2017高考理科数学第一轮基础知识点复习教案概率与统计1

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第十二编概率与统计

§12.1 随机事件的概率

1.下列说法不正确的有 .

①某事件发生的频率为P（A）=1.1

②不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1

③小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件

④某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的

答案①③④

2.给出下列三个命题，其中正确命题有个.

①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.

答案0

3.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为， .

答案0.97 0.03

4.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是,乙获胜的概率是，则乙不输的概率是 .

答案

5.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，则出现奇数点或2点的概率之和为 .

答案

例1盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球.

（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？

（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？

（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？

解（1）“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0. （2）“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是.

（3）“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1.

例2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：

（1）计算表中击中10环的各个频率；

（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？

解（1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.

（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.

例3（14分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：

求该射击队员射击一次

（1）射中9环或10环的概率；

（2）至少命中8环的概率；

（3）命中不足8环的概率.

解记事件“射击一次，命中k环”为A k（k∈N，k≤10），则事件A k彼此互斥. 2分

（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得

P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60.

5分

（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得

P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）

=0.18+0.28+0.32=0.78. 10

分

（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得

P（）=1-P（B）=1-0.78=0.22. 14

分

1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.

(1)“3件都是二级品”是什么事件？

（2）“3件都是一级品”是什么事件？

（3）“至少有一件是一级品”是什么事件？

解（1）因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件. （2）“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.

（3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品.

2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：

抽取球数n50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m45 92 194 470 954 1 902 优等品频率

（1）计算表中乒乓球优等品的频率；

（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位）解（1）依据公式p=，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，

0.951.

（2）由（1）知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950.

3.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，求：（1）红或黑的概率；（2）红或黑或白的概率.

解方法一记事件A1：从12只球中任取1球得红球；

A2：从12只球中任取1球得黑球；

A3：从12只球中任取1球得白球；

A4：从12只球中任取1球得绿球，则

P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（A4）=.

根据题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，

由互斥事件概率加法公式得

（1）取出红球或黑球的概率为

P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=.

（2）取出红或黑或白球的概率为

P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）

=++=.

方法二（1）取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A1+A2的对立事件为A3+A4，

∴取出红球或黑球的概率为

P（A1+A2）=1-P（A3+A4）=1-P（A3）-P（A4）

=1--==.

（2）A1+A2+A3的对立事件为A4.

P（A1+A2+A3）=1-P（A4）=1-=.

一、填空题

1.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 .

答案

2.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（写出一个即可）.

答案2次都不中靶

3.甲:A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么甲是乙的条件.

答案必要不充分

4.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 .

答案

5.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是 .

答案0.2

6.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为 .

答案0.80

7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .

答案

8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 . 答案50%

二、解答题

9.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）不够7环的概率.

解（1）设“射中10环”为事件A，“射中9环”为事件B，由于A，B互斥，则

P（A+B）=P（A）+P（B）=0.21+0.23=0.44.

（2）设“少于7环”为事件C，则

P（C）=1-P（）

=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.

10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：

医生人数0 1 2 3 4 5人及以上概率0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 求：（1）派出医生至多2人的概率；

（2）派出医生至少2人的概率.

解记事件A：“不派出医生”，

事件B：“派出1名医生”，

事件C：“派出2名医生”，

事件D：“派出3名医生”，

事件E：“派出4名医生”，

事件F：“派出不少于5名医生”.

∵事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，

且P（A）=0.1，P（B）=0.16，P（C）=0.3，

P（D）=0.2，P（E）=0.2，P（F）=0.04.

（1）“派出医生至多2人”的概率为

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）

=0.1+0.16+0.3=0.56.

（2）“派出医生至少2人”的概率为

P（C+D+E+F）=P（C）+P（D）+P（E）+P（F）

=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.

或1-P（A+B）=1-0.1-0.16=0.74.

11.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的数是奇

数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P（A+B）.

解方法一因为A+B的意义是事件A发生或事件B发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、5四个可能结果之一时，A+B就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P（A+B）==.

方法二记事件C为“朝上一面的数为2”，

则A+B=A+C，且A与C互斥.

