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概率论与数理统计答案

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习题答案

第1章

三、解答题

1.设P (AB ) = 0,则下列说法哪些是正确的 (1) A 和B 不相容; (2) A 和B 相容; (3) AB 是不可能事件; (4) AB 不一定是不可能事件; (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解:(4) (6)正确.

2.设A ,B 是两事件,且P (A ) = ,P (B ) = ,问: (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值,最大值是多少 (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值,最小值是多少 解:因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤,

又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以

(1) 当)()(B A P B P =

时P (AB )取到最大值,最大值是)()(A P AB P ==.

(2) 1)(=B A P 时P (AB )取到最小值,最小值是P (AB )=+=. 3.已知事件A ,B 满足)()(B A P AB P =,记P (A ) = p ,试求P (B ).

解:因为)()(B A P AB P =,

即)()()(1)(1)()

(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ,

所以 .1)(1)(p A P B P -=-=

4.已知P (A ) = ,P (A – B ) = ,试求)(AB P .

解:因为P (A – B ) = ,所以P (A )– P(AB ) = , P(AB ) = P (A )– , 又因为P (A ) = ,所以P(AB ) =– =,6.0)(1)(=-=AB P AB P .

5. 从5双不同的鞋子种任取4只,问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少 解:显然总取法有410C n

=种,以下求至少有两只配成一双的取法k :

法一:分两种情况考虑:1

5

C k

=24C 212)(C +25C

其中:2

122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数

法二:分两种情况考虑:!

2161815

C C C k ??=+2

5C

其中:!

216

1815

C C C ??

为恰有1双配对的方法数

法三:分两种情况考虑:)(142815C C C k

-=+25C

其中:)(142

8

1

5C C C -为恰有1双配对的方法数

法四:先满足有1双配对再除去重复部分:2

815C C k

=-25C

法五:考虑对立事件:410C k

=-45C 412)(C

其中:4

5

C 4

12)(C 为没有一双配对的方法数

法六:考虑对立事件:!

41

4

1618110410

C C C C C k ???-

=

其中:

!414

1618110C C C C ???为没有一双配对的方法数

所求概率为.21

13

410=

=C k p

6.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任取3人记录其纪念章的号码.求: (1) 求最小号码为5的概率; (2) 求最大号码为5的概率.

解:(1) 法一:12131025==C C p ,法二:121

3

102513==A A C p (2) 法二:20

13102

4==C C p ,法二:201

3

102413==A A C p 7.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 解:设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件,则

834

)(33

41==A M P , 1694)(324232=?=A C M P , 161

4)(3143

==C M P

8.设5个产品中有3个合格品,2个不合格品,从中不返回地任取2个,求取出的2个中全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少

解:设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品,则

3.0)(25232==C C M P ,6.0)(2512131==C C C M P ,1.0)(25

2

2

1==C C M P

9.口袋中有5个白球,3个黑球,从中任取两个,求取到的两个球颜色相同的概率.

解:设M 1=“取到两个球颜色相同”,M 1=“取到两个球均为白球”,M 2=“取到两个球均为黑球”,则

φ==2121M M M M M 且.

所以.28

13

C C C C )()()()(282328252121=+=+==M P M P M M P M P

10. 若在区间(0,1)内任取两个数,求事件“两数之和小于6/5”的概率.

解:这是一个几何概型问题.以x 和y 表示任取两个数,在平面上建立xOy 直角坐标系,如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间? = {(x ,y ):0 ? x ,y ? 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ,y ) ? ? : x + y ? 6/5} 因此

25

17154211)(2

=

?

?

? ???-=Ω=的面积的面积A A P . 图

11.随机地向半圆220x ax y -<<

(a 为常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原

点和该点的连线与x 轴的夹角小于

4

π

的概率. 解:这是一个几何概型问题.以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标,?表示原点和该点的连线与x 轴的夹角,在平面上建立xOy 直角坐标系,如图.

随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间

?={(x ,y ):220,20x ax y a x -<<<<

}

事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于

4

π” ={(x ,y ):4

0,20,202π

θ<

<-<<<<

x ax y a x }

因此

2112

14121)(222+=+=Ω=πππa a

a A A P 的面积的面积.

12.已知2

1

)(,31)(,41)

(===B A P A B P A P ,求)(B A P . 解:,12

13141)()()(=

?==A B P A P AB P ,61

21121)|()()(=÷==B A P AB P B P 13.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是多少

解:题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品

中至少有一件是不合格品,则两件均为不合格品的概率”。

设A =“所取两件产品中至少有一件是不合格品”,B=“两件均为不合格品”;

321)(1)(21026=-=-=C C A P A P ,15

2

)(21024==C C B P ,

14.有两个箱子,第1箱子有3个白球2个红球,第2个箱子有4个白球4个红球,现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出一个球,此球是白球的概率是多少已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少

解:设A =“从第1个箱子中取出的1个球是白球”,B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”,则

52

)(,5

3)(151

2===A P C C A P ,由全概率公式得

由贝叶斯公式得

15.将两信息分别编码为A 和B 传递出去,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为,而B 被误收作A 的概率为,信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1,若接收站收到的信息是A ,问原发信息是A 的概率是多少 解:设M =“原发信息是A ”,N =“接收到的信息是A ”, 已知 所以

由贝叶斯公式得

16.三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为4

1

,31,51,问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少

解:设A i =“第i 个人能破译密码”,i=1,2,3. 已知,41)(,31)(,51)

(321===A P A P A P 所以,4

3)(,32)(,54)(321===A P A P A P 至少有一人能将此密码译出的概率为

17.设事件A 与B 相互独立,已知P (A ) = ,P (A ∪B ) = ,求)(A B P .

