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(完整版)高二数学理科期末试卷

(完整版)高二数学理科期末试卷
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高二数学(上)期末考

一、选择题:本小题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式0322

<--x x 的解集是( )

A .()1,3-

B .()3,1-

C .()3,-∞-Y ()+∞,1

D .()1,-∞-Y ()+∞,3

2. 已知平面α的法向量是()2,3,1-,平面β的法向量是()4,,2λ-,若//αβ,则λ的值是( ) A .10

3

-

B .6-

C .6

D .103

3.已知, , a b c 满足c b a <<,且0ac <,那么下列选项中一定成立的是( ) A. ab ac > B. ()0c b a -< C. 2

2

cb ab < D. ()0ac a c ->

4. 已知{}n a 是由正数组成的等比数列,n S 表示{}n a 的前n 项的和.若13a =,24144a a =,则10S 的值是( ) A .511 B .1023 C .1533 D .3069

5. 下列有关命题的说法正确的是( ) A .命题“若2

1x =,则1=x ”的否命题为:“若2

1x =,则1x ≠”. B .“1x =-”是“2

560x x --=”的必要不充分条件.

C .命题“x R ?∈,使得2

10x x ++<”的否定是:“x R ?∈, 均有2

10x x ++<”. D .命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题为真命题

6. 设21,F F 为双曲线1422

=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且02190=∠PF F ,则21PF F ?的面积是( ) A.1 B.2

5

C.2

D.5

7. 已知向量)0,1,1(=→

a ,)2,0,1(-=→

b ,且→→+b a k 与→

→-b a 2互相垂直,则k 的值是( ) A. 1 B.

51 C. 53 D. 5

7 8. 若ABC ?的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足2

2

()4a b c +-=,且0

60C =,则a b +的最小值为( )

A .

3 B . 3

C .

4

3

D .8-9.若双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ,若过F 且倾斜角为?

60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,

则此双曲线离心率e 的取值范围是( ) A .[]2,1

B .()2,1

C .()+∞,2

D . [)+∞,2

10.若抛物线2

4y x =的焦点是F ,准线是l ,则经过点F 、M (4,4)且与l 相切的圆共有( ). A.4个 B.2个 C.1个 D.0个

二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.

11.等差数列{}n a 中,若34512,a a a ++=则71a a += .

12. 已知1,10,220x x y x y ≥??

-+≤??--≤?

则z x y =+的最小值是 .

13. 已知正方体1111D C B A ABCD -中,E 为11D C 的中点,则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 . 14. 点P 是抛物线x y 42

=上一动点,则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是 . 15.设{}n a 是公比为q 的等比数列,其前n 项积为n T ,并满足条件01

1

,

01,110099100991<-->->a a a a a ,给出下列结

论:(1)10<

(4)使1

⑴求12,a a 的值;⑵求数列{}n a 的通项公式。

17.(本小题满分13分)已知0,1a a >≠,命题:p “函数x

a x f =)(在(0,)+∞上单调递减”,命题:q “关于x 的不等

式2

1

204

x ax -+

≥对一切的x R ∈恒成立”,若p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,求实数a 的取值范围. 18.(本小题满分13分)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且c

a

b b a

c a -=

++, (1)求角B 的大小;(2)若ABC △最大边的边长为7,且A C sin 2sin =,求最小边长.

19.(本小题满分13分)运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位:千米/小时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油(2+x 2

360

)升,司机的工资是每小时14元.

(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.

20.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥ 底面ABCD ,

底面ABCD 是正方形,PD=DC ,E 、F 分别为AB 、PB 的中点。

(1)求证:EF ⊥ CD ;(2)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值;

(3)在平面PAD 内求一点G ,使GF ⊥ 平面PCB ,并证明你的结论。

21.(本小题满分14分)已知椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是 F 1(-c ,0)、F 2(c ,0),Q 是椭圆外的动点,满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点,点T 在线段F 2Q 上,并且满足.0||,022≠=?TF TF PT (1)设x 为点P 的横坐标,证明x a

c

a F +

=||1;(2)求点T 的轨迹C 的方程;(3)试问:在点T 的轨迹上,是否存在点M , 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在,求∠F 1MF 2 的正切值;若不存在,请说明理由.

