — a n-i-200，设a n + 入=—(a n-i+ 入)，展开
4 4
5 1 1 5
得a n = — a n-i+ —入，一入=-200，入=-800, —a n -800= —( a n-i-800),即｛a n -800｝成一个等比数列，
4 4 4 4
5 5
a i=1000(1+25%)-200=1050, a 1-800=250，二a n -800=250 ( ) n-1, a =250 ( ) n-1+800,令a n》4000 ,
4 4
5
得(Y) n》16,解得n》12,即至少要过12年才能达到目标。
4
例10 (分期付款问题) 某人年初向银行贷款10万元用于买房：
(1) 如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还(不计复利)，每年一次，
并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到一元);
(2) 如果他向工商银行贷款，年利率为4%,要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息), 仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(精确到一元)。
解：(1)设每年还款x元，依题意得
x+x(1+5%)+x(1+2 X 5%)+ …+x(1+9 X 5%)=100000< (1+5%),
x~ 12245元
(2)设每年还款x元，依题意得
x+x(1+4%)+x(1+4%) 2+?..+x(1+4%) 9=100000(1+4%) 10,
.x~ 12330元
答：(1)当年利率为5%，按单利计算，每年应归还12245元；(2)当年利率为4%,按复利计算
时，每年还款12330元。
评注：上述例题是与数列有关的分期付款问题，两问所用公式各异。(1)中的利率是单利(即当年的利息不计入次年的本金)，故所用的公式是等差数列通项公式和前n项和公式；(2)中的利率是
复利(即利滚利)，故所用公式是等比数列通项公式和前n项和公式，导致这种区分的原因是付款形
式不同。
例11.(环保问题)(2002年全国高考题)某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上年末
汽车保有量的6%并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保
有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
分析：由“每年报废上年末汽车保有量的6%并且每年新增汽车数量相同”易得某城市每年
末汽车保有量与上年末汽车保有量的关系，于是可构造数列递推关系来求解。
2017届高三复习：数列大题训练50题及答案
2017届高三复习：数列大题训练50题 1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+. （1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n = 12111 23(1)n a a n a +++ + . 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n 且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，8 1）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15． 求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式． 5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数. （1）求证: {}n a 为等比数列； （2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111 ,,23 n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ?? ? ??? 的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++ 的结果. 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N*)，满足向 量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N*)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12 高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． 数列经典解题思路 求通项公式 一、观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） K ,1716 4,1093,542,211 （3） K ,52,2 1,32 ,1 解：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12 +=n a n 二、公式法 例1. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是 （ D ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 例2. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ， 公比10< 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． { 、 ~ 、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 高考新课标数学数列大题精选50题（含答案、知识卡片） 一．解答题（共50题） 1．（2019?全国）数列{a n}中，a1＝，2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0． （1）求{a n}的通项公式； （2）求满足a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＜的n的最大值． 2．（2019?新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5． （1）若a3＝4，求{a n}的通项公式； （2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围． 3．（2019?新课标Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列； （2）求{a n}和{b n}的通项公式． 4．（2019?新课标Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{a n}的通项公式； （2）设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和． 5．（2018?新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{a n}的通项公式； （2）求S n，并求S n的最小值． 6．（2018?新课标Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3； （2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{a n}的通项公式． 7．（2018?新课标Ⅲ）等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3． （1）求{a n}的通项公式； （2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m． 8．（2017?全国）设数列{b n}的各项都为正数，且． （1）证明数列为等差数列； （2）设b1＝1，求数列{b n b n+1}的前n项和S n． 9．（2017?新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2． （1）若a3+b3＝5，求{b n}的通项公式； （2）若T3＝21，求S3． 高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a 高中数列经典习题(含 答案) 1、在等差数列{a n }中,a 1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和, (1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围； (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 3、数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值. 4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S . 