2016学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷
(考试时间:120分钟 满分:150分 )
一.填空题(1--6每小题4分,7--12每小题5分,共54分) 1.已知复数i
i z +=
2(i 为虚数单位),则=||z .
2.若)1,2(=d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示).
3.抛物线2
4y x =的焦点坐标为 .
4.6
2x ?
- ?
的展开式中的常数项的值是 .
5.已知实数x 、y 满足不等式组5
2600
x y x y x y +≤??+≤?
?≥??≥?,则34z x y =+的最大值是 .
6.已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232
=+-a x x 的一个根,则实数
=a .
7.已知21,F F 为双曲线C:12
2
=-y x 的左右焦点,点P 在双曲线C上,1260F PF ∠=?,则
=?||||21PF PF .
8.某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2
名,则不同的安排方案种数为 .
9. 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ
θ
=+??=-+?(θ为参数),直线l 的方程为320x y -+=,则曲
线C 上到直线l
距离为
10
的点的个数为____________. 10.已知抛物线y x 32=上的两点A、B 的横坐标恰是关于x 的方程02
=++q px x (,p q 是
常数)的两个实根,则直线AB 的方程是 .
11.在ABC ?中,
AB 边上的中线2CO =,若动点
P 满足221
sin cos 2
AP AB AC
θθ=?+?()
R θ∈,
则
()PA PB PC +?的
最
小
值
是 .
12.已知椭圆C:)0(1
22
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ,P 为椭圆C上任一点,M
=||||||||2121PF PF PF PF ?+-。M的最大值为 .
二.选择题(每小题5分,共20分) 13. 已知复数满足2|43|=
-+i z ,则|1|-z 的取值范围是( ).
(A )??(B )??(C)??(D )??
14.设c b a ,,是△ABC 三个内角C B A ,,所对应的边,且ac b =2
,那么直线
0sin sin 2=-+a A y A x 与直线0sin sin 2=-+c C y B x 的位置关系是( ).
(A)平行 (B )垂直(C)相交但不垂直 (D)重合
15.O 是ABC ?所在平面内的一点,且满足0)2()(=-+?-OA OC OB OC OB ,则ABC ?的形状是( ).
(A)等腰三角形 (B )等腰直角三角形 (C)直角三角形 (D )等边三角形
16.若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线的自公切线,下列方程的曲线有自公切线的是( ).
(A)2
10x y +-= (B)10x =
(C)22
10x y x x +---= (D)2
310x xy -+=
三.解答题(14分+14分+14分+16分+18分,共76分) 17.(本题满分14分)
设复数z 满足5||=z ,且z i )43(+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线,
)(2
5|2|R m m z ∈=-,求z 和m 的值.
18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知2||=
a ,1||=
b ,a 与b
的夹角为?135.
(1)求
)2()(b a b a -?+的值; (2)若k 为实数,求||b k a
+的最小值.
.
?19.(本题满分14分, 第1小题满分6分,第2小题满分8分)
(1)一条光线通过点()1,2-P ,被直线01:=+-y x l 反射,如果反射光线通过点()1,3Q ,求反射光线所在的直线方程;
(2)已知ABC ?的一顶点()4,1A ,ABC ∠与ACB ∠的平分线所在直线的方程分别是
02=-y x 和01=-+y x ,求边BC 所在直线方程.
20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)
已知点21,F F 为双曲线C :)0(122
2
>=-b b
y x 的左、右焦点,过2F 作垂直于x 轴的直线,在
x 轴上方交双曲线C 于点M ,且1230MF F ∠=?,圆O 的方程是222b y x =+.
(1)求双曲线C 的方程;
(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为21,P P ,求12PP PP ?的值;
(3)过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线L 交双曲线C 于,A B 两点,AB 中点为D ,求证:2AB OD =.