P

F

D C

A E B

高二(上)期末联考数学试卷参考答案(理科)

一、选择题1—5、BCADD 6—10、ADBDB 二、填空题11、8 12、3 13、

3

2

14、2 15、(1)(3)(4) 三、解答题16、2n S =+n 解:由已知得2a --------① ------------2分

由①得:122S =+?=112a a --------------4分2224S =+=++?=21222a a a a ------------6分

(2)解:12n S +=+n+12a -------②

②-①得

12n n S S +-=-=∴

=n+1n n+1

n+1

n

2a 2a a a a ------------9分∴数列}{n a 以2为首项,以2为公比的等比数列

------------11分即1222n n

-=?=n a ------------13分

17、解:p 为真:01a <<;……2分;q 为真:0142

≤-=?a ,得2121≤≤-

a ,又0,1a a >≠,2

1

0≤<∴a (5)

分因为p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,所以,p q 命题一真一假……7分

(1)当p 真q 假1212110<<

??≤<>2101

a a 无解 …………11分

综上,a 的取值范围是1

(,1)2

…………………13分

18、解:(Ⅰ)由c

a b b a c a -=

++整理得))(()(b a a b c c a +-=+,即2

22a b c ac -=+,------2分 ∴2122cos 222-=-=-+=ac ac ac b c a B , ∵π<

=B ,∴最长边为b ,

∵A C sin 2sin =,∴a c 2=, ∴a 为最小边,由余弦定理得)2

1

(22472

2

2

-??-+=a a a a ,解得12

=a , ∴1=a ,即最小边长为1

19、解:(1)行车所用时间为t =130x (h),y =130x ×2×(2+x 2360)+14×130

x

,x ∈[50,100].

所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y =2340x +13

18

x ,x ∈[50,100].

(2)y =2340x +1318x ≥2610,当且仅当2340x =13

18x ,即x =1810时,上述不等式中等号成立.

当x =1810时,这次行车的总费用最低,最低费用为2610元.

20、Q PD ⊥面ABCD , ∴,PD DA PD DC ⊥⊥,又Q 底面ABCD 是正方形,∴DA DC ⊥

(0,0,0)0000000222

00.222

DA DC DP x y z AD a a a a

D A a B a a C a

E a

F a a a F P a =以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,设,

则、(,,)、(,,)、(,,)、(,,)、(,,)

(,,)、(,,)

P

F D C

10000.22

a a

EF DC a EF DC ?=-?=∴⊥r r ()(,,)(,,),

(,,).

(,,)(,,)0,()0.0222

20

(,,)(,,0)0,0.221,2,1,(1,2,1).cos ,6DEF n x y z a a a a x y z x y z n DF a a n DE x y z a ax y BD n x y z n BD n BD n DB DEF =???=++=????=????????=?????=+=?????==-=∴=-<>==

=∴r

r r r

r r r

r r

r r r (2)设平面的法向量为由,得取则与平面

所成角的正弦

20.,,,

222

,,(,0,0)()0,;

22222

,,(0,,)()0,0.

2222200.

2

a a a

G x z G PAD FG x z a a a a a FG CB x z a a x x a a a a a

FG CP x z a a a z z a

G G AD ∈=---?=---?=-==?=---?-=+-==∴r r r r r (3)设(,,),则平面。()()()点坐标为(,,),即点为的中点 解法二、(1)证明:Q PD ⊥面ABCD ∴PD CD ⊥,又Q ABCD 是正方形∴AD CD ⊥ Q PD AD D =I ∴CD ⊥面PAD ∴CD PA ⊥

Q E 、F 分别为AB 、PB 的中点∴EF PA P ,故CD EF ⊥

AD OE EB AE OE FO O BD //.∴=,、,连结的中点(证法二)取Θ

.//.PD FO FB FP CD OE CD AD ∴=⊥∴⊥,,又ΘΘ

PD ABCD FO ABCD ⊥∴⊥∴Q 底面,底面,FO CD ⊥

Q OE OF O =I ∴CD ⊥面OEF Q EF ?面OEF ∴CD EF ⊥

211

..33

11124221.

