数列大题专题训练1(学生版)
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数列大题专题训练1
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且. *1
1()2n n S a n N +=∈
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设*
3log (1)()n n b S n N =-∈，求满足方程
2334111125
51
n n b b b b b b ++++=L 的n 值.
【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如??
?
?
??
c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1（n －1）（n ＋1）(n≥2)或1
n （n ＋2）.
2．已知数列是等比数列，首项，公比,其前项和为,且,成等差数列．
（1）求
的通项公式；
（2）若数列满足为数列前项和，若恒成立，求的最大值．
{}n a 11a =0q >n n S 113322,,S a S a S a +++{}n a {}n b 11,2n n
a b n n a T +??
= ?
??
{}n b n n T m ≥m
【方法点晴】本题考查等差数列、等比数列、数列的前项和、数列与不等式，涉及特殊与一般思想、方程思想思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．第二小题首
先由
再由错位相减法求得为递增数列当时，
．再利用特殊与一般思想和转化化归思想将原命题可转化的最大值为．
3．已知数列中，，其前项和满足，其中． （1）求证：数列为等差数列，并求其通项公式；
（2）设，n T 为数列{}n b 的前n 项和．
①求n T 的表达式；
②求使2>n T 的n 的取值范围．
4．为等差数列的前项和，且，，记．其中表示不超过的最大整数，如
，．
（1）求；
（2）求数列的前1000项和．
n 1111222n n
n n
a b n
a b n n a b +??
????=?=?= ?
? ???
????
12n n -?g 2112232...n T =?+?+?+12n n -+g ()112n n T n =+-1n n T T +?-=()120n n +>g {}n T ??1n =()min 1n T =()min n T m ≥1m m ?≤?1{}n a 3,221==a a n n S 1211+=+-+n n n S S S *∈≥N n n ,2{}n a n
n n a b -?=2n S {}n a n 11a =728S =[lg ]n n b a =[]x x [0.9]0=[lg99]1=111101b b b ，，{}n b
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【技巧点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点．
5．已知数列的前项和为，且（），数列满足（）.
（1）求，；
（2）求数列的前项和.
6．已知等比数列
{}n a 的公比11,1q a >=，且132,,14a a a +成等差数列，数列{}n b 满足：
()()*1122131n n n a b a b a b n n N +++=-+∈L g ．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若8n n ma b ≥-恒成立，求实数m 的最小值．
}{n a n n S n n S n +=22*∈N n }{n b 3log 42+=n n b a *
∈N n n a n b }{n n b a ?n n T
7．已知数列{}n a ，0n a >，其前n 项和n S 满足1
22n n n S a +=-，其中*n N ∈．
（1）设2n
n n
a b =
，证明：数列{}n b 是等差数列； （2）设2n
n n c b -=?，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：3n T <；
（3）设1
4(1)2n b
n n n d λ-=+-?（λ为非零整数，*n N ∈），试确定λ的值，使得对任意*n N ∈，都有1n n
d d +>成立．
【易错点晴】本题以数列的前n 项和与通项之间的关系等有关知识为背景,其目的是考查等差数列等比数列等有关知识的综合运用,及推理论证能力、运算求解能力、运用所学知识去分析问题和解决问题的能力的综合问题.求解时
充分借助题设条件中的有效信息1
22n n n S a +=-,借助数列前n 项和n S 与通项n a 之间的关系
)2(1≥-=-n S S a n n n 进行推证和求解.本题的第一问,利用等差数列的定义证明数列}2{
n
n
a 是等差数列；第二问中则借助错位相减的求和方法先求出213333222
n n n n n n T ++=--=-<；第三问是依据不等式成立分类推得参数λ的取值范围.
8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =()
*121N n n S S n n +=++∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n n
n
b a a +=-，求数列{}n b 的前项和n T .
.
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考点：数列的求和；数列的递推关系式. 9．已知数列的首项，且满足，.
（1）设，判断数列是否为等差数列或等比数列，并证明你的结论； （2）求数列的前项和
．
10．n S 为数列的前n 项和，已知0n a >，2
241n n n a a S +=-.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
11．已知数列{}n a 是等比数列，满足143,24a a ==，数列{}n b 满足144,22b b ==，且{}n n b a -是等差数列. （I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n b 的前n 项和。
12．设数列{}n a 的前n 和为n S ，()21
1,22n n
a S na n n n N *
==-+∈. （1）求证：数列
{}n a 为等差数列, 并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式；
（2）是否存在自然数n ,使得3
21...2112423n n S S S S n +
++++=？若存在,求出n 的值; 若不存在, 请说明理由；
（3）设()()()1232,...7n n n n c n N T c c c c n N n a **=
∈=++++∈+,若不等式()32
n m
T m Z >∈,对n N *∈恒成立, 求m 的最大值.
13．设数列{}n a 满足3
21212222
n n a a a a n -+
+++=L ，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)(1)
n
n n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S .
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考点：（1）数列递推式；（2）数列求和. 14．已知函数2
32)(+=
x x
x f ，数列{a n }满足a 1=1，a n+1=f （a n ）．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n =a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n ＜
2
2016
-m 对一切正整数n 都成立，求最小的正整数m 的值．
考点：1、数列的递推公式及通项公式；2、利用“裂项相消法”求数列前n 项和.
15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n （n ∈N *）． （1）求证：数列{S n －3n }是等比数列；
（2）若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围．
【方法点晴】本题主要考查了利用等比数列的定义判定和证明数列为等比数列、等比数列的性质的应用和数列的递推关系式的化简与运算，解答中得数列{}
3n n S -是公比为2，首项为13a -的等比数列和化简出
211(3)223n n n a a --=-?+?是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与
运算能力，属于中档试题.
