概率论与数理统计学1至7章课后答案

第7章作业题解

7.1解： 已知总体~(,)X B m p

(1) 总体的一阶原点矩为()E X mp =，因此得方程1mp a =，解之得1

a p m

=

， 以样本矩1A X =代替总体原点矩，可得参数的矩估计为?X

p

m

=。 (2) 因为总体的概率函数为(,)(1)x x m x

m f x p C p p -=-

所以关于p 的似然函数为

1

1

()()(1)

i i

i

n n

x x m x i m

i i L p f x C p p -====-∏∏1

1

(

)

(

)

1

()(1)

n

n

i i i i i n x mn x x m

i C p

p ==-=∑

∑=-∏

取对数，得

1

1

1

ln[()](ln )()ln [()]ln(1)i n n n

x m

i i i i i L p C x p mn x p ====++--∑∑∑

求导数，并令导数为零，得似然方程

11

11ln[()]()[()]01n n

i i i i d L p x mn x dp p p ==-=+-=-∑∑ 解之得 x

p m

=， 其中11n i i x x n ==∑

用X x 代替即可得到参数p 的极大似然估计：?X

p

m

= 7.2解：(1) 因为总体服从指数分布，所以总体的一阶原点矩为1

()E X λ

=

由此得方程

11

a λ

=，解之得1

1a λ=

， 以样本矩1A X =代替总体原点矩，可得参数λ的矩估计为1

?X

λ

=。 (2) 因为关于λ的似然函数为

1

1

()()i n n x i i i L f x e λλλ-====∏∏1

n

i

i x n e

λ

λ=-∑=

取对数，得

1

ln[()]ln ()n

i i L n x λλλ==-∑

求导数，并令导数为零，得似然方程

1

1

ln[()]()0n

i i d L n x d λλλ==-=∑ 解之得

11

1n i i x x n λ===∑，即1x

λ= 用X x 代替即可得到参数λ的极大似然估计：1

?X

λ

=。 7.3 解：(1) 因为总体服从均匀分布[0,]U θ，所以总体的一阶原点矩为()2

E X θ=

由此得方程

12

a θ

=，解之得12a θ=，

以样本矩1A X =代替总体原点矩，可得参数θ的矩估计为?2X θ

=。 (2) 因为关于θ的似然函数为

11

0()()0

n

i n

i i x L f x θλθ=?≤≤?

==???∏其它

根据极大似然估计的定义，要()L λ尽可能大的话，就要θ尽可能地小，但是又不能大于样

本值，所以可取样本的最大值?max{}i

X θ=作为参数的极大似然估计。 7.5解：因为总体X 服从正态分布2

(,)N μσ

，其密度函数为22

()2

2(,)x f x μσσ--

=

所以，关于2

σ的似然函数为

2222

2

2

1

1

()()()22222

/2

1

1()(2)

n

n

i i i i i x x x n

n i L e μμμσσσσπσ==----

-

-

=∑

∑

==

=

取对数，得

2

22

2

1

1

ln ()ln(2)()

22n

i

i n L x σπσμσ

==---∑

求导数，并令导数为零，得似然方程

2

2

224

1

11

ln[()]()

022n

i

i d

n L x d σμσσσ==-+-=∑

解之得 2

2

1

1()n i i x n σμ==-∑，

用i i X x 代替即可得到参数2

σ的极大似然估计：2

21

1?()n

i i X n σ

μ==-∑。

7.6解：因为总体服从指数分布，其参数为1

λθ

=，所以总体的均值为1

()E X θλ

=

=，总

体的方差为2

()Var X θ=，于是有

123()()()()E X E X E X E X θ====

2123()()()()Var X Var X Var X Var X θ====

(1) 因为11

?()()E E X θθ==，2121

?()[()()]2

E E X E X θθ=+=， 3121?()[()2()]3

E E X E X θθ=+=，4

?()()()E E X E X θθ=== 所以这四个估计量都是θ的无偏估计。

(2) 2

11

?()()Var Var X θθ==，2

2121?()[()()]42

Var Var X Var X θθ=+=， 231215?()[()4()]99Var Var X Var X θθ=+=，2

4

?()()3

Var Var X θθ== 比较可得 1234????()()()()V a r V a r V a r V a r θθθθ>>>。所以这四个估计中4?θ是最优估计。

7.7解： 已知总体X 服从均匀分布[,1]U θθ+，所以总体的一阶原点矩为21

()2

E X θ+=

(1) 因为21

()()2

E X E X θθ+==

≠，所以X 不是θ的无偏估计。 (2) 建立方程121

2a θ+=，解之得1212

a θ-=，

以样本矩1A X =代替总体原点矩a 1，可得参数θ的矩估计为21

?2

X θ

-=。 因为 212()11211

?()()()22222

X E X E E E X θθ

θ--+===-=-=， 所以21

?2

X θ

-=是θ的无偏估计。 7.8解：因为 12??,θθ是θ的无偏估计，所以12??()()E E θθθ==，则

1212

?????()[(1)]()(1)()(1)E E c c cE c E c c θθθθθθθθ=+-=+-=+-= 所以12

???(1)c c θθθ=+-是θ的无偏估计。 又已知221122??(),()Var Var θσθσ==，且12??,θθ相互独立，则

221212

?????()[(1)]()(1)()Var Var c c c Var c Var θθθθθ=+-=+-222212(1)c c σσ=+- 求导数，并令导数为0，得

