§1 第一型曲线积分 答案

§1 第一型曲线积分

1.计算下列第一型曲线积分:

(1)

(),L x y ds +?其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形; (2) 1222

(),L x y ds +?其中L 是以原点为中心, R 为半径的右半圆周; (3) ,L xyds ?其中L 为椭圆22

221x y a b

+=在第一象限中的部分; (4)

,L y ds ?其中L 为单位圆周221;x y += (5) 222(),L x y z ds ++?

其中L 为螺旋线cos ,sin x a t y a t ==,z bt =(0t ≤≤ 2)π的一段;

(6)

,L xyzds ?其中L 曲线21,(0)2x t y z t t ===≤≤1的一段;

(7) ,L ?其中L 是2222x y z a ++=与x y =相交的圆周.

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称 性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时, 求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.

（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=

第一型曲线积分与曲面积分的一些问题

第一型曲线积分与曲面积分的一些问题 第1型曲线积分与曲面积分的1些问 题摘要本文归纳研究了第1型曲线积分与曲面积分的物理背景，定义，性质及计算方法，并在此基础上给出了它们在特殊坐标变换下的计算公式及证明。并且利用这个公式，推导出了当第1型曲线积分或曲面积分的被积函数为奇函数或偶函数，积分曲线或曲面是对称的时的几个重要的推论及证明。关键字：第1型曲线积分与曲面积分；坐标变换；奇偶性；对称性。 Some questions about curve integral and surface integral of the first kind A bstract In this article we induce and study the physical background ,definition, quality ,and calculating method of the curve and surface integral of the first kind ,and at the base of these , calculate formula and providence was proposed in the special coordinate transformation. Using this formula ,we get several important inference and prove that when the curve and surface integral of the first kin d’s integrand is odd function or even function and the integral curve or surface is symmetry.Key word: Curve integral and surface integral of the first kind; coordinate transformation; odevity; symmetry

空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法 (1)曲线积分的计算例1 计算，其中为平面被三个坐标平面所截三角形的边界，若从轴正向看去，定向为逆时针方向．方法一根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数．解法一：设，则，，，则．由曲线积分的定义，有．同理可得： ．所以．方法二将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系．解法二：设，，则，是围成的区域．代入原积分由格林公式得原式．化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算．方法三根据对称性求曲线积分． 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮

助．我们主要在讨论单轮换对称的情形．解法三：由题目特征可知该积分及曲线都具有轮换对称性，因此由对称性知原式．同样由对称性知原式．方法四根据公式求曲线积分 公式建立了空间曲线积分和曲面积分之间的联系，从而将曲线积分和曲面积分有机联系起来． 解法四: 设，方向为上侧，曲面上一点的外法线向量的方向余弦为由公式化为第一型曲面积分得原式．为解法一中所设的点组成的三角形．另解: 根据上面解法中所设，并设为在面上的投影．用公式化为第二型曲面积分得原式 ．用公式将曲线积分化为曲面积分时，若曲面为平面化为第一型曲面积分较简单．

曲线积分与曲面积分备课教案

第十章曲线积分与曲面积分 一、教学目标及基本要求： 1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。 5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。 二、教学内容及学时分配： 第一节对弧长的曲线积分2学时 第二节对坐标的曲线积分2学时 第三节格林公式及其应用4学时 第四节对面积的曲面积分2学时 第五节对坐标的曲面积分2学时 第六节高斯公式通量与散度2学时 第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时 三、教学内容的重点及难点： 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用 五、思考题与习题 第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5 第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数） 第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7 第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8 第五节习题10-5 167页：3（单数）、4 第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数） 第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4 第一节对弧长的曲线积分 一、内容要点 由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量

第二十章曲线积分

第二十章曲线积分 教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。 教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。 教学时数：6学时 § 1 第一型曲线积分 一. 第一型线积分的定义: 1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量 2.曲线的质量: 3.第一型曲线积分的定义: 定义及记法.线积分,. 4.第一型线积分的性质: P198 二. 第一型线积分的计算: 1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 . Th20.1 设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数 . 则 . ( 证 ) P199 若曲线方程为: , 则 .

