20181125小学奥数练习卷(知识点：体积的等积变形)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：体积的等积变形）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（共1小题）

1．在一个圆柱形容器里盛有一部分水，已知圆柱形容器底面半径为10cm，水深9cm．将一个底面半径为5cm，高为15cm的铁圆柱垂直放入水中，使圆柱底面与容器底面接触，此时水深为（）厘米．

A．10B．12C．14D．15

第Ⅱ卷（非选择题）

二．填空题（共19小题）

2．一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小正方体，如图所示，将其投入底面积为2500cm2，高为50cm的圆柱形容器内．已知原来容器内水面高度为20cm，那么，放入铁块后水面高度变为cm．

3．如图，一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水．先将一个底面直径是8厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2厘米．圆锥形铁块的高厘米．

4．在一个游泳池中有一条船，船上载着小明、小华和一些石头．当小明和小华把船舱内的石头投入游泳池以后，小明认为游泳池的水位应该上升；小华认为游泳池的水位应该下降．说法正确的是．

5．一个长方形形状的玻璃缸，不计玻璃的厚度，量得长54厘米，宽24厘米，高20厘米，缸内水深12厘米，将一块正方体形状的石块放入玻璃缸中，水面升高至16厘米，则石块的体积是立方厘米．

6．用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm．

7．有一个足够深的水槽，底面的长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是厘米．

8．一个正方体的棱长是12，一个长方体的长是18，宽是8，长方体的体积和正方体的体积相等，长方体的表面积比正方体的表面积多．

9．一个底面内半径为6厘米的圆柱形容器中盛有水，水面高4.8米，在其中放入一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方体铁块后，长方体的上表面刚好露出水面，那么长方体的高是厘米．

10．把一个体积为512立方厘米的正方体橡皮泥改做成棱长为整厘米数的一个长方体，表面积最多能增加平方厘米．

11．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：

（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；

（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；

（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．

根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（）

（A）20cm3以上，30cm3以下；（B）30cm3以上，40cm3以下；

（C）40cm3以上，50cm3以下；（D）50cm3以上，60m3以下．

12．如图，正方体的棱长为6cm，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个三角形．正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有个面，它的体积是cm3．

13．图2a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米．将水瓶倒置后，如图2b，瓶中液面的高度是16厘米，则图2b中，水瓶中圆锥部分的高度为厘米．

14．如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体术块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降厘米．

15．一位拉面师傅，拉出的面条很细很细．他每次做拉面的步骤是这样的：先将一个面团搓成长1.6米的圆柱形面棍，然后对折拉长到1.6米，再对折拉长到l.6米，又再对折拉长到1.6米，…，如此继续进行下去．最后拉出的面条的粗细（直径）只有原先面棍的，这位拉面师傅拉出的这些细面条的长度总和有米．（假设拉面过程中，面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费．）

16．已知如图中，A面和B面的面积分别是24平方米、16平方米，h为0.5米，现在要把A地的土往B地运，使A、B两地同样高，这样B地可升高米．

17．把一个钢球放入装满水的圆柱形桶里，结果溢出水3.14升．如果将钢球铸成底面直径为2分米的圆柱体，它的高是分米．

18．圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径1厘米，高15厘米的圆柱形铁棒放入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深厘米．

19．如图，有两个长方体水箱中装有水．甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，水面高10厘米．现将甲水箱中的部

分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，则此时水面高厘米．（水箱厚度不计．

20．往容器里倒啤酒时，啤酒会分成液体部分和泡沫部分．过一会儿后泡沫会变成液体的啤酒，这时，体积会缩小到（也就是说泡沫的体积是相应液体时的3倍）．另外，因倒入方法的不同而使液体与泡沫的比例不同．即使是往相同的容器里倒人的啤酒量，也会因倒人的方法不同而不同．如图，往深度为30厘米的圆柱形的容器里倒入500毫升的啤酒，从容器的底部到以上15厘米高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫（第一次）．然后，往相同的容器里倒入700毫升的啤酒，从容器的底部到以上x高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫（第二次）．x的值是．

三．解答题（共30小题）

21．一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的倍，求切割成小正方体中，棱长为1的小正方体的个数？

