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小学六年级奥数教案-11圆与扇形

小学六年级奥数教案-11圆与扇形
小学六年级奥数教案-11圆与扇形

小学六年级奥数教案—11圆与扇形

本教程共30讲

圆与扇形

五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题,这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。

圆的面积=πr2,

圆的周长=2πr,

本书中如无特殊说明,圆周率都取π=3.14。

例1如下图所示,200米赛跑的起点和终点都在直跑道上,中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米,那么外道的起点在内道起点前面多少米?(精确到0.01米)

分析与解:半径越大,周长越长,所以外道的弯道比内道的弯道长,要保证内、外道的人跑的距离相等,外道的起点就要向前移,移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道,然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。

设外弯道中心线的半径为R,内弯道中心线的半径为r,则两个弯道的长度之差为

πR-πr=π(R-r)

=3.14×1.22≈3.83(米)。

即外道的起点在内道起点前面3.83米。

例2有七根直径5厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如左下图),此时橡皮筋的长度是多少厘米?

分析与解:由右上图知,绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补,得到6个角的和是360°,所以BC弧所对的圆心角是60°,6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径,由此知绳长=5×6+5×3.14=45.7(厘米)。

例3左下图中四个圆的半径都是5厘米,求阴影部分的面积。

分析与解:直接套用公式,正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出,正方形中的空白部分是4个四分之一圆,利用五年级学过的割补法,可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同,等于一个正方形与4个半圆(即2个圆)的面积之和,为(2r)2+πr2×2=102+3.14×50≈257(厘米2)。

例4 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见左下图)。问:这只羊能够活动的范围有多大?

分析与解:如右上图所示,羊活动的范围可以分为A,B,C三部分,

所以羊活动的范围是

例5 右图中阴影部分的面积是2.28厘米2,求扇形的半径。

分析与解:阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。

所以,扇形的半径是4厘米。

例6 右图中的圆是以O为圆心、径是10厘米的圆,求阴影部分的面积。

分析与解:解此题的基本思路是:

从这个基本思路可以看出:要想得到阴影部分S1的面积,就必须想办法求出S2和S3的面积。

S3的面积又要用下图的基本思路求:

现在就可以求出S3的面积,进而求出阴影部分的面积了。

S3=S4-S5=50π-100(厘米2),

S1=S2-S3=50π-(50π-100)=100(厘米2)。

练习11

1.直角三角形ABC放在一条直线上,斜边AC长20厘米,直角边BC 长10厘米。如下图所示,三角形由位置Ⅰ绕A点转动,到达位置Ⅱ,此时B,C点分别到达B1,C1点;再绕B1点转动,到达位置Ⅲ,此时A,C1点分别到达A2,C2点。求C点经C1到C2走过的路径的长。

2.下页左上图中每个小圆的半径是1厘米,阴影部分的周长是多少厘米?

3.一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上(见右上图),绳长是4米,求狗所能到的地方的总面积。

5.右上图是一个400米的跑道,两头是两个半圆,每一半圆的弧长是100米,中间是一个长方形,长为100米。求两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。

6.左下图中,正方形周长是圆环周长的2倍,当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时,这个圆环转了几圈?

7.右上图中,圆的半径是4厘米,阴影部分的面积是14π厘米2,求图中三角形的面积。

答案与提示练习11

1.68厘米。

2.62.8厘米。

解:大圆直径是6厘米,小圆直径是2厘米。阴影部分周长是6π+2π×7=62.8(厘米)。

3.43.96米2。

解:如下页右上图所示,可分为半径为4米、圆心角为300°的扇形与两个半径为1米、圆心角为120°的扇形。面积为

4.60°。

解:设∠CAB为n度,半圆ADB的半径为r。由题意有

解得n=60。

5.1∶3。

6.3圈。

7.8厘米2。

解:圆的面积是42π=16π(厘米2),空白扇形面积占圆面积的1-

的等腰直角三角形,面积为4×4÷2=8(厘米2)。

五年级下册数学试题 - 奥数专题- 圆与扇形综合 人教版

专项一圆与扇形综合 课前预习 圆与球:跨时代、跨文化的数学故事 这座完美的古代建筑,最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆 伫立在北京天坛祈年殿前,赞美之情油然而生。这座完美的古代建筑,最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆。三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿,与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映,好一片圆美世界! 圆和球还是最实用的图形。宏大如宇宙天体,微小至原子电子,飞转的车轮,滴嗒的钟表……人们的日常生活离不开圆和球,科技的进步也离不开圆和球。 简单中寓深奥。在圆与球简约的外形下,潜藏着无穷的数学奥秘。 圆周长和圆面积的计算,蕴涵着极限思想。中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”,就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发,将边数逐次加倍,并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。

