第一类曲线积分
§1 第一类曲线积分的计算
设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为
()()()
()0x x t y y t t t T z z t =??
=≤≤??
=?
则
()()()()
,,,,T
l
t f x y z ds f x t y t z t =???
?。 特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ?=，()a x
b ≤≤，那么有
((,) , ()b
l
a
f x y ds f x x ?=?
?。
例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。求22
()l x y ds +?
。
例：设l 是曲线x y 42
=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分l
yds ?。
例：计算积分2l
x ds ?
，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。
例：求()l
I x y ds =+?，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。
§2 第一类曲面积分的计算
一 曲面的面积
（1）设有一曲面块S ，它的方程为
(),z f x y =。
(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY
平面上的投影xy σ为可求面积的。则该
曲面块的面积为
xy
S σ=。
（2）若曲面的方程为
()
()()
,,,x x u v y y u v z z u v =??
=??
=?
令
222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222
v v v G x y z =++，
则该曲面块的面积为
S ∑
=。
例：求球面2
2
2
2
x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。
例：求球面2
2
2
2
x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。
二 化第一类曲面积分为二重积分
（1）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。曲面S 的方程为(),z f x y =。(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则
()(
),,,,,xy
S
x y z dS x y f x y σφφ=??????。 （2）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。若曲面的方程为
()
()()
,,,x x u v y y u v z z u v =??
=??
=? 令
222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222
v v v G x y z =++，
则
()()()(
),,,,,,,S
x y z dS x u v y u v z u v φφ∑
=??????。 例：计算
()S
x y z dS ++??
，S 是球面2222
x y z a ++=，0z ≥。 例：计算
S
zdS ??，其中S 为螺旋面的一部分：
()cos sin 0,02x u v
y u v u a v z v π=??
=≤≤≤≤??=?
。
注：第一类曲面积分通过一个二重积分来定义，这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。
例：I=
S
，S 是球面，球心在原点，半径为R 。
§3 第二类曲线积分
一 变力做功和第二类曲线积分的定义
1.力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功。先用微元法，再用定义积分的方法讨论这一问题，得
AB
W F ds =
??
。
2. 第二型曲线积分的定义
定义 1 设L 是一条光滑或逐段光滑曲线，且设(),,f x y z 是定义在L 上的有界函数，将L 沿确定方向从起点A 开始用分点(),,i i i i A x y z 分成n 个有向弧段1i i A A +，直至终点B 。且设1i i i x x x +?=-。在每一弧段1i i A A + 上任取一点(),,i i i i P ξηζ，作和式：
()()1
1
,,n n
i i i i i i i i f P x f x σξηζ===?=?∑∑。
其中()1111,,A x y z 为起点A ，()1111,,n n n n A x y z ++++为终点B 。设{
}
1
max i i i
A A λ--------
+=，这里1i i A A --------
+表示有向
线段1i i A A --------
+的长度。若当0λ→时，和σ有极限I ，且它与L 的分法无关，也与点i P 的选择无关，则称I 为(),,f x y z dx 沿曲线L 按所述方向的第二类曲线积分，记作
(),,L
I f x y z dx =? 或 (),,AB
I f x y z dx =?
。
注：如果向量()()()()()
,,,,,,,,,,f x y z P x y z Q x y z R x y z =，则向量沿曲线L 按一定方向的第二类曲线积分为
()()(),,,,,,L
I P x y z dx Q x y z dy R x y z dz =++?。
注：第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。
注：在平面情况下，若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方，则这个方向就算作正向，否则就算作负向。这时只要方向不变，曲线积分的值是与起点的位置无
关的。
二 第二类曲线积分的计算
设曲线AB 自身不相交，其参数方程为：
()()()()0,,x x t y y t z z t t t T ===≤≤。
且设AB 是光滑的。设当参数t 从0t 调地增加到T 时，曲线从点A 按一定方向连续地变到点B 。设函数
(),,P x y z 定义在曲线AB 上，且设它在AB 上连续。则
()()()()()0
0,,,,'T L t P x y z dx P x t y t z t x t dt =?
?????。 （*） 注：（*）积分下限必须对应积分所沿曲线的起点，上限必须对应终点。
注：如果向量()()()()()
,,,,,,,,,,f x y z P x y z Q x y z R x y z =，则向量沿曲线L 按一定方向的第二类曲线积分为
()()()()()()()()()()()()()()(){}00
,,,,,,,,',,',,'L
T t P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt
++=++??????????????