的方程为时有类似的公式. 例1 设是半圆周, . . P200例1 例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分. P200例2 空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线 ,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有 . 例3计算积分, 其中是球面被平面 截得的圆周 . P201例3 解由对称性知 , , =. ( 注意是大圆 ) § 2 第二型曲线积分 一.第二型曲线积分的定义: 1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功: 先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得

, 即. 2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ). 设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量为, ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量. , 因此 , . 由, 得 . 于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为 . 3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义 , 有 力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为

数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)

第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分 一、第一型曲线积分的定义 引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量. 当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i n i i P f ?Ω∑=1)(. 当对Ω有分割越来越细密(即d=i n i ?Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是 该物体的质量. 定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i n i s ?≤≤1max ，在L i 上任取一点 (ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i n i i i T s f ?∑=→1 ),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：?L ds y x f ),(. 注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类

似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分?L ds z y x f ),,(. 性质：1、若?L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则 ?∑=L k i i i ds y x f c 1 ),(=∑?=k i L i i ds y x f c 1 ),(. 2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且?i L ds y x f ),((i=1,2,…,k) 都存在，则?L ds y x f ),(也存在，且?L ds y x f ),(=∑?=k i L i i ds y x f 1 ),(. 3、若?L ds y x f ),(与?L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则 ? L ds y x f ),(≤?L ds y x g ),(. 4、若?L ds y x f ),(存在，则?L ds y x f ),(也存在，且?L ds y x f ),(≤?L ds y x f ),(. 5、若?L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得?L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L ≤c ≤),(sup y x f L . 6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是 ? L ds y x f ),(. 二、第一型曲线积分的计算 定理20.1：设有光滑曲线L:?? ?==) () (t y t x ψ?, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L 上的连续函数，则?L ds y x f ),(=?'+'β αψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =?='+'i i t t dt t t 1 )()(22ψ?. 由)()(22t t ψ?'+'的连续性与积分中值定理，有

第一类曲线积分的计算

第一类曲线积分的计算 1、定义 定义1 ：设L 为平面上可求长度的曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段)n ,,2,1i (L i ，i L 的弧长记为i s ，分割T 的细度为i n i 1s max T ，在i L 上任取一点(i , ).n ,,2,1i )(i 若存在极限J s ),(f lim i i n 1 i i 0T 且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关，则称此极限为)y ,x (f 在L 上的第一型曲线积分，记作 .ds )y ,x (f L （1） 定义2： 若L 为空间可求长曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数，则可类似地 定义)z ,y ,x (f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为J s ),,(f lim i i i n 1 i i 0T ， (此处i s 为i L 的弧长,i n i 1s max T , J 为一常数),并且记作 L .ds )z ,y ,x (f （2） 2、物理意义 （1）设某物体的密度函数f （P ）是定义在 上的连续函数．当 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i （i=1，2，…，n)，并在每一个i 上任取一点P i 由于f （P ）为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时，每一小段i 的质量可近似地等于f （P i ） i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和式 i n 1 i i )P (f

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词： 曲面积分；曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分 例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线y=22ax x -到点o （0，0） 的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()11sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ， 则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0