古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”,早在公元前3世纪,阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。不过阿基米德最引以自豪的,是他对球体积的计算。阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱,以及一个辅助的圆锥,其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片,并用力学平衡的方法比较它们的体积,最后求得球体积的正确公式:(R是球半径)。阿基米德的方法可以看成是积分学的先声。无独有偶,在东方,中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子祖,也是利用球和它的外切圆柱计算出正确的球体积公式。不过与阿基米德不同,祖氏父子考虑的是同一个球的两个互相垂直的外切圆柱的公共部分(刘徽最先发现该种立体并命名为“牟合方盖”),并运用欧洲学者迟至17世纪才重新发现的不可分量原理推算出这部分立体与其所含内切球的体积之比。祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工,殊途同归。 至于近代微积分的发明,圆和球也扮演了重要的角色。我们知道,在17世纪上半纪微积分酝酿时期,圆面积与圆周率π的计算,曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。牛顿之前的先行者、英国数学家沃利斯在其代表作《无穷算术》中,用插值法计算1/4圆的面积,并进而导出了无穷乘积表达式 牛顿推广沃利斯的方法而得到了指数可以是分数和负数的二项定理,二项定理在建立微积分算法中的作用是众所周知的。在解析几何的发明人笛卡儿手中,圆是他作图求解方程的基本工具。笛卡儿在《几何学》一书中提出的求曲线切线的方法甚至以“圆法”著称,而牛顿正是从研究、改善笛卡儿“圆法”开始踏上制定微积分的漫漫征途。微积分的另一位发明人莱伯尼茨也计算过圆面积及圆周率,他给出了π的无穷级数表达式 饶有意味的是,与牛顿、莱布尼茨差不多同时代的日本“算圣”关孝和,开创了独具一格的“圆理”。他所谓的“圆理”,即指与圆有关的研究,以无穷级数为基础,计算各种曲线与曲面围成的图形之面积与体积,说明当时东方的数学家们也在竭力用圆这把钥匙叩击着微积分的大门。 古希腊“数学之神”阿基米德把球体积推算视为他一生最得意的成果,曾留下遗嘱把球及其外切圆柱的图形刻在他的墓碑上。阿基米德在第二次布匿战争期间被罗马士兵杀害,据传当罗马军士冲到阿基米德身边时,这位正在思考数学问题的老人喊出的最后一句话是:“别动我的圆!” 阿基米德死后,罗马军队的主帅马塞吕斯下令为阿基米德隆重建墓,并遵照阿基米德的遗愿,在他墓前竖了一块石碑,墓碑上刻着的正是那不朽的图形—球及其外切圆柱。记载着阿基米德球体积计算的羊皮书手稿,历经千年尘封后终于重见天日,被誉为20世纪最重大的考古发现而轰动一时。

word完整版小学六年级奥数教案15棋盘的覆盖

小学六年级奥数教案一15棋盘的覆盖 本教程共30讲 棋盘的覆盖 同学们会下棋吗?下棋就要有棋盘,下面是中国象棋的棋盘(图1), 围棋棋盘(图2)和国际象棋棋盘(图3)。 用某种形状的卡片,按一定要求将棋盘覆盖住,就是棋盘的覆盖问题。 实际上,这里并不要求一定是某种棋盘,只要是有关覆盖若干行、若干列 的方格网的问题,就是棋盘的覆盖问题。 棋盘的覆盖问题可以分为两类:一是能不能覆盖的问题,二是有多少 种不同的覆盖方法问题。 例1要不重叠地刚好覆盖住一个正方形,最少要用多少个右图所示 的图形? 分析与解:因为图形由3个小方格构成,所以要拼成的正方形内所含 的小方格数应是3的倍数,从而正方形的边长应是3的倍数。经试验,不 可能拼成边长为3的正方形。所以拼成的正方形的边长最少是 6(见右图), 需要用题目所示的图形 36 - 3= 12 (个)。 F r I r 图2

例2能否用峠个形如匚□的卡片将左下图覆盖? 分析与解:在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题。左上图共有34个小方格,17个1X 2的卡片也有34个小方格,好象能覆盖住。我们将左上图黑白相间染色,得到右上图。细心观察会发现,右上图中黑格有16个,白格有18个,而1X 2的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格,所以17个1X 2的卡片应当盖住黑、白格各17个,不可能盖住左上图。 例3下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个4X 7的长方形(可以重复使用某些图形),那么,最多可以用上几种不同的图形? 分析与解:先从简单的情形开始考虑。显然,只用1种图形是可以的, 例如用7个(7);用2种图形也没问题,例如用1个(7),6个(1)经试验,用6种图形也可以拼成4X 7的长方形(见下图)。 能否将7种图形都用上呢?7个图形共有4X 7=28 (个)小方格,从 小方格的数量看,如果每种图形用1个,那么有可能拼成4X 7的长方形。但事实上却拼不成。为了说明,我们将4X 7的长方形黑、白相间染色(见右图),图中黑、白格各有14个。在7种图形中,除第(2)种外,每种图形都覆盖黑、白格各2个,共覆盖黑、白格各12个,还剩下黑、白格各2 个。第(2)种图形只能覆盖3个黑格1个白格或3个白格1个黑格, 因此不可能覆盖住另6种图形覆盖后剩下的2个黑格2个白格。

六年级奥数圆与扇形完整版

圆与扇形 考点、热点回顾 五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题,这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。 圆的周长、面积计算公式: c d π=或2c r π= 2s r π= 半圆的周长、面积计算公式: c r d π=+ 212 s r π= 扇形的周长、面积: 2360a c d r π= + 2360 a s r π= 如无特殊说明,圆周率都取π=3.14。 典型例题: 例1、如下图所示,200米赛跑的起点和终点都在直跑道上,中间的弯道是一个半圆。已知 每条跑道宽1.22米,那么外道的起点在内道起点前面多少米?(精确到0.01米) 分析与解:半径越大,周长越长,所以外道的弯道比内道的弯道长,要保证内、外道的人跑的距离相等,外道的起点就要向前移,移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道,然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。

设外弯道中心线的半径为R,内弯道中心线的半径为r,则两个弯道的长度之差为 πR-πr=π(R-r)=3.14×1.22≈3.83(米)。 即外道的起点在内道起点前面3.83米。 例2、有七根直径5厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如左下图),此时橡皮筋的长度是多少厘米? 分析与解:由右上图知,绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补,得到6个角的和是360°,所以BC弧所对的圆心角是60°,6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径,由此知绳长=5×6+5×3.14=45.7(厘米)。 例3 、左下图中四个圆的半径都是5厘米,求阴影部分的面积。 分析与解:直接套用公式,正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出,正方形中的空白部分是4个四分之一圆,利用五年级学过的割补法,可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同,等于一个正方形与4个半圆(即2个圆)的面积之和,为(2r)2+πr2×2=102+3.14×50≈257(厘米2)。 例4 、草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见左下图)。问:这只羊能够活动的范围有多大? 分析与解:如右上图所示,羊活动的范围可以分为A,B,C三部分,