又因为P（C）=，P（A）=，

所以P（A+B）=P（A+C）=P（A）+P（C）

=+=.

方法三记事件D为“朝上一面的数为4或6”，则事件D发生时，事件A和事件B都不发生，即事件A+B不发生.又事件A+B发生即事件A发生或事件B发生时，事件D不发生，所以事件A+B与事件D为对立事件.

因为P（D）==，

所以P（A+B）=1-P（D）=1-=.

12.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？

解分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、C、D.由于A、B、C、D为互斥事件，根据已知得到

解得.

∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，.

§12.2 古典概型

1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 .

答案

2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为 .

答案

3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是 .

答案

4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为 .

答案

5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上” .则P(M)= ,P(N)= .

答案

例1有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩

具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：

（1）试验的基本事件；

（2）事件“出现点数之和大于3”；

（3）事件“出现点数相等”.

解（1）这个试验的基本事件为：

（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），

（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），

（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），

（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.

（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：

（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），

（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.

（3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：

（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.

例2甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙

两人依次各抽一题.

（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

解甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是1039=90种，即基本事件总数是90.

（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为634=24.

∴P（A）===.

（2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.

记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，“至少一人抽到选择题”为事件C，则B含基本事件数为433=12.

∴由古典概型概率公式，得P（B）==,

由对立事件的性质可得

P（C）=1-P（B）=1-=.

例3（14分）同时抛掷两枚骰子.

（1）求“点数之和为6”的概率；

（2）求“至少有一个5点或6点”的概率.

解同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：

共有36个不同的结果. 7分

（1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率P=. 10分

（2）方法一从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率

P==. 14分

方法二至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，如上表既没有5点又没有6点的结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率P==，

所以至少有一个5点或6点的概率为1-=. 14分

1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.

（1）共有多少个基本事件？

（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？

解（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

(2,3),(2,4),(2,5)，(3,4),

(3,5),(4,5).

因此，共有10个基本事件.

（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A），

即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）=.

故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为.

2.（20082山东文，18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.

（1）求A1被选中的概率；

（2）求B1和C1不全被选中的概率.

解（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间

={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2 ,

B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1 ),

(A3,B3,C2)}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等

可能的.

用M表示“A1恰被选中”这一事件，则

M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}

事件M由6个基本事件组成，因而P（M）==.

（2）用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于={（A1,B1,C1）,(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)}，事件有3个基本事件组成，

所以P（）==，由对立事件的概率公式得

P（N）=1-P（）=1-=.

3.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率:

（1）A:取出的两球都是白球；

（2）B：取出的两球1个是白球，另1个是红球.

解设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.

从袋中的6个小球中任取两个的方法为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个.

（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.

∴取出的两个球全是白球的概率为P（A）==.

（2）从袋中的6个球中任取两个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个.

∴取出的两个球1个是白球，另1个是红球的概率

P（B）=.

一、填空题

1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P1，第10个人摸出黑球的概率是P10，则P10 P1（填“＞”“＜”或“=”）.

答案=

2.采用简单随机抽样从含有n个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a未被抽到的概率的倍，则个体a被抽到的概率为 .

答案

3.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为 .

答案

4.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为 .

答案

5.设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点

P（a,b）落在直线x+y=n上”为事件C n（2≤n≤5，n∈N），若事件C n的概率最大，则n的所有可能值为 .

答案3和4

6.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y=5下方的概率是 .

答案

7.（20082江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 .

答案

8.（20082上海文，8）在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）.

答案

二、解答题

9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：

（1）甲中奖的概率P（A）；

（2）甲、乙都中奖的概率；

（3）只有乙中奖的概率；

（4）乙中奖的概率.

解（1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事

件数为2，故甲中奖的概率为P1=.

（2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共534=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P2==.

（3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”

两种情况，故共有332=6种基本事件，∴P3==.

（4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P4=.

10.箱中有a个正品，b个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽样后不放

回；（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率.

