第二十章曲线积分

第二十章曲线积分

教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。

教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。

教学时数：6学时

§ 1 第一型曲线积分

一. 第一型线积分的定义:

1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量

2.曲线的质量:

3.第一型曲线积分的定义: 定义及记法.线积分,.

4.第一型线积分的性质: P198

二. 第一型线积分的计算:

1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 .

Th20.1 设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数 . 则

. ( 证 ) P199 若曲线方程为: , 则

.

的方程为时有类似的公式.

例1 设是半圆周, .

. P200例1

例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分. P200例2

空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线

,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有

.

例3计算积分, 其中是球面被平面

截得的圆周 . P201例3

解由对称性知 , ,

=. ( 注意是大圆 )

§ 2 第二型曲线积分

一.第二型曲线积分的定义:

1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功:

先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得

, 即.

2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).

设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量为, ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方

向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量.

,

因此 ,

.

由, 得

.

于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为

.

3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义 , 有

力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为

.

流速场在单位时间内通过曲线AB从左侧到

右侧的总流量E为.

第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有

,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.

可类似地考虑空间力场沿空间曲线AB所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分

.

4. 第二型曲线积分的性质:

第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.

二. 第二型曲线积分的计算:

曲线的自然方向: 设曲线L由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.

设L为光滑或按段光滑曲线 , L : .

A , B; 函数和在L上连续, 则沿L的自然方向( 即从点A到点B的方向)有

. (证略) 例1 计算积分, L的两个端点为A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点A到点B或闭合, 路径为

ⅰ> 直线段AB

ⅱ> 抛物线;

ⅲ> A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ), 折线闭合路径 . P205例1

例2计算积分, 这里L :

ⅰ> 沿抛物线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );

ⅱ> 沿直线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );

ⅲ> 沿折线闭合路径O(0,0) A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). P205例1

例3 计算第二型曲线积分I = , 其中L是螺旋线, 从到的一段 . P207例3 例4 求在力场作用下,

ⅰ> 质点由点A 沿螺旋线到点B所作的功, 其中L : , .

ⅱ> 质点由点A沿直线L到点B所作的功 P207例4

高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答(可编辑修改word版)

1 2 1 2 2 5 L L ? ? ? 第十章曲线积分与曲面积分习题简答 习题 10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1） I = ? L xds ，其中 L 是圆 x 2 + y 2 = 1中 A (0,1) 到 B ( , - ) 之间的一段劣弧； 解: (1 + ) ． （2） ? L (x + y +1)ds ，其中 L 是顶点为O (0, 0), A (1, 0) 及 B (0,1) 所成三角形的边界； 解: ?L (x - y + 1)ds = 3 + 2 ． （3） ? x 2 + y 2 ds ，其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = x ； 解: ? x 2 + y 2 ds = 2 ． （4） x 2 yzds ，其中 L 为折线段 ABCD ，这里 A (0, 0, 0) ， B (0, 0, 2), C (1, 0, 2), L D (1, 2, 3) ； 解: ? L x 2 yzds = 8 ． 3 z B (0, 0, 2) D (1, 2,3) C (1, 0, 2) 2 求八分之一球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) 的边界曲线的重心，设曲线的密 度 = 1 。 解 故所求重心坐标为? 4 , 4 , 4 ? ． A (0, 0, 0) y x 3 3 3? 习题 10—2 1 设 L 为 xOy 面内一直线 y = b （ b 为常数），证明 1 2 y A C o x B