人教版小学六年级上册数学全册教案教学设计

小学数学六年级上册数学教学计划 一、本册教材分析: 本册教材内容包括:分数乘法,位置与方向,分数除法,圆,百分数,统计,数学广角和数学实践活动等。其中分数乘法和除法,圆,百分数等是本册教材的重点教学内容;而两个数学综合应用的实践活动,则让学生进一步体会探索的乐趣和数学的实际应用,感受数学的愉悦,培养学生的数学应用意识和实践能力。 在数与代数方面,教材安排了分数乘法、分数除法、百分数三个单元。分数乘法和除法的教学是在前面学习整数、小数有关计算的基础上,培养学生分数四则运算能力以及解决有关分数的实际问题的能力。会解决简单的有关百分数的实际问题,是小学生应具备的基本数学能力。 在空间与图形方面,教材安排了位置、圆两个单元。通过丰富的现实的数学活动,让学生经历初步的数学化的过程,理解并学会用数对表示位置;初步认识研究曲线图形的基本基本方法,促进学生空间观念的进一步发展。 在统计方面教材是安排扇形统计图。进一步体会统计在生活和解决问题中的作用,发展统计观念。 在数学解决问题方面,体会解决问题策略的多样性及运用假设的方法解决问题的有效性,体会用代数方法解决问题的优越性,感受数学的魅力,发展学生解决问题的能力。 二、学情分析: 从我班学生整体看来,学生的基础比较薄弱,学生间的学习差距较大,我班学习优秀、反应灵活的学生有,但个别学生仍存在不能按时完成作业,自主学习的情况。教学中我也发现有些学生在数学上有困难,不过学习还是很努力的。因此,本学期的教学重点将继续放在改变学生的学习习惯上,并加强对后进生的辅导,促使这些学生的学习成绩能有所提高,为后面的总复习打下结实的基础。 三、教学目标分析: 1.理解分数乘除法的意义,掌握分数乘、除法的计算方法,比较熟练地计算简单的分数乘、除法,会进行简单的分数四则混合运算。 2.理解倒数的意义,掌握求倒数的方法。 3.理解比的意义和性质,会求比值和化简比,会解决有关比的简单实际问题 4、掌握圆的特征,会用圆规画圆;理解圆周率的意义,探索并掌握圆的周长与面积公式,能正确地计算圆的周长与面积。 5、知道圆是轴对称图形,进一步认识轴对称图形;能运用平移、轴对称和旋转设计简单的图案。 6、能在方格纸上用数对表示位置,初步体会坐标思想。 7、使学生理解百分数的意义,比较熟练地进行有关百分数的计算,能够解决有关百分数的简单实际问题。 8、认识扇形统计图,能根据需要选择合适的统计图表示数据。 9、经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程,体会数学在日常生活中的作用,初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。

六年级数学讲义圆和扇形(供参考)

4cm 4cm 13、六年级数学复习:阴影部分面积 姓名 例题选讲: 例1、求下列阴影部分的周长和面积:(结果保留2位小数) (1) (2)、求出下列图形中阴影部分的面积和周长 (3)、如图:正方形的边长为4厘米,求图中阴影部分的周长和面积。 D B 例2、已知正方形ABCD 和正方形BEFG 的边长分别为2cm 和3cm,求阴影部分的面积。

例3、如图,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为10厘米和12厘米。B、C、E在一直线上,GE 是以C为圆心,CE为半径的一条弧,联结AE、AG,求图中阴影部分的面积。 例4、如图,一个半圆与一个圆心角为45度的扇形重叠在一起,扇形的一条半径与半圆O的直径AB重合,另一条半径BC与半圆弧相交于点D。已知AB=4cm,OD和AB垂直,求阴影部分的面积。 例5、如如图,正方形的边长是12厘米,分别以四条边为直径画半圆,构成一个四叶图, 求这个四叶图的周长和面积。 例6、已知正方形ABCD的边长为4cm求出这个花瓣形状的阴影部分的面积。

cm BC AC AB CAB 2,,90===∠ 4cm 【即时检测】 1、求出下列图形中空白部分的面积。 2、 求出下列图形中阴影部分的面积 (1) (2) (3) (4)

3、求阴影部分的周长和面积(精确到0.1cm ) 4、求下图阴影部分周长与面积(单位:厘米) 【拓展题】 1、现在有四根半径为5厘米的圆柱形物件,为了方便运输,准备用绳子捆绑在一起,横截面如图所示, 如果要求物品的两端各用一根绳子绕三圈,并留出20厘米长打结,那么需要准备多长的绳子。 6cm 10cm 6

小升初数学-圆与扇形

与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题,将所求的对象进行适当的移动、分割或拼补以简化计算是常用的方法. 1.如图17-1,有8个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形,图中的黑点是这些圆的圆心.如果圆周率π取3.1416,那么花瓣图形的面积是多少平方厘米? 【分析与解】如下图,添上部分辅助线,有花瓣的面积为4个边长为2的小正方形面 积加上4个的面积减去4个的面积,即加上 31 441 42 ?-?=个半径为1的圆的面积. 所以花瓣组成的图形的面积为4×2×2+1×1×1 7π≈16+3.1416=19.1416平方厘米. 2.如图17-2,一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构,其中盘A直径为10厘米,盘B直径为40厘米,盘C直径为20厘米.问:A顺时针方向转动一周时,重物上升多少厘米?( π取3.14.)

【分析与解】 A 顺时针转一周时,C 顺时针转12周,同轴的B 也顺时针转1 2 周,从而绳索被拉动的距离等于B 的半个圆周长即π×20≈62.8,这时重物应该上升去1 2 ×62.8=31.4. 所以重物上升31.4厘米. 3.图17-3为一卷紧绕成的牛皮纸,纸卷直径为20厘米,中间有一直径为6厘米的卷轴.已知纸的厚度为0.4毫米,问:这卷纸展开后大约有多长? 【分析与解】 将这卷纸展开后,它的侧面可以近似的看成一个长方形,它的长度就等于面积除以宽.这里的宽就是纸的厚度,而面积就是一个圆环的面积. 因此 纸的长度 ()22 3.1410093.1410 3.1437143.50.040.04 ?-?-?≈ ≈==纸卷侧面积纸的厚度(厘米) 所以,这卷纸展开后大约71.4米. 4. 如图 17-4,大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的 4 15 ,是小圆面积的3 5 .如果量得小圆的半径是5厘米,那么大圆半径是多少厘米? 【分析与解】 小圆的面积为2525ππ?=,则大小圆相交部分面积为325155 ππ?=,那么 大圆的面积为422515154ππ÷=,而2251515422 =?,所以大圆半径为7.5厘米. 5.如图17-5,在18×8的方格纸上,画有1,9,9,8四个数字.那么,图中的阴影面积占整 个方格纸面积的几分之几?