解（1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a+b个产品中不放回抽样3次共有A种方法，从a个正品中不放回抽样3次共有A种方法，可以抽出3个正品的概率P=.若不放回抽样3次看作无顺序，则从a+b 个产品中不放回抽样3次

共有C种方法，从a个正品中不放回抽样3次共有C种方法，可以取出3个正品的概率P=.两种方法结果一致. （2）从a+b个产品中有放回的抽取3次，每次都有a+b种方法，所以共有（a+b）3种不同的方法，而3个全是正品的

抽法共有a3种，所以3个全是正品的概率

P=.

11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲

先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.

（1）求袋中原有白球的个数；

（2）求取球2次终止的概率；

（3）求甲取到白球的概率.

解（1）设袋中有n个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是.

从袋中任取2个球的所有可能的结果数为=21.

由题意知==，

∴n（n-1）=6，解得n=3(舍去n=-2).

故袋中原有3个白球.

（2）记“取球2次终止”为事件A，则P（A）==.

（3）记“甲取到白球”的事件为B，

“第i次取到白球”为A i，i=1，2，3，4，5，

因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球.

所以P（B）=P（A1+A3+A5）.

因此A1，A3，A5两两互斥，

∴P（B）=P（A1）+P（A3）+P（A5）

=++

=++=.

12.（20082海南、宁夏文，19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下:

.

把这6名学生的得分看成一个总体.

(1)求该总体的平均数;

(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

解(1)总体平均数为 (5+6+7+8+9+10)=7.5.

(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.

从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：

（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.

事件A包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.

所以所求的概率为P（A）=.

§12.3 几何概型

1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间［0，1］上的概率为 .

答案

2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 .

答案

3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是 .

答案

4.设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P（A）= .

答案

5.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，

则射线OA落在∠yOT内的概率为 .

答案

例1有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？

解记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，

所以P（A）===0.4.

例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：

（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？

（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？

解（1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm和9 cm的正方形围成的区域内，所以概率为=. （2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为.

例3（14分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病

种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？

解1升=1 000毫升，1分记事件A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”. 3分则P（A）==0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01. 7分

记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”. 9分则P（B）==0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03. 14分

例4在Rt△ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率. 解设事件D“作射线CM，使|AM|＞|AC|”.

在AB上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，

所以∠ACC′==75°,

=90-75=15， =90，所以，P（D）==.

例5甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率.

解以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得：

P（A）====.

所以，两人能会面的概率是.

1.如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A 与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？

解记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为303=10（米），∴P（E）==.

2.（20082江苏，6）在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为 .

3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.

解记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.

∵=0.1升， =2升，

∴由几何概型求概率的公式，

得P（A）====0.05.

4.在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.

解如图所示，把圆弧三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A为“在扇形AOB内作一射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC就落在∠EOF内，

∴P（A）==.

5.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.

解设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y.

则试验的全部结果可构成集合

={（x，y）|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x+y＜l},

要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y＞l-x-yx+y＞,x+l-x-y＞y

y＜,y+l-x-y＞xx＜.

故所求结果构成集合

A=.

由图可知，所求概率为

P（A）===.

一、填空题

1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a＜20的概率是 .

2.在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36平方厘米到64平方厘米的概率是 .

答案

3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是 .

答案

4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为 .

答案1-

5.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 .

答案

6.已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是 .

答案

7.已知下图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 .

答案33

8.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为 .

答案

二、解答题

9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm，靶心直径12.2 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率.

解记“射中黄心”为事件A，由于中靶点随机的落在面积为31222 cm2的大圆

内，而当中靶点在面积为312.22 cm2的黄心时，事件A发生，于是事件A发生

的概率

P（A）==0.01,

所以射中“黄心”的概率为0.01.

10.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上

7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

解设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题， =12-33=， =1，所以P（A）==.

11.已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率；

（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率.

解（1）设CM=x，则0＜x＜a.（不妨设BC=a）.

若∠CAM＜30°,则0＜x＜a,

故∠CAM＜30°的概率为

P（A）==.

（2）设∠CAM=，则0°＜＜45°.

若∠CAM＜30°,则0°＜＜30°,

故∠CAM＜30°的概率为

P（B）==.

12.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.

（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

（2）若a是从区间［0，3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

解设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.

当a≥0,b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.