解:由于A 与B 相互独立,所以P (AB )=P (A )P (B ),且

P (A ∪B )=P (A )+ P (B ) - P (AB )= P (A )+ P (B ) - P (A )P (B )

将P (A ) = ,P (A ∪B ) = 代入上式解得 P (B ) = ,所以 或者,由于A 与B 相互独立,所以A 与B 相互独立,所以

18.甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为和,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是多少 解:设A =“甲射击目标”,B =“乙射击目标”,M =“命中目标”, 已知P (A )=P (B )=1,,5.0)(,6.0)(==B M P A M

P 所以

由于甲乙两人是独立射击目标,所以

19.某零件用两种工艺加工,第一种工艺有三道工序,各道工序出现不合格品的概率分别为,,;第二种工艺有两道工序,

各道工序出现不合格品的概率分别为,,试问: (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些

(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是时,情况又如何

解:设A i =“第1种工艺的第i 道工序出现合格品”,i=1,2,3; B i =“第2种工艺的第i 道工序出现合格品”,i=1,2. (1)根据题意,P (A 1)=,P (A 2)=,P (A 3)=,P (B 1)=,P (B 2)=, 第一种工艺加工得到合格品的概率为

P (A 1A 2A 3)= P (A 1)P (A 2)P (A 3)=,504.09.08.07.0=??

第二种工艺加工得到合格品的概率为

P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=,56.08.07.0=?

可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。

(2)根据题意,第一种工艺加工得到合格品的概率仍为,而P (B 1)=P (B 2)=, 第二种工艺加工得到合格品的概率为

P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=.49.07.07.0=?

可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。

1.设两两相互独立的三事件A ,B 和C 满足条件ABC = ?,,21

)()()(<==C P B P A P 且已知16

9)(=C B A P ,

求P (A ).

解:因为ABC = ?,所以P (ABC ) =0, 因为A ,B ,C 两两相互独立,),()()(C P B P A P ==所以

由加法公式)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=

16

9

)]([3)(32=

-A P A P 即 0]1)(4][3)(4[=--A P A P 考虑到,21)

(<

A P 得.4

1)(=A P 2.设事件A ,B ,C 的概率都是

2

1

,且)()(C B A P ABC P =,证明: 2

1)()()()(2-

++=BC P AC P AB P ABC P . 证明:因为)()(C B A P ABC P =,所以

)]()()()()()()([1)(1)(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P ABC P +---++-=-= 将

2

1

)()()(=

==C P B P A P 代入上式得到 整理得

3.设0 < P (A ) < 1,0 < P (B ) < 1,P (A |B ) +1)|(=B A P ,试证A 与B 独立.

证明:因为P (A |B ) +1)|(=B A

P ,所以

将)()()()(AB P B P A P B A P -+= 代入上式得

两边同乘非零的P (B )[1-P (B )]并整理得到 所以A 与B 独立.

4.设A ,B 是任意两事件,其中A 的概率不等于0和1,证明)|()|(A B P A B P =是事件A 与B 独立的充分必要条件.

证明:充分性,由于)|()|

(A B P A B P =,所以

,)

()

()()(A P B A P A P AB P =即

两边同乘非零的P (A )[1-P (A )]并整理得到),()()(B P A P AB P =所以A 与B 独立.

必要性:由于A 与B 独立,即),()()(B P A P AB P =且,0)(,0)(≠≠A P A P 所以

一方面 另一方面 所以).|()|

(A B P A B P =

5.一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概率为p ,若第一次及格则第二次及格的概率也为p ;若第一次不及格则第二次及格的概率为

2

p

.

(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格,求他取得该资格的概率. (2) 若已知他第二次及格了,求他第第一次及格的概率. 解:设A i =“第i 次及格”,i=1,2.已知,2

)|(,)|(,)(12121p A A P p A A P p A P =

== 由全概率公式得

(1) 他取得该资格的概率为

(2) 若已知他第二次及格了,他第一次及格的概率为

6.每箱产品有10件,其中次品从0到2是等可能的,开箱检验时,从中任取一件,如果检验为次品,则认为该箱产品为不合格而拒收.由于检验误差,一件正品被误判为次品的概率为2%,一件次品被误判为正品的概率为10%.求检验一箱产品能通过验收的概率.

解:设A i =“一箱产品有i 件次品”,i=0,1,2.设M=“一件产品为正品”,N=“一件产品被检验为正品”. 已知,3

1

)()()(210===A P A P A P ,1.0)|(,02.0)|(==M N P M N P

由全概率公式

,10

1

1091)(1)(=-

=-=M P M P 又,98.002.01)|(1)|(=-=-=M N P M N P 由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为

7.用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下.若真含有杂质检验结果为含有的概率为;若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为;据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为和.今独立地对一产品进行三次检验,结果是两次检验认为含有杂质,而有一次认为不含有杂质,求此产品真含有杂质的概率. 解:A =“一产品真含有杂质”,B i =“对一产品进行第i 次检验认为含有杂质”,i=1,2,3.

已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质,一次认为不含有杂质,不妨假设前两次检验认为含有杂质,第三次认为检验不含有杂质,即B 1,B 2发生了,而B 3未发生. 又知,9.0)|(,8.0)|(==A B P A B P i i

,4.0)(=A P 所以

所求概率为,)

|()()|()()

|()()()()|(321321321321321321A B B B P A P A B B B P A P A B B B P A P B B B P B B AB P B B B A P +==

由于三次检验是独立进行的,所以

8.火炮与坦克对战,假设坦克与火炮依次发射,且由火炮先射击,并允许火炮与坦克各发射2发,已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变,它们分别等于和.我们规定只要命中就被击毁.试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少 (2) 都不被击毁的概率等于多少

解:设A i =“第i 次射击目标被击毁”,i=1,2,3,4. 已知,3.0)()

(31==A P A P ,35.0)()(42==A P A P 所以

(1) 火炮被击毁的概率为 坦克被击毁的概率为 (2) 都不被击毁的概率为

9.甲、乙、丙三人进行比赛,规定每局两个人比赛,胜者与第三人比赛,依次循环,直至有一人连胜两次为止,此人即为冠军,而每次比赛双方取胜的概率都是

2

1

,现假定甲乙两人先比,试求各人得冠军的概率. 解:A i =“甲第i 局获胜”, B i =“乙第i 局获胜”,B i =“丙第i 局获胜”,i=1,2,…., 已知,...2,1,2

1

)()()

(==

==i C P B P A P i i i ,由于各局比赛具有独立性,所以 在甲乙先比赛,且甲先胜第一局时,丙获胜的概率为

,

71...212121...)(9

6

3

987654321654321321=+??