? ? ?L x - y + z = 2 , ? 证明：略. 2 计算下列对坐标的曲线积分： ?L Q (x , y )dy = 0 。 （1） ? L xydx ，其中 L 为抛物线 y = x 上从点 A (1, -1) 到点 B (1,1) 的一段弧。 2 4 解 : ? L xydx = 5 。 （2） (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy ，其中 L 是曲线 y = 1 - 1 - x 从对应于 x = 0 时的点到 L x = 2 时的点的一段弧； 解 (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy = 4 ． L 3 （3） ? L ydx + xdy , L 是从点 A (-a , 0) 沿上半圆周 x 2 + y 2 = a 2 到点 B (a , 0) 的一段弧； 解 ?L ydx + xdy = 0. （4） xy 2dy - x 2 ydx ，其中 L 沿右半圆 x 2 + y 2 = a 2 以点 A (0, a ) 为起点，经过点C (a , 0) L 到终点 B (0, -a ) 的路径； 解 ?L xy 2dy - x 2 ydx = -a 4 。 4 （5） ? L x dx + 3zy dy - x ydz ，其中 L 为从点 A (3, 2,1) 到点 B (0, 0, 0) 的直线段 AB ； 3 2 2 0 3 87 解 ? x 3dx + 3zy 2dy - x 2 ydz = 87? t dt = - 。 L 1 4 ?x 2 + y 2 = 1 , （6） I = (z - y )dx + (x - z )dy + (x - y )dz ， L 为椭圆周? 且从 z 轴 ? 正方向看去， L 取顺时针方向。 解: = -2 。 习题 10—3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.

（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=

第十章(第三部分)曲线积分习题解答

第十章 曲线积分与曲面积分 （第三部分）曲线积分习题解答 一、对弧长的曲线积分 1．计算? = L yds I ，其中L 为摆线)cos 1( ),sin (t a y t t a x -=-=的一拱 )20 ,0(π≤≤>t a ． 解 由于? ??-=-=)c o s 1()s i n (:t a y t t a x L , )20 (π≤≤t ；而 dt t a dt y x ds 2 1 2 2)cos 1(2-='+'=，)20 (π≤≤t 故 ? ? π -?-= = 2 0 2 1 )c o s 1(2)c o s 1(dt t a t a yds I L ? π =2 0 3 22 sin 4dt t a ?π= 0 32sin 8udu a ? π=2 0 32 sin 16udu a 2 2 32a = . 2．计算曲线积分? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22． 解 圆周ax y x =+22在极坐标下的方程为θ=ρc o s a )2 2(π ≤θ≤π- ，则 θ=θρ'+ρ=ad d ds 22. 故 ? +L ds y x 22 ? π π-?ρ=2 2 ads ? ππ-θ?θ=2 2 cos ad a ? πθθ=2 0 2 cos 2d a 22a =. 3． 计算?+=L y x ds e I 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内 所围成的扇形的整个边界． 解 积分曲线L 为闭曲线（如右图），可分解为321L L L L ++=，其中 )0( ,0 :1a x y OA L ≤≤==； )4 0( , :2π ≤ θ≤==a r AB L ；

空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法 (1)曲线积分的计算例1 计算，其中为平面被三个坐标平面所截三角形的边界，若从轴正向看去，定向为逆时针方向．方法一根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数．解法一：设，则，，，则．由曲线积分的定义，有．同理可得： ．所以．方法二将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系．解法二：设，，则，是围成的区域．代入原积分由格林公式得原式．化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算．方法三根据对称性求曲线积分． 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮

助．我们主要在讨论单轮换对称的情形．解法三：由题目特征可知该积分及曲线都具有轮换对称性，因此由对称性知原式．同样由对称性知原式．方法四根据公式求曲线积分 公式建立了空间曲线积分和曲面积分之间的联系，从而将曲线积分和曲面积分有机联系起来． 解法四: 设，方向为上侧，曲面上一点的外法线向量的方向余弦为由公式化为第一型曲面积分得原式．为解法一中所设的点组成的三角形．另解: 根据上面解法中所设，并设为在面上的投影．用公式化为第二型曲面积分得原式 ．用公式将曲线积分化为曲面积分时，若曲面为平面化为第一型曲面积分较简单．

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性， 参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

