小学奥数计算要点知识点整理汇总及典型例题讲解

奥数计算要点知识点整理汇总及典型例题讲解

速算与巧算

一、加减法中的巧算：

1、加补数法

两个自然数相加，如果它们的和恰好是整十、整百、整千……那么就称其中的一个数为另一个数的“补数”，这两个数称为互补。在加减法的运算中，如果有两个加数互为补数，那么可以先求出它们的和，使计算迅速简便；如果题中没有互补的加数，那么可以设法分出互补的加数，以便凑成整十、整百、整千……的数。

2、去括号和添括号的法则

在只有加减的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“－”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“＋”变“－”，“－”变“＋”，即：

a＋(b＋c＋d)＝a＋b＋c＋d

a－(b＋c＋d)＝a－b－c－d

a－(b－c)＝a－b＋c

如：

100＋(10＋20＋30)＝100＋10＋20＋30＝160

100－(10＋20＋30)＝100－10－20－30＝40

100－(30－10)＝100－30＋10＝80

3、找“基准数”法

在算式中的加减运算中，当所有数都接近某个数时，可以将这个数作为基数，然后把每个数都看作是基数，计算，并且算出每个数与基数的差值，最后从结果中减去或加上这些差值。

4、分组凑整法

先把能凑成整十或整百(包括0)的数结合在一起，再把它们各自的结果数相加。

5、位值原理法

当遇到复杂的加减运算时，可以将每个数按位值分解，使具有相同位值的优先加减，最后将各个位值运算的结果合并起来，使运算简化。

6、带“符号”搬家

如325＋46－125＋54

＝325－125＋46＋54

＝(325－125)＋(46＋54)

＝200＋100＝300。

二、乘法中的巧算：

1、两数的乘积是整十、整百、整千，要先乘。为此，要牢记下面这三个特殊的等式：

5×2＝10

25×4＝100

125×8＝1000

2、拆并法

在乘除法的计算问题中，观察题目，将其中的部分数拆分，从而能够使用相应的乘除法分配率、结合率等等。

3、特殊因数的巧算

下面介绍几种特殊巧算的方法：

1、一个数与99相乘，先在这个数后添00，再减去此数。

例：3×99＝297＝300－3。

2、两位数与11相乘，只要把这个两位数打开，个位数字做积的个位，十位数字做积的百位，个位数字与

十位数字相加做积的十位，如果满十，就向百位进1。

例：12×11＝？，49×11＝？。

分析：

方法是：两边一拉，中间相加，满十进1。

3、三位数与11相乘的速算方法同样可以概括为“两边拉，中间加”。注意中间是相邻位相加。

例：

4、两位数与101相乘，积是把这个两位数连续写两遍。

例：巧算两位数与101相乘：

101×43＝？101×89＝？

可得上述结论。

5、三位数与1001相乘，积是把这个三位数连续写两遍。

例：巧算三位数与1001相乘：

1001×132＝？1001×436＝？

可得上述结论。

6、

被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型。

被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。

对于计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。

“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×(头＋1)”。

“补同”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×头＋尾”。

三、除法中的巧算：

1、在除法中，利用商不变的性质巧算

在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(零除外)，商不变。这就叫商不变的性质。

商不变的性质是进行除法简便运算的依据，也是今后学习小数乘除法，分数、比的基本性质等知识的基础，我们要学会根据商不变的性质，用简便方法计算被除数和除数末尾有零的除法，即当被除数和除数末尾都有0的时候，可以运用商不变的性质，使被除数和除数末尾都去掉相同个数的0，可以使计算简便。

2、在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。

如864×27÷54

＝864÷54×27

＝16×27

＝432。

3、当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。

4、在乘除混合运算中的“去括号”或“添括号”的方法：如果“括号”前面是乘号，，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，填括号的方法与去括号类似。

即a×(b÷c)＝a×b÷c从左往右看是去括号，

a÷(b×c)＝a÷b÷c从右往左看是添括号，

a÷(b÷c)＝a÷b×c

如：

1320×500÷250＝1320×(500÷250)＝1320×2＝2640

4000÷125÷8＝4000÷(125×8)＝4000÷1000＝4

5600÷(28÷6)＝5600÷28×6＝200×6＝1200。

数列与数阵

数字谜

比较和估算

定义新运算

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等。

如：2＋3＝5

2×3＝6

都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际上是对应法则不同。可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算。定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：