六年级奥数公开课教案

奥数强化训练 1.某人到花店买花,他只有24元。本打算买6枝玫瑰和3枝百合,但钱不够, 只好买了4枝玫瑰和5枝百合,这样他还剩了 2元多钱。请你算一算,2枝玫瑰 和3枝百合哪个的价格高? 2.某校人数是三位数,平均每个班级36人。若将全校人数的百位数字与十位数字对调,则全校人数比实际少180人。该校人数最多可以达到多少人? 3.在正方形边长为10㎝中,画了两个1 4 圆,图中两个阴影部分面积相差多少?

4.梯形ABCD 中,AD=4㎝,ABD S ?=16㎝2,AED S ?比EBC S ?小24㎝2,求梯形ABCD 的面 积。 5.在梯形ABCD 中,AE ∥CD ,△B O E 比△AOD 4的面积大,且EC=25 BC ,求梯形ABCD 的面积。(单位:㎝) 6.如图,∠BOA=90°,以AO 为直径画半圆交OD 于E ,如果图中①的面积为1平方厘米,求阴影部分的面积。 7.31453×68765×987657的积,除以4的余数是多少? 。

8.444344421L 200022222除以13所得的余数是 。 9.哪些数除以7能使商与余数相同? 10.在1,2,3,…,29,30这30个自然数中,最多能取出多少个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数。 11.有一个九位数abcdefghi 的各位数字都不相同且全都不为0,并且二位数ab 可被2整除,三位数abc 可被3整除,四位数abcd 可被4整除,……依此类推,九位数abcdefghi 可被9整除.请问这个九位数abcdefghi 是多少? 12.已知正整数a 、b 之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a 、b 中较大的数是多少?

小学六年级奥数教案—11圆与扇形

小学六年级奥数教案—11圆与扇形 本教程共30讲 圆与扇形 五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题,这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。 圆的面积=πr2, 圆的周长=2πr, 本书中如无特殊说明,圆周率都取π=3.14。 例1如下图所示,200米赛跑的起点和终点都在直跑道上,中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米,那么外道的起点在内道起点前面多少米?(精确到0.01米) 分析与解:半径越大,周长越长,所以外道的弯道比内道的弯道长,要保证内、外道的人跑的距离相等,外道的起点就要向前移,移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道,然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。 设外弯道中心线的半径为R,内弯道中心线的半径为r,则两个弯道的长度之差为

πR-πr=π(R-r) =3.14×1.22≈3.83(米)。 即外道的起点在内道起点前面3.83米。 例2有七根直径5厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如左下图),此时橡皮筋的长度是多少厘米? 分析与解:由右上图知,绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补,得到6个角的和是360°,所以BC弧所对的圆心角是60°,6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径,由此知绳长=5×6+5×3.14=45.7(厘米)。 例3左下图中四个圆的半径都是5厘米,求阴影部分的面积。 分析与解:直接套用公式,正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出,正方形中的空白部分是4个四分之一圆,利用五年级学过的割补法,可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同,等于一个正方形与4个半圆(即2个圆)的面积之和,为(2r)2+πr2×2=102+3.14×50≈257(厘米2)。 例4 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见左下图)。问:这只羊能够活动的范围有多大?

五年级奥数春季班第7讲-圆与扇形进阶

第七讲圆与扇形进阶 模块一、基本图形面积求法: 方中圆:正方形面积:圆面积=4:π;圆中方:圆面积:正方形面积=π:2. 例1.(1)下图中正方形的边长为2,则①所在是弯角与②所在的弓形的面积分别是、。(π取3.14) ① ② 解:正方形的边长为2,所以正方形的面积是4,圆的半径是2,所以四分之一的圆的面积π. 所以圆角①的面积是4?π=0.86; 直角三角形的面积是2,所以弓形②的面积是π?2=1.14. (2)下图中正方形的面积为2,则①所在是弯角与②所在的弓形的面积分别是、。(π取3.14) ① ② 解:正方形的面积是2,所以扇形面积是=1.57,所以圆角①的面积是2?1.57=0.43; 2 直角三角形的面积是1,所以弓形②的面积是1.57?1=0.57. 例2.如图,已知正方形的面积是100,则阴影部分的面积和为。(结果保留π) 解:正方形的面积是100,正方形内有一个四分之一的圆,圆的半径是10,四分之一圆的面积是25π,所以阴影中的圆角的面积是100?25π, 有外面的大圆的面积是50π,阴影中小弓形的面积是大圆面积减去正方形面积的四分之一, 所以两个弓形的面积是2× 1 4×(50π?100)=25π?50, 于是阴影部分的面积=100?25π+25π?50=50. 例3.(1)如图,阴影部分的面积是多少?