第十章曲线积分与-曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分 10.01 填 空 (1) 第二类曲线积分 ?Γ Rdz +Qdy +Pdx 化成第一类曲线积分是 ?Γ γ+β+α)ds Rcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为Γ上点(x,y,z)处切 向量 的方向角。 (2) 第二类曲面积分 ??∑ Rdxdy +Qdzdx +Pdydz 化成第一类曲面积分是 ??∑ γ+β+α)ds Rcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为∑上点(x,y,z)处的法 向 量的方向角 10.02 计算下列曲线积分： (1) ds y x L 22?+,其中L 为圆周 ax y x 22=+ 解： Θ L:x y ax 22+= 表示为参数方程:x =a 2a 2cos y =a 2sin +? ??? ?≤≤θθ θπ() 02 有 θ'θ-='θ θcos 2a =y ,sin 2a x x y a 4a 2''2θθ2 2 +== ) cos 1(2a =ax y x 222θ+=+ θ?θ=+∴ ?? πd 2a cos +12 a ds y x 20L 22θθ ?πd 2cos 2a 42= 202 ??? ? ?θθ-θθ=??πππ022d 2cos d 2cos 2a =-?? ? ? ??=a a 2 2 20222sin sin θπθππ (2) ?Γ zds ,其中Γ为曲线t cos t x =，t sin t x =，t z =，0t t 0≤≤ 解： ΘΓ:cos sin () x t t y t t z t t t ===??? ??≤≤0 0 ∴++=+x y z t t t t '''2 2 2 2 2

高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

第十章曲线积分与曲面积分习题简答 习题10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）L I xds = ? ，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A 到( ,)22 B -之间的一段劣弧； 解: (1)2 +． （2）(1)L x y ds ++? ?，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及 (0,1)B 所成三角形的边界； 解:(1)322L x y ds -+=+??． （3） 22L x y ds +? ?，其中L 为圆周22x y x +=； 解:22 2L x y ds +=??． （4） 2 L x yzds ? ，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C (1,2,3)D ； 解: 2 853 L x yzds =?． 2 求八分之一球面222 1(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。 解 故所求重心坐标为444,,333πππ?? ??? ． 习题10—2 1 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明 x y z (0,0,0) A (0,0,2) B (1,0,2) C (1,2,3) D x y o A B C

(,)0L Q x y dy =?。 证明：略. 2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）L xydx ? ，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。 解 : 45 L xydx = ? 。 （2） ? -++L dy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到 2=x 时的点的一段弧； 解 3 4)()( 2222= -++? L dy y x dx y x ． （3） ,L ydx xdy +? L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧； 解 0.L ydx xdy +=? （4）22L xy dy x ydx -?，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0) C a 到终点(0,)B a -的路径； 解 22L xy dy x ydx -? 44 a π =- 。 （5）3223L x dx zy dy x ydz +-? ，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ； 解 3223L x dx zy dy x ydz +-? 31 87 874 t dt ==- ?。 （6）()()()L I z y dx x z dy x y dz =-+-+-??，L 为椭圆周22 1 , 2 ,x y x y z ?+=?-+=? 且从z 轴正方向看去，L 取顺时针方向。 解: 2π=-。 习题10—3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:

最新曲线积分与曲面积分习题及答案

第十章 曲线积分与曲面积分 (A) 1．计算()?+L dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。 2．计算? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。 3．计算()?+L ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=， ()π20≤≤t 。 4．计算?+L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一 角限内所围成的扇形的整个边界。 5．计算???? ? ??+L ds y x 34 34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。 6．计算 ? +L ds y x z 2 22 ，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。 7．计算?L xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。 8．计算?-+L ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线 段AB 。 9．计算()?-+++L dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直 线。 10．计算()()?---L dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，() t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)： 11．计算()()?-++L dy x y dx y x ，其中L 是： 1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。