?

??+??? ??+??? ??= C C A B C A B C A C C A B C A C C A P 同样,在甲乙先比赛,且乙先胜第一局时,丙获胜的概率也为

,7

1

丙得冠军的概率为,7

2712=?

甲、乙得冠军的概率均为.145)721(21=-

第二章

2

一、填空题: 1. {}x X P

≤,)()(12x F x F -

2. ==}{k X

P k n k

k n

p p C --)1(,k = 0,1,…,n

3. 0,!

}{>=

=-λλλe k k X P k

为参数,k = 0,1,…

4.

λ

+11 5. ?????<<-=其它

,0 ,1

)(b x a a b x f 6.

+∞<<-∞=

--

x e

x f x ,21)(2

22)(σμσ

π

7. +∞<<-∞=-x e x x ,21)(2

2

π

?

8. )(

)(σ

μ

σ

μ

-Φ--Φa b

9.

分析:由题意,该随机变量为离散型随机变量,根据离散型随机变量的分布函数求法,可观察出随机变量的取值及概率。 10.

64

9 分析:每次观察下基本结果“X ≤1/2”出现的概率为4

1

2)(21

2

1

-=

=??

xdx dx x f ,而本题对随机变量X 取值的观察可看作是

3重伯努利实验,所以 11. {}7257.0)2

1

2.2(2

12.22

12.2=-Φ=?

?

????-<-=

, 同理,P {| X | ? } =. 12. {})31(3113)

(-=?

?

????

-≤=≤+==y F y X P y X Y P y G . 13.

48

13

,利用全概率公式来求解: 二、单项选择题:

1. B ,由概率密度是偶函数即关于纵轴对称,容易推导

F (-a)=

dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f a

a

?????

-==

=∞

--∞

-0

0a -0

a

-0)(21)(-21)(-)()( 2. B ,只有B 的结果满足1)(lim )(==+∞+∞

→x F F x

3. C ,根据分布函数和概率密度的性质容易验证

4. D ,??

?<≥=2

,2

,2X X X Y

,可以看出Y 不超过2,所以

{}{}0,2,12

,12,12 ,12,2 ,1)(0>?????<-≥=?????<≥=???<≤≥=≤=--?θθ

θ?y e y y dx e y y y X P y y Y P y F y x y Y , 可以看出,分布函数只有一个间断点.

5. C, 事件的概率可看作为事件A (前三次独立重复射击命中一次)与事件B (第四次命中)同时发生的概率,即

p p p C B P A P AB P p ?-===-231

3)1()()()(.

三、解答题

(A )

1.(1)

分析:这里的概率均为古典概型下的概率,所有可能性结果共36种,如果X=1,则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1至

6点均可,共有1-61

2

?C (这里1

2C 指任选某次点数为

1,6为另一次有6种结果均可取,减1即减去两次均为1的情

形,因为61

2

?C 多算了一次)或151

2

+?C 种,故{}36

11

3615361-611212=+?=?=

=C C X P ,其他结果类似可得.

(2) 2.

9

注意,这里X 指的是赢钱数,X 取0-1或100-1,显然{}12612995

10

==

=C X P

. 3.

1!0

==-

=∑λλae k a k k

,所以λ-=e a .

4.(1)

?????

????≥<≤<≤-<=???????≥<≤=+-=<≤--=<=3x 13

2432141-1

x 03

x 132}2{}1{21}1{-1

x 0)(,,,,,,,,x x x X P X P x X P x f ,

(2) {}41121=-==????

??≤X p X P 、 {}212252

3

===??????≤

3

323232=

=+=====≤≤X P X P X X P X P

5.(1) {}3121121121lim 212121222242=????

?

?

?

?-??? ??-=++++==∞→i i i

X P 偶数, (2) {}{}16

116

151415=

-=≤-=≥X P X P

, (3) {}712

1121121

lim 2

1

33

33

1

3=-??????????? ??-===∞→∞

=∑i i i i X

P

的倍数

.

6.(1)

()()5.15.0~P t P X = {}5.10-==e X P .

(2) 5.25.0=t

{}{}5.21011--==-=≥e x P x P .

7.解:设射击的次数为X ,由题意知

().20400~,B X

{}{}k

k k k

C

X P X P -=∑-=≤-=≥4001

0400

98

.002.011129972

.028.01!

818

1

0=-=-≈-=∑e k k K ,其中8=400×.

8.解:设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数,().305~,B X

则指示灯发出信号的概率

1631.08369.01=-=;

9. 解:因为X 服从参数为5的指数分布,则5

1)

(x e

x F --=,{}2)10(110-=-=>e F X P

,()2

5~-e B Y ,

则50,1,k ,)1()(}{5225 =-==---k k k e e C k Y

P

10. (1)、由归一性知:??

-∞

+∞

-===

22

2cos )(1π

πa xdx a dx x f ,所以2

1=

a . (2)、4

2|sin 21cos 21}4

0{404

===<

π

π

x xdx X P . 11. 解 (1)由F (x )在x =1的连续性可得)1()(lim )(lim

11F x F x F x x ==-

→+

→,即A=1.