曲线积分与曲面积分复习

第8章 曲线积分与曲面积分 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分 概念与形式 恒力沿直线方向做功 → →→ → ?=?=l F l F w θcos |||| 变力沿曲线运动?取微元 Qdy Pdx ds F dw +=?=→ ||，则?+ += L Qdy Pdx W 。 平面曲线?+ +L Qdy Pdx ，空间曲线?+ ++L Rdz Qdy Pdx ，性质??- +=L L 一、计算方法 1．设参数，化定积分 ?L dx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{10 ? '+' 2．平面闭曲线上积分－用格林公式 ???+=???? ? ???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ?上有连续一阶偏导数。 ~ 3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关 ),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ?上连续。下列四个命题等价 （1）? +C Qdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C . （2） ?+L Qdy Pdx 积分与路径无关 （3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+B A L L u du Qdy Pdx |==+??? （4）x Q y P ??=?? 在D 内恒成立. 常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题 1．基础题目，设参数，化定积分 , （1） 计算? -=L ydx xdy I ，: L 如图ABCDEA 解 （1）设参数法 ?∑? ==L i L i 5 1 于1L 上 设t x cos =，t y sin = ?? -= +=-0 2 222 )sin (cos 1 ππ dt t t ydx xdy L 于2L 上 设t x cos =，t y sin 2= ?? =?+?=-20 )sin sin 2cos 2(cos 2 π πdt t t t t ydx xdy L 于3L 上 以x 为参数，xdx dy 2-=

第一型曲线积分

第一型曲线积分 标准式： dt t r t r f ds f ??'=Γ β α )()( 算法：参数法 1.求出Γ的一个向量参数方程)(t r r = 2.计算弧元dt t r ds )( '= 3.计算定积分dt t r t r f ?'β α )()( 特别地： 显示方程 )(x y ?= xoy 平面的圆的参数方程???==θ θ cos sin a y a x 为参数θ 第二型曲线积分 标准式： dt t r t r F p d p F ?? '?= ?Γ β α )()()(

其中),,(R Q P F = 符号按参数增加的方向积分为正 算法： 一．参数法 dt t z t y t x t r R t r Q t r P dz R Qdy Pdx p d p F ))(),(),(())(),(),(()('''?= ++= ???? Γ Γ β α 二．Green 公式（二维） （封闭曲线的积分 转化到 所围成曲面的积分即二重积分） dxdy y P x Q Qdy Pdx ???Ω ?Ω ??- ??= +)( （定向：一个人沿着Ω?走的正方向行进时，区域Ω总在这个人的左边） 三．Stokes 公式（三维） （封闭曲线的积分 转化到 封闭的曲面的积分 封闭的曲面即有所围区域体即二重积分之和） ?? ?∑ ∑ ??????= ++R Q P z y x dxdy dzdx dydz dz R Qdy Pdx 应用：求曲面面积 ??????= - =-= D D D xdy dx y ydx xdy D 2 1)(σ 第一型曲面积分 标准式：（1）dudv r r r f fd v u ? ?? ∑ ? ?= σ

空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法. (1)曲线积分的计算 例1 计算222222()()()C I y z dx z x dy x y dz =-+-+-?，其中C 为平面 1=++z y x 被三个坐标平面所截三角形的边界，若从x 轴正向看去，定向为逆时针方向． 方法一 根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算 根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数． 解法一：设(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D ，则0,1:==+z y x ，:1,0BD y z x +==，:1,0DA x z y +==，则:C AB BD DA ++．由曲线积分的定义，有 dz y x dy x z dx z y AB )()()(222222-+-+-? 32])1[(0122-=+-= ?dx x x ． 同理可得： 222222()()()BD y z dx z x dy x y dz -+-+-? 2222222()()()3 DA y z dx z x dy x y dz =-+-+-=-?． 所以 2AB BD DA I =++=-???． 方法二 将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系． 解法二：设)0,0,0(O ，OA BO AB L ++:1，则dy dx dz y x z --=--=,1，D 是1L 围成的区域．代入原积分由格林公式得 原式))((])1[(])1([2222221dy dx y x dy x y x dx y x y L ---+---+---=? ??-=-=D dxdy 24． 化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算． 方法三 根据对称性求曲线积分． 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮助．我们主要在讨论单轮换对称的情形． 解法三：由题目特征可知该积分及曲线C 都具有轮换对称性，因此由对称性知 原式dz y x dy x z dx z y )()()(3222222-+-+-=?