?21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
教材曾有介绍:圆2
22r y x =+上的点),(00y x 处的切线方程为200r y y x x =+。我们将其结
论推广:椭圆12222=+b y a x (0>>b a )上的点),(00y x 处的切线方程为12020=+b y
y a x x ,在解
本题时可以直接应用。已知,直线03=+-y x 与椭圆E :12
22=+y a
x (1>a )有且只有一
个公共点. (1)求a 的值;
(2)设O 为坐标原点,过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ,且1l 与2l 交于点),2(m M .
①设0m ≠,直线AB 、OM 的斜率分别为1k 、2k ,求证:21k k 为定值. ②设m R ∈,求OAB ?面积的最大值.
?金山中学2016学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷
(考试时间:120分钟 满分:150分 )
一.填空题(1--6每小题4分,7--12每小题5分,共54分) 1.已知复数i
i z +=
2(i 为虚数单位),则=||z .
2.若)1,2(=d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示).1arctan
2
3.抛物线2
4y x =的焦点坐标为 .10,
16??
???
4
.6
2x ?
- ?的展开式中的常数项的值是 . 60
5.已知实数x 、y 满足不等式组5
2600
x y x y x y +≤??+≤?
?≥??≥?,则34z x y =+的最大值是 . 20
6.已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232
=+-a x x 的根,则实数=a .3
7.已知21,F F 为双曲线C :122=-y x 的左右焦点,点P 在双曲线C 上,0
2160=∠PF F ,则=?||||21PF PF .4
8.某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2
名,则不同的安排方案种数为 . 90
9. 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ
θ
=+??=-+?(θ为参数),直线l 的方程为320x y -+=,则曲
线C 上到直线l
距离为
10
的点的个数为____________.2 10.已知抛物线y x 32=上的两点A、B 的横坐标恰是关于x 的方程02
=++q px x (,p q 是常数)的两个实根,则直线AB 的方程是 . 2
30(40)px y q p q ++=-> 11.在ABC ?中,
AB 边上的中线2CO =,若动点P 满足
221
sin cos 2
AP AB AC θθ=?+?()R θ∈,则()PA PB PC +?的最小值是 . -2
12.已知椭圆C:)0(1
22
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ,P 为椭圆C上任一点,M
=
|
|||||||2121PF PF PF PF ?+-。M 的最大值
为
.2222221,1
01
a a
b b a b ?+-≥??+<-?
二.选择题(每小题5分,共20分) 13. 已知复数满足2|43|=-+i z ,则|1|-z 的取值范围是( ).B
(A)[
]252,
252+-(B )[
]25,
23(C )[
]25,
22(D )[
]
24,
23
14.设c b a ,,是△ABC 三个内角C B A ,,所对应的边,且ac b =2
,那么直线
0sin sin 2=-+a A y A x 与直线0sin sin 2=-+c C y B x 的位置关系是( ).D
(A)平行 (B)垂直(C)相交但不垂直 (D )重合
15.O 是ABC ?所在平面内的一点,且满足0)2()(=-+?-OA OC OB OC OB ,则ABC ?的形状是( ).A
(A )等腰三角形 (B)等腰直角三角形 (C)直角三角形 (D)等边三角形
16.若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线的自公切线,下列方程的曲线有自公切线的是( ).C
(A)2
10x y +-= (
B)10x =
(C)22
10x y x x +---= (D)2
310x xy -+=
三.解答题(14分+14分+14分+16分+18分,共76分) 17.(本题满分14分)
设复数z 满足5||=z ,且z i )43(+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线,
)(2
5|2|R m m z ∈=-,求z 和m 的值.
z =
或z =……(8分)
当0222
z i m =
+=或…………(11分)
当0222
z m =--=或-…………(14分)
18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知2||=
a
,1||=b ,a 与b
的夹角为?135.
(1)求)2()(b a b a
-?+的值;
(2)若k 为实数,求||b k a
+的最小值.
(1))2()(b a b a
-?+=2…………………………(6分)
(2)当1k =时,
||b k a +的最小值为1………………………(14分)
19.(本题满分14分, 第1小题满分6分,第2小题满分8分)
(1)一条光线通过点()1,2-P ,被直线01:=+-y x l 反射,如果反射光线通过点()1,3Q ,求反射光线所在的直线方程;
(2)已知ABC ?的一顶点()4,1A ,ABC ∠与ACB ∠的平分线所在直线的方程分别是
02=-y x 和01=-+y x ,求边BC 所在直线方程.