三角形 ABC 的面积=30,AB 为直径的半圆的面积= 1 解:(1)阴影部分面积=长方形面积?扇形?圆角, 大长方形面积=4×6=24, 扇形是四分之一个圆,扇形面积= 1 4 ×π×16=4π, 圆角面积=正方形面积?四分之一圆=16?4π, 所以阴影部分的面积=24?4π?16+4π=8. (2)在一个边长为 6 的正方形内,分别以正方形的三条边为直径向内作三个半圆,则图中阴影部分的面积 为多少平方厘米?(π= 3.14) 解:(2)下面的阴影是半圆,上面的阴影是两个圆角,它的面积等于半个正方形的面积?半个圆的面积, 所以阴影部分的面积半个正方形的面积= 1 2 ×62=18. 例 4.如图所示,分别以直角三角形的三条边为直径做半圆,这三个半圆交出两个月牙形区域(阴影部分), 则这两个阴影面积之和为 。 B 5 12 A 13 C 解:两个阴影部分的面积之和等于三角形 ABC 面积+AB 为直径的半圆的面积+ BC 为直径的半圆的面积?AC 为直径的半圆面积。 5 25 ? π ? ( )2 = π , 2 2 8 1 1 1 3 169 BC 为直径的半圆的面积= ? π ? 62 = 18π ,AC 为直径的半圆的面积= ? π ? ( )2 = 2 2 2 8 π , 所以阴影部分面积=30+ 25 169 π + 18π - π =30. 8 8 例 5.已知三角形 ABC 是直角三角形,AC =4cm ,BC =2cm ,则阴影部分的面积为 cm 2。 (π 取 3.14) B D B A C A C

小学奥数教程之圆与扇形计算题.

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积. 圆的面积2πr =;扇形的面积2π360n r =?; 圆的周长2πr =;扇形的弧长2π360 n r =?. 一、跟曲线有关的图形元素: ①扇形:扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形,扇形是圆的一部分.我们经常说的12圆、14圆、1 6 圆等等其实都是扇形,而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几.那么一般的求法是什么呢?关键是360n . 比如:扇形的面积=所在圆的面积360n ?; 扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n ? 扇形的周长=所在圆的周长360 n ?+2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形:弓形一般不要求周长,主要求面积. 一般来说,弓形面积=扇形面积-三角形面积.(除了半圆) ③”弯角”:如图: 弯角的面积=正方形-扇形 ④”谷子”:如图: “谷子”的面积=弓形面积2? 二、常用的思想方法: ①转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的”关系”) 板块、曲线型旋转问题 【例 1】 正三角形ABC 的边长是6厘米,在一条直线上将它翻滚几次,使A 点再次落在这条直线上,那么A 点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米?如果三角形面积是15平方厘米,那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米?(结果保留π) A B B C A 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 例题精讲 圆与扇形

五年级奥数圆与扇形(二)教师版

五年级奥数圆与扇形(二)教师版 圆的面积2πr =;扇形的面积2π360n r =? ; 圆的周长2πr =;扇形的弧长2π360 n r =?. 一、跟曲线有关的图形元素: ①扇形:扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形,扇形是圆的一部 分.我们经常说的12圆、14圆、1 6 圆等等其实都是扇形,而这个几分之几表示的其实是这个 扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几.那么一般的求法是什么呢?关键是360 n . 比如:扇形的面积=所在圆的面积360n ?; 扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n ? 扇形的周长=所在圆的周长360 n ?+2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形:弓形一般不要求周长,主要求面积. 一般来说,弓形面积=扇形面积-三角形面积.(除了半圆) ③”弯角”:如图: 弯角的面积=正方形-扇形 ④”谷子”:如图: “谷子”的面积=弓形面积2? 二、常用的思想方法: ①转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的”关系”) 板块二 曲线型面积计算 【例 1】 如图,已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的 3 4 倍,则角CAB 的度数是________. 例题精讲 圆与扇形

D C B A 【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设半圆ADB 的半径为1,则半圆面积为21π π122 ?=,扇形BAC 的面积为 π42π233?=.因为扇形BAC 的面积为2π360n r ?,所以,22π π23603n ??= ,得到60n =,即角CAB 的度数是60度. 【答案】60度 【例 2】 如下图,直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7,分别以,B C 为圆心,2为半径 画圆,已知图中阴影部分的面积是17,那么角A 是多少度(π3=) 6 7 C B 【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 1 67212 ABC S =??=△, 三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=, 根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C ∠+∠??=° , 所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°. 【答案】60度 【例 3】 如图,大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的 4 15 ,是小圆面积的3 5 .如果量得小圆的半径是5厘米,那么大圆半径是多少厘米? 【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 小圆的面积为2π525π?=,则大小圆相交部分面积为3 25π15π5 ?=,那么大圆的面

(完整)小学六年级奥数教案

小学六年级奥数教案:行程问题 第一讲行程问题 走路、行车、一个物体的移动,总是要涉及到三个数量: 距离走了多远,行驶多少千米,移动了多少米等等; 速度在单位时间内(例如1小时内)行走或移动的距离; 时间行走或移动所花时间. 这三个数量之间的关系,可以用下面的公式来表示: 距离=速度×时间 很明显,只要知道其中两个数量,就马上可以求出第三个数量.从数学上说,这是一种最基本的数量关系,在小学的应用题中,这样的数量关系也是最常见的,例如 总量=每个人的数量×人数. 工作量=工作效率×时间. 因此,我们从行程问题入手,掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧,就能解其他类似的问题. 当然,行程问题有它独自的特点,在小学的应用题中,行程问题的内容最丰富多彩,饶有趣味.它不仅在小学,而且在中学数学、物理的学习中,也是一个重点内容.因此,我们非常希望大家能学好这一讲,特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧. 这一讲,用5千米/小时表示速度是每小时5千米,用3米/秒表示速度是每秒3米

一、追及与相遇 有两个人同时在行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的距离,也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快,乙走得慢,在相同时间内, 甲走的距离-乙走的距离 = 甲的速度×时间-乙的速度×时间 =(甲的速度-乙的速度)×时间. 通常,“追及问题”要考虑速度差. 例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米,小轿车和面包车同时从学校开出,沿着同一路线行驶,小轿车比面包车早10分钟到达城门,当面包车到达城门时,小轿车已离城门9千米,问学校到城门的距离是多少千米? 解:先计算,从学校开出,到面包车到达城门用了多少时间. 此时,小轿车比面包车多走了9千米,而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时,因此 所用时间=9÷6=1.5(小时). 小轿车比面包车早10分钟到达城门,面包车到达时,小轿车离城门9千米,说明小轿车的速度是 面包车速度是54-6=48(千米/小时).