例：计算积分
()L
xydx y x dy ++?
, L 的两个端点为A ( 1, 1 ) , B ( 2 , 3 ). 积分从点A 到点B 或闭合, 路径为
（1）直线段AB ；
（2）抛物线1)1(22
+-=x y ；
（3）折线闭合路径A ( 1, 1 )→D ( 2 , 1 ) → B ( 2 , 3 ) → A ( 1, 1 )。. 例：计算积分
?+L
ydx xdy , 这里L :
（1）沿抛物线2
2x y =从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 )； （2）沿直线x y 2=从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 )；
（3）沿折线封闭路径O (0,0) →A (1,0 ) →B (1,2 ) → O (0,0). 例：计算第二型曲线积分I =
2()L
xydx x y dy x dz +++?
, 其中L 是螺旋线t a x cos =，bt z t a y == , sin ，
从0=t 到π=t 的一段。 三 两类曲线积分的联系
第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义是不同的，由于都是沿曲线的积分，两者之间又有密切联系。两者之间的联系式为
()()()()()()()()(){},,,,,,,,cos ,,,cos ,,,cos ,AB
AB
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P x y z t x Q x y z t y R x y z t z ds
++=++?
?
例：证明：对于曲线积分的估计式为
(),l
Pdx Qdy LM L +≤?式中为曲线段的长度
(),max x y l
M ∈=
利用这个不等式估计：
()
222
2
2
2R x y R ydx xdy
I x
xy y
+=-=
++?
并证明lim 0R R I →∞
=。
例：设平面区域D 有一条连续闭曲线L 所围成，区域D 的面积设为S ，推导用曲线积分计算面积S 的公式
为：
12
L
S xdy ydx =
-?
。
§4 第二类曲面积分
一 曲面的侧的概念 1．单侧曲面与双侧曲面
在实际生活中碰到的都是双侧曲面，至于单侧曲面也是存在的，牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子。 2．曲面的上侧和下侧，外侧和内侧
双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为 )cos , cos , (cos γβα±=, 则上侧法线方向对应第三个分量0>, 即选“+”号时，应有0cos >γ，亦即法线方向与Z 轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向. 封闭曲面分内侧和外侧. 二 第二类曲面积分的定义 先讨论由显式方程
(),z z x y =
表示的无重点的光滑曲面S ,并设S 在XY 平面上的投影为边界由逐段光滑曲线T 所围成的区域xy σ。设选定了曲面的一侧，从而也确定了它的定向。
现在将有向曲面S 以任何方法分割为n 小块()1,2
,Si i n =。设i G 为i S 在XY 平面上的投影，从而
也得到区域xy σ的一个相应分割。如果取的是上侧，这时所有i G 算作正的。如取下侧，这时所有i G 算作负的。设有界函数(),,f x y z 定义在S 上，在每一小块i S 任取一点(),,i i i i P ξηζ，作和式
()1
,,n
i i i i i f D σξηζ==∑
其中i D 表示i G 的面积。由上述所见，i D 是带有符号的，它们的符号是由所选的侧来决定的。设i d 为i S 的致敬，记{}max i i
d λ=。若当0λ→时，σ有确定的极限I ，且I 与曲面分割的方法无关，也点i P 的选择无
关，则称I 为(),,f x y z dxdy 沿曲面S 的所选定的一侧上的第二类曲面积分，记为
(,,)S
I f x y z dxdy =??。
注：有时也会碰到几个积分连在一起的情形，例如：
()()(),,,,,,S
P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++??。
注：如果沿曲面的另一侧积分，则所得的值应当变号。
三 两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系 设为曲面S 的指定法向, 则
??++S
dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(
=
[]??++S
dS z z y x R y z y x Q x z y x P ),cos(),,(),cos(),,(),cos(),,(.
定理 1 设),,(z y x R 是定义在光滑曲面∈=),( , ),( :y x y x z z S D xy 上的连续函数, 以S 的上侧为正侧(即0),cos(>z ), 则有
()????=S
D xy
dxdy y x z y x R dxdy z y x R ),(,,),,(.
类似地, 对光滑曲面∈=),( , ),( :z y z y x x S D yz , 在其前侧上的积分
()????=S
D yz
dydz z y z y x P dydz z y x P , , ),(),,(.
对光滑曲面∈=),( , ),( :x z x z y y S D zx , 在其右侧上的积分
()????=S
D yz
dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q , ),( , ),,(.
