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06二项分布及泊松分布

●Bernoulli 试验(Bernoulli T est):

将感兴趣的事件A出现的试验结果称为“成功”,事件A不出现的试验结果称为“失败”,这类试验就称为Bernoulli 试验

●二项分布(binomial distribution):

是指在只会产生两种可能结果如阳性或阴性之一的n次独立重复试验中,当每次试验的阳性概率π保持不变时,出现阳性次数X=0,1,2,…,n的一种概率分布。

●Poisson分布(Poisson distribution):

随机变量X服从Poisson分布式在足够多的n次独立试验中,X取值为1,2,…,的相应概率为

…的分布。

★二项分布成立的条件:

①每次试验只能是互斥的两个结果之一;②每次试验的条件不变;③各次试验独立。

★二项分布的图形:

当∏=0.5,二项分布图形是对称的,当∏不等于0.5,图形是偏态的,随着n增大,图形趋于对称。当n趋于无穷大时,只有∏不太靠近0或者1,二项分布近似正态分布。

★二项分布的应用

总体率的区间估计,样本率与总体率比较,两样本率的比较

★Poisson 分布的应用

总体均数的区间估计,样本均数与总体均数的比较,两个样本均数的比较:两个样本计数均较大时,可根据Poisson 分布的正态近似性对其进行u 检验。

★Poisson 分布成立的条件:

①平稳性:X 的取值与观察单位的位置无关,只与观察单位的大小有关;②独立增量性:在某个观察单位上X 的取值与前面各观察单位上X 的取值无关;③普通性:在充分小的观察单位上X 的取值最多为1。

Poisson 分布,X~P(μ),X 的均数μX =μ,X的方差σ2 =μ,X的标准差σX

★Poisson分布的性质

1、总体均数λ与总体方差相等是泊松分布的重要特点。

2、当n增大,而∏很小,且n∏=λ总体均数时,二项分布近似泊松分布。

3、当总体均数增大时,泊松分布渐近正态分布,一般而言,总体均数》20时,泊松分布资料做为正态分布处理。

4、泊松分布具有可加性。

★泊松分布的图形

当总体均数越小,分布就越偏态,当总体均数越大,泊松分布就越趋近正态分布。当总体均数小于等于1时,随X取值的变大,P(X)值反而变小;当总体均数大于1时,P(X)值先增大而后变小,若总体均数取整数时,则P(X)在X=总体均数,和X=总体均数—1取得最大值。

★二项分布和泊松分布的特性

1.可加性

二项分布和Poisson 分布都具有可加性。

如果X1,X2,?Xk 相互独立,且它们分别服从以ni,p(i=1,2, ?,k)为参数的二项分

布,则X=X1+X2+?+Xk 服从以n,p(n=n1+n2+?+nk)为参数的二项分布。如果X1,X2,?,Xk相互独立,且它们分别服从以μi(i=1,2, ?,k)为参数的Poisson 分布,则X=X1+X2+?+Xk服从以μ(μ=μ1+μ2+?+μk)为参数的Poisson 分布。

2.近似分布

特定条件下,二项分布、Poisson 分布可近似于某种其它的分布,这一特性拓宽了它们的应

用范围。二项分布的正态近似:当n 较大,π不接近0 也不接近1 时,二项分布B(n,π)近似正态分布N(n π, np (1 -p) )。二项分布的Poisson分布近似:当n很大,π很小,np = l为一常数时,二项分布近似于Poisson 分布。Poisson 分布的正态近似:Poisson 分布P(μ),当μ相当大时(≥20),其分布近似于正态分布。

★二项分布、Poisson 分布分别在何种条件下近似正态分布

二项分布的正态近似:当n 较大,π不接近0 也不接近1 时,二项分布B(n,π)近似

正态分布N(nπ, np (1 -p) )。Poisson 分布的正态近似:Poisson 分布P(μ),当μ相当大时(≥20),其分布近似于正态分布。

★在何种情况下,可以用率的标准误Sp 描述率的抽样误差

当率P所来自的样本近似服从正态分布时,即n 较大,P不接近0 也不接近1 时,可

以用率的标准误Sp 描述率的抽样误差。