(2){}=<<7.03.0X P

4.0)3.0()7.0(=-F F .

(3)X 的概率密度

??

?<<='=

,01

0,2)()(x x x F x f . 12. 解 因为X 服从(0,5)上的均匀分布,所以

??

???<<=其他05051

)(x x f

若方程024422

=+++X Xx x 有实根,则03216)4(2≥--=?X X ,即

12-≤≥X X ,所以有实根的概率为

13. 解: (1) 因为4)(3~,N X 所以

(2) {}{}c X P c X P

≤-=>1,则{}2

1=≤c X P 2

1)2

3()(=-Φ==c c F ,经查表得

21)0(=

Φ,即

02

3

=-c ,得3=c ;由概率密度关于x=3对称也容易看出。 (3) {}{}d X P d X P

≤-=>1)(1d F -=9.0)2

3(1≥-Φ-=d ,

则1.0)23(

≤-Φd ,即9.0)2

3-(≥-Φd ,经查表知8997.0)28.1(=Φ,

故28.12

3

-

≥-d ,即44.0≤d ; 14. 解:{}{}k X P k X

P

≤-=>1{}k X k P ≤≤--=1)()(1σ

σk

k -Φ+Φ-=

所以 95.0)(=Φσ

k ,}{95.0)()(=Φ==<σk

k F k X p ;由对称性更容易解出;

15. 解

),(~2σμN X 则 {}}{σ

μσμσμ+<<-=<-X P X P

上面结果与σ无关,即无论σ怎样改变,{}σμ<-X P 都不会改变;

16. 解:由X 的分布律知

所以 Y 的分布律是 Z 的分布律为

2

22)(21)(σμσ

π--

=

x e

x f ,

17. 解 因为服从正态分布

)

,(2σμN ,所以

dx

e

x F x

x ?

---

=

2

22)(21)(σμσ

π ,

{}y

e p y F x Y ≤=)(,

当0≤y 时,0)(=y F Y ,则0)(=y f Y 当

0>y 时,{}{}y x p y e p y F x Y ln )(≤=≤=

所以Y 的概率密度为

e

210

1)(

2

2

2)(ln ≤>???

??=--

y y y

y f y Y σμσ

π;

18. 解

)

1,0(~U X ,

100

1)(<

?=x x f ,

{}{}y x p y Y p y F Y ≤-=≤=1)()1(1y F --=,

所以

?

?

?<<=???<-<=-=其他其他)1()(0,1

01,0,1101,y y y f y f X Y 19. 解:

)2,1(~U X ,则其他

210

1)(<

?=x x f

当0≤y 时,{}

0)(2=≤=y e P y F X Y ,

0>y 时,

)

(y F Y )ln 21(ln 21y F y X P X =?

??

???≤=,

20. 解: (1) {}{}y X P y Y P y F Y

≤=≤=3)(11

???

?

??

≤=y X P 31)3

1(y F X = 因为

其他

1

10

2

3)(2<<-?????=x x

x f X

所以

)31(31)(1y f y f X Y =其他,13

11,01812<<-?????=y y 其他,3

3,0

1812<<-?????=y y (2) {}{}{})3(133)(22

y F y X P y X P y Y P y F X Y

--=-≥=≤-=≤=,

因为

其他

1

10

2

3)(2<<-?????=x x

x f X ,

所以

)3()(2y f y f X Y -=?????<-<--=其他0,131,)3(232y y ?????<<-=其他

0,4

2,)3(23

2y y

(3){}{}y X P y Y P y F Y

≤=≤=2

3)(3

当0≤y 时,{}0)(23=≤=y X P y F Y

,0)()('

3

3==x F y f Y Y 当

0>y 时,{}())()(3y F

y F y X y P y F X

X

Y --=≤≤-=,

所以

()0

,

0,

)]([21

)(3≤>??

?

??-+=y y y f

y f y y f X

X

Y ,

因为

其他

1

10

2

3)(2<<-?????=x x

x f X ,

所以

其他,10,0

2

3)(3<

四.应用题

1.解:设X 为同时打电话的用户数,由题意知

().20,10~ B X

设至少要有k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为,则

99.0!

8

.02.0}{0

1010

=≈=≤∑

∑=-=-k

i i

k

i i

i

i e i C k X P λλ,其中,2=λ

查表得k=5.

2.解:该问题可以看作为10重伯努利试验,每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-4

.0-e

,记X

为10块组件中不能正常工作的个数,则

)1,10(~4.0--e B X ,

5小时后系统不能正常工作,即{}2≥X ,其概率为

3.解:因为

)40,20(~2N X ,所以

设Y 表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数,则)4931.0,3(~B X ,

(1) 8698

.00.5069

-1)4931.01(4931.01}0{1}1{3

300

3==--==-=≥C Y P Y

P .

(2) 3801.05069.04931.0}1{211

3=?==C Y P .

4.解:

当0

当20<≤y 时,Y 和X 同分布,服从参数为5的指数分布,知5

5

15

1)(y y x

e dx e y F ---==?

2≥y 时,}{y Y ≤为必然事件,知1)(=y F ,

因此,Y 的分布函数为

???

?

???≥<≤<=-2,120e -10 , 0)(5y y y y F y

,;

5.解:(1) 挑选成功的概率

70

1148==

C p ;

(2) 设10随机挑选成功的次数为X ,则该??

? ??

70110~,B X ,

设10随机挑选成功三次的概率为:

0.00036)70

1

1()701(

}3{73

10≈-==k C X P , 以上概率为随机挑选下的概率,远远小于该人成功的概率3/10=,因此,可以断定他确有区分能力。

(B )

1. 解:由概率密度可得分布函数????