(1)新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

(2)每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

计算综合

在计算问题中，可能涉及到四则运算、速算与巧算、数列计算、定义新运算及比较与估算等多个知识点的综合运用。

分数和小数的互换

分数转化成小数的一般方法：

用分数的分子除以分数的分母，除不尽的一般保留三位小数。

分数转化为有限小数的判断方法：

(1)不是最简分数的，要先把它约成最简分数。

(2)能化成有限小数的分母中只含有质因数2和5；

(3)如果分母中含有2和5以外的质因数，就不能化成有限小数。

分数转化成循环小数的判断方法：

(1)一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。

(2)一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。小数转化成分数的一般方法：

小数化成分数时，原来有几位小数，就在1后面写几个0作分母，原来的小数去掉小数点作分子。注意约分的要约分。

循环小数化分数的公式：

；；；，……

循环小数化分数的规则：循环小数所化成的分数的分母由9和0组成，分母中9的个数与循环小数的循环节的位数相同，9后面的0的个数与循环小数小数点后不循环的位数相同；分子则是小数点后不循环的部分与第一个循环节所组成的多位数与不循环部分组成的多位数的差。如果这样所得的分数不是最简分数，还需

要将其化简。

繁分数的计算

1、繁分数的定义：

分子和分母中还含有分数或四则混合运算的分数叫做繁分数，通常无法应用运算定律和运算性质进行计算，因此繁分数的运算过程就是化简的过程，要分别对分子和分母逐步进行运算，其间需要扎实的基本功：概念清楚，运算迅速正确，而且还需要探索和掌握一些灵活的解题方法，化“繁”为“简”。

繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线，叫做繁分数的主分数线(也叫主分线)。主分线比其他分数线要长一些，书写位置要取中。在运算过程中，主分线要对准等号。如果一个繁分数的分子部分和分母部分又是繁分数，我们就把最长的那条主分线，叫做中主分线，依次向上为上一主分线，上二主分线……；依次向下叫下一主分线，下二主分线……；两端的叫末主分线。

如：

根据分数与除法的关系，分数除法的运算也可以写成繁分数的形式。

2、繁分数计算的技巧：

(1)先找出繁分数中主分线，确定分子部分和分母部分，然后这两部分分别进行计算，每部分的计算结果能约分的要约分，最后改成“分子部分÷分母部分”的形式，再求出结果。如：

(2)繁分数化简的另一种方法是：根据分数的基本性质，将繁分数的分子部分和分母部分同时扩大相同的倍数(这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数)，从而去掉分子部分和分母部分的分母，然后通过计算化为最简分数或整数。

3、混合运算的技巧：

繁分数的分子部分和分母部分，有时也出现是小数的情况，如果分子部分与分母部分都是小数，可依据分数的基本性质，把它们都化成整数，然后再进行计算。如果是分数和小数混合出现的形式，可按照分数、小数四则混合运算的方法进行处理。即：把小数化成分数，或把分数化成小数，再进行化简。

即在复杂的题型中，需要进行分数、小数的化简，一般来说：

1)、化小数为整数：若分子、分母都是小数还可以利用分数的基本性质，分子与分母同时扩大相同的倍数，把小数化成整数再化简。

2)、化小数为分数：繁分数中的分子或分母若含有小数，则一般可把小数化成分数再化简。

3)、化分数为小数：繁分数中的分子或分母部分所含有的分数可化为有限小数，则可把分子或分母中的分数化为小数再化简。

4)、化带分数为假分数：繁分数中的分子或分母若含有带分数，则把带分数化为假分数再化简。

5)、化多层为单层：化简复杂的繁分数要学会分层化简。

6)、化复杂为简单：繁分数的分子或分母部分若含有加减运算，则先加减运算再按繁分数化简方法进行化简。繁分数的分子、分母都是连乘运算可以分子、分母直接约分化简。

(1)；

(2)。

运算律

我们熟悉的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律。简言之，即：交换律、结合律、分配律。

1、交换律：

交换律是被普遍使用的一个数学名词，意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。

在四则运算中，加法和乘法都满足交换律。在小学课本中的表述如下：

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。a＋b＝b＋a。

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。a×b＝b×a。

2、结合律：

在常见的四则运算中，加法和乘法都满足结合律。在小学课本中表述如下：

加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，再加第三个数，或者先把后面两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。即表示为：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；

乘法结合律：三个数相乘，先把前面两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后面两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。即表示为：(a×b)×c＝a×(b×c)；

3、分配律：

在常见的四则运算中，乘法对加法和减法都满足分配律(即同时满足左右分配律)。

在小学课本里这个性质被表述为：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加。

左分配律：c×(a＋b)＝(c×a)＋(c×b)；

右分配律：(a＋b)×c＝(a×c)＋(b×c)。

数列的相关概念

按一定次序排列的一列数叫做数列。

数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……；最后一个数叫末项。

后项与前项的差叫做这个数列的公差。

第1项(或首项)用a1表示，第2项用a2表示，…，第n项用a n表示，…，

数列的一般形式可以写出：a1，a2，a3，…，a n，…，

简记作：{a n}。

如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n－1＋a n，叫做数列{a n}的前n项和。

巧填算符

所谓填算符，就是指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号(包括括号)，从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。