（1）基本事件共有12个：

（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.

其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.

事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为

P（A）==.

（2）试验的全部结果所构成的区域为

{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.

构成事件A的区域为

{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.

所以所求的概率为

P(A)= =.

§12.4 随机变量及其概率分布

1.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为 .

答案7

2.下列表中不能成为随机变量X的概率分布的是 .

①

X -1 0 1

P 0.3 0.4 0.4

北京市高考数学试卷理科真题详细解析

2017年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题.（每小题5分） 1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞） 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A．2 B．C．D． 4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（） A．1 B．3 C．5 D．9 5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（） A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数 6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“?＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3B．2C．2D．2 8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（） （参考数据：lg3≈） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 二、填空题（每小题5分）

9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m= ． 10．（5分）若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1 =b 1 =﹣1，a 4 =b 4 =8，则= ． 11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标 为（1，0），则|AP|的最小值为． 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）= ． 13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为． 14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i 的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3． （1）记Q i 为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1 ，Q 2 ，Q 3 中最大的是． （2）记p i 为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1 ，p 2 ，p 3 中最大 的是． 三、解答题 15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a． （1）求sinC的值； （2）若a=7，求△ABC的面积． 16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．

2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；

2017年高考理科数学北京卷-答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学答案解析 第一部分 一、选择题 1．【答案】A 【解析】由集合交集的定义可得{}=|21A B x x -<<-I ，故选A . 【考点】集合的交运算 2．【答案】B 【解析】因为(1i)(i)1(1)i z a a a =-+=++-，所以它在复平面内对应的点为(1,1)a a +-，又此点在第二象限，所以1010a a +?， ， 解得1a <-，故选B ． 【考点】复数的乘法及几何意义 3．【答案】C 【解析】运行该程序，0,1,3;k s k ==< 11 011,2,3;1 k s k +=+== =< 213 112,,3;22 k s k +=+== =< 31 52123,,3332 k s k +=+====. 输出的s 值为 5 3 .故选C ． 【考点】程序框图 4．【答案】D 【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，是以点(1,1),33,31A B C -（，）（，）为顶点的三角形 及其内部.

当直线：2z x y =+ 经过点B 时，2x y + 取得最大值，所以max 3239z =+?=，故选D. 【考点】二元一次不等式组所表示的平面区域、困解法求最值 5．【答案】A 【 解 析 】 因 为 1 ()3()3 x x f x =-，且定义域为 R ，所以 111()3()=()3[3()]()333 x x x x x x f x f x ---=--=--=-， 即函数()f x 是奇函数.又3x y =在R 上是增函数，1()3x y =在R 上是减函数，所以1 ()3()3 x x f x =-在R 上是增函数.故选A. 【考点】函数的奇偶性与单调性 6．【答案】A 【解析】因为m ，n 是非零向量，所以cos ,0m n m n m n =

2017年北京市高考数学试卷(文科)

2017年北京市高考数学试卷（文科） 一、选择题 1．（5分）（2017?北京）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或x＞2}，则?U A=（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 2．（5分）（2017?北京）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞） 3．（5分）（2017?北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A．2 B．C．D． 4．（5分）（2017?北京）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．9 5．（5分）（2017?北京）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（） A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数 6．（5分）（2017?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A．60 B．30 C．20 D．10 7．（5分）（2017?北京）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“? ＜0”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 8．（5分）（2017?北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（） （参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 二、填空题 9．（5分）（2017?北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=． 10．（5分）（2017?北京）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=． 11．（5分）（2017?北京）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是．12．（5分）（2017?北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则?的最大值为．

(完整版)2017北京高考数学真题(理科)及答案

绝密★启封并使用完毕前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则A B= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （2）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 （A）(–∞，1) （B）(–∞，–1) （C）(1，+∞) （D）(–1，+∞) （3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）2 （B）3 2 （C） 5 3 （D）8 5 （4）若x，y满足x≤3， x + y ≥2，则x + 2y的最大值为 y≤x， （A）1 （B）3 （C）5 （D）9

（5）已知函数1(x)33x x f ?? =- ??? ，则(x)f （A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数 （6）设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“m n 0?＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2 （8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则 下列各数中与 M N 最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） （A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）若双曲线2 2 1y x m -=的离心率为3，则实数m =_______________. （10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则 2 2 a b =__________.

