高考数学大题专项强化练七

大题专项强化练七

立体几何(A组)

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1.如图，平面PBA⊥平面ABCD，∠DAB=90°，PB=AB，BF⊥PA，点E在线段AD 上移动.

(1)当点E为AD的中点时，求证：EF∥平面PBD.

(2)求证：无论点E在线段AD的何处，总有PE⊥BF.

【证明】(1)因为在三角形PBA中，PB=AB，BF⊥PA，所以F是PA的中点，连接EF，在△PDA中，点E，F分别是边AD，PA的中点，所以EF∥PD，又EF?平面PBD，PD?平面PBD，所以EF∥平面PBD.

(2)因为平面PBA⊥平面ABCD，平面PBA∩平面ABCD=AB，∠DAB=90°，DA⊥AB，

DA ?平面ABCD ，所以DA ⊥平面PBA ，又BF ?平面PBA ，所以DA ⊥BF ，又BF ⊥PA ，PA ∩DA=A ，PA ，DA ?平面PDA ，所以BF ⊥平面PDA ，又PE ?平面PDA ，所以BF ⊥PE ，所以无论点E 在线段AD 的何处，总有PE ⊥BF.

2.如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各棱长均为4，E 是BC 的中点，点F 在侧棱CC 1上，且CC 1=4CF. (1)求证：EF ⊥A 1C.

(2)求点C 到平面AEF 的距离.

【解析】过E 作EN ⊥AC 于N ，连结NF.

(1)连结AC 1，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面A 1C ，所以EN ⊥侧面A 1C ，所以NE ⊥A 1C ，在Rt △CNE 中，CN=CEcos60°=1

2

×4×1

2

=1，又因为CC 1=4CF ，所以

CN CA =CF CC 1

，所以NF ∥AC 1，又AC 1⊥A 1C ，故NF ⊥A 1C ，A 1C ⊥平面NEF ，所以EF ⊥A 1C.

(2)设点C 到平面AEF 的距离为d ，则V 三棱锥C-AEF =V 三棱锥F-AEC ，即13

S △AEF ·d=13

S △AEC ·CF ，所以d=

2√55

.