最新湘教版八年级数学下册教案(全册 共149页)

最新湘教版八年级数学下册教案（全册）

直角三角形的性质和判定

教学目标1．知识与技能：掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理，掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用

2. 过程与方法：通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力

3.情感态度与价值观：从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题和解决问题能力

教学活动课前、课中反思一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？

（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形性质外，还

具备哪些性质?

二、新授

（一）直角三角形性质定理1

请学生看图形：

1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？

2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。

3、巩固练习：

练习1

（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A=，

∠B=。

练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有

（2）与∠A相等的角有。

（3）与∠B相等的角有。

（二）直角三角形的判定定理1

提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？”利用三角形内角和定理进行推理

归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形

练习3:若∠A= 600 ，∠B =300，那么△ABC是三角形。通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力

（三）直角三角形性质定理2

1、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片

（l）量一量斜边AB的长度

（2）找到斜边的中点，用字母D表示

（3）画出斜边上的中线

（4）量一量斜边上的中线的长度

让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？

归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、巩固训练：

练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。

练习5：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。

求证：（1）ED=EB

(2)∠EBD=∠EDB

（3）图中有哪些等腰三角形？

练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点O,那么MO 与DE有什么

样的关系存在?

四、小结：

这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理和一条判定定理？

直角三角形的性质和判定重

点难点1、重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用

2、难点：：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法

教学活动课前、课中反思（一）引入：如果你是设计师：（提出问题）

2008年将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附

近的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公

交站点的位置正好构成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站

的出口建造在哪里？

（通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度

关系，引发学生的学习兴趣。）

动一动想一想猜一猜（实验操作）

请同学们分小组在模型上找出那个点，并说出它的位置。

请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。

通过以上实验请猜想一下，直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系？

（通过动手操作找到那个点，通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的关系。）

（二）新授：

提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）

推理证明思路：①作点D1 ②证明所作点D1 具有的性质③证明点D1 与点D重合

应用定理：通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力

例1、已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，E、F分别AB、AC的中点。

求证：DE=DF

分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即可证得。

（上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现在我们将图形变化使斜边重合，我们可以得到哪些结论？）

练习变式：

已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，F

是BC的中点。

求证：FD=FE

练习引申：

（1）若连接DE，能得出什么结论？

（2）若O是DE的中点，则MO与DE存在什么结论吗？

上题两个直角三角形共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的同侧。如果共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论？

2、已知：∠ABC=∠ADC=90o，E是AC中点。你能得到什么结论？

例2、求证：一个三角形一边上的中线等于这一边的一半，那么这个三角形是直角三角形

练习

(三）、小结：

通过今天的学习有哪些收获？

(四）、作业：习题A组 1、2

直角三角形的性质和判定

教 学 活 动

课前、课中反思一、 创设情境，导入新课

1 直角三角形有哪些性质？ (1)两锐角互余；（ 2）斜边上的中线等于斜边的一半

2 按要求画图：

（1）画∠MON ，使∠MON=30°，

(2)在OM 上任意取点P ，过P 作ON 的垂线PK ，垂足为K ，量一量PO,PK 的长度，PO,PK 有什么关系？

(3) 在OM 上再取点Q,R ，分别过Q,R 作ON

的垂线QD,RE,垂足分别为D,E ，量一量QD ，OQ ，它们有什么关系？量一量RE,OR ，它们有什么关系？ 由此你发现了什么规律？

直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

为什么会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题. 二、 合作交流，探究新知

通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受

1 探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。

如图，Rr△ABC中，∠A=30°，BC为什么会等于AB

分析：要判断BC= AB,可以考虑取AB的中点，如果如果BD=BC，那么

BC=AB，由于∠A=30°,所以∠B=60°,

如果BD=BC,则△BDC一定是等边三角形，所以考虑判断△BDC是等边三角形，你会判断吗？

由学生完成

归纳：直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？

先让学生交流，得出把△ABC沿着AC翻折，利用等边三角形的性质证明。

2 上面定理的逆定理

上面问题中，把条件“∠A=30°”与结论“BC=AB”交换，结论还成

立吗？

学生交流

方法（1）取AB的中点，连接CD，判断△BCD是等边三角形，得出∠B=60°,从而

∠A=30°

（2）沿着AC翻折，利用等边三角形性质得出。

（3）你能把上面问题用文字语言表达吗？

归纳：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度。

三、应用迁移，巩固提高

1、定理应用

例1、在△ABC中，△C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BC边于点D,BD=16cm，则AC的长为______

例2、如图在△ABC中，若∠BAC=120°，AB=AC,AD⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.