习题十八 第一型曲线积分

习题十八 第一型曲线积分 一、填空题 1、 设曲线L 是由) 10(1:),10(0:),10(0:321≤≤=+≤≤=≤≤=x y x L x y L y x L 所围成的平面图形的边界，函数),(y x f 在上连续，则将ds y x f L ),(? 化为定积分 计算时， = ? 1 ),(L ds y x f ? 1 ),0(dy y f ， = ? 2 ),(L ds y x f ? 1 )0,(dx x f ， =? 3 ),(L ds y x f ? -1 2)1,(dx x x f ， =? L ds y x f ),( ??? -++1 1 1 2)1,()0,(),0(dx x x f dx x f dy y f 。 2、 设曲线L 的方程为21x y -=，函数),(y x f 在L 上连续，现将曲线积分 ? L ds y x f ),(化为定积分进行计算，则当取x 为参数时， ? = L ds y x f ),(? ---1 1 2 21) 1,(x dx x x f ，而当取y 为参数时， ? =L ds y x f ),( ?--+--1 2 2 21)],1(),1([y dy y y f y y f 3、设曲线L 的方程为24x y -= （)20≤≤x ，则曲线L 以极角为参数的参数方程 ? ? ?≤≤==20,sin 2,cos 2π t t y t x ，用极坐标计算弧长的曲线积分时，? = L ds y x f ),(? 2 )s i n 2,c o s 2(2π dt t t f 。 （其中),(y x f 在L 上连续）。 4、设曲线Γ的直角坐标方程是???==++13 222z z y x ，则Γ用柱面坐标中的θ为参数的参 数方程为π20,1,sin 2, cos 2≤≤?? ? ??===t z t y t x ，并利用它计算曲线积分 ? Γ =ds z y x f ),,( ? ?π 20 2)1,sin 2,cos 2(dt t t f ，（其中f 在Γ上连续）。 二、计算曲线积分? L xds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2 x y =所围成的区域的边界。

计算第一型曲线积分

1. 计算第一型曲线积分: (1)?+L ds y x )(,其中L 是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形 分析：先将L 分段表示，在利用第一型曲线积分的性质。 L=OA+AB+BO ，又 OA ：010 x x x y =?≤≤?=? AB ：011x x x y x =?≤≤?=-? BO ：001x y y y =?≤≤? =? 解：?+L ds y x )(=?+OA ds y x )(+?+AB ds y x )(+?+BO ds y x )( = .212101010+=++???dy y dx dx x (2)?+L ds y x 2 122)(,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周; 分析：是以原点为中心,R 为半径的右半圆周的参数方程为： )22.(sin ,cos πθπθθ≤≤- ==R y R x 解：?+L ds y x 2122)(=.2222R d R πθπ π=?- .(3)?L xyds , 其中L 为椭圆122 22=+b y a x 在第一象限中的部分; 分析：先将椭圆122 22=+b y a x 在第一象限中的部分表示为: 0y x a =≤≤ 解：因为,,2222x a bx y x a a b y --='-= 从而 ?L xyds =dx y x a x a b a 2220)(1'+-? =dx x a a x b x a x a b a ) (122222220-+-? =?+-a dx x a b x a a b 02222 222

=?--a dx x b a a a b 0222242)(2 =) (3)(22b a b ab a ab +++. 此题也可将椭圆122 22=+b y a x 在第一象限中的部分表示为参数方程：cos 0sin 2x a y b θπθθ =?≤≤?=? (4) ?L ds y ,其中L 为单位圆周122=+y x ; 解：由于单位圆的参数方程为:cos ,sin (02)x y θθθπ==≤≤,从而 ? L ds y =4sin sin 20=-??πππθθθθd d . (5) ?++L ds z y x )(222,其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段; 解： ?++L ds z y x )(222=222222222202)43(3 2)(b a b a dt b a t b a ++=++?πππ. (6) ?L xyzds ,其中L 是曲线)10(2 1,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段; 解：?L xyzds =dt t t t t t 223102121232++??? = .143216)1(32102/9=+??dt t t (7)ds z y L ?+222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆. 分析：2222a z y x =++与y x =相交的圆? ??=+=2222a z y y x 的 其参数方程为)20(,cos ,sin 2 π≤≤===t t a z t a y x 解：ds z y L ?+222=.2cos sin 2202222ππ a dt t a t a a =+? 注意：计算第一型曲线积分的关键是将L 的表达式正确的给出来。 2. 求曲线)0,10(21,,2>≤≤===a t at z at y a x 的质量,设其线密度为a z 2=ρ. 分析：根据第一型曲线积分的物理意义L M ds ρ=?