???????>≤≤-+<<≤≤<=6

,163),3(923131,31

10,31

,0)(x x x x x x x x F

{}32=

≥k X P 由于,即3

1

)(=k F ,易知31≤≤k ; 2. 解: X 服从)(2,1-的均匀分布,

其他,,2

10

31)(<<-?????=x x f ,又,,0011<≥???-=X X Y ,,

则{}3

23

1

)(}0{120

2

=

==≥==?x

dx x f X P Y P

, 所以Y 的分布律为 3.

])1[(1})1({]1[)(333y F y X P y X P y F X Y --=-≥=≤-=,

[]{}[][][]

3

233'3)1()1(3)1()1(])1[(1)()(y f y y y f y F y F y f X X Y Y --='---=--='

=[]

R y y y ∈-+-=,)

1(1)1(362

π; 4. 证明:因

)(x f x 是偶函数,故)()(x f x f x x =-,

}

{1}{}{}{)(y X P y X P y X P y Y P y F Y -≤-=-≥=≤-=≤=)

(1y F x --=所

)()()()('

y f y f y F y f x x Y Y =-==.

5. 解:随机变量X 的分布函数为

??

???≥<<≤=8 ,181 ,1-1

, 0)(3

x x x x x F ,显然]1,0[)(∈x F ,

})({}{)

(y X F P y Y P y F Y ≤=≤=,

当0

({y X F ≤是不可能事件,知0)(=y F Y ,

当10<≤y 时,y y X P y X P y F Y =+≤=≤-=})1({}1{)(33,

1≥y 时,})({y X F ≤是必然事件,知1)(=y F Y ,

即 ??

?

??≥<≤<=1 ,110 ,0 , 0)(y y y y y F Y 。

6. (1)}2

1

-{}12{}{)(11

y X P y X P y Y P y F Y

≤=≤+=≤= 当

02

1≤-y 时,即1≤y 时,00}21

-{)(21

-1==≤=?-∞dx y X P y F y Y ,

02

1>-y 时,即y >1时,2121

0-1}21-{)(1y y x

Y e dx e y X P y F ---==≤=?,

所以

其他,,11

,021)(211>???

??≤=-

y y e y f y

Y ;

(2)}{}{)(22

y e P y Y P y F X

Y

≤=≤=, 当

0≤y 时,}{y e X ≤为不可能事件,则0}{)(2=≤=y e P y F X Y ,

当10≤<

y 时,0ln ≤y ,则{}00ln }{)(ln 2==≤=≤=?

-dx y X P y e P y F y

X

Y ,

1>y 时,0ln >y ,则{}y

dx e y X P y F y x Y 1

1ln )(ln 0

2-

==≤=?

-, 根据

)()(22y F y f Y Y '=得

???

??>≤=1,11 ,0)(22y y

y y f Y ;

(3)}{}{)(2

33

y X P y Y P y F Y

≤=≤=, 当

0≤y 时,0}{)(23=≤=y X P y F Y ,

0>y 时,{

}

y

y

x Y e dx e y X y P y X P y F -

--==≤

≤-=≤=?1}{)(0

2

3

所以

??

???>≤=-0,20

,0)(3y y e

y y f y

Y ;

7. (1) 证明:由题意知

00,,02)(2≤>?

??=-x x e x f x 。

}{}{21211

y e P y Y P y F e Y X

Y x ≤=≤==--)(,, 当

0≤y 时,01=)

(y F Y 即01

=)(y f Y , 当10<<

y 时,y dx e y X P y e P y F y x

X Y ==??????-≥=≤=?∞+---2

ln 2222ln }{)(1, 当1≥y 时,122ln )(021

==????

??-≥=?∞+-dx e y X P y F x

Y ,

故有 1

0,,01)(1

<

??=y y f Y ,可以看出1Y 服从区间(0,1)均匀分布;

(2) }-1{}-1{}{)(221222

2y e P y e P y Y P y F e Y X X Y x ≥=≤=≤==---, 当01≤-

y 时,1}-1{)(22=≥=-y e P y F x Y ,

当110<-

y dx e y X P y e P y F y x

X

Y ==?

?????--≤=≥=?----2)

1ln(02222)1ln(}-1{)(2

)(, 当11≥-y 时,002)1ln(}-1{)(2)

1ln(22==?

?????--≤=≥=?--∞--dx y X P y e P y F y X

Y ,

由以上结果,易知 1

0,

,01)(2

<

第三章

1解:(X ,Y )取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式:

P {X =1,Y =1}=P {X =1}P {Y =1|X =1|=2/3?1/2=/3

同理可求得P {X =1,Y =1}=1/3; P {X =2,Y =1}=1/3 (X ,Y )的分布律用表格表示如下:

Y X

1 2 1 1/3 1/3 2

1/3

2 解:X ,Y 所有可能取到的值是0, 1, 2

(1) P {X=i , Y =j }=P{X =i }P{Y =j |X =i |= , i ,j =0,1,2, i +j ?2

或者用表格表示如下:

Y

X

0 1 2 0 3/28 6/28 1/28 1 9/28 6/28 0 2

3/28

(2)P{(X,Y)?A}=P{X+Y?1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14

3 解:P(A)=1/4, 由P(B|A)=

2/14

/1)

()()(==AB P A P AB P 得P(AB)=1/8

由P(A|B)=

2/1)

()

(=B P AB P 得P(B)=1/4

(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则

P{X=0,Y=0}=))(B A P =P(

(A)-P(B)+P(AB)=5/8

P{X=0,Y=1}=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=0}=P(A )=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8 4.解:(1)由归一性知:

1=, 故A=4

(2)P{X=Y}=0

(3)P{X

(4)

F(x,y)=

即F(x,y)=

5.解:P{X+Y?1}=

72

65

)3(),(102

121

=

+

=?

?