22．一个长方体盒子，从里面量长是40厘米，宽是12厘米，高是7厘米．在这个盒子里放入一块长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的小长方体木块，最多可以放多少块？

小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)

小学奥数精讲：等积变形求面积 “三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”． 另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平 行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。 图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则 的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转 换成易求面积的图形． 利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利 用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键． 进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目 地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。 例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积? 例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=3 1 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积． 例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角 基本概念 例题分析

三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少? 例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积． 1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米? 2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少 平方厘米？ 练习提高

五年级下册数学奥数试题-等积变形(无答案)(人教版)

第3讲等积变形 一、知识点 等积变形一般指三角形的等积变形，就是三角形面积相等的变化，经常用到的结论有： 1.等底等高的两个三角形面积相等； 2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等； 3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍； 4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一条直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等. 二、例题精讲 例1 两条对角线将梯形分成四个小三角形，已知图中两个三角形的面积，则另外两个三角形的面积分别为多少？ 例2 如图，三角形ABC中D、E分别为各边中点.若阴影部分面积为1，则三角形ABC的面积为__________. 例3 如图，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的________倍.

例4 如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，三角形EBF的面积是____________平方厘米. 例5 如图，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC面积的2倍，则阴影部分的面积是______________平方厘米. 例6 如图，长方形ABCD中，AB=24厘米，BC=36厘米，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD 的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分的面积. 例7 在梯形ABCD中，若AB=8,DC=10,三角形AMD的面积是10，三角形BCM的面积是15，则梯形ABCD的面积是_____________. 例8 如图，三角形ABC的面积为10平方厘米，AE=ED,BD=2CD,则图中阴影部分的面积是

小学五年级奥数 等积变形

奥数拓展：等积变形 （一）故事导入： 有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成2个面积相等的三角形吗 根据这个问题，你能得出什么结论 结论一：。 （二）即学即练： 1.你有什么方法将任意一个三角形分成3个面积相等的三角形 2.如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为什么 如图．三角形ABC中．D是AB的中点．点E、F．G、H把BC平均分成五份．阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？ （三）思维探索： （平行线间的等积变形）如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△ACD和△BCD的面积关系是怎样的为什么

（四）即学即练： 1.如图，在梯形ABCD中共有8个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对 （五）结论总结： 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： （1）等底等高的两个三角形面积相等； （2）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等； （3）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （六）例题梳理 【例 1】等积变形的等分点应用 1.如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米．求△ABC的面积 结论2：夹在间的一组同底三角形面积相等

小学奥数——三角形的等积变形

小学奥数三角形的等积变形 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系． 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． ，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等． 例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D 是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据． 例1 用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC 等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积． 例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4． DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．

小升初奥数等积变形

一、学奥数到底有什么用 对目前绝大部分学奥数的孩子和他们的家长来说，那就是通过各种杯赛获奖得到一个上 重点中学试验班的机会，因为现在的升学制度决定了奥数已经成为升学的一个重要手段。其实我们目前学的某些内容，比如抽屉原理等，可能以后在初中甚至高中的课本里我们都根本 不可能接触到的，但是我们学习的其实是一些思想方法，更具体的说，是培养一种解决问题的能力。能把小学奥数学好的同学，我相信学习中学的知识的时候，至少在理科方面，那绝对是游刃有余的。 二、怎样学好奥数 学奥数最佳的起步时间应该是三年级，这个时间启蒙教育特别重要，能不能尽快入门， 或者说“开窍“，这是一个很重要的时期。五年级的时候最好就应该把六年级的内容学的差不 多了. 下面具体谈一下奥数的学习方法学奥数有诀窍吗？根据我学习奥数的经验，答案是没 有。但如果非要我说一个的话，那就是“做题”。 那么这里就有两个问题了，一是我该做哪些题呢？二是我该做多少，应该怎么做呢？ 我们先说一下做哪些题，现在市面上的奥数书种类繁多。我觉推荐《华罗庚学校数 学课本》，这本书内容不难，适合入门学习。《华罗庚思维训练导引》是一本分类习 题集，每个专题15个题目，虽然有的题目偏难，但这本书选题都非常有代表性，值 得一做（做三星题目为主）。 除了专题训练外，大量的综合练习也是必不可少的，《小学数学ABC》《小学数学奥林匹克试题详解》和刘京友编写的《题库》这3本书非常好。 通过做综合练习找出自己问题所在，再集中的有针对性的加强这方面的练习，达到差漏补缺的目的。这就要求我们每次做完题，不会的或者做错的一定要弄明白为 止。有的同学可能一天做好几套题目，做完了对对答案，每套错的都不多，自我感 觉也不错，做了半天也累了就把书扔下不管了。这样的学习是没有效果的，因为你 原先会的还是会，不会的那些呢？还是不会！ 因此题目不在于你做了多少，关键是你遇到的每一道题目无论你当时是否会做，事后你是否都真正理解了，再遇到类似的题目还会不会做。如果我真正能做到做一 套题就把里面所有的题目吃透，那么我学习的效果要比刚才提到的一天做好几套但 不注意总结的同学好的多。 其实你好好把题目总结一下花不了太多时间，而且对自己的帮助真的很大。希望同学们也能做到这点，至少，对于做错的题目一定要引起重视。每天学习完或者做 完题，自己都问问自己，我今天学到了什么新的方法，我哪个题目思路上有问题以