第十章曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分 必作习题 P158 1；2；3（1）（3）（5）（7） 必交习题 一、计算? +L y x ds e 2 2， 其中L 为圆周2 22a y x =+，直线x y =及x 轴在第一卦限内所围成的扇形的整个边界。 二、计算 ds z y x L ? ++2 221，其中L 为曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 在相应于t 从0到2的这段弧。

三、计算? +L ds y x )(，L 为以（0，0），（1，0）和（0，1）为顶点的三角形边界。 四、设物质曲线32x x y = 在点M 处的线密度μ与点M 到原点的弧长s 成正比，求该曲线从点)0,0(到)3 16 ,4(的一段弧的质量。

§2 对坐标的曲线积分 必作习题 P170 1；2；3（1）（3）（5）（7）；4（2）（4） 必交习题 一、把对坐标的曲线积分 ? +L dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分，其中L 为： 在xoy 平面内 1、 沿直线从点（0，0）到点（1，1）； 2、 沿抛物线2 x y =从点（0，0）到点（1，1）； 3、 沿上半圆周x y x 22 2=+从点（0，0）到点（1，1）。 二、计算? +--+L y x dy y x dx y x 2 2)()(，其中L 为圆周2 22a y x =+（按逆时针方向绕行）。

三、在力},,2{22z x y xy F = 的作用下，质点从)0,0,0(沿L ：?? ? ??===22t z t y t x 移至)1,2,1(， 求力F 所做的功。 四、计算曲线积分? +++L x x dy e x dx ye )()1(，其中L 为：沿21x y -=从点A(1，0） 到点B （-1，0）。

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法 赵海林 张纬纬 摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++ , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 cos .S v S v n θΦ==?? 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积.

数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)

第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分 一、第一型曲线积分的定义 引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量. 当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i n i i P f ?Ω∑=1)(. 当对Ω有分割越来越细密(即d=i n i ?Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是 该物体的质量. 定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i n i s ?≤≤1max ，在L i 上任取一点 (ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i n i i i T s f ?∑=→1 ),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：?L ds y x f ),(. 注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类

似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分?L ds z y x f ),,(. 性质：1、若?L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则 ?∑=L k i i i ds y x f c 1 ),(=∑?=k i L i i ds y x f c 1 ),(. 2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且?i L ds y x f ),((i=1,2,…,k) 都存在，则?L ds y x f ),(也存在，且?L ds y x f ),(=∑?=k i L i i ds y x f 1 ),(. 3、若?L ds y x f ),(与?L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则 ? L ds y x f ),(≤?L ds y x g ),(. 4、若?L ds y x f ),(存在，则?L ds y x f ),(也存在，且?L ds y x f ),(≤?L ds y x f ),(. 5、若?L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得?L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L ≤c ≤),(sup y x f L . 6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是 ? L ds y x f ),(. 二、第一型曲线积分的计算 定理20.1：设有光滑曲线L:?? ?==) () (t y t x ψ?, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L 上的连续函数，则?L ds y x f ),(=?'+'β αψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =?='+'i i t t dt t t 1 )()(22ψ?. 由)()(22t t ψ?'+'的连续性与积分中值定理，有

空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法. (1)曲线积分的计算 例1 计算222222()()()C I y z dx z x dy x y dz =-+-+-?，其中C 为平面 1=++z y x 被三个坐标平面所截三角形的边界，若从x 轴正向看去，定向为逆时针方向． 方法一 根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算 根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数． 解法一：设(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D ，则0,1:==+z y x ，:1,0BD y z x +==，:1,0DA x z y +==，则:C AB BD DA ++．由曲线积分的定义，有 dz y x dy x z dx z y AB )()()(222222-+-+-? 32])1[(0122-=+-= ?dx x x ． 同理可得： 222222()()()BD y z dx z x dy x y dz -+-+-? 2222222()()()3 DA y z dx z x dy x y dz =-+-+-=-?． 所以 2AB BD DA I =++=-???． 方法二 将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系． 解法二：设)0,0,0(O ，OA BO AB L ++:1，则dy dx dz y x z --=--=,1，D 是1L 围成的区域．代入原积分由格林公式得 原式))((])1[(])1([2222221dy dx y x dy x y x dx y x y L ---+---+---=? ??-=-=D dxdy 24． 化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算． 方法三 根据对称性求曲线积分． 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮助．我们主要在讨论单轮换对称的情形． 解法三：由题目特征可知该积分及曲线C 都具有轮换对称性，因此由对称性知 原式dz y x dy x z dx z y )()()(3222222-+-+-=?

