高等数学专升本试卷(含答案)
高等数学专升本试卷
考试说明：
1、考试时间为150分钟；
2、满分为150分；
3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；
4、密封线左边各项要求填写清楚完整。
一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求.本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）
1函数1
arccos
2
x y +=的定义域是 （ ） .A 1x < .B ()3,1-
.C {}{}131x x x
2.极限sin 3lim
x x
x
→∞等于 ( )
.A 0 .B 1
3
.C 3 .D 1.
3.下列函数中,微分等于
1
ln dx x x
的是 ( ) .A ln x x c + .B ()ln ln y x c =+ .C 21ln 2
x c + .
D ln x
c x
+.
4.()1cos d x -=?
（ ）
.A 1cos x - .B cos x c -+
.C sin x x c -+ .D sin x c +.
5.方程22
22x y z a b
=+表示的二次曲面是（超纲，去掉） ( )
.A 椭球面
.B 圆锥面
.C 椭圆抛物面 .D 柱面.
二.填空题(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程, 本题共有10个小题，每小题4分,共40分)
1.2226
lim _______________.4x x x x →+-=-
2.设函数(),
,x e f x a x ?=?+?
00x x ≤>在点0x =处连续,则
________________a =.
3.设函数x
y xe =,则()''0__________________y =.
4.函数sin y x x =-在区间[]0,π上的最大值是_____________________.
5.sin 1_______________________.4dx π
??+= ??
?
?
6.()() ____________________________.a
a
x f x f x dx -+-=?????
7.设()() x
a x F x f t dt x a
=-?,其中()f t 是连续函数，
则()lim _________________.x a
F x +
→=
8.设32, 2a i j k b i j k =--=+-r r r r r r r r ,则____________________.a b ?=r
r
9.设()2,y
z x y =+则()0,1____________________________.
z
x ?=
?（超纲，去掉） 10.设(){},01,11,D x y x y =
≤≤-≤≤则_____________________.D
dxdy =??（超纲，去掉）
三.计算题( 本题共有10个小题，每小题6分,共60分)
1.计算0lim
.x x
x e e x
-→-
2.
设函数y =求.dy
3.计算1x
x
e dx e +?.
4.设 2 0
2sin cos t
x u du y t
?=???=??,求.dy dx
5.计算 2 .22
dx
x x +∞
-∞
++?
6. 设曲线()y f x =在原点与曲线sin y x =相切,
求n
7.求微分方程'tan 3y x y +=-满足初值条件02y π??
= ???
的特解. .
8.设(),z z x y =是由方程222
4x y z z ++=所确定的隐函数,求
.z
x
??（超纲，去掉） 9.
求D
?? ,其中区域(){}
2
222,4D x y x y π
π=≤+≤ .（超纲，去掉）
10.求幂级数21
1
13n n n x ∞
-=∑的收敛域.
四.综合题(本题有3个小题，共30分,其中第1题14分，第2题8分，第3题8分) 1.求函数21
x y x
+=
的单调区间,极值及其图形的凹凸区间.
(本题14分)
2.设()f x 在[]0,1上可导,()()00,11f f ==,且()f x 不恒等于x ,
求证：存在()0,1ξ∈使得()' 1.f ξ> (本题8分)
3.设曲线2
2y x x =-++与y 轴交于点P ,过P 点作该曲线的切线,求切线与该曲线及x 轴围成的区域绕x 轴旋转生成的旋转体的体积. (本题8分)
参考答案及评分标准
一. 选择题(每小题4分,共20分)
1.D ,
2.A ,
3.B ,
4.B ,
5.C . （超纲，去掉） 二. 填空题(每小题4分,共40分) 1.
54 , 2.1 , 3.2 , 4.0 , 5.sin 14x c π??
++ ??
? ,
6.0 ,
7.()af a ,
8.3 ,
9.2 , （超纲，去掉） 10.2 . （超纲，去掉） 三. 计算题(每小题6分,共60分)
1. 解.00lim lim 1
x x x x
x x e e e e x --→→-+= L L L L
5分
2.=
L L L L
6分
2.解.()
322
1
',1y x ==
+ L L L L 5
分
故
()
3
22
1+dx
dy x =
.
L L L L 6分
3.解.原式=(
)11x
x
d e e ++?