2017年全国高考理科数学试卷

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2

2017年全国统一高考数学试卷(理科)

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（） A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=? 2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A．B．C．D． 3．（5分）设有下面四个命题 p1：若复数z满足∈R，则z∈R； p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R； p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=； p4：若复数z∈R，则∈R． 其中的真命题为（） A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8 5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f （x﹣2）≤1的x的取值范围是（） A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3] 6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（） A．15 B．20 C．30 D．35 7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）

2017年高考北京理科数学试卷

2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷理） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.（2017北京卷理）若集合–21{|}A x x =<<，{|–1B x x =<或3}x >，则A B =（ ） A.1|}–2{x x <<- B.3|}–2{x x << C.1|}–1{x x << D.3|}1{x x << 【答案】：A 【解析】：{}21A B x x =-<<-，故选A ． 【考点】：集合的基本运算 【难度】：易 2.（2017北京卷理）若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A.(),1-∞ B.(),1-∞- C.()1,+∞ D.()1,-+∞ 【答案】：B 【解析】：()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以10 10a a +? ，解得：1a <-，故选B ． 【考点】：复数代数形式的四则运算 【难度】：易 3.（2017北京卷理）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A.2 B.32 C. 5 3 D.85 【答案】：C 【解析】：0k =时，03<成立，第一次进入循环11 1,21 k s +===，13 <成立，第二次进入循环,213 2,22 k s +===，23<成立，第三次进入循环 31 523,332 k s +===，33< 否，输出53s =，故选C ． 【考点】：程序框图 【难度】：易 4.（2017北京卷理）若x ，y 满足32x x y y x ≤?? +≥??≤?，，， 则2x y +的最大值为 （ ）

2017年高考真题理科数学(全国Ⅲ卷)-含答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国） 理科数学 （试题及答案解析） 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合{} 22 (,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B 【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合， 故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B. 2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（） A ．12 B ． 22 C ．2 D ．2 【答案】C 【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2 z -+= ===+++-，则22112z =+=，故选C. 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

2014年 2015年 2016年 根据该折线图，下列结论错误的是（） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A. 4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（） A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80 【答案】C 【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为 ()()()()2 3 3 2 233355C 2C 240x x y y x y x y ?-+?-=，则33x y 的系数为40，故选C. 5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5 2 y x =，且与椭圆 22 1123 x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22 143 x y -= 【答案】B 【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52 y x =，则5 2b a = ① 又∵椭圆22 1123 x y + =与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==② 由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22 145 x y - =，故选B.

2017年北京市高考理科数学试卷及答案

2017年北京市高考理科数学试卷及答案

绝密★启封并使用完毕前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （2）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 （A）(–∞，1) （B）(–∞，–1) （C）(1，+∞) （D）(–1，+∞) （3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

（A）2 （B）32 （C）5 3 （D）8 5 （4）若x，y满足 ，则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9 （5）已知函数1 (x)3 3x x f ?? =- ? ?? ，则(x)f （A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数

（D）是偶函数，且在R上是减函数 （6）设m,n为非零向量，则“存在负数λ，使得m nλ=”是“m n0 ?＜”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （A）32 （B）23 （C）22 （D）2 （8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约

2017年高考理科数学真题及答案全国卷1

绝密★启用前 2017年全国卷1理科数学真题及答案 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为

2017全国一卷理科数学高考真题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6．6 2 1(1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

2017年北京理数高考真题(含答案)

绝密★本科目考试启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合A={x|– 2x1}，B={x|x–1或x3}，则A B= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （2）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）（–∞，1）（B）（–∞，–1） （C）（1，+∞）（D）（–1，+∞） （3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）2 （B）3 2 （C） 5 3（ D） 8 5 （4）若x，y满足 3 2 x x y y x ≤ ? ? +≥ ? ?≤ ? ， ， ， 则x + 2y的最大值为 （A）1 （B）3 （C）5 （D）9