计算积分
??++S
Rdxdy Qdzdx Pdydz 时, 通常分开来计算三个积分
??S
Pdydz , ??S
Qdzdx , ??S
Rdxdy .
为此,分别把曲面S 投影到YZ 平面, ZX 平面和XY 平面上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲面S 的定向决定.
推论 设),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 是定义在光滑曲面 , ),( :y x z z S =∈),(y x D xy 上的连续函数,则有
??++S dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(
=
[]??++S
dS z z y x R y z y x Q x z y x P ),cos(),,(),cos(),,(),cos(),,(
.)]),(,,(),()),(,,(),()),(,,([dxdy y x z y x R y x z y x z y x Q y x z y x z y x P XY
D y x ??+--±=
曲面 S 的方向为上侧, 则等式前取“＋”号; 曲面 S 的方向为下侧, 则等式前取“－”号. 例：计算积分??S
xyzdxdy ,其中S 是球面1222
=++z y x
在0 , 0≥≥y x 部分取外侧。
例：计算积分??
∑
++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(，∑为球面2222R z y x =++取外侧.
解： 对积分
??∑
+dydz y x )(, 分别用前
∑
和后∑记前半球面和后半球面的外侧, 则有
前∑ : ,222z y R x --=
222 :R z y D yz ≤+;
后∑: ,222z y R x ---= 222 :R z y D yz ≤+. 因此, ??∑+dydz y x )(=??
∑前
+
??
∑后
(
)
??-
+--=
yz
D dydz y z y R 22
2()
yz
D y dydz ??
222
cos , sin 20
2
8y r z r y z R d rdr πθθ
θ==+≤============????
()
30
2
32
23
4
322
1
4R r R R r r ππ=??
?????--===. 对积分
dx dz z y ??∑
-)(, 分别用右
∑
和左∑记右半球面和左半球面的外侧, 则有
右∑: ,222x z R y --=
222 :R z x D zx ≤+;
左∑: ,222x z R y ---= 2
22 :R z x D zx ≤+.
因此, =-??∑
dydz z y )(??
∑右
+
??
∑左
()()
????--------=
zx
zx
D D dzdx z x z R dzdx z x z R 222222
??
≤+=--=2
22
32223
4
2
R z x R dzdx x z R π.
对积分
dxdy x z ??∑
+)3(, 分别用上
∑
和下∑记上半球面和下半球面的外侧, 则有
上∑: ,222y x R z --=
222 :R y x D xy ≤+;
下∑: ,2
2
2
y x R x ---= 2
22 :R y x D xy ≤+. 因此,
dxdy x z ??∑
+)3(=??
∑上
+
??
∑下
)()
33xy
xy
D D x dxdy x dxdy =
-????
??
≤+=--=2
2232223
4
2
R y x R dxdy y x R π.
综上,
??∑
++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(=33
43
43R R ππ=?.
第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称 性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时, 求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P
曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)
第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.
（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=
第一类曲线积分的计算
第一类曲线积分的计算
第一类曲线积分的计算 1、定义 定义1 ：设L 为平面上可求长度的曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段)n ,,2,1i (L i ，i L 的弧长记为i s ，分割T 的细度为i n i 1s max T ，在i L 上任取一点 (i ,).n ,,2,1i )(i 若存在极限J s ),(f lim i i n 1 i i 0T 且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关，则称此极限为)y ,x (f 在L 上的第一型曲线积分，记作 .ds )y ,x (f L （1） 定义2： 若L 为空间可求长曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数，则可类似地定义)z ,y ,x (f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为 J s ),,(f lim i i i n 1 i i 0T ，(此处i s 为i L 的弧长,i n i 1s max T , J 为一常 数),并且记作 L .ds )z ,y ,x (f （2） 2、物理意义 （1）设某物体的密度函数f （P ）是定义在 上的连续函数．当 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i （i=1，2，…，n)，并在每一个i 上任取一点P i 由于f （P ）为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时，每一小段i 的质量可近似地等于f （P i ） i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和 式
空间曲线积分的计算方法
空间曲线积分的计算方法 (1)曲线积分的计算例1 计算，其中为平面被三个坐标平面所截三角形的边界，若从轴正向看去，定向为逆时针方向．方法一根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数．解法一：设，则，，，则．由曲线积分的定义，有．同理可得： ．所以．方法二将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系．解法二：设，，则，是围成的区域．代入原积分由格林公式得原式．化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算．方法三根据对称性求曲线积分． 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮
助．我们主要在讨论单轮换对称的情形．解法三：由题目特征可知该积分及曲线都具有轮换对称性，因此由对称性知原式．同样由对称性知原式．方法四根据公式求曲线积分 公式建立了空间曲线积分和曲面积分之间的联系，从而将曲线积分和曲面积分有机联系起来． 解法四: 设，方向为上侧，曲面上一点的外法线向量的方向余弦为由公式化为第一型曲面积分得原式．为解法一中所设的点组成的三角形．另解: 根据上面解法中所设，并设为在面上的投影．用公式化为第二型曲面积分得原式 ．用公式将曲线积分化为曲面积分时，若曲面为平面化为第一型曲面积分较简单．