L L L L
3分
()ln 1.x e c =++
L L L L 6分
4.解法1.dy dy dt
dx
dx dt
=
L L L L 3分
22
2sin 2.sin t t t t -==-
L L L L 6分
解法2.因为22
sin ,2sin dx t dt dy t t dt ==-， L L L L 4
分
故
2.dy
t dx
=- L L L L 6分 5.
解
.
原
式
()()
2
111d x x +∞
-∞
+=++?
L L L L 3分
=
()tan 1arc x +∞
-∞+
L L L L 5分
=
.π
L L L L 6分
6.
解
.
由
条
件
推
得
()()'00,1 1.f f ==
L L L L 2分
于
是
()12
20lim 220
n n f f n n →∞????
- ???????=?
?-???
?
L L L L 5分
（第1页，共3页）
=
=
L L L L 6分
注：若按下述方法：
原式(
)(
)1
122
00
'lim lim 1f x f x x ++→→????
=
== ? ?????
解答者，只给4分. 7.解法1.分离变量,得到
cot ,3dy
xdx y
=-+ L L L L 2分 积分得到ln 3ln sin y x c +=-+
或 ()3 .sin c
y c x =-∈R L L L L 4分 代入初值条件02y π??
= ???,得到3c =.于是特解为
3
3.sin y x
=- L L L L
6分
解法2.由()()(),p x dx p x dx
y e q x e dx c -???
?=+????? 其中()()13
,tan tan p x q x x x ==-
，得到 ()3 .sin c y c x
=-∈R L L L L 4
分
代入初值条件02y π??
=
???,得到3c =.于是特解为 3
3.sin y x
=- L L L L
6分
8.解.方程两边对x 求偏导数,得到（超纲，去掉）
224,z z
x z x x
??+=?? L L L L 4分
故.2z x x z
?=?- L L L L 6分
9（超纲，去掉）解原式 2 2 0 sin d r rdr π
π
π
θ=
?
?
L L L L 3分
= 22
2cos cos r r rdr π
π
ππ
π??-+
???
?
? L L L L 5
分
=26.π- L L L L 6
分
10.解.由1
211
2
13
21
131lim lim
3
n n
n n n n n n
x a
x a x +++-→∞→∞
==
,可知
收敛半径R = L L L L 4
分
又当x =,
对应数项级数的一般项为级数均发散,
故该级数的收敛域为( . L L L L 6分
（第2页，共3页）
四. 综合题(第1小题14分,第2小题8分, 第3小题8分，共30分) 1.解.定义域()(),00,-∞?+∞,
()34232',",x x y y x x
++=-
= 令'0,y =得驻点12x =- , L L L L 5
分
令"0,y =得23x =- , L L L L 6
10分
函数的单调增加区间为()2,0,-单调减少区间为(),2-∞-及()0,,+∞
在2x =-处,有极小值14
-
. 其图形的凹区间为)0,3(-及()0,+∞,凸区间为(),3.-∞- L L L L 14分
2.证明.由于()f x 不恒等于x ,故存在()00,1,x ∈使得()00.f x x ≠
L L L L 2分
如果()00,f x x >根据拉格朗日定理,存在()00,,x ξ∈使得
10)0()()('f 0
00=>--=
x x x f x f ξ ， L L L L 5分
若()00,f x x <根据拉格朗日定理,存在()0,1,x ξ∈使得 ()()()00
00
11'111f f x x f x x ξ--=
>=--
.
L L L L 8分
注：在“L L 2分”后，即写“利用微分中值定理可证得，必存在ξ，使得()'1f ξ>”
者共得3分.
3.解.P 点处该曲线的切线方程为2y x =+,
且
与
x
轴的交于点
()2,0A -
L L L L 2分
曲线与x 轴的交点()1,0B -和()2,0C ,因此区域由直线PA 和AB 及曲线弧 ?PB 所围成.
L L L L 4分
该区域绕x 旋转生成的旋转体的体积
() 022 1829
2330
V x x dx πππ-=--++=?
.
L L L L 8分
注：若计算由直线PA 与AC 及曲线弧?PC
所围成L L ，从而 () 222 08136
2315
V x x dx πππ=+-++=?
者得6分.