（5）已知函数1()3()3 x x f x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数 （6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0

2017年北京高考理科数学真题及答案

2017年北京高考理科数学真题及答案 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合{} 21A x x =-<<，{} 13B x x x =<->或，则A B I =（ ）。 （A ）{} 21x x -<<- （B ）{}23x x -<< （C ）{}11x x -<< （D ）{} 13x x << 【答案】A 【难度】容易 【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 （2）若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）。 （A ）(),1-∞i （B ）(),1-∞-（C ）()1,+∞（D ）(1,)-+∞ 【答案】B 【难度】容易 【点评】本题在高二数学（理）下学期课程讲座 第四章《复数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）。

（A）2 （B）3 2 （C）5 3 （D）8 5 【答案】C 【难度】容易 【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十三章《算法与统计》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 （4）若,x y满足 3, 2, , x x y y x ≤ ? ? +≥ ? ?≤ ? 则2 x y +的最大值为（）。 （A）1（B）3（C）5（D）9 【答案】D 【难度】容易

2017年高考新课标1理科数学及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅰ） 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A. B. C. D. （2）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. B. C. D. （3）设有下面四个命题 ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则. 其中的真命题为 A. B. C. D. （4）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A.1 B.2 C.4 D.8 {|0}A B x x =U A B =? I 1 4π812π41p z 1 z ∈R z ∈R 2p z 2z ∈R z ∈R 3p 12,z z 12z z ∈R 12z z =4p z ∈R z ∈R 13,p p 14,p p 23,p p 24,p p n S {}n a n 4524a a +=648S ={} n a

（5）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A. B. C. D. （6） 展开式中的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 （7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 （8）右面程序框图是为了求出满足3n ?2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别填入 A.A ＞1 000和n =n +1 B.A ＞1 000和n =n +2 C.A ≤1 000和n =n +1 D.A ≤1 000和n =n +2 ()f x (,)-∞+∞(11)f =-21()1x f --≤≤x [2,2]-[1,1]-[0,4][1,3]6 2 1(1)(1)x x + +2 x

2017高考数学北京卷解析

刘明：各位考生、各位可能在看视频高一、高二的考生，各位网友大家好！ 我是来自北京新东方学校的高中数学刘明老师，今天我给大家带来2017年高考数学的权威解析。 首先来看一下今天我给大家安排的内容，总共有三个：第一，北京高考数学试题总评、北京高考数学真题点评、2018年备考建议。 今天下午5点拿到试卷以后我觉得总体难度较低，与2016年难度相当，它的注重点在哪儿呢？我觉得它更加注重生活与数学的结合。2016 年北京文理的均分大概在110分左右，我估计2017年北京均分也会在110分以上。 我们继续看一下，今年的题还是继续重视基础、突出主干。我们知道数学的核心、考点每年都是固定的，分别是什么呢？分别是函数、导数、不等式、数列、三角函数、向量、解析几何，这几大概念是不会变化的，每年都会考，而且一定会考。什么叫重视基础呢？就是说数学的考点它在北京卷里面还是简单题、中等题为主，所以大家做题一定要注重基础。 第二，剖析本质、注重探究。我对真题进行讲解的时间大家就会发现很多考生并不知道这个本质考点在哪儿，如果你知道的话就会做的非常快。而且注重探究，比如说我们在立体几何里面加入洞点问题，它就是考察学的思考。 第三，贴近生活、应用生活。今年的北京题里面有很多，大家看文理第8题和14题都是数学生活中的应用，而且今年为什么难度相对比往