??-≥+dydx xy x dxdy y x f x

y x 6 解:X 的所有可能取值为0,1,2,Y 的所有可能取值为0,1,2, 3. P{X=0,Y=0}==; 、P{X=0,Y=1}== P{X=1,Y=1}=25.05.05

.02

1

2=?C , P{X=1,Y=2}=25.05.05.021

2=?C

P{X=2,Y=2}==, P{X=2,Y=3}=== X,Y 的分布律可用表格表示如下:

Y

X

0 1 2 3 P i .

0 0 0 1 0

0 2

0 0

1

7. 解:

???<<=-其它,00,),(y

x e y x f y

8. 解:

???<≤≤=0,

01

,),(22x y x y cx y x f

(1)21

4212),(11

042

1

11

2

2c

dx x x c ydydx cx dxdy y x f x =-===

?????

-∞+∞-∞

+∞

-

所以 c =21/4

(2)

??

???<-=?????<==??∞+∞

-其它其它,,01||,8)1(2101||,421),()(42122x x x x ydy x dy y x f x f x X

9 解:2|ln 12

2

11

===?

e e D

x dx x

S (X ,Y )在区域D 上服从均匀分布,故f (x ,y )的概率密度为

10 解:

??

?<<<<=其它,

00,10,3),(x

y x x y x f 当0

即,

?????≤<<=其它,

01

0,2

)|(|x y x x y f X Y

11解:

??

?<<<=其它,

0||,10,1),(x

y x y x f 当y ?0时,

?

??

??<<-<<+==其它,

0,10,11

)(),()|(|x y x x y x f y x f y x f Y Y X

当y >0时,

?

??

??<<-<<-==其它,

0,10,11

)(),()|(|x y x x y x f y x f y x f Y Y X

所以,

?

??

??<<<-==其它,01||0,||11

)(),()|(|x y y x f y x f y x f Y Y X

12 解:由

)

()

,()|(|x f y x f y x f Y Y X =

13解:Z =max(X ,Y ),W =min(X ,Y )的所有可能取值如下表

Z =max(X ,Y),W =min(X ,Y )的分布律为 14 解:

?????≤>=-0,00,1)(x x e x f x

X θθ ???

??≤>=-0

,

00,

1)(y y e y f y Y θθ 由独立性得X ,Y 的联合概率密度为

则P {Z =1}=P {X ?Y }=

2

11

),(00

2

=

=?

?

??∞

++-

≤x

y

x y

x dydx e

dxdy y x f θ

θ P {Z =0}=1-P {Z =1}=

故Z 的分布律为

15 解:

?????≤+=其它,

01

,1

),(22y x y x f π

同理,

??

???<-=其它,01

||,12

)(2y y y f Y π

显然,

)()x (y f f Y X ≠,所以X 与Y 不相互独立.

16 解:(1)

??

?<<=其它,010,1)(x x f X ???<<=其它,01

0,1)(Y y y f 利用卷积公式:

?+∞

∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(求fZ(z)

)()(x z f x f Y X -=???+<<<<其它,

01,10,1x

z x x

(2)

??

?<<=其它,01

0,1)(x x f X ???≤>=-0

,

00

,)(Y y y e y f y 利用卷积公式:

?+∞

∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(

17 解:由定理(p75)知,X +Y ~N (1,2)

故5.0)0(}2

1

121{

}1{==-≤-+=≤+ΦY X P Y X P

18解:(1)

)1(2

1

)(21),()0

)(X +=+==-+∞

+-+∞

-?

?x e dy e y x dx y x f x f x y x ((x>0) 同理,

)1(21

)(+=-y e y f y Y y >0

显然,

)()x (y f f Y X ≠,所以X 与Y 不相互独立

(2).利用公式

?+∞

∞--=dx x z x f z f X Z )()(,

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计(二) 课程代码:02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为( A ) A .C B A B .C B A C .C B A D .C B A 2.设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A .253 B .2517 C .5 4 D .2523 3.设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A .0.352 B .0.432 C .0.784 D .0.936 解:P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4.已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2<X ≤4}= ( C ) A .0.2 B .0.35 C .0.55 D .0.8 解:P {-2<X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55,故选C. 5.设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A .2,3- B .-3, 2 C .2,3 D .3, 2 与已知比较可知:E(X)=-3,D(X)=2,故选B. 6.设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A .4 1 B .2 1 C .2 D .4 解:设D 为平面上的有界区域,其面积为S 且S>0,如果二维随机变量 (X ,Y )的概率密度为 则称 (X ,Y )服从区域D 上的均匀分布,

数三概率论与数理统计教学大纲

数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材:四川大学数学学院邹述超、何腊梅:《概率论与数理统计》,高等教育出版社出,2002年8月。 参考书:袁荫棠:《概率论与数理统计》(修订本),中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室:《概率论与数理统计学习指导》 总学时:60学时,其中:讲课50学时,习题课10学时。 学分:3学分。 说明: 1.生源结构:数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生(如:旅游管理,行政管理),有些专业约占1/4~1/3的理科生(国贸,财政学,经济学),有些专业全是理科生(如:国民经济管理,金融学)。 2.高中已讲的内容:高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率,即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外,其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布(包括二项分布、几何分布)和离散型随机变量的期望与方差,统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求:学生的数学基础差异大,不同专业学生对数学课重视程度的差异大,这就给讲授这门课带来一定的难度,但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解,学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时,既要照顾数学基础差的学生,多举基本例子,使他们掌握大纲要求的基本概念和方法;也要照顾数学基础好的学生,使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程(如:计量经济学),将用到较多的概率统计知识;还有一部分学生要考研,数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法,习题(A)是针对基本方法的训练而编写的,因此,这一部分内容须重点讲解,并要求学生必须掌握;每一章的最后一节是综合例题,习题(B)具有一定的综合性和难度,可以选讲部分例题,数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时): 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性,独立随机试验、

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 (1)排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1.1:方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 例1.2:有5个队伍参加了甲A 联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少? (2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m 种方法完成,第二种方法可由n 种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m ×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m 种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法? 例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少? 例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜

色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法 A.120种B.140种 C.160种D.180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单? ①3个舞蹈节目排在一起; ②3个舞蹈节目彼此隔开; ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法? 例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法? ①重复排列和非重复排列(有序) 例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法? ②对立事件 例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法? 例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法? 例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性?