等积变形习题

六年级奥数解析（七十）形体的等积变形 [ 2013-3-21 2:57:00 | By: spring ] 4 推荐 《奥赛天天练》第42讲《形体的等积变形》。 在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的等积变形。 本专题学习，需要学生熟练掌握并能灵活运用长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式。解答此类问题的关键是抓住题中隐藏的等量关系：物体在改变形状的过程中体积不变，即形状发生改变前后物体的体积相等。 《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习1 【题目】： 在底面半径是10厘米的圆柱形杯中装有7厘米高的水，把一小块铁浸入水中，这时水面上升到9厘米，问这块铁块的体积有多大？ 【解析】： 这块铁块的体积就是圆柱形杯中上升的那部分水的体积（即底面半径为10厘米，高为2厘米的圆柱形体积）： 3.14×102×（9－7）＝628（立方厘米）。 《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习2 【题目】： 有甲、乙两个容器如图所示，（长度单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。 【解析】： 先求出倒入甲容器的水的体积： 3.14×62×10×1/3＝376.8（立方厘米）

再用水的体积除以乙容器的底面积，求出乙容器的水深： 378.6÷（3.14×42）＝7.5（厘米）。 注：此类习题列综合算式，先约分再计算，可以使计算更加简洁。 《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题1 【题目】： 把一块长19厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体铝块和一个棱长为7厘米的正方体铝块熔铸成一个底面周长为31.4厘米的圆柱形的铝块，求圆柱形铝块的高是多少厘米？ 【解析】： 熔铸成的圆柱形铝块的体积就等于长方体铝块和正方体铝块的体积之和：19×5×3＋73＝628（立方厘米） 用圆柱形铝块的体积除以它的底面积，可以求出它的高为： 628÷[3.14×（31.4÷3.14÷2）2]＝8（厘米）。 《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题2 【题目】： 在一个底面半径是20厘米的圆柱形水桶里，有一个底面半径为10厘米的圆柱形钢材完全浸没在水中，当钢材从桶里取出后，桶里的水面下降3厘米，求这段钢材的长。 【解析】： 圆柱形钢材的体积就等于水桶里下降的那部分水的体积（即底面半径为20厘米，高为3厘米的圆柱形体积）： 3.14×202×3＝3768（立方厘米） 所求钢材的长为： 3768÷（3.14×102）＝12（厘米）。 《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题1 【题目】： 有两个等高的圆柱体，小圆柱体底面积是50平方厘米，大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％，大圆柱体的体积为360立方厘米，求小圆柱体的体积。 【解析】： 要求出小圆柱体的体积，已知小圆柱体的底面积，还需要先求出小圆柱体的高。因为两个圆柱体等高，只求出大圆柱体的高就等于小圆柱体的高。 由“大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％”，可以求出大、小圆柱体底面直径之比为： （1＋20％）：1＝6 ：5 则两个圆柱的底面积比为：62：52＝36 ：25 解法一：又因为小圆柱体底面积是50平方厘米，可以求出大圆柱体的底面积为： 50×36/25＝72（平方厘米）