六年级上册奥数试题-第8讲 圆与扇形 全国通用(含答案)

第8讲圆与扇形 知识网络 圆是所有几何图形中最完美的。当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转时一周时,它的另一端点所画成的封闭曲线叫圆(也叫圆周),O点称为这个圆的圆心。连接一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径,圆的半径通常用字母r表示。连接圆上任意两点的线段叫做圆的弦。过圆心的弦叫做圆的直径,圆的直径通常用字母d表示,显然d=2r。圆的周长(用字母C表示)与直径的比,叫做圆周率。圆周率用字母表示,它是一个无 限不循环的小数,一般取近似值3.14。圆的周长。利用等分圆周拼成近似长方 形的方法可知圆的面积。顶点在圆心的角叫做圆心角。圆周上任意两点间的部分叫 做弧。 扇形是圆的一部分,它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形。如果扇形的半径为r,弧所对圆心角的度数为n,那么弧的长度。从而扇形的周长,扇形的面积。 重点·难点 本讲的难点在于求圆或扇形与其他平面图形组成的组合图形的面积。一般这类组合图形是不规则的,很难直接用公式计算它们的面积。这时候,可以利用分、合、移、补等方法将其转化为若干个基本几何图形的组合,然后再分别计算这若干个基本图形的面积,分析整体与各部分的和、差关系,问题就会迎刃而解。 学法指导 在解圆或扇形的周长与面积等有关问题时,一般要先求出半径r,因为半径r是连接周长与面积的纽带。 经典例题 [例1]一只饥饿的猛虎紧紧地追赶着一只小狗。就在猛虎要抓住小狗的时候,小狗逃到了一个圆形的池塘边。小狗连忙纵身往水里一跳,猛虎抓了个空。猛虎舍不得这顿即将到口的美餐,于是盯住小狗,在池边跟着小狗跑动,打算在小狗爬上岸的时候再抓住它。已知猛虎奔跑的速度是小狗游水速度的2.5倍。请问:小狗如何才能逃出虎口? 思路剖析 如果小狗在圆形池塘中沿着圆周游动,那末无论它游到哪里,都会被猛虎牢牢盯死。而如果小狗跳下池塘后就沿着直径笔直往前游,那么猛虎就要跑半个圆周。由于半圆周长是直

新人教版小学六年级数学下册教案完整版

学习必备 欢迎下载 学 校:钦堂中心学校 六 年 级: 级 班 学 学 数 科: 张 国强 教师:

学习必备欢迎下载 本册教材分析 日期: _________ 这一册教材包括下面一些内容:负数、圆柱与圆锥、比例、统计、数学广角、整理和复习等。 圆柱与圆锥、比例和整理和复习是本册教材的重点教学内容。 在数与代数方面,这一册教材安排了负数和比例两个单元。结合生活实例使学生初步认识负数,了解负数在实际生活中的应用。比例的教学,使学生理解比例、正比例和反比例的概念,会解比例和用比例知识解决问题。 在空间与图形方面,这一册教材安排了圆柱与圆锥的教学,在已有知识和经验的基础上,使学生通过对圆柱、圆锥特征和有关知识的探索与学习,掌握有关圆柱表面积,圆柱、圆锥体积计算的基本方法,促进空间观念的进一步发展。 在统计方面,本册教材安排了有关数据可能产生误导的内容。通过简单事例,使学生认识到利用统计图表虽便于作出判断或预测,但如不认真分析也有可能获得不准确的信息导致错误判断或预测,明确对统计数据进行认真、客观、全面的分析的重要性。 在用数学解决问题方面,教材一方面结合圆柱与圆锥、比例、统计等知识的学习,教学用所学的知识解决生活中的简单问题;另一方面安排了“数学广角”的教学内容,引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动,经历探究“抽屉原理”的过程,体会如何对一些简单的实际问题“模型化”,从而学习用“抽屉原理”加以解决,感受数学的魅力,发展学生解决问题的能力。 本册教材根据学生所学习的数学知识和生活经验,安排了多个数学综合应用的实践活动,让学生通过小组合作的探究活动或有现实背景的活动,运用所学知

六年级奥数-圆与扇形

六年级奥数圆与扇形 知识要点:五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题,这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。 圆的面积=n r2, 圆的周长=2 n r , 扇形的面积=兀芒%為崩形的弧长= 2H r X^o dbu 本书中如无特殊说明,圆周率都取n =3.14。 例1如下图所示,200米赛跑的起点和终点都在直跑道上,中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米,那么外道的起点在内道起点前面多少米?(精确到0.01米) 例2有七 根直径5厘米的塑 料管,用一根橡皮 筋把它们勒紧成一捆(如左下图),此时橡皮筋的长度是多少厘米?45.7 例3左下图中四个圆的半径都是5厘米,求阴影部分的面积。257

例4早场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见左下图)。问:这只羊能够活动的范围有多大? 2512吊 例5右图中阴影部分的面积是2.28厘米2,求扇形的半径。4cm 例6右图中的圆是以0为圆心,半径是10厘米的圆,求阴影部分的面积。ioocm 课堂练习: 1. 直角三角形ABC放在一条直线上,斜边AC长20厘米,直角边BC长10厘米。如下图所示,三角形由位置I绕A点转动,至U达位置U,此时B,C点分别到达B, C点;再绕B点转动,到达位置川,此时A,C点分别到达A,C2 点。求C点经C到C走过的路径的长。68厘米 2. 下左图中每个小圆的半径是1厘米,阴影部分的周长是多少厘米? 62.8厘米 3. 一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上(见右上图),绳长是4米,求狗所能到的地方的总面积。43.96m2

小学六年级数学教案101页教案

小学六年级数学教案——101页教案 教学内容 教科书第98~101页例4、例5、例6,相应的做一做和练习二十三第1~4题. 教学目的 1.使学生理解除法各部分间的关系. 2.能够根据除法各部分间的关系对除法进行验算,会利用这种关系求未知数x. 3.培养学生初步的归纳概括能力. 4.提高学生合作、交流学习的积极性,培养学生认真检查、验算的良好习惯. 教具、学具准备 插图的放大图和有关习题的幻灯片等. 教学过程 一、复习准备 1.口算. 1255=16040= 255=404= 2.求未知数x. x6=15615x=120 3.说一说:乘法各部分间的关系是怎样的?我们是怎样学会这部分内容的?

