泊松分布与复合泊松分布的性质

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学术论丛

泊松分布与复合泊松分布的性质

于子涵

哈尔滨市第九中学

摘要：本文主要讲述了泊松分布和复合泊松分布的各种性

质。本文在第一部分主要讲述了泊松分布和二项分布的关系以及泊松分布的数学期望和方差的计算；在第二部分推导了复合泊松分布的概率分布及其数字特征，并阐述了复合泊松分布在非寿险精算中的应用。

关键词：二项分布；泊松分布；复合泊松分布；全概率公式

一、泊松分布

（一）二项分布的极限情形为泊松分布

设随机变量序列，并且随机变量，即

若假设 ，则有

下面给出证明。

记

对于固定的k有，

因此，

若随机变量X的可能取值为所有非负整数，并且

则我们称随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记作X~P(λ).

随机变量所有可能取值之和必定为1，关于泊松分布的所有可能取值之和我们有，

（二）泊松分布的含义

泊松分布是计数分布的一种，通常用来描述单位时间内事件发生的次数，比如可以用来描述某银行柜台某时间段内来办业务的顾客数。

（三）泊松分布的数学期望和方差

泊松分布的数学期望和方差都是λ，下面给出证明，

为计算泊松分布的方差，首先给出一般随机变量的方差计算公式，

利用上述方差计算公式，我们可以给出泊松分布的方差，

二、复合泊松分布

（一）复合泊松分布的定义

称随机变量 为参数为λ复合泊松分布，若满足，

(1)X1，X2，…，N独立的；(2)X1，X2，…是同分布的；(3) N~P(λ).

复合泊松分布在保险中是常用的概率分布，随机变量N 可看成 N个保险保单组合，X i(i=1，2，…)是第i个保单可能的索赔额，则S是这N个保单组合的总索赔额。因此探讨S的概率分布及数学期望和方差对保险公司来说有着重要的