四年级奥数讲义-等积变形二 通用版

等积变形（二） 【动手算一算】 ⑴如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。 ①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ (★★) ⑵如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。求 三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ 如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD 的中点。求：三角形DEF的面积。 (★★★) 1

如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB 和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？ (★★★) 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三 角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？ (★★★) 如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3， AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ (★★★★) 如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形 BDE的面积是多少？ (★★★) 2

如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长 BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF 的面积。 (★★★★) 如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶 点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100和 120，则三角形BDE的面积是多少？ (★★★★★) 【大海点睛】 一、重要结论 1．结论㈠：等底等高的两个三角形面积相等 结论㈠拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等 如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底 边CD，那么S△ACD＝S△BCD 2．结论㈡ ⑴若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的 几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 ⑵若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的 几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 二、技巧方法 1．平行线的来源 ⑴平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形 ⑵已知平行 ⑶并排摆放的正方形的同方向对角线 2．已知做底边，等高优先找 三、经典例题 等积变形(上)：例3，例5，例6，例7 等积变形(下)：例2，例4，例5，例7 3

六年级奥数试题-等积变形(学生版)

第三讲等积变形 1.等积模型 2.鸟头定理 3.蝶形定理 4.相似模型 5.共边定理（燕尾模型和风筝模型） 1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。 2.能在解题中发现题目中所涉及的几何模型。

例1：如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ． 例2：长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 例3：如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ． 例4：已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC ) 例5：如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ． E B

例6：如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 例7：如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 例8：如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比． 例9：如图所示的四边形的面积等于多少？ G F E D C B A A B C D E F G E D C B A E D C B A E D C B A E D C B A H G A B C D E F H G A B C D E F

2020年四年级奥数春季班-第5讲等积变形(下)

2020年四年级奥数春季班 【动手算一算】 ⑴ ⑵ ⑴如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。 ①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ⑵如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ 如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF 的面积。 等积变形（下） (★★) (★★★)

如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？ 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？ 如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3，AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形BDE的面积是多少？ (★★★) (★★★★) (★★★) (★★★★) (★★★)

如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF的面积。 (★★★★★) 如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100和120，则三角形BDE的面积是多少？ 【大海点睛】 一、重要结论 1．结论㈠：等底等高的两个三角形面积相等 结论㈠拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等 如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD，那么S△ACD＝S △BCD 2．结论㈡ ⑴若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个 三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 ⑵若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个 三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 二、技巧方法 1．平行线的来源 ⑴平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形 ⑵已知平行 ⑶并排摆放的正方形的同方向对角线 2．已知做底边，等高优先找 三、经典例题 等积变形(上)：例3，例5，例6，例7 等积变形(下)：例2，例4，例5，例7

高斯小学奥数四年级上册含答案第21讲_等积变形

第二十一讲等积变形 三角形和平行四边形的关系非常紧密．回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图： 除了上面这种情形外，下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同，所以面积也是平行四边形的一半．（注意：长方形也是平行四边形） 底 底底 底

例题 1 A D 如图，已知平行四边形ABCD 的面积是100 平方 厘米，E 是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积 E 是多少平方厘米？ 「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行 四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关 B C 系呢？ 练习 1 A D 如图， E 是平行四边形ABCD 中的任意一点，已 E 知△AED 与△EBC 的面积和是40 平方厘米，那么图 中阴影部分的面积是多少？ B C 下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形OAB、三角形PAB、三角形MAB 和三角 形NAB，它们的底相同，都是AB；高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形 的面积是相等的．进一步，我们可以在直线ON 上任取若干个点，这些点分别与A、B 两点形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的． P M N O 高 A B 底 我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高”．“同底等高”是我们最早碰到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等． 如果两个三角形同底等高，那么它们的面积相等． 利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形．

例题 2 A F H D 如图，平行四边形ABCD 的底边AD 长20 厘米， 高CH 为9 厘米；E 是底边BC 上任意的一点，那 么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？ 「分析」能否通过等积变形，把两个三角形变 B C 成一个三角形呢？ E 练习 2 如图，平行四边形ABCD 的面积是100 平方 A D 厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ C B 例题 3 如图所示，ABFE 和CDEF 都是长方形，AB 的长是 4 厘 A B 米，BC 的长是 3 厘米．那么图中阴影部分的面积是多少平方 E F 厘米？ 「分析」能否通过等积变形，把上层与下层的三角形 分别变成一个三角形呢？ D C 练习 3 A D 如图，ABCD 和CDEF 都是平行四边 E 形，四边形ABFE 面积为60 平方厘米．请 问：阴影部分面积是多少平方厘米？ B C F 在利用同底等高三角形计算面积的题目中，最重要的一步就是去寻找其中的平行线，进