21.1第一类曲线积分的计算

§21.1 第一类曲线积分的计算 1.定义 定积分研究的是定义在直线段上函数的积分．本节将研究定义在平面曲线或空间曲线段上函数的积分． 定义 1 设L 为平面上可求长度的曲线段，),(y x f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段),,2,1(n i L i =，i L 的弧长记为i s ?，分割T 的细度为i n i s T ?=≤≤1max ，在i L 上任取一点(i ξ,).,,2,1)(n i i =η若存在极限 J s f i i n i i T =?∑=→),(lim 1 ηξ 且J 的值与分割T 及点),(i i ηξ的取法无关，则称此极限为),(y x f 在L 上的第一型曲线积分，记作 .),(ds y x f L ? （1） 定义 2 若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似地定义 ),,(z y x f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为J s f i i i n i i T =?∑=→),,(lim 1 ζηξ，(此处i s ?为 i L 的弧长,i n i s T ?=≤≤1max , J 为一常数),并且记作 ? L ds z y x f .),,( （2） 2.物理意义 1) 设某物体的密度函数f （P ）是定义在Ω上的连续函数．当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量， 现在研究当Ω是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对Ω作分割,把Ω分成n 个可求长度的小曲线段i Ω（i=1，2，…，n)，并在每一个i Ω上任取一点P i 由于f （P ）为Ω上的连续函数,故当i Ω的弧长都很小时，每一小段i Ω的质量可近似地等于f （P i ）?i Ω,其中?i Ω为小曲线段i Ω的长度.于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式 i n i i P f ?Ω∑=)(1 当对Ω的分割越来越细密(即0max 1→?Ω=≤≤i n i d )时,上述和式的极限就应是该物体的 质量．

第一型曲线积分

第二十章 曲线积分 §1 第一型曲线积分 教学目的： 掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式 教学重点： 第一型曲线积分的计算. 教学难点： 第一型曲线积分的计算公式. 教学过程 一、引言 金属曲线的质量问题 设有一根有限的金属曲线C ,其线密度是不均匀的,在C 上的点(x,y)处的密度为(,)p x y ,试问该曲线的质量是多少? 用微分分析来处理之,若p 均匀,则好处理: m=p(C). a) 分割:设曲线C 端点为A,B,从A 到B 依次插入121,, ,n A A A -,这样曲线C 就分成了一些小弧段.把1i i A A -（0,n A A A B ==）的弧长记为 ,1,2, ,i S i n ?=,在每一小弧段数1i i A A -上都任取一点(,)i i p ξη.显然, 当i S ?很小时, 1i i A A -的质量mi 近似等于(,)i i i p S ξη?.从而整个金属曲线C 的质量m: b) 作和: m=∑=m i m 1 i ∑=≈m i i i p 1 ),(ηξSi ? c) 取极限:令s=max Si ?,则 m=lim ∑=n i i i p 1),(ηξSi ? 上式右端还是分割,作和,取极限,这意外着我们已经达到一种类型的积分,这种积分就是第一类曲线积分. 抽去上述问题的实际背景,并把它推广到[]中就有下面的定义: 二、第一型曲线积分的概念与性质 （一）、第一类曲线积分的定义 定义 设L 为平面上可求长度的曲线段，()y x f ,为定义在L 上的函数．对曲