2 实际应用

例3、（P5）在A岛周围20海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30海里，该轮船如果不改变航向，有触礁的危险吗？

四、课堂练习，巩固提高

五、反思小结，拓展提高

直角三角形有哪些性质？怎样判断一个三角形是直角三角形？

直角三角形的性质和判定

课前、课中反思

1、新课背景知识复习

（

1）三角形的三边关系

（2）问题：直角三角形的三边关系，除了满足一般关系外，还有另外的特殊关系吗？

2、定理的获得 让学生用文字语言将上述问题表述出来．

勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和

等于斜边c 的平方 强调说明：

（1）勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边 （2）学生根据上述学习，提出自己的问题（待定） 3、定理的证明方法

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形.

方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形,

方法三：“总统”法.如图所示将两个直

角三角形拼成直角梯形

以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导.最后总结说

通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受

明

1、定理的应用

例题1、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝900，AB＝5cm，BC＝

3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.

解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有

∴

又∠2＝∠C

∴CD的长是2.4cm

例题2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝900，D是BC

上任一点，

求证：BD2+CD2=2AD2

证法一：过点A作AE⊥BC于E

则在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2

又∵AB＝AC，∠BAC＝900

∵BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2

=BE2+CE2+2DE2

=2AE2+2DE2

=2AD2

∴即BD2+CD2=2A D2

证法二：过点D作DE⊥AB于E， DF⊥AC 于F

则DE∥AC，DF∥AB

又∵AB＝AC，∠BAC＝900

∴EB＝ED，FD＝FC＝AE

在Rt△EB D和Rt△FDC中 BD2=BE2+DE2 ,CD2=FD2+FC2

在Rt△AED中，DE2+AE2=AD2

∴BD2+CD2=2AD2

5、课堂小结：

（1）勾股定理的内容

（2）勾股定理的作用

已知直角三角形的两边求第三边

已知直角三角形的一边，求另两边的关系

6、作业布置

直角三角形的性质和判定

重

点难点1、重点：勾股定理的逆定理及其应用

2、难点：：勾股定理的逆定理及其应用

教

略

教学活动课前、课中反思1、新课背景知识复习：

勾股定理的内容、文字叙述、符号表述、图形

2、逆定理的获得

（1）让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来

（2）学生自己证明

逆定理：如果三角形的三边长a、b、c 有下面关系：a2+b2=c2 ,那么

这个三角形是直角三角形

强调说明：

（1）勾股定理及其逆定理的区别

勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定

理．

（2）判定直角三角形的方法：①角为900②垂直③勾股定理的逆定理

2、定理的应用

-

判定由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形。

a=6, b=8, c=10;

a=12, b=15, c=20.

如图1-21，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17. 求DC的长。

练习：

补充：

1、如果一个三角形的三边长分别为a2 =m2-n2 ,b=2mn, c=m2+n2(m＞n)

则这三角形是直角三角形

证明：∵ a2+b2=( m2-n2)2 +(2mn)2

=m4+2m2n2+n4

= (m2+n2)2

∴a2+b2=c2 ,∠C＝900

2、已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝，AB＝3，BC＝4，通过勾股定理与其逆定理的比较，提高

力；

及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识能力

CD＝12，AD＝13求四边形ABCD的面积

解：连结AC

∵∠B＝，AB＝3，BC＝4

∴∴AC＝5

∵

∴

∴∠ACD＝900

以上习题，分别由学生先思考，然后回答．师生共同补充完善．（教师做总结）

4、课堂小结：

（1）逆定理应用时易出现的错误分不清哪一条边作斜边（最大边）（2）判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用．

5、布置作业：

补充：

如图，已知：CD⊥AB于D，且有

求证：△ACB为直角三角形

证明：∵CD⊥AB

∴

又∵

∴

∴△ABC为直角三角形

直角三角形的性质和判定

教学目标1．知识与技能：准确运用勾股定理及逆定理

2. 过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决

3.情感态度与价值观：培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用

重

一、创设情境，激发兴趣

教师道白：在一棵树的l0m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？

评析：如图所示，其中一只猴子从D→B→A共走了30m，另一只猴子从D→C→A也共走了30m,且树身垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形解决．

教师提出问题，引导学生分析问题、明确题意，用化归的思想解决问题．

解：设DC=xm，依题意得：BD+BA=DC+CA CA=30－x，BC=l0＋x 在RtnABC中AC' =AB' +BC 即经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决

解之x=5 所以树高为15m.

二、范例学习

如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．

教师分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．

解（1）图1中AB长度为22．

（2）图2中△ABC、△ABD就是所要画的等腰三角形．

例如图，已知CD＝6m， AD＝8m，∠ADC＝90°， BC＝24m， AB＝26m．求图中阴影部分的面积．

教师分析：课本图14.2.7中阴影部分的面积是一个不规则的图形，因此我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形，这是方向，同学们记住，实际上=－，现在只要明确怎样计算和了。

解在Rt△ADC中，AC＝AD＋CD＝6＋8＝100（勾股定理），∴ AC＝10m．

∵ AC＋BC＝10＋24＝676＝AB