5、已知数列{n a }的前n 项和3 1=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{n a 1}的前n 项和. 6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设 2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 1 1+n m ,…也成等差数列. 7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根, 当a 1=2时,试求c 100的值. 8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比. 数列综合练习题 一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D． 8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|， 则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（） 数列大题专题训练 1.已知数列｛a n｝、｛b n｝满足：a^- ,a n b n = 1,b n d. 4 1 -a. (1) 求b-,b2,b3,b4； (2) 求数列｛b n｝的通项公式； (3) 设S n = a￡2 ■玄2玄3 ■玄3玄4 ' ... ' a.a n 1 ，求实数a为何值时4aS n (t 0,n -2,3, ) (1) 求证：数列｛a n ｝是等比数列； 1 (2) 设数列｛a n ｝得公比为 f(t),作数列｛b n ｝,使 b i =1,b n 二 f( ),n =(2,3-),求 b b n_1 (3) 求 b i b 2 - b 2b 3 ' b 3b 4 - b 4 b 5 b 2nJ b 2n b 2n b 2n 1 的值。 5 ?设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n =(1 ) - a,其中，=-1,0 ； (1 )证明：数列｛a n ｝是等比数列； 1 水 (2)设数列｛a n ｝的公比 q = f ('),数列｛b n ｝满足b 1 二？,b n 二 f (b nj )(n ? N *,n _ 2) 求数列｛b n ｝的通项公式； 6. 已知定义在 R 上的单调函数 y=f(x)，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数 x 、y € R ,有 f(x+y)= f(x)f(y), (I)求f(0)，并写出适合条件的函数 f(x )的一个解析式； 1 (n)数列｛a n ｝满足 a 1=f(0)且f(a n 1) (n ? N *), f(-2-a .) ①求通项公式a n 的表达式； 试比较S 与4Tn 的大小，并加以证明 1 a ②令 b n=(?)n ,S n ^b 1 b 2 b n , T n a 〔 a 2 a 2 a 3 1 a n a n 1 2020年高考数学 大题专项练习 数列 三 1.已知数列{a n }满足a n+1=λa n +2n (n ∈N *，λ∈R)，且a 1=2． (1)若λ=1，求数列{a n }的通项公式； (2)若λ=2，证明数列{n n a 2 }是等差数列，并求数列{a n }的前n 项和S n ． 2.设数列{}的前项和为 .已知=4，=2+1，.（1）求通项公式 ；（2）求数列{}的前项和. 3.已知数列{a n }是等差数列，a 2=6，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，b 2=2，a 1b 3=12，S 3＋b 1=19. (1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13=34，S 3=9. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式； (2)设数列{b n }的通项公式为b n =，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m≥3，m an an ＋t ∈N)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由． 5.已知数列满足：，。数列的前n 项和为,且 .⑴求数列、的通项公式；⑵令数列满足，求其前n 项和为 6.已知{a n }是递增数列，其前n 项和为S n ，a 1>1，且10S n =(2a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)是否存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )=a k 成立？若存在，写出一组符合条件的m ，n ，k 的值；若不存在，请说明理由． 《时间序列》练习题及解答 一、单项选择题 从下列各题所给的4个备选答案中选出1个正确答案，并将其编号（A、B、C、D）填入题干后面的括号内。 1、构成时间数列的两个基本要素是（）。 A、主词和宾词 B、变量和次数 C、时间和指标数值 D、时间和次数 2、最基本的时间数列是（）。 A、时点数列 B、绝对数数列 C、相对数数列 D、平均数数列 3、时间数列中，各项指标数值可以相加的是（）。 A、相对数数列 B、时期数列 C、平均数数列 D、时点数列 4、时间数列中的发展水平（）。 A、只能是总量指标 B、只能是相对指标 C、只能是平均指标 D、上述三种指标均可以 5、对时间数列进行动态分析的基础指标是（）。 A、发展水平 B、平均发展水平 C、发展速度 D、平均发展速度 6、由间断时点数列计算序时平均数，其假定条件是研究现象在相邻两个时点之间的变动为（）。 A、连续的 B、间断的 C、稳定的 D、均匀的 7、序时平均数与一般平均数的共同点是（）。 A、两者均是反映同一总体的一般水平 B、都是反映现象的一般水平 C、两者均可消除现象波动的影响 D、共同反映同质总体在不同时间上的一般水平 8、时间序列最基本的速度指标是（）。 A、发展速度 B、平均发展速度 C、增长速度 D、平均增长速度 9、根据采用的对比基期不同，发展速度有（）。 A、环比发展速度与定基发展速度 B、环比发展速度与累积发展速度 C、逐期发展速度与累积发展速度 D、累积发展速度与定基发展速度 10、如果时间序列逐期增长量大体相等，则宜配合（）。 A、直线模型 B、抛物线模型 C、曲线模型 D、指数曲线模型 该商场第二季度平均完成计划为（）。 A、100%124%104% 108.6% 3 ++ = B、 506278 108.6% 506278 100%124%104% ++ = ++ C、 506278 100%124%104%92.1% 506278 ++ = ++ D、50100%62124%78104% 109.5% 506278 ?+?+? = ++ 12、增长速度的计算公式为（）。 2018高考数学专题---数列大题训练（附答案） 1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+. （1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n = 12 111 23(1)n a a n a +++ +. 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+- y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++= n N n a n a n a n a n n f n 且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，8 1）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15． 求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式． 5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数. （1）求证: {}n a 为等比数列； （2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23 n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ?? ???? 的通项公式，并求12231n n b b b b b b -++ +的结果. 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线， 且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12高中数学数列专题大题训练
高中数学数列练习题
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
高考文科数学数列经典大题训练(附答案)
高考新课标数学数列大题精选50题(含答案、知识卡片)
高考数学数列大题训练答案版
高中数列经典习题(含答案)讲解学习
数列综合练习题以及答案解析
数列大题专题训练)
2020年高考数学 大题专项练习 数列 三(15题含答案解析)
_时间数列练习题及解答
2018高考数学专题---数列大题训练(附答案)
数列j经典大题讲解与训练(详细答案)