《小学奥数几何专题常用方法》共23讲

《小学奥数几何专题常用方法》目录 （适合5、6年级） 第一讲：长度与角度综合 第二讲：等积变形(上) 第三讲：等积变形（下） 第四讲：复合图形的分拆 第五讲：复合图形的分 第六讲：格点与割补 第七讲：共边模型 第八讲：共角模型之鸟头定理 第九讲：共角模型 第十讲：蝴蝶模型（上） 第十一讲：蝴蝶模型（下） 第十二讲：新概念几何（上） 第十三周：新概念几何（下） 第十四讲：几何图形的认知 第十五讲：长度与角度的计算 第十六讲：巧求周长 第十七讲：曲线型面积进阶 第十八讲：曲线型面积 第十九讲：三角形的认识 第二十讲：三角形的认知技巧提高 第二十一讲：四边形中的基本图形（上） 第二十二讲：四边形中的基本图形（下） 第二十三讲：弦图（上） 第二十四讲：弦图（下）

第一讲：长度与角度综合

如图ABCDJ 为正五边形，DEFGHJ 为正六边形，试求∠AJH 的度数。 海海家有一个花坛，如图。海海从A 点出发，逆时针绕花坛一周回到A 点，那么海海在行走过程中共转了多少度？ (第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试) 直线AB 、CD 相交，若∠1、 ∠2和∠3的关系如图所示。则∠3－∠1＝______ 。 例1 例3 例2

例4 如图，正五边形ABCDE，若△CDF为正三角形，试求∠BFE的度数。 例5 如图∠E＝20°，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D。 例6 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从甲地出发到河边饮马，然后再到乙地军营视察，显然有许多走法。问走什么样的路线最短呢？

小学奥数——三角形的等积变形(附答案)教学文案

小学奥数——三角形的等积变形(附答案)

小学奥数三角形的等积变形 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系． 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． ，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相 等． 同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．

例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC 高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据． 例1 用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积． 例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．

小学奥数等积变形

奥数拓展：等积变形2 【例 1】重叠面积中的等积变形 1.如图是有两个相同的直角梯形重叠而成（单位：厘米），阴影部分的面积是（）平方厘米． 2.如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中阴影部分面积是（）平方厘米． A．90 B．75 C．52 D．30 【例2】等积变形的灵活运用 1.如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积． H G E D C B A 2.将三角形ABC的BA边延长1倍到D；CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F，如果三角形ABC的面积等于2，那么三角形DEF的面积是_____。 备用图1 备用图2 3.如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成两部分，阴影部分的面积是6 平方厘米，DB长厘米．

三．出门考 1. 一个等腰三角形的两条边长分别是51米和2 1米，这个三角形的周长是（ ）米。 2. 如下图，ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，如果△BFC 的面积为4平方厘米，则△AEB 的面积是（ ）平方厘米． 3. 如图是由两个相同的直角梯形重叠而成的，图中只标出三个数据（单位：厘米），图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 4*.如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14) 四．课后作业 1. 计算，能简算的要简算。 435177- - 4847157+- 74512712??-- ??? 4357910910+++ 41327373-+-

小学奥数等积变形2

奥数拓展：等积变形2 【例1】重叠面积中的等积变形 1.如图是有两个相同的直角梯形重叠而成（单位：厘米），阴影部分的面积是（）平方厘米． 2.如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中阴影部分面积是（）平方厘米． A．90 B．75 C．52 D．30 【例2】等积变形的灵活运用 1.如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点 E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为 AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积． 2.将三角形ABC的BA边延长1倍到D；CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F，如果三角形ABC的面积等于2，那么三角形DEF的面积是_____。 备用图1 备用图2 3.如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成两部分，阴影部分的面积是6 平方厘米，DB长厘米． E B A