高中数学数列专题大题训练
高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
高中数学数列练习题
数列经典解题思路 求通项公式 一、观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） K ,1716 4,1093,542,211 （3） K ,52,2 1,32 ,1 解：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12 +=n a n 二、公式法 例1. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是 （ D ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 例2. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ， 公比10< 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． { 、 ~ 、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 高中数列经典习题(含 答案) 1、在等差数列{a n }中,a 1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和, (1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围； (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 3、数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值. 4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S . 5、已知数列{n a }的前n 项和3 1=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{n a 1}的前n 项和. 6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设 2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 1 1+n m ,…也成等差数列. 7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根, 当a 1=2时,试求c 100的值. 8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比. 2019-2020年高考数学大题综合训练1 1．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，其前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝22，且a 4，a 7，a 12成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ，证明：T n <3 4. (1)解 ∵数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝22， ∴a 5＝1 2(a 2＋a 8)＝11. ∵a 4，a 7，a 12成等比数列， ∴a 27＝a 4· a 12， 即(11＋2d )2＝(11－d )·(11＋7d )， 又d ≠0， ∴d ＝2， ∴a 1＝11－4×2＝3， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1(n ∈N *)． (2)证明 由(1)得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2)， ∴1S n ＝1n (n ＋2)＝12????1 n －1n ＋2， ∴T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝12?? ? ???1－13＋????12－14＋???? 13－15＋…＋ ? ?????1n －1－1n ＋1＋????1n －1n ＋2 ＝1 2????1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12????1 n ＋1＋1n ＋2<34. ∴T n <34 . 2．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2AD ＝2，E 为CD 的中点，PB ⊥AE . (1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ； (2)若PB ＝PD ，PC 与平面ABCD 所成的角为π 4，求二面角B －PD －C 的余弦值． (1)证明 由ABCD 是直角梯形， AB ＝3，BC ＝2AD ＝2，可得DC ＝2，BD ＝2， 从而△BCD 是等边三角形， ∠BCD ＝π 3，BD 平分∠ADC ， ∵E 为CD 的中点，DE ＝AD ＝1， ∴BD ⊥AE . 又∵PB ⊥AE ，PB ∩BD ＝B ， 又PB ，BD ?平面PBD ， ∴AE ⊥平面PBD . ∵AE ?平面ABCD ， ∴平面PBD ⊥平面ABCD . (2)解 方法一 作PO ⊥BD 于点O ，连接OC ， 数列大题专题训练 1.已知数列｛a n｝、｛b n｝满足：a^- ,a n b n = 1,b n d. 4 1 -a. (1) 求b-,b2,b3,b4； (2) 求数列｛b n｝的通项公式； (3) 设S n = a￡2 ■玄2玄3 ■玄3玄4 ' ... ' a.a n 1 ，求实数a为何值时4aS n (t 0,n -2,3, ) (1) 求证：数列｛a n ｝是等比数列； 1 (2) 设数列｛a n ｝得公比为 f(t),作数列｛b n ｝,使 b i =1,b n 二 f( ),n =(2,3-),求 b b n_1 (3) 求 b i b 2 - b 2b 3 ' b 3b 4 - b 4 b 5 b 2nJ b 2n b 2n b 2n 1 的值。 5 ?设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n =(1 ) - a,其中，=-1,0 ； (1 )证明：数列｛a n ｝是等比数列； 1 水 (2)设数列｛a n ｝的公比 q = f ('),数列｛b n ｝满足b 1 二？,b n 二 f (b nj )(n ? N *,n _ 2) 求数列｛b n ｝的通项公式； 6. 已知定义在 R 上的单调函数 y=f(x)，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数 x 、y € R ,有 f(x+y)= f(x)f(y), (I)求f(0)，并写出适合条件的函数 f(x )的一个解析式； 1 (n)数列｛a n ｝满足 a 1=f(0)且f(a n 1) (n ? N *), f(-2-a .) ①求通项公式a n 的表达式； 试比较S 与4Tn 的大小，并加以证明 1 a ②令 b n=(?)n ,S n ^b 1 b 2 b n , T n a 〔 a 2 a 2 a 3 1 a n a n 1 2020年高考数学 大题专项练习 数列 三 1.已知数列{a n }满足a n+1=λa n +2n (n ∈N *，λ∈R)，且a 1=2． (1)若λ=1，求数列{a n }的通项公式； (2)若λ=2，证明数列{n n a 2 }是等差数列，并求数列{a n }的前n 项和S n ． 2.设数列{}的前项和为 .已知=4，=2+1，.（1）求通项公式 ；（2）求数列{}的前项和. 3.已知数列{a n }是等差数列，a 2=6，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，b 2=2，a 1b 3=12，S 3＋b 1=19. (1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13=34，S 3=9. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式； (2)设数列{b n }的通项公式为b n =，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m≥3，m an an ＋t ∈N)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由． 5.已知数列满足：，。数列的前n 项和为,且 .⑴求数列、的通项公式；⑵令数列满足，求其前n 项和为 6.已知{a n }是递增数列，其前n 项和为S n ，a 1>1，且10S n =(2a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)是否存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )=a k 成立？若存在，写出一组符合条件的m ，n ，k 的值；若不存在，请说明理由． 数列——大题训练 1．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2a 4＝64，a 1＋a 5＝18. (1)若10，所以a 2高考文科数学数列经典大题训练(附答案)
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