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件,且P (A)=,P (B)=,P (B A)=,则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量,若)? ()?(21θθD D <,则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件,且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=,则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布,Y =2X +1,则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是: ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ,且{}784 .0=≥αX P ,则α= 。 6. 已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ,则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ~N (1,4),Y ~N (2,9),且X 与Y 相互独立。设Z =X -Y +3,则Z ~ N (2, 13) 。 * 8. 设A ,B 为随机事件,且P (A)=,P (A -B)=,则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4),已知Φ=,Φ=,则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ,则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ,则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ,B 为随机事件,且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ,其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ,则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在,令DX EX X Y /)(-=,则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立,且D (X )=4,D (Y )=2,则D (3X -2Y )= 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击,已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51,则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ~N (2,2σ),且P {2 < X <4}=,则P {X < 0}= 。 ! 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ,则X 的期望

概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2.样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型(古典概型)................................... 3.. §5.条件概率.............................................................. 4.. . §6.独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:对立不是独立。两个集合互补。第2题 您的答案:D 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:A发生,必然导致和事件发生。第3题

您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:密度函数在【-1,1】区间积分。第5题

您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:A答案,包括了BC两种情况。 第6题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中,且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第8题 您的答案:D 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数,加绝对值。第9题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用概率密度的性质,概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用分布函数的性质,包括分布函数的值域[0,1]当自变量趋向无穷时,分布函数取值应该是1.排除答案。 第11题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用上分位点的定义。 第12题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P(AB)小于等于P(C)。第13题

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一.填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -,则 =≤)2(X P ;=>)3(X P ;=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ,则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4.设A ,B 为两个随机事件,且A 与B 相互独立,P (A )=,P (B )=,则()P AB =____________.() 5.设事件A 、B 互不相容,已知()0.4=P A ,()0.5=P B ,则()=P AB 6. 盒中有4个棋子,其中2个白子,2个黑子,今有1人随机地从盒中取出2个棋子,则这2个棋子颜色相同的概率为____________.( 13 ) 7.设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布,则()E X =____________.( 12 ) 8.设随机变量X 服从参数为3的泊松分布,则概率密度函数为 __. (k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L )) 9.某种电器使用寿命X (单位:小时)服从参数为1 40000 λ=的指数分布,则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.(40000) 10在3男生2女生中任取3人,用X 表示取到女生人数,则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ,则=a π1 ;=>)0(X P ;==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ,则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它

(完整版)概率论与数理统计课程标准

《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 (一)课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics),由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科,是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲,它是一门基础性学科,它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 (二)先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等,这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合,以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索,也为其它学科的

进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念,熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法,并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 (一)能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系,使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 (二)知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理; 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算; 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 (三)素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神; 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力; 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求,本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和; (2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标; (3)10件产品中有三件是次品,每次从其中取一件,取后不放回,直到三件次品都取出为止,记录抽取的次数; (4)测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 (1)S= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (2)S= {(x, y)| x2+y2<1} (3)S= {3,4,5,6,7,8,9,10} (4)S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列事件: (1)A发生,B和C不发生; (2)A与B都发生,而C不发生; (3)A、B、C都发生;

(4)A、B、C都不发生; (5)A、B、C不都发生; (6)A、B、C至少有一个发生; (7)A、B、C不多于一个发生; (8)A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3.在某小学的学生中任选一名,若事件A表示被选学生是男生,事件B表示该生是三年级学生,事件C表示该学生是运动员,则 (1)事件AB表示什么? (2)在什么条件下ABC=C成立? ?是正确的? (3)在什么条件下关系式C B (4)在什么条件下A B =成立? 解所求的事件表示如下 (1)事件AB表示该生是三年级男生,但不是运动员. (2)当全校运动员都是三年级男生时,ABC=C成立. ?是正确的. (3)当全校运动员都是三年级学生时,关系式C B

(4)当全校女生都在三年级,并且三年级学生都是女生时,A B =成立. 4.设P (A )=,P (A -B )=,试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ,已知P(A) = P(B)=P(C)=1 4 ,P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球,现从中随机地取出两只球,试求下列事件的概率: A ={两球颜色相同}, B ={两球颜色不同}. 解 由题意,基本事件总数为2a b A +,有利于A 的事件数为2 2a b A A +,有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

《概率论与数理统计》课程教学大纲

《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号:450006 课程名称:概率论与数理统计 课程类别:公共基础课(必修) 学时学分:理论48学时/3学分 适用专业:计算机、自动化、经管各专业 开课学期:第一学期 先修课程:高等数学 后续课程: 执笔人: 审核人: 制(修)订时间:2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科,是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学,应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念,了解它的基本理论和方法,从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法,培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主,致力于讲清楚基本的概率统计思想,使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识,使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 (一)概率论的基本概念

1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念,掌握事件的关系与运算,掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 (1)教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念; ② 加法公式;乘法公式;全概率公式;贝叶斯公式。 (2)教学难点 ① 古典概型的有关计算;② 全概率公式的应用; ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式,以课堂讲授为主,课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学,学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 (1)理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念;熟练掌握事件的关系及运算 (2)理解频率和概率定义;熟练掌握概率的基本性质 (3)理解等可能概型的定义性质;,会计算等可能概型的概率 (4)理解条件概率的定义;熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式(5)理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 (二)随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念;理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质,会利用性质确定分布律和概率密度;理解分布函数的概念及性质,会利用此概念和性质确定分布函数,会利用概率分布计算有关事件的概率;掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布,会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 (1)教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念; ② 离散型随机变量分布律的求法;