2212

?[()]22(1)0d Var c c dc

θσσ=--= 解之得， 22

22

12

c σσσ=+ 因为222122?[()]220

d Var dc θσσ=+>，所以222212c σσσ=+是最小值点，即2

22212

c σσσ=+时可使方差?()Var θ

达到最小。 7.9解：由样本值可得1611 2.12516i i x x ===∑，162

21

1()0.0003161i i s x x ==-=-∑。 因为总体服从正态分布，所以

(1) 方差2

2

0.01σ=已知时，总体均值μ

的区间估计为/2[X Z α±

已知n =16，10.90.1α=-=，0.01σ=，查表得/20.05 1.645Z Z α==，代入上式得μ的区间估计为

[2.125 1.645[2.1250.004][2.121,2.129]±=±= (2) 方差2

σ未知时，总体均值μ

的区间估计为1[(/2)n X t α-± 已知n =16，10.90.1α=-=，查表得115(/2)(0.05) 1.7531n t t α-==，代入上式得μ的区间估计为

[2.125 1.7531[2.1250.008][2.117,2.133]±=±=

第七章 参数估计

春天

的风是有灵性的，依着风的眼眸，我看到了那一株株桃花读信的倩影，在桃林深处，紫色的青藤爬满那个小屋。我的小城，桃花已然开成海，像是一场粉色的春梦。是否，可以赴一场最美的相逢，如是，便不负曾经许下的约定。守住心底最美风景，是一种风度，一种期望。让心，随花儿轻舞，让梦，随蝶儿翩跹。

等一缕柔风载满诗意，落满我的小院，好想，牵着你的手走在花开的路上，临摹又一个春的相遇，陌上绿色蔓延，让深情的诗句落在眉弯，打开灵魂的心门，写尽情意绵绵。春雨如丝，暖了一季寒凉露出温暖，碧水映蓝天，云朵儿似乎摸到嫩草尖尖。花香十里，暗香盈袖。我们微笑着，不说话，就十分美好。

生命里，总会有一些人，渐行渐远，偶尔想起，却只是停留在文字里，那一抹淡淡的回忆。唯有春天，总那么诗意明亮，始终晕染着眉心，让涩涩的往事随风，让一些温暖的记忆温润着心房。珍惜眼前的幸福，紧握手中的暖意，面向青山绿水，一路微笑，一路行走……

情暖山水间，盈一份诗意于心田，以云的飘逸轻盈过往，以花的姿态拥馨香满怀，以文字的杯盏邀约一曲细水长流。

煮一壶春色，与时光对语。窗前，柳枝儿发芽，玉兰含苞，时光一直绕指馨香。心念如这徐徐春风，荡漾成一片流云。春落人间，一种别样的景致美了心境，所有的疲惫与忧愁也随风而去，微笑着面对生活，用内心的那份热情，那份纯真来经营生活，来创造幸福，何尝不是一种快乐？我的流年，风过，红尘入画；雨落，缠绵入心。

行走在春天里，眼里满是明丽与清澈，一树一树的花开，细碎而芬芳；一片一片的绿地，静美而清新。嗅着阳光的味道，把自己置身于大自然中，真好！只要心足够明媚，纵然有小小的阴霾也无妨。

我们一路走来，沿途总会有美丽的风景。于喧嚣红尘中，守着心灵的一方山水。不乱于心，不困于情，不畏将来，不念过往。

春水初生，耐人寻味。春雨如丝，丝如媚，绵绵的不着一点儿声息。踏春而去，不知是哪一处的红尘山水在心间已布满了雅致，心如花开，一朵娴雅的光阴，柔软着眼角的笑意，置身于安暖的春天，一抹浅喜，一怀深爱。一颗心，便在另一颗心的相随里静好。

春光无限温柔地洒满山川，我愿，生命里所有的远方，都开满春天的芬芳，待一轮明月悄悄爬上西窗，归来的都是安详。

三月，阳光明媚，草色青青，小鸟儿也灵动了起来，叽叽喳喳唱着春天的歌。这样的日子，适合出去走走，吹吹风，赏赏春天的美景，放松一下身心，这也是一种快乐。其实，人生就像一场旅行，也许在旅程中我们会拥有某些东西，也会失去一些东西。但无论怎样，我们一样在阳光下灿烂，风雨中奔跑，做自己的梦，走自己的路。