第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分的计算 Jenny was compiled in January 2021
第二类曲线积分的计算 定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为 }{max 1i n i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量 形式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿 空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的
练习112(对坐标的曲线积分及两类曲线积分之间的关系) - 答案
练习册 112 对坐标的曲线积分及两类曲线积分之间的关系（答案） 1、设L 是xoy 平面内直线a x =上的一段，求()?=L dx y x P I ,。 解：a x = ，0=dx ， ()0,==∴?L dx y x P I 。 2、设L 是xoy 平面内直线a y =上的一段，求()?=L dy y x Q I ,。 解：a y = ，0=dy ， ()0,==∴?L dy y x Q I 。 3、设L 是xoy 平面内x 轴上从点()0,a 到点()0,b 的一直线段，求()?=L dx y x P I ,。 解：因为L ：0=y ，x 从a 变化到b ， 所以()()??==b a L dx x f dx y x P I 0,,。 4、计算?=L xydx I ，其中L 为圆周()()0222 >=+-a a y a x 及x 轴所围成的在第一象限内的区域的按照逆时针方向的整个边界。 解：令从点O 到点A 的有向直线段为1L ，从点A 到点O 的有向半 圆弧（第一象限内）为2L （如右图所示），有21L L L +=， 又因为1L ：0=y ，x 从0变化到a 2， 2L ：θcos a a x =-，θsin a y =，θ从0变化到π， 所以，()()?????-++?=+==π θθθθ020sin sin cos 021d a a a a dx x xydx xydx xydx I a L L L ()πππππθθθθθθθθθθθ 0 32022022022022 sin 31sin 2sin cos sin sin cos 1??????--=--=+-=????d a d a d a d a 222 2212a a ππ-=??-=。
曲线积分的计算法
曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) ? ??转化 定积分 (1) 选择积分变量 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 对弧长曲线积分的计算 定理 ) ()()()](),([),(,],[)(),()(),(), (, ),(22βαψ?ψ?βαψ?βαψ?β α <'+'=≤≤? ? ?==?? dt t t t t f ds y x f t t t t y t x L L y x f L 且 上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意: ;.1βα一定要小于上限定积分的下限. ,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f 特殊情形 . ) (:)1(b x a x y L ≤≤=ψ. )(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f b a L ?? '+=ψψ. )(:)2(d y c y x L ≤≤=?. )(1]),([),(2dy y y y f ds y x f d c L ?? '+=??
).(, sin ,cos :,象限第椭圆求I ? ? ?===?t b y t a x L xyds I L 解 dt t b t a t b t a I 2220 )cos ()sin (sin cos +-?=?π dt t b t a t t ab 222220 cos sin cos sin +=?π ?-= a b du u b a ab 22 2) cos sin (2222t b t a u +=令. ) (3) (22b a b ab a ab +++=例2 . )2,1()2,1(,4:, 2 一段到从其中求-==?x y L yds I L x y 42=解 dy y y I 222)2 (1+=?-. 0=例3 ) 20(., sin ,cos :, πθθθθ≤≤===Γ=?Γ 的一段其中求k z a y a x xyzds I 解 θ θθθd k a k a 222sin cos +?? =π 20 I . 2 1 222k a ka +-=π例4 ?? ?=++=++Γ=?Γ . 0, , 22 2 2 2z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解 由对称性, 知 . 22 2 ???Γ ΓΓ==ds z ds y ds x ?Γ ++=ds z y x I )(312 22故例1
第十一章 曲线积分与曲面积分经典例题
第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (), (βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α (1.10) 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? (1.11) 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? (1.12) 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ αd r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=?? 例5（E03）计算 ,||? L ds y 其中L 为双纽线（图10-1-4）)()(222222y x a y x -=+的 弧. 解 双纽线的极坐标方程为 .2cos 2 2θa r = 用隐函数求导得 ,2sin ,2sin 22 r a r a r r θ θ- ='-='
第二十章曲线积分
第二十章曲线积分 教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。 教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。 教学时数：6学时 § 1 第一型曲线积分 一. 第一型线积分的定义: 1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量 2.曲线的质量: 3.第一型曲线积分的定义: 定义及记法.线积分,. 4.第一型线积分的性质: P198 二. 第一型线积分的计算: 1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 . Th20.1 设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数 . 则 . ( 证 ) P199 若曲线方程为: , 则 .
