文档视界 最新最全的文档下载
当前位置:文档视界 > 最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

最新湘教版八年级数学下册教案(全册)

直角三角形的性质和判定

教学目标1.知识与技能:掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理,掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理,掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用

2. 过程与方法:通过图形的变换,引导学生发现并提出新问题,进行类比联想,促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力

3.情感态度与价值观:从生活的实际问题出发,引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题和解决问题能力

教学活动课前、课中反思一、复习提问:(1)什么叫直角三角形?

(2)直角三角形是一类特殊的三角形,除了具备三角形性质外,还

具备哪些性质?

二、新授

(一)直角三角形性质定理1

请学生看图形:

1、提问:∠A与∠B有何关系?为什么?

2、归纳小结:定理1:直角三角形的两个锐角互余。

3、巩固练习:

练习1

(1)在直角三角形中,有一个锐角为520,那么另一个锐角度数(2)在Rt△ABC中,∠C=900,∠A -∠B =300,那么∠A=,

∠B=。

练习2 在△ABC中,∠ACB=900,CD是斜边AB上的高,那么,(1)与∠B互余的角有

(2)与∠A相等的角有。

(3)与∠B相等的角有。

(二)直角三角形的判定定理1

提问:“在△ABC中,∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗?”利用三角形内角和定理进行推理

归纳:有两个锐角互余的三角形是直角三角形

练习3:若∠A= 600 ,∠B =300,那么△ABC是三角形。通过图形的变换,引导学生发现并提出新问题,进行类比联想,促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力

(三)直角三角形性质定理2

1、实验操作:要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片

(l)量一量斜边AB的长度

(2)找到斜边的中点,用字母D表示

(3)画出斜边上的中线

(4)量一量斜边上的中线的长度

让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系?

归纳:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、巩固训练:

练习4:在△ABC中,∠ACB=90 °,CE是AB边上的中线,那么与CE相等的线段有_________,与∠A相等的角有_________,若∠A=35°,那么∠ECB= _________。

练习5:已知:∠ABC=∠ADC=90O,E是AC中点。

求证:(1)ED=EB

(2)∠EBD=∠EDB

(3)图中有哪些等腰三角形?

练习6 已知:在△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高, M是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点O,那么MO 与DE有什么

样的关系存在?

四、小结:

这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理和一条判定定理?

直角三角形的性质和判定重

点难点1、重点:直角三角形斜边上的中线性质定理的应用

2、难点::直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法

教学活动课前、课中反思(一)引入:如果你是设计师:(提出问题)

2008年将建造一个地铁站,设计师设想把地铁站的出口建造在离附

近的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公

交站点的位置正好构成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站

的出口建造在哪里?

(通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度

关系,引发学生的学习兴趣。)

动一动想一想猜一猜(实验操作)

请同学们分小组在模型上找出那个点,并说出它的位置。

请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。

通过以上实验请猜想一下,直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系?

(通过动手操作找到那个点,通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的关系。)

(二)新授:

提出命题:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

证明命题:(教师引导,学生讨论,共同完成证明过程)

推理证明思路:①作点D1 ②证明所作点D1 具有的性质③证明点D1 与点D重合

应用定理:通过图形的变换,引导学生发现并提出新问题,进行类比联想,促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力

例1、已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD是∠BAC的平分线,E、F分别AB、AC的中点。

求证:DE=DF

分析:可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线,再证两斜边相等即可证得。

(上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合,现在我们将图形变化使斜边重合,我们可以得到哪些结论?)

练习变式:

已知:在△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高,F

是BC的中点。

求证:FD=FE

练习引申:

(1)若连接DE,能得出什么结论?

(2)若O是DE的中点,则MO与DE存在什么结论吗?

上题两个直角三角形共用一条斜边,两个直角三角形位于斜边的同侧。如果共用一条斜边,两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论?

2、已知:∠ABC=∠ADC=90o,E是AC中点。你能得到什么结论?

例2、求证:一个三角形一边上的中线等于这一边的一半,那么这个三角形是直角三角形

练习

(三)、小结:

通过今天的学习有哪些收获?