二、导入新课 教师谈话:前面我们已经学习了乘法各部分间的关系,并能够根据乘法各部分间的关系求未知数x和解决一些实际问题,也初步学会了如何进行分析、归纳、概括的思维方法,这节课希望同学们能够通过合作、交流等方式自主学习除法各部分间的关系,并根据这些关系解决一些数学问题. 板书课题:除法各部分间的关系. 三、进行新课 (一)引导探究例4 1.出示例4的月饼图并提问:你能根据插图提出哪些问题?2.同桌的同学相互交流自己提出的问题. 3.教师组织交流并整理学生提出的问题,如: (1)题目已知什么?求什么?(已知有18个月饼和3个盒子) (2)18个月饼,准备平均放在3个盒子里,每个盒子里放多少个?怎样列式解答?183=6(个) (3)这个除法算式各部分的名称是什么? 4.分小组改编应用题并思考:把上面第(2)题改编成另外两道应用题,同时,教师提出要求:说明这道题告诉了什么?求什么?怎样求?除法算式中的被除数、除数、商分别是多少? 5.讨论交流:组织学生就本组改编的题目和对思考题的理解进行交流,教师根据学生的回答把另外两个算式板书在黑

(完整版)圆和组合图形练习题B(六年级奥数)

六年级奥数:圆和组合图形(2) 一、填空题 1.如图,阴影部分的面积是 . 2.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍.大圆的面积比小圆的面积大平方厘米. 3.在一个半径是 4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是平方厘米.(π取1平方厘米) 4.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是 (平方厘米). 5.如图所求,圆的周长是1 6.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好 相等.图中阴影部分的周长是厘米.) 14 .3 (= π 6.如图,15 1= ∠的圆的周长为62.8厘米,平行四边形的面积为100平方厘米.阴影部分的面积是 . 7.有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形 (如图).图中黑点是这些圆的圆心.如果圆周率1416 .3 = π,那么花瓣图形 的面积是平方厘米. 8.已知:ABC D是正方形, ED=DA=AF=2厘米,阴影部分的面积是 . 2 1 2 E D C B A G F

9.图中,扇形BAC 的面积是半圆ADB 的面积的3 11倍,那么, CAB ∠是 度. 10.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差(大减小)是 平方厘米.(π取3.14) 二、解答题 11.如图:阴影部分的面积是多少?四分之一大圆的半径为r . (计算时圆周率取7 22 ) 12.已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米 求阴影部分的面积. 13.有三个面积都是S 的圆放在桌上,桌面被圆覆盖的面积是2S +2, 并且重合的两块是等面积的,直线a 过两个圆心A 、B , 如果直线a . 14.如图所示,一块半径为2厘米的圆板,从平面上1的位置沿线段AB 、BC 、CD 滚到2的位置,如果AB 、BC 、C D 的长都是20厘米,那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米? 2

小学六年级奥数教案完整30讲

小学六年级奥数教案—01比较分数的大小 同学们从一开始接触数学,就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单,而比较分数的大小就不那么简单了,因此也就产生了多种多样的方法。 对于两个不同的分数,有分母相同,分子相同以及分子、分母都不相同三种情况,其中前两种情况判别大小的方法是: 分母相同的两个分数,分子大的那个分数比较大; 分子相同的两个分数,分母大的那个分数比较小。 第三种情况,即分子、分母都不同的两个分数,通常是采用通分的方法,使它们的分母相同,化为第一种情况,再比较大小。 由于要比较的分数千差万别,所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。 1.“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大,而分子的最小公倍数比较小时,可以把它们化成同分子的分数,再比较大小,这种方法比通分的方法简便。 如果我们把课本里的通分称为“通分母”,那么这里讲的方法可以称为“通分子”。 2.化为小数。 这种方法对任意的分数都适用,因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便,就要看具体情况了。 3.先约分,后比较。 有时已知分数不是最简分数,可以先约分。 4.根据倒数比较大小。 5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母(子)大的分数较大;若两个假分数的分子与分母的差相等,则分母(子)小的分数较大。也就是说,

6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况: (1)对于分数m和n,若m>k,k>n,则m>n。 (2)对于分数m和n,若m-k>n-k,则m>n。 前一个差比较小,所以m<n。 (3)对于分数m和n,若k-m<k-n,则m>n。 注意,(2)与(3)的差别在于,(2)中借助的数k小于原来的两个分数m和n;(3)中借助的数k大于原来的两个分数m和n。 (4)把两个已知分数的分母、分子分别相加,得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间,即比其中一个分数大,比另一个分数小。 利用这一点,当两个已知分数不容易比较大小,新分数与其中一个已知分数容易比较大小时,就可以借助于这个新分数。

完整word版,六年级数学上册《圆和扇形》练习

圆和扇形 一、填空。 1.在下图圆中,圆心用字母表示是(); AC是圆的(),用字母表示是(),AC=(); OB是圆的(),用字母表示是(),OB=(); 涂色部分的形状是()。 2.在同一个圆里,有()条半径,所有半径的长度() 3.圆有()条直径,在同一个圆中直径等于半径的()。 4.圆是()图形,有()条对称轴。 5.扇形是由()围成的,扇形的圆心角的顶点在() 6.圆有()条对称轴,圆所有的对称轴都相交于()。 7.下图中,圆的直径是()厘米,半径是()厘米 8. 下图中,大半圆的半径是()厘米,直径是()厘米,小半圆的半径是()厘米,直径是()厘米, 二、选择符合要求的答案,把序号填在()里。 1.下面图()中的AB是圆的直径。