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件,则i =1,2,…,n ,且 X 1,X 2,…,X n 独立同分布,p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部,每部机床开动的概率为,假定各机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量,应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ,而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1.概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ,如果它满足如下三个条件: (1)非负性 A A P ?≥,0)( (2)正规性 1)(=ΩP (3)可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2.几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ,每一基本事件与S 内的点一一对应,则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。(若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比,而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。)==(每点等可能性)则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3.条件概率与乘法公式: 设A,B 是试验E 的两个随机事件,且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下,事件A 发生的条件概率。(其中)(AB P 是AB 同时发生的概率) 乘法公式:)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4.全概率公式与贝叶斯公式: (全概率公式)定理:设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分,n i A P i ,...,2,1,0)(=>,B 是任一事件,则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 (贝叶斯公式)定理:设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分,n i A P i ,...,2,1,0)(=>,B 是任一事件,则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5.事件的独立性: 两事件的独立性:(定义)设A 、B 是任意二事件,若P(AB)= P(A)P(B),则称事件A 、B 是相互独立的。(直观解释)A 、B 为试验E 的二事件,若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:

概率论与数理统计学习地总结

概率论与数理统计 学习报告 学院 学号: 姓名:

概率论与数理统计学习报告 通过短短一学期的学习,虽然学习、研究地并不深入,但该课程的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我,让我对它在生活中饰演的角色充满遐想;它将我带入了一个由随机变量为桥梁,通过表面偶然性找出其内在规律性,从而与其它的数学分支建立联系的世界,让我对这种进行大量的随机重复实验,通过分析研究得出统计规律性的过程产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程,但也不得不说课后在它上面花的时间并不多,因此学得还不深入,但它真的深深地吸引了我,我一定会找时间进一步深入地学习它。 先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。 概率论是基于给出随机现象的数学模型,并用数学语言来描述它们,然后研究其基本规律,透过表面的偶然性,找出其内在的规律性,建立随机现象与数学其他分支的桥梁,使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象,进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础,基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象,进而对所观察的问题作出推断和预测,直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。研究随机现象的规律性有其独特的思想方法,它不是寻求出现每一现象的一切物理因素,不能用研究确定性现象的方法研究随机现象,而是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的

随机因素作用下,发生随机现象。这样,人们既可以通过试验来观察随机现象,揭示其规律性,作出决策,也可根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律,作出决策。 至今,概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中,并随着计算机的普及,概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是许多新兴学科,如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能的数学理论基础,而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了许多新的分支和边缘学科,如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等。 概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究,其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的;而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的,或者分布类型已知,但其中的某些参数或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发,按一定的逻辑推理得到结论,在方法上是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的,从所研究地对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测,以获得试验数据,依据试验数据所获取的信息,对整体进行推断,是归纳而得到结论的。因此掌握它特有的学习方法是很重要的。 在学习的过程中,不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些

自考概率论与数理统计基础知识.

一、《概率论与数理统计(经管类)》考试题型分析: 题型大致包括以下五种题型,各题型及所占分值如下: 由各题型分值分布我们可以看出,单项选择题、填空题占试卷的50%,考查的是基本的知识点,难度不大,考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查,要求考生不仅要牢记重要的公式,而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查,要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习,就会很容易的掌握解题思路。总之,只要抓住考查的重点,记住解题的方法步骤,勤加练习,就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计(经管类)》考试重点说明:我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级,即一级重点、二级重点、三级重点,其中,一级重点为必考点,本次考试考查频率高;二级重点为次重点,考查频率较高;三级重点为预测考点,考查频率一般,但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1.随机事件的关系与计算 P3-5 (一级重点)填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2.古典概型中概率的计算 P9 (二级重点)选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 (一级重点)选择、填空 ,(考得多)等,要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 (一级重点)选择、填空记住条件概率的定义和公式: 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 (二级重点)计算记住全概率公式和贝叶斯公式,并能够运用它们。一般说来,如果若干因素(也就是事件)对某个事件的发生产生了影响,求这个事件发生的概率时要用到全概率公式;如果这个事件发生了,要去追究原因,即求另一个事件发生的概率时,要用到贝叶斯公式,这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性(概念与性质) P18-20(一级重点)选择、填空定义:若,则称A与B 相互独立。结论:若A与B相互独立,则A与,与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21(一级重点)选择、填空在重贝努利试验中,设每次试验中事件的概率为(),则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8.离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29,P31(一级重点)选择、填空、计算、综合。记住分布律中,所有概率加起来为1,求概率时,先找到符合条件的随机点,让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值,和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33(一级重点)选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主,记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37(一级重点)选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数,记住利用分布函数计算概率的公式:①;②其中;③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39(一级重点)选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算,如①;;反之,满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③;④ 设为的

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第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件,就“事件”这一概念而言,它是定性的。要定量地研究随机现象,事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是,既然试验的所有可能的结果是知道的,我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值,在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系,从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次,观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果:“出现H”或“出现T”。为了便于研究,我们将每一个结果用一个实数来代表。比如,用数“1”代表“出现H”,用数“0”代表“出现T”。这样,当我们讨论试验结果时,就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系,实际上就相当于引入一个变量X,对于试验的两个结果,将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来,那么,对于样本空间的不同元素,变量X可以取不同的值。因此,X是定义在样本空间上的函数,具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的,因而X(ω)的取值也是随机的,为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只,测试它的寿命。这一试验的结果(寿命)本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命,它的取值由试验的结果所确定,随着试验结果的不同而取不同的值,X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间,如果对于 中的每一个元素 ,都有一个实数X( )与之相对应,则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后,就可以用它来描述事件。通常,对于任意实数集合L,X在 L上的取值,记为{X L},它表示事件{ |X( ) L},即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次,观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数,则X是一个随机变量。显然,X的取值为0,1,2,3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1

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