在填算符的问题中，所填的算符包括：＋、－、×、÷、( )、[ ]、{ }。

解决这类问题常用两种基本方法：一是凑数法，二是逆推法，有时两种方法并用。

凑数法是根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，然后，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。

逆推法常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。

数的比较

小数的比较大小很简单，重点是分数的一些比较方法和技巧，有：

1、同分母分数：分子小的分数小。

2、同分子分数：分母小的分数大。

3、比倒数：倒数大的分数小。

4、与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小。(适用于真分数)

与相减比较法：分别与相减，差大的分数小。(适用于小于的分数)

5、重要结论：

①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；

②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大。

6、交叉相乘法，如比较，的大小，由于2×7＜3×5，所以＜。简单的说，谁的分子与对方

分母乘出的结果更大，谁就更大。

常用公式

1、等差数列求和公式：总和＝(首项＋末项)×项数÷2(高斯求和公式)

2、等比数列求和公式：

3、平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)

4、完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2(表述为：首平方，尾平方，2倍乘积在中央)

5、立方和公式：13＋23＋33＋43＋……＋n3＝(1＋2＋3＋4……＋n)2＝()2

6、平方和公式：12＋22＋32＋42＋……＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)

7、1＋2＋3＋…＋n＝

8、1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝n2

等差数列

如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。公差一般用d表示。

如：1，2，3，4，…是等差数列，公差为1；

2，4，6，8，…是等差数列，公差为2；

5，10，15，20，…是等差数列，公差为5。

等差数列的相关公式：

项数公式：项数＝(末项－首项)÷公差＋1，即；

通项公式：第几项＝首项＋(项数－1)×公差，即a n＝a1＋(n－1)d；

求和公式：总和＝(首项＋末项)×项数÷2，即或。

平均数公式：平均数＝(首项＋末项)÷2

在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。

算式谜

在数学竞赛中，我们会遇到这样一类题目，题中只给出一些类似谜面的已知信息，而要求找出谜底一样的位置信息，这样的题目被称为“算式谜”。

“算式谜”是一种猜数的游戏，我国古代称它为“虫食算”，好像是小虫把“算式”咬了几个小窟窿。解“算式谜”就是把这些被“小虫咬掉”的数字补充完整，并使算式成立。

解答“算式谜”必须依据题中残留的一些数字，有的则是根据题目中指代的字母和汉字，做细致而全面的分析、推理和判断，把所缺的部分或全部数字填出来。

一般解题步骤：

1、先确定明显部分的数字；

2、寻找突破口，缩小范围；

3、分情况讨论。

数的估算

在日常生活中，我们经常要计算一些数据，计算能力是我们都应该注意训练的，对学生进行计算能力的培养，也应该包括估算的能力培养。因为在计算时，往往会遇到比较繁难的计算，而在许多情况下，也不需要精确算出结果，估算出一个相对正确的和符合要求的数值就可以了，这就是估算、估值，其表现形式主要有以下两种：

(1)省略尾数取近似值，即观其“大概”；

(2)用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。

省略尾数有一种特殊的情况：取整计算。

比如，用5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布料可以做几件上衣？，我们的

答案取的整数部分2，又如我们收水费时，为方便经常是忽略掉用水量的小数吨数，而是先按用水量

的整数吨数收费把余量推至下一个月一起收。所以数学上引用了符号[ ]，使我们的表述简明。

[a]表示不超过a的最大整数，称为a的整数部分。

例：[0]＝0，[0.03]＝0，[]＝2，[10.25]＝10，[7]＝7，[]＝0。

[a]显然有以下性质：

(1)[a]是整数；

(2)[x]≤x；

(3)x＜[x]＋1；

(4)若b≥1，则[a＋b]＞[a]；若b≤1，则[a＋b]≤[a]＋1。

小数的巧算

小数“巧”算的基本途径还是灵活应用小数四则运算的法则、运算定律，使题目中的数尽可能快地化为整数。在某种意义上讲，“化整”是小数运算技巧的灵魂。

当然，根据小数的特点，在乘除运算中灵活运用小数点的移位：两数相乘，两数中的小数点反向移动相同的位数，其积不变(如0.8×1.25＝8×0.125)；两数相除，两数中的小数点同向移动相同的位数，其商不变(如0.1