三．出门考 1. 一个等腰三角形的两条边长分别是51米和2 1米，这个三角形的周长是（ ）米。 2. 如下图，ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，如果△BFC 的面积为4平方厘米，则△AEB 的面积是（ ）平方厘米． 3. 如图是由两个相同的直角梯形重叠而成的，图中只标出三个数据（单位：厘米），图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 4*.如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14) 四．课后作业 1. 计算，能简算的要简算。 435177- - 4847157+- 74512712??-- ??? 4357910910+++ 41327373-+-

三角形的等积变形

年级四年级学科奥数版本通用版 课程标题三角形的等积变形（一） 编稿老师李允 一校林卉二校张琦锋审核张舒 这节课，我们一起来学习三角形的等积变形，它是几何问题中在求直线型面积时，很重要的一个部分，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。 三角形面积的计算公式： S＝底×高÷2 三角形面积、底和高之间的关系： 从公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）； ①当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。 ②当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。一个三角形的面积变化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅取决于底或高的变化。 ③一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。 重要结论： ①等底等高的两个三角形面积相等。 ②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 ③若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例1如图，在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝12厘米，DC＝4厘米。 （1）求△ABC的面积是△ABD面积的多少倍； （2）求△ABD的面积是△ADC面积的多少倍。 分析与解：因为△ABD、△ABC和△ADC分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都

是过A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。因为，12＋4＝16，16÷12＝ 34，所以△ABC 的底是△ABD 的底的34倍，所以，△ABC 的面积是△ABD 面积的3 4 倍；同理，因为12÷4＝3，所以△ABD 的面积是△ADC 面积的3倍。 巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数＝底边长的倍数。 例2 如图，E 在AD 上，AD 垂直于BC ， AD ＝12厘米，DE ＝3厘米。求△ABC 的面积是△EBC 面积的几倍。 分析与解：因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为△ABC 和△EBC 的底时，AD 是△ABC 的高，ED 是△EBC 的高。于是： △ABC 的面积＝BC ×12÷2 ＝ BC ×6； △EBC 的面积＝BC ×3÷2 ＝ BC ×1.5。 所以△ABC 的面积是△EBC 的面积的4倍。 巩固理解结论：两个三角形等底时， 面积的倍数＝高的倍数。 例3 如图，在梯形ABCD 中，AC 与BD 是对角线，其交点为O ，求证：△AOB 与△COD 面积相等。 分析与解：∵△ABC 与△DBC 等底等高， ∴ABC S △＝DBC S △。 又∵ AOB S △＝ABC S △－BOC S △， DOC S △＝DBC S △—BOC S △， ∴AOB S △＝COD S △。

五年级奥数等积变换

第二十一讲等积变换 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 例题1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。 解：因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。 直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。 答：阴影部分的面积是17厘米2。 例题2：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。 解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于 10×8÷2+10=50（厘米2）。 答：平行四边形ABCD的面积是50cm.

例题3：在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。 解：因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。 梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米2）， 三角形ECB面积=36-18=18（厘米2）， EC=18÷6×2=6（厘米）， ED=6-4=2（厘米）。 答：ED的长2厘米。 例4：下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。 解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF 的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。 解法二：连结C，F（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF 的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。 答：三角形BCO与三角形EFO的面积之差是3. 例题5：左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。

奥数几何专题：等积变形(基础篇)

(★★) ⑴图中每个小正方形面积都是1平方厘米，那么下面的三角形面积各是多少？ ⑵图中每个小正方形面积都是1平方厘米，那么下面的三角形面积各是多少？ ⑶图中每个小正方形面积都是1平方厘米，那么下面的三角形面积各是多少？ 例1 等积变形(上)

( ★★★) 正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ (★★★) 如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ 例2 例3

(★★★★) 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积。 (★★★) 下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积。 例4 例5

(★★★★) 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果 △ADE 的面积为 4平方厘米。求三角形CDF 的面积。 (★★★) 在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE ＝1，求△BEF 的面积。 例6 例7

⑴夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD，反之，如果S△ACD＝S△BCD，且A、B在CD同侧，则可知直线AB平行于CD。 ⑵平行线藏在哪里？ ——并列正方形的同方向对角线

【先睹为快】 (★★★★) 如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF 的面积。