线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段i L （n i ,,2,1 =），i L 的弧 长记为i s ?，分割T 的细度为i n i s T ?=≤≤1m a x ，在i L 上任取一点()i i ηξ,（n i ,,2,1 =）．若有极限 ()∑=→?n i i i i T s f 1 ,lim ηξ=J ， 且J 的值与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关，则称此极限为()y x f ,在L 上的第一型曲线积分，记作 ()ds y x f L ?,． （二）、第一型曲线积分的性质 （1）若()ds y x f L i ?,（n i ,,2,1 =）都存在，i c （n i ,,2,1 =），为常数，则 ()ds y x f c L n i i i ?∑=1 ,= ()ds y x f c n i L i i ∑?=1 ,. （2）若曲线段L 由曲线21,L L …n L ，首尾相接而成，()ds y x f i L ?,都存在，则 ()ds y x f L ?,也存在，且()ds y x f L ?,= ()ds y x f n i L i ∑?=1,. （3）若()ds y x f L ?,，()ds y x g L ?,都存在，且在L 上()()y x g y x f ,,≤，则 ()ds y x f L ?,≤()ds y x g L ?,. （4）若()ds y x f L ?,存在，则()ds y x f L ?,也存在，且()ds y x f L ?,≤()ds y x f L ?,. （5）若()ds y x f L ?,存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得 ()ds y x f L ?,=c s ， 这里 ()() y x f c y x f L L ,max ,inf ≤≤. 三、第一类曲线积分的计算

第二型曲线曲面积分的计算方法

第二型曲线曲面积分的计算方法 PB07210153 刘羽 第二型曲线曲面积分与第一型曲线曲面积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线曲面积分分别可以看成是定积分与二重积分的更一般情况，其意义较易理解，计算也相对比较简单。而第二型曲线曲面积分又称为对坐标的积分，具有第一型不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，分别是变力沿曲线做功和向量场过曲面的通量，这在物理学上有重要的应用，与格林定理，斯托克斯定理，高斯定理紧密相关，是微积分中的重点和难点，以下简单介绍第二型曲线曲面积分的常用计算方法。 1．第二型曲线积分计算方法 向量场F Pi Q j Rk =++ ，τ 是曲线L 上指向指定方向的单位切向量，则称形式积分L L Pdx Qdy Rdz F dl τ++=?? 为第二型曲线积分，右端是F τ 在L 上第一型曲线积分。这里要理解τ 的方向性，dx i dl τ= 是有向曲线微元dl τ 在 Ox 轴方向投影，dx 可正可负（与定积分不同），这正是第二型曲线积分具有方向性的原因。 计算第二型曲线积分的方法主要有定义法，参数法，利用性质以及利用Green 公式和Stokes 公式。 （1）定义法 当已知或易于表达时，可考虑用定义法，一般用得较少。 （2）参数法 参数法是计算第二型曲线积分最常用的方法，将其转化为定积分，应用时要特别注意上下限的确定（根据所给的方向而不是大小）。 设有向曲线L 的参数方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t),其起点对应t=a ，终点对应t=b ，则 L P d x Q d y R d z ++?= [((),(),())'()((),(),())'()((),]b a P x t y t z t x t Q x t y t z t y t P x t y t z t z t d t ++? 计算时只要将所有量（包括微分量）用参数变量表示出来即可，不需记忆此式。 例 1 求曲线积分L ydx zdy xdz ++?，其中L 是2x y +=与 2222()x y z x y ++=+的交线，从原点看去是逆时针方向。 解：在曲线L 满足的方程组中消去y 并化简得222(1)2x z -+=，可知L 在Ozx 平面上的投影曲线是椭圆222(1)2x z -+=，注意到坐标原点在平面2x y +=的

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W .

大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所 走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ,那么()y x F , =()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P ),(),(+=由于 ),,(), ,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴 方向上的投影分别为11---=?-=?i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ??从而 力()y x F , 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ?≈),(i F ηξ i i M M L 1- = ()i i P ηξ,i x ?+()i i Q ηξ,i y ? 其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F , 沿L 所作的功可近 似等于 i W =∑=n i i W 1 i n i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1 1 ),(),(ηη当0→T 时,右端积分 和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分. 第二型曲线积分的定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为