的方程为时有类似的公式. 例1 设是半圆周, . . P200例1 例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分. P200例2 空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线 ,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有 . 例3计算积分, 其中是球面被平面 截得的圆周 . P201例3 解由对称性知 , , =. ( 注意是大圆 ) § 2 第二型曲线积分 一.第二型曲线积分的定义: 1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功: 先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得
, 即. 2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ). 设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量为, ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量. , 因此 , . 由, 得 . 于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为 . 3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义 , 有 力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为
第一类曲线积分的计算
第一类曲线积分的计算 1、定义 定义1 ：设L 为平面上可求长度的曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段)n ,,2,1i (L i ，i L 的弧长记为i s ，分割T 的细度为i n i 1s max T ，在i L 上任取一点(i , ).n ,,2,1i )(i 若存在极限J s ),(f lim i i n 1 i i 0T 且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关，则称此极限为)y ,x (f 在L 上的第一型曲线积分，记作 .ds )y ,x (f L （1） 定义2： 若L 为空间可求长曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数，则可类似地 定义)z ,y ,x (f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为J s ),,(f lim i i i n 1 i i 0T ， (此处i s 为i L 的弧长,i n i 1s max T , J 为一常数),并且记作 L .ds )z ,y ,x (f （2） 2、物理意义 （1）设某物体的密度函数f （P ）是定义在 上的连续函数．当 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i （i=1，2，…，n)，并在每一个i 上任取一点P i 由于f （P ）为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时，每一小段i 的质量可近似地等于f （P i ） i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和式 i n 1 i i )P (f
第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分的计算 Revised as of 23 November 2020
第二类曲线积分的计算 定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤, 又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11, ---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量形 式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有 向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对
第一类曲线积分
§1 第一类曲线积分的计算 设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为 ()()() ()0x x t y y t t t T z z t =?? =≤≤?? =? 则 ()()()() ,,,,T l t f x y z ds f x t y t z t =??? ?。 特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ?=，()a x b ≤≤，那么有 ((,) , ()b l a f x y ds f x x ?=??。 例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。求22 ()l x y ds +? 。 例：设l 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分l yds ?。 例：计算积分2l x ds ? ，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。 例：求()l I x y ds =+?，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。 §2 第一类曲面积分的计算 一 曲面的面积 （1）设有一曲面块S ，它的方程为 (),z f x y =。 (),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则该 曲面块的面积为 xy S σ=。 （2）若曲面的方程为 ()()() ,,,x x u v y y u v z z u v =?? =?? =?
令 222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222 v v v G x y z =++， 则该曲面块的面积为 S ∑ =。 例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。 例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。 二 化第一类曲面积分为二重积分 （1）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。曲面S 的方程为(),z f x y =。(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则 ()( ),,,,,xy S x y z dS x y f x y σφφ=??????。 （2）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。若曲面的方程为 () ()() ,,,x x u v y y u v z z u v =?? =?? =? 令 222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222 v v v G x y z =++， 则 ()()()( ),,,,,,,S x y z dS x u v y u v z u v φφ∑ =??????。 例：计算 ()S x y z dS ++??，S 是球面2222 x y z a ++=，0z ≥。 例：计算 S zdS ??，其中S 为螺旋面的一部分：
第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词： 曲面积分；曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分 例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线y=22ax x -到点o （0，0） 的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()11sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ， 则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0
空间曲线积分的计算方法
空间曲线积分的计算方法. (1)曲线积分的计算 例1 计算222222()()()C I y z dx z x dy x y dz =-+-+-?，其中C 为平面 1=++z y x 被三个坐标平面所截三角形的边界，若从x 轴正向看去，定向为逆时针方向． 方法一 根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算 根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数． 解法一：设(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D ，则0,1:==+z y x ，:1,0BD y z x +==，:1,0DA x z y +==，则:C AB BD DA ++．由曲线积分的定义，有 dz y x dy x z dx z y AB )()()(222222-+-+-? 32])1[(0122-=+-= ?dx x x ． 同理可得： 222222()()()BD y z dx z x dy x y dz -+-+-? 2222222()()()3 DA y z dx z x dy x y dz =-+-+-=-?． 所以 2AB BD DA I =++=-???． 方法二 将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系． 解法二：设)0,0,0(O ，OA BO AB L ++:1，则dy dx dz y x z --=--=,1，D 是1L 围成的区域．代入原积分由格林公式得 原式))((])1[(])1([2222221dy dx y x dy x y x dx y x y L ---+---+---=? ??-=-=D dxdy 24． 化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算． 方法三 根据对称性求曲线积分． 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮助．我们主要在讨论单轮换对称的情形． 解法三：由题目特征可知该积分及曲线C 都具有轮换对称性，因此由对称性知 原式dz y x dy x z dx z y )()()(3222222-+-+-=?