2B DEF F DEB DEF DEB

DEB

B DEF d d FO a FO a a EF AP DF PB DE V V S S S --???=∴

?=?========Q (2)设到平面的距离为,设底面边长为,则,,,, .6

3

63sin .612141868

6.90454342222

222222所成角的正弦值为

与平面,,则所成角与平面设,,DEF DB DB d DEF DB a d a a d a a DEF DE a a a DF EF S DEF o ∴===??=?∴=∴=∠∴==+=

+?θθΘ .G AD (3)答:是的中点.PC H DH PD DC DH PC =∴⊥Q (方法一)取的中点,连结,

.

BC PDC BC DH DH PCB ⊥∴⊥∴⊥Q 又平面,,平面1

.////2

DA G GF FH HF BC DG DGFH ∴Q 取中点,连结、,四边形为平行四边形 //.

DH GF GF PCB ∴∴⊥,平面.

....

AD G PG GB GF PGD BGA PG GB F PB GF PB GO FO ABCD OG AD FG AD FG BC

FG PBC ???∴=∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥Q Q Q (方法二)取中点,连结、、,又为中点,连结底面,,,平面

21、解:

(1)证法一:设点P 的坐标为).,(y x 由P ),(y x 在椭圆上,得

.

)()()(||22

222

2

2

2

1x a

c

a x

a b b c x y c x F +=-++=++=

由0,>+-≥+

≥a c x a c a a x 知,所以 .||1x a

c

a P F +=………………………3分 证法二:设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=

由.||,4,211222121x a

c

a r F cx r r a r r +

===-=+得 (2)解法一:设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时,点(a ,0)和点(-a ,0)在轨迹上.

当|0||0|2≠≠TF 且时,由0||||2=?TF ,得2TF ⊥.又||||2PF =,所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中,a Q F OT ==

||2

1

||1,所以有.222a y x =+综上所述,点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ 解法二:设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时,点(a ,0)和点(-a ,0)在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时,由02=?TF ,得2TF ⊥.

又||||2PF =,所以T 为线段F 2Q 的中点.

设点Q 的坐标为(y x '',),则???

???

?'=+'=.2,2y y c x x

因此??

?='-='.

2,

2y y c x x ①

由a F 2||1=得.4)(2

2

2

a y c x ='++' ②

将①代入②,可得.2

22a y x =+

综上所述,点T 的轨迹C 的方程是.2

2

2

a y x =+……………………7分

(3)解法一:C 上存在点M (00,y x )使S=2b 的充要条件是

?????=?=+.||22

1,

2

022020b y c a y x 由③得a y ≤||0,由④得.||20c b y ≤

所以,当c

b a 2≥时,存在点M ,使S=2b ; 当c

b a 2

<时,不存在满足条件的点M.………………………11分

当c

b a 2

≥时,),(),,(002001y x c MF y x c --=---=,

由2

222022021b c a y c x MF MF =-=+-=?,

212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠?=?,

22121sin ||||2

1

b MF F MF MF S =∠?=

,得.2tan 21=∠MF F 解法二:C 上存在点M (00,y x )使S=2b 的充要条件是

?????=?=+.||22

1,2

022020b y c a y x

由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((22242

20≥+-=-=c b a c b a c

b a x 于是,当c

b a 2≥时,存在点M ,使S=2b ;

当c

b a 2

<时,不存在满足条件的点M.………………………11分

当c

b a 2

≥时,记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,, 由,2||21a F F <知?<∠9021MF F ,所以.2|1|tan 2

12121=+-=∠k k k k MF F …………14分

③ ④

③ ④

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