(1)25110x y +-=………………………………(6分)
(2)A 关于01=-+y x 的对称点为B(-3,0) A关于02=-y x 的对称点为198
(
,)55
C - :417120BC x y ++=…………………………(14分)
20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)
已知点21,F F 为双曲线C :)0(122
2
>=-b b
y x 的左、右焦点,过2F 作垂直于x 轴的直线,在x
轴上方交双曲线C 于点M ,且0
2130=∠F MF ,圆O 的方程是2
22b y x =+.
(1)求双曲线C 的方程;
(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为21,P P ,求12PP PP ?的值;
(3)过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线L 交双曲线C 于,A B 两点,AB 中点为D ,求证:2AB OD =. 解(1)设2F 、
M 的坐标分别为
)
、
)
0y )0(0>y
因为点M 在双曲线C 上,所以2
2
0211y b b
+-=,即20b y =,所以22MF b =
在21Rt MF F ?中,01230MF F ∠=,22MF b =,所以212MF b = 由双曲线的定义可知:2122MF MF b -==
故双曲线C 的方程为:2
2
12
y x -= ……………(4分)
(2)由条件可知
:两条渐近线分别为10l y -=
, 20l y += 设双曲线C 上的点),(00y x P ,设1l 的倾斜角为θ
,则tan θ=则点P
到两条渐近线的距离分别为1||PP =
,2||PP =
……(6分)
因为),(00y x P 在双曲线:C 22
12
y x -=上,所以220022x y -=
22
1tan 121cos 21tan 123
θθθ--===-++,从而121
cos cos(2)cos 23PPP πθθ=∠=-=-…(8分)所以12PP PP
?220012212
339
x y PPP -=
∠=
?=……………(10分) (3)由题意,即证:OA OB ⊥.
设1122(,),(,)A x y B x y ,切线l 的方程为:002x x y y +=,且22002x y +=
①当00y ≠时,将切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得:
22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=
所以:2001212222200004(24)
,(2)(2)
x y x x x x y x y x ++=-=-
-- 又22
010201201201222200000
(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---??=?=-++=??- 所以222200001212222222
000000(24)8242()0(2)22y x x y OA OB x x y y y x y x y x +--+?=+=-+==---
②当00y =时,易知上述结论也成立. 所以12120OA OB x x y y ?=+= 综上,OA OB ⊥,所以2AB OD =. ……………(16分)
21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
教材曾有介绍:圆2
22r y x =+上的点),(00y x 处的切线方程为200r y y x x =+。我们将其结论
推广:椭圆12222=+b y a x (0>>b a )上的点),(00y x 处的切线方程为12020=+b y
y a x x ,在解本题
时可以直接应用。已知,直线03=+-y x 与椭圆E :12
22=+y a
x (1>a )有且只有一个公
共点.
(1)求a 的值;
(2)设O 为坐标原点,过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ,且1l 与2l 交于点),2(m M .
①设0m ≠,直线AB 、OM 的斜率分别为1k 、2k ,求证:21k k 为定值. ②设m R ∈,求OAB ?面积的最大值.
解:(1)联立???
??=++=13
222y a
x x y 整理得0232)11(22
=+++x x a 依题意0=?即202)11
(
4)32(2
2
=?=?+?-a a …………………………(4分) (2)①设),(11y x A 、
),(22y x B 于是直线1l 、2l 的方程分别为1211=+y y x x 、12
22=+y y x
x 将),2(m M 代入1l 、2l 的方程得0111=-+my x 且0122=-+my x 所以直线AB 的方程为01=-+my x ……………………(7分)
m k 11-
=,22m k =,所以2
1
21-=k k 为定值………………(10分) ②依题意联立????