年来讲更低一点呢？原因因为今年第8题和14题的难度比往年来讲降低了。 第四，考查综合、体现选拔。我们知道考试的难题还会集中在18、19、20题。第8题和第14题变简单不是特别简单，只是相对比往年简单一点，还是需要大家综合水平比较高，体现选拔也是体现考察的选拔精神，选拔优秀的学生。 第五，培养素养、迁移知识。我们培养的基本素养高考里面叫核心素养，核心素养是两方面，一个是逻辑思维能力，第二个是数学建模能力。我们生活中的数学能否很快通过数学建模的方法把它解决，这个就是我们说的培养核心素养，迁移知识。 我给大家讲一下理科的真题点评，我把它分为三个档：第一是基础题（选1-6、填9-12），这几个题一会儿我给大家看一下到底考哪些知识；第二是中等题（选7、填13、解15-17）；第三是综合题（选8、填14、解18-20），综合题难度略高一些，这是理科真题，我分了三个档。 我们看基础题1-6和9-12考哪些题呢？大家如果喜欢处理大数据的同学，应该是把15、16、14、13近五年高考题的考点进行整理一下进行对比就能看出来。第一，集合交集运算；第二，复数；第三，算法框图；第四，线性规划；第五，函数性质，这个可以认为是指数函数和函数性质；第六，充要条件；第九，双曲线离心率，这个也符合我们的预期，预期会考双曲线，考的很简单，离心率；第十，等差等比数列；十一，极坐标；第二，三角函数。这是基础题，总共十道基础题，

北京市西城区2017年高三理科数学二模试题及答案

西城区高三模拟测试 高三数学（理科） 2017.5 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z = （A ）12i + （B ）12i - （C ）2i + （D ）2i - 2．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）2 1 1 y x = + （D ）y 3．在极坐标系中，圆sin ρθ=的圆心的极坐标．．． 是 （A ）(1, )2 π （B ）(1,0) （C ）1(,)22π （D ）1 (,0)2 4．在平面直角坐标系中，不等式组320,330,0x y x y y -?? --??? ≤≥≥表示的平面区域的面积是 （A ）1 （B ） 32 （C ）2 （D ） 52 5．设双曲线22 221(0,0)y x a b a b -=>>的离心率是3，则其渐近线的方程为 （A ）0x ±= （B ）0y ±= （C ）80x y ±= （D ）80x y ±= 6．设a ，b 是平面上的两个单位向量，35 ?=a b ．若m ∈R ，则||m +a b 的最小值是 （A ） 34 （B ） 43 （C ） 45 （D ） 54 7．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞ （C ）1(,)2 +∞ （D ）1(,)4 +∞

2017全国三卷理科数学高考真题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ） 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={ } 22 (,)1x y x y +=│ ，B ={} (,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ． 1 2 B ． 2 C ．2 D ．2 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5 的展开式中x 3 y 3 的系数为 A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80 5．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为5 2y x =,且与椭圆22 1123 x y +=有公共焦点，则C 的方程为

A ． 22 1810 x y -= B ． 22 145x y -= C ．22 154x y -= D ．22 143 x y -= 6．设函数f (x )=cos(x + 3 π )，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2π B ．y =f (x )的图像关于直线x =83 π 对称 C ．f (x +π)的一个零点为x = 6π D ．f (x )在( 2 π ,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ． 3π4 C ． π2 D ． π4 9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8 10．已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直 径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A 6 B 3 C ． 23 D ． 13 11．已知函数2 1 1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =

2017北京卷数学试卷(理)及答案

1．若集合A ={x |–2x 1}，B={x |x –1或x 3}，则A B = （A ）{x |–2x –1} （B ）{x |–2x 3} （C ）{x |–1x 1} （D ）{x |1x 3} 2．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 （A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞） 3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （A ）2 （B ）3 2 （C ）5 3 （D ）8 5 4．若x ，y 满足32x x y y x ≤??+≥??≤? ，，， 则x + 2y 的最大值为 （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 5．已知函数 1()3()3x x f x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数 6．设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0

（A）2（B）3（C）2（D）2 8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质 的原子总数N约为1080.则下列各数中与M N最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） （A）1033（B）1053（C）1073（D）1093 9．若双曲线 2 21 y x m -= 3m=_________. 10．若等差数列{} n a 和等比数列 {} n b 满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则 2 2 a b=_______. 11．在极坐标系中，点A在圆 22cos4sin40 ρρθρθ --+=上，点P的坐标为（1,0）， 则|AP|的最小值为___________. 12．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称. 若 1 sin 3 α= ， cos() αβ -=___________. 13．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________． 14．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3. ①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________. ②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.