(四)、作业:习题A组 1、2

直角三角形的性质和判定

教 学 活 动

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

课前、课中反思一、 创设情境,导入新课

1 直角三角形有哪些性质? (1)两锐角互余;( 2)斜边上的中线等于斜边的一半

2 按要求画图:

(1)画∠MON ,使∠MON=30°,

(2)在OM 上任意取点P ,过P 作ON 的垂线PK ,垂足为K ,量一量PO,PK 的长度,PO,PK 有什么关系?

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

(3) 在OM 上再取点Q,R ,分别过Q,R 作ON

的垂线QD,RE,垂足分别为D,E ,量一量QD ,OQ ,它们有什么关系?量一量RE,OR ,它们有什么关系? 由此你发现了什么规律?

直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

为什么会有这个规律呢?这节课我们来研究这个问题. 二、 合作交流,探究新知

通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

1 探究直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。

如图,Rr△ABC中,∠A=30°,BC为什么会等于AB

分析:要判断BC= AB,可以考虑取AB的中点,如果如果BD=BC,那么

BC=AB,由于∠A=30°,所以∠B=60°,

如果BD=BC,则△BDC一定是等边三角形,所以考虑判断△BDC是等边三角形,你会判断吗?

由学生完成

归纳:直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

这个定理的得出除了上面的方法外,你还有没有别的方法呢?

先让学生交流,得出把△ABC沿着AC翻折,利用等边三角形的性质证明。

2 上面定理的逆定理

上面问题中,把条件“∠A=30°”与结论“BC=AB”交换,结论还成

立吗?

学生交流

方法(1)取AB的中点,连接CD,判断△BCD是等边三角形,得出∠B=60°,从而

∠A=30°

(2)沿着AC翻折,利用等边三角形性质得出。

(3)你能把上面问题用文字语言表达吗?

归纳:直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30度。

三、应用迁移,巩固提高

1、定理应用

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

例1、在△ABC中,△C=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,垂足为点E,交BC边于点D,BD=16cm,则AC的长为______

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

例2、如图在△ABC中,若∠BAC=120°,AB=AC,AD⊥AC于点A,BD=3,则BC=______.

2 实际应用

例3、(P5)在A岛周围20海里水域有暗礁,一轮船由西向东航行到O处时,发现A岛在北偏东60°的方向,且与轮船相距30海里,该轮船如果不改变航向,有触礁的危险吗?

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

四、课堂练习,巩固提高

五、反思小结,拓展提高

直角三角形有哪些性质?怎样判断一个三角形是直角三角形?

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

直角三角形的性质和判定

课前、课中反思

1、新课背景知识复习

1)三角形的三边关系

(2)问题:直角三角形的三边关系,除了满足一般关系外,还有另外的特殊关系吗?

2、定理的获得 让学生用文字语言将上述问题表述出来.

勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和

等于斜边c 的平方 强调说明:

(1)勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边 (2)学生根据上述学习,提出自己的问题(待定) 3、定理的证明方法

方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形.

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形,

方法三:“总统”法.如图所示将两个直

角三角形拼成直角梯形

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

以上证明方法都由学生先分组讨论获得,教师只做指导.最后总结说

通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受

1、定理的应用

例题1、已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,AB=5cm,BC=

3cm,CD⊥AB于D,求CD的长.

解:∵△ABC是直角三角形,AB=5,BC=3,由勾股定理有

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

又∠2=∠C

∴CD的长是2.4cm

例题2、如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=900,D是BC

上任一点,

求证:BD2+CD2=2AD2

证法一:过点A作AE⊥BC于E

则在Rt△ADE中,DE2+AE2=AD2

又∵AB=AC,∠BAC=900

∵BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2

=BE2+CE2+2DE2

=2AE2+2DE2

=2AD2

∴即BD2+CD2=2A D2

证法二:过点D作DE⊥AB于E, DF⊥AC 于F

则DE∥AC,DF∥AB

又∵AB=AC,∠BAC=900

∴EB=ED,FD=FC=AE

在Rt△EB D和Rt△FDC中 BD2=BE2+DE2 ,CD2=FD2+FC2

在Rt△AED中,DE2+AE2=AD2

∴BD2+CD2=2AD2

5、课堂小结:

(1)勾股定理的内容

(2)勾股定理的作用

已知直角三角形的两边求第三边

已知直角三角形的一边,求另两边的关系

6、作业布置

直角三角形的性质和判定

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

点难点1、重点:勾股定理的逆定理及其应用

2、难点::勾股定理的逆定理及其应用

教学活动课前、课中反思1、新课背景知识复习:

勾股定理的内容、文字叙述、符号表述、图形

2、逆定理的获得

(1)让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来

(2)学生自己证明

逆定理:如果三角形的三边长a、b、c 有下面关系:a2+b2=c2 ,那么

这个三角形是直角三角形

强调说明:

(1)勾股定理及其逆定理的区别

勾股定理是直角三角形的性质定理,逆定理是直角三角形的判定定

理.

(2)判定直角三角形的方法:①角为900②垂直③勾股定理的逆定理

2、定理的应用

-

判定由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形。

a=6, b=8, c=10;

a=12, b=15, c=20.

如图1-21,在△ABC中,已知AB=10,BD=6,AD=8,AC=17. 求DC的长。

练习:

补充:

1、如果一个三角形的三边长分别为a2 =m2-n2 ,b=2mn, c=m2+n2(m>n)

则这三角形是直角三角形

证明:∵ a2+b2=( m2-n2)2 +(2mn)2

=m4+2m2n2+n4

= (m2+n2)2

∴a2+b2=c2 ,∠C=900

2、已知:如图,四边形ABCD中,∠B=,AB=3,BC=4,通过勾股定理与其逆定理的比较,提高

力;

及以前的知识联合起来综合运用,提高综合运用知识能力

CD=12,AD=13求四边形ABCD的面积

解:连结AC

∵∠B=,AB=3,BC=4

∴∴AC=5

∴∠ACD=900

以上习题,分别由学生先思考,然后回答.师生共同补充完善.(教师做总结)

4、课堂小结:

(1)逆定理应用时易出现的错误分不清哪一条边作斜边(最大边)(2)判定是否为直角三角形的一种方法:结合勾股定理和代数式、方程综合运用.

5、布置作业:

补充:

如图,已知:CD⊥AB于D,且有

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

求证:△ACB为直角三角形

证明:∵CD⊥AB

又∵

∴△ABC为直角三角形

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

直角三角形的性质和判定

教学目标1.知识与技能:准确运用勾股定理及逆定理

2. 过程与方法:经历勾股定理的应用过程,熟练掌握其应用方法,应用“数形结合”的思想来解决

3.情感态度与价值观:培养合情推理能力,提高合作交流意识,体会勾股定理的应用

一、创设情境,激发兴趣

教师道白:在一棵树的l0m高的D处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘A 处,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?

评析:如图所示,其中一只猴子从D→B→A共走了30m,另一只猴子从D→C→A也共走了30m,且树身垂直于地面,于是这个问题可化归到直角三角形解决.

教师提出问题,引导学生分析问题、明确题意,用化归的思想解决问题.

解:设DC=xm,依题意得:BD+BA=DC+CA CA=30-x,BC=l0+x 在RtnABC中AC' =AB' +BC 即经历勾股定理的应用过程,熟练掌握其应用方法,应用“数形结合”的思想来解决

解之x=5 所以树高为15m.

二、范例学习

如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,请在给定网格中按下列要求画出图形:(1)从点A出发画一条线段AB,使它的另一个端点B在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为22;(2)画出所有的以(1)中的AB为边的等腰三角形,使另一个顶点在格点上,且另两边的长度都是无理数.

教师分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求.

最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

解(1)图1中AB长度为22.

(2)图2中△ABC、△ABD就是所要画的等腰三角形.

例如图,已知CD=6m, AD=8m,∠ADC=90°, BC=24m, AB=26m.求图中阴影部分的面积.

教师分析:课本图14.2.7中阴影部分的面积是一个不规则的图形,因此我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形,这是方向,同学们记住,实际上=-,现在只要明确怎样计算和了。

解在Rt△ADC中,AC=AD+CD=6+8=100(勾股定理),∴ AC=10m.

∵ AC+BC=10+24=676=AB