数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)
第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分 一、第一型曲线积分的定义 引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量. 当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i n i i P f ?Ω∑=1)(. 当对Ω有分割越来越细密(即d=i n i ?Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是 该物体的质量. 定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i n i s ?≤≤1max ，在L i 上任取一点 (ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i n i i i T s f ?∑=→1 ),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：?L ds y x f ),(. 注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类
似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分?L ds z y x f ),,(. 性质：1、若?L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则 ?∑=L k i i i ds y x f c 1 ),(=∑?=k i L i i ds y x f c 1 ),(. 2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且?i L ds y x f ),((i=1,2,…,k) 都存在，则?L ds y x f ),(也存在，且?L ds y x f ),(=∑?=k i L i i ds y x f 1 ),(. 3、若?L ds y x f ),(与?L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则 ? L ds y x f ),(≤?L ds y x g ),(. 4、若?L ds y x f ),(存在，则?L ds y x f ),(也存在，且?L ds y x f ),(≤?L ds y x f ),(. 5、若?L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得?L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L ≤c ≤),(sup y x f L . 6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是 ? L ds y x f ),(. 二、第一型曲线积分的计算 定理20.1：设有光滑曲线L:?? ?==) () (t y t x ψ?, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L 上的连续函数，则?L ds y x f ),(=?'+'β αψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =?='+'i i t t dt t t 1 )()(22ψ?. 由)()(22t t ψ?'+'的连续性与积分中值定理，有
第二类曲线积分的计算教案资料
第二类曲线积分的计 算
第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称 性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是 弯弯曲曲.怎么办呢?
为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ,那么()y x F , =()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P ),(),(+=由于 ),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴方 向上的投影分别为11---=?-=?i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ??从而力()y x F , 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ?≈),(i F ηξ i i M M L 1- = ()i i P ηξ,i x ?+()i i Q ηξ,i y ? 其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F , 沿L 所作的功可近似等 于 i W =∑=n i i W 1 i n i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1 1 ),(),(ηη当0→T 时,右端积分和式的 极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分. 2.2 第二型曲线积分的定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限
第二类曲线积分的计算修订版
第二类曲线积分的计算 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
第二类曲线积分的计算 定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤, 又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11, ---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量形 式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有 向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对
第二类曲线积分典型例题解析
第二类曲线积分典型例 题解析 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析 例1 若对任意的x ，y 有y P x Q ??≡??，设C 是有向闭曲线，则?+C y Q x P d d = ． 解：由格林公式将 其中D 为C l 围成的平面区域，及条件y P x Q ??≡??知，应该填写：0 例2．_______d d =+-?y x x y l ，其中l 是延圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周． 解：因为圆周1)1()1(22=-+-y x 所围圆面积D 为：π?21，由格林公式得：???+=+-D l y x y x x y d d )11(d d =π2，应该填写：π2 例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分?+l y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是（ ）． A ．在域D 内恒有y Q x P ??=?? B ．在域D 内恒有y P x Q ??=?? C ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d ≠+?'l y Q x P D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d =+?' l y Q x P 解：若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则 ?+l y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x y P x Q ∈??=???),(,。 所以选择：B 例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的． A ．?+C y x x yx d d 332 B ．?-C y x x y d d C ．?-C y x x xy d d 22 D ．?+C y y x yx d d 332