??=+=-+12
12
2y x my x 012)2(22=--+my y m 显然0>?,由21,y y 是该方程的两个实根, 有22221+=
+m m y y ,2
12
21+-=m y y ………………(12分) OAB ?面积1122
12x y S x y =
的绝对值,即121
||2S y y =-……(14分) 即2
121
1)1(2)2()1(2]4)[(4122222212
212
≤++++=++=-+=m m m m y y y y S
当0 m 时,S 取得最大值2
2
………………(18分)
高二数学期末考试试卷 出题人:冯亚如 一.选择题(40分) 1.由数列1,10,100,1000,……猜测该数列的第n 项是( ) A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线( ) A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员,要从中选出6人调查学习负担情况,调查应采取的抽样方法是( ) A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3,-2),B(2,3)则直线AB 的倾斜角为( ) A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A .3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中,有4张中奖卷,从中任取1张,中奖的概率是
( ) A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥,其底面边长是1,则棱锥的高是 ( ) A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆(x-1)2+(y+3)2=9的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二.填空题(20分) 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________; 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________; 13.一条直线l 与平面α平行,直线m 在面α内,则l 与m 的位置关系是_______________; 14.正三棱锥的底面边长是4cm ,高是33cm ,则此棱锥的体积为________________; 15.已知球的半径r=3,则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三.解答题(60分) 16.光线从点M(-2, 3)出发,射到P(1, 0),求反射直线的方程并判断点N(4,3)是否在反射光线上。(10分)
高二数学上学期期末考试题 一、 选择题:(每题5分,共60分) 2、若a,b 为实数,且a+b=2,则3a +3b 的最小值为( ) (A )18, (B )6, (C )23, (D )243 3、与不等式x x --23≥0同解的不等式是 ( ) (A )(x-3)(2-x)≥0, (B)0
16、已知双曲线162x -9 2 y =1,椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点,椭圆与双曲线的离心率互为倒数,则椭圆的方程为 . 三、 解答题:(74分) 17、如果a ,b +∈R ,且a ≠b ,求证: 4 22466b a b a b a +>+(12分) 19、已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1,求线段PP 1中点M 的轨迹方程。(12分) 21、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m 3,深为3m ,如果池 222、131719x=x 2 000000将 x 44)1(2,2200=+==y x y y x 得代入方程 即14 22 =+y x ,所以点M 的轨迹是一个椭圆。 21、解:设水池底面一边的长度为x 米,则另一边的长度为米x 34800, 又设水池总造价为L 元,根据题意,得 答:当水池的底面是边长为40米的正方形时,水池的总造价最低,
2015-2016上海市高二数学期末试卷 (共150分,时间120分钟) 一、选择题(每小题5 分,共12小题,满分60分) 1.对抛物线24y x =,下列描述正确的是( ) A 开口向上,焦点为(0,1) B 开口向上,焦点为1(0, )16 C 开口向右,焦点为(1,0) D 开口向右,焦点为1 (0,)16 2.已知A 和B 是两个命题,如果A 是B 的充分条件,那么A ?是B ?的 ( ) A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3.椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2),那么实数k 的值为( ) A 25- B 25 C 1- D 1 4.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点,若11A B a =, b D A =11, c A A =1,则下列向量中与M B 1相等的向量是( ) A c b a ++-2121 B c b a ++2121 C c b a +-2121 D c b a +--2 1 21 5.空间直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1,0),B (-1,3,0), 若点C 满足OC =αOA +βOB ,其中α,β∈R ,α+β=1,则点C 的轨迹为( ) A 平面 B 直线 C 圆 D 线段 6.给出下列等式:命题甲:2 2,2,)2 1 (1x x x -成等比数列,命题乙:)3lg(),1lg(,lg ++x x x 成等差数列,则甲是乙的( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 7.已知a =(1,2,3),b =(3,0,-1),c =?? ? ??--53,1,5 1给出下列等式: ①∣c b a ++∣=∣c b a --∣ ②c b a ?+)( =)(c b a +? ③2)(c b a ++=2 22c b a ++