2.下面图形中,第()个涂色部分是扇形。 3.一个圆有()条对称轴。 ① 1 ② 2 ③ 4 ④无数条 4.用圆规画圆时,圆规两脚间的距离是4厘米,这个圆的直径是() ① 4厘米② 2厘米③ 8厘米④ 12厘米 5.将一个圆形纸片对折3次打开,这个圆被折痕分割成()个大小相等的扇形。 ① 16 ② 8 ③ 6 ④ 4 三、判断,你认为正确的在括号里打“√”,错误的打“×”。 1.一个圆的直径是这个圆的一条对称轴。() 2.在同一个圆中,圆心到圆上任意一点的线段都是这个圆的半径。() 3.两端都在圆上的所有线段,直径最长。() 4.一个圆中两条不同对称轴的交点就是这个圆的圆心。() 5.所有圆的直径都是相等的。() 6.如果几个圆的半径相等,那么这几个圆的大小也都相等。() 7.两条半径就是一条直径.() 8.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。() 9.半圆有无数对称轴。() 10.画圆时,圆规两脚间的距离就是圆的半径。() 四.按要求画图。 1.在下面的圆上画出1条半径,1条直径,并用字母表示。测量这个圆的直径是()毫米。 2.用圆规画圆。 (1)半径2厘米的圆。(2)直径3厘米的圆。 3.先画一个圆,再在圆中画出扇形并涂上色。 4.画出下面每个图形的两条对称轴。

五年级奥数.几 何.圆与扇形综合(C级).学生版

圆与球:跨时代、跨文化的数学故事 这座完美的古代建筑,最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆 伫立在北京天坛祈年殿前,赞美之情油然而生。这座完美的古代建筑,最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆。三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿,与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映,好一片圆美世界! 圆和球还是最实用的图形。宏大如宇宙天体,微小至原子电子,飞转的车轮,滴嗒的钟表……人们的日常生活离不开圆和球,科技的进步也离不开圆和球。 简单中寓深奥。在圆与球简约的外形下,潜藏着无穷的数学奥秘。 圆周长和圆面积的计算,蕴涵着极限思想。中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”,就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发,将边数逐次加倍,并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。 古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”,早在公元前3世纪,阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。不过阿基米德最引以自豪的,是他对球体积的计算。阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱,以及一个辅助的圆锥,其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片,并用力学平衡的方法比较它们的体积,最后求得球体积的正确公式: (R 是球半径) 。阿基米德的方法可以看成是积 课前预习 圆与扇形综合

分学的先声。无独有偶,在东方,中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子祖,也是利用球和它的外切圆柱计算出正确的球体积公式。不过与阿基米德不同,祖氏父子考虑的是同一个球的两个互相垂直的外切圆柱的公共部分(刘徽最先发现该种立体并命名为“牟合方盖”),并运用欧洲学者迟至17世纪才重新发现的不可分量原理推算出这部分立体与其所含内切球的体积之比。祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工,殊途同归。 至于近代微积分的发明,圆和球也扮演了重要的角色。我们知道,在17世纪上半纪微积分酝酿时期,圆面积与圆周率π的计算,曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。牛顿之前的先行者、英国数学家沃利斯在其代表作《无穷算术》中,用插值法计算1/4圆的面积,并进而导出了无穷乘积表达式 牛顿推广沃利斯的方法而得到了指数可以是分数和负数的二项定理,二项定理在建立微积分算法中的作用是众所周知的。在解析几何的发明人笛卡儿手中,圆是他作图求解方程的基本工具。笛卡儿在《几何学》一书中提出的求曲线切线的方法甚至以“圆法”著称,而牛顿正是从研究、改善笛卡儿“圆法”开始踏上制定微积分的漫漫征途。微积分的另一位发明人莱伯尼茨也计算过圆面积及圆周率,他给出了π的无穷级数表达式 饶有意味的是,与牛顿、莱布尼茨差不多同时代的日本“算圣”关孝和,开创了独具一格的“圆理”。他所谓的“圆理”,即指与圆有关的研究,以无穷级数为基础,计算各种曲线与曲面围成的图形之面积与体积,说明当时东方的数学家们也在竭力用圆这把钥匙叩击着微积分的大门。 古希腊“数学之神”阿基米德把球体积推算视为他一生最得意的成果,曾留下遗嘱把球及其外切圆柱的图形刻在他的墓碑上。阿基米德在第二次布匿战争期间被罗马士兵杀害,据传当罗马军士冲到阿基米德身边时,这位正在思考数学问题的老人喊出的最后一句话是:“别动我的圆!” 阿基米德死后,罗马军队的主帅马塞吕斯下令为阿基米德隆重建墓,并遵照阿基米德的遗愿,在他墓前竖了一块石碑,墓碑上刻着的正是那不朽的图形—球及其外切圆柱。记载着阿基米德球体积计算的羊皮书手稿,历经千年尘封后终于重见天日,被誉为20世纪最重大的考古发现而轰动一时。 至于圆周率π的计算,这方面的成就往往被用作衡量某一时代、某一地区文化水平的标征。前面已提到的祖冲之,亦以圆周率的计算而彪炳史册。据《隋书》记载,祖冲之算出圆周率的精确值在 3.1415926与3.1415927之间,这在公元5世纪时创造了世界之最。为了纪念这位文化名人,人们把月球上的一座环形山命名为“祖冲之山”。1955年,中国还发行了祖冲之纪念邮票。祖冲之并不是仅有的出现在邮票上并与圆周率有关的数学家。伊朗曾发行过纪念阿拉伯数学家阿尔·卡西的邮票,阿尔·卡西恰恰是祖冲之之后刷新圆周率计算记录的第一人,他在公元14世纪,给出了准确到13位小数的圆周率近似值。今天,电子计算机已经将数值计算到小数点后数万亿位。然而,电子计算机的发明、使用本身离不开圆的数学。

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