第十章 曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分 一．第一型曲线积分的概念和性质 1．金属曲线的质量 设有金属曲线L （如图9－1），L 上各点的密度为二元连续函数ρ＝ρ（ｘ，ｙ），求这曲线的质量。 把L 分成n 个小弧段：Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，其中Δs i （i=1,2,…n ）也表示这些小弧段的长度。在Δs i 上任取一点（ξi ，ηi ），由于线密度函数是连续的，因此当Δs i 很小时，Δs i 的质量?m i 便可近似地表示为：?m i ≈ρ（ξi ，ηi ）Δs i ，于是整个金属曲线地质量近似于M ≈n i 1=∑ρ(ξi ，ηi )Δs i .记λ＝n i ≤≤1max {Δs i },令λ→0取上式和式的极限，得M ＝0lim →λn i 1 =∑ρ(ξi ， ηi )Δs i . 2．第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义 定义：设L 为xoy 平面内的曲线弧，),(y x f 是L 上的有界函数,把L 分成n 个小弧段: Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，其中Δs i （i=1,2,…n ）也表示第i 个小弧段的弧长. 记λ＝n i ≤≤1max {Δs i },在每 个小弧段Δs i 上任取一点（ξi ，ηi ）,作和式n i 1 =∑),(i i f ηξΔs i ,如和式极限0lim →λn i 1 =∑),(i i f ηξΔs i 存在,且极限值与L 的分法和点（ξi ，ηi ）在Δs i 上的取法无关,则称此极限值为函数?(x,y)在曲线L 上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分,记作 ? L ds y x f ),(,即 ? L i i ds f ),(ηξ=0lim →λn i 1 =∑),(i i f ηξΔs i 称),(y x f 为被积函数,L 为积分曲线弧. 注1:同前面一样,并非任一个函数),(y x f 在L 上的对弧长的曲线积分都是存在的.但若 ),(y x f 在L 上连续,则其积分是存在的.故以后在不作特别说明的情况下,总假定),(y x f 在L 上连续. 注2:显然物体M 的质量为:M=?L ds y x ),(ρ 注3:类似地,我们可定义),,(z y x f 对于空间曲线弧Γ的曲线积分: ? Γ ds z y x f ),,( =∑ =→?n i i i i i s f 1 ),,(lim ζηξλ 注4:若L 为闭曲线,则),(y x f 在L 上的对弧长的曲线积分记为?L ds y x f ),(

第一类曲线积分

§1 第一类曲线积分的计算 设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为 ()()() ()0x x t y y t t t T z z t =?? =≤≤?? =? 则 ()()()() ,,,,T l t f x y z ds f x t y t z t =??? ?。 特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ?=，()a x b ≤≤，那么有 ((,) , ()b l a f x y ds f x x ?=? ?。 例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。求22 ()l x y ds +? 。 例：设l 是曲线x y 42 =上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分l yds ?。 例：计算积分2l x ds ? ，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。 例：求()l I x y ds =+?，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。 §2 第一类曲面积分的计算 一 曲面的面积 （1）设有一曲面块S ，它的方程为 (),z f x y =。 (),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则该 曲面块的面积为 xy S σ=。 （2）若曲面的方程为 () ()() ,,,x x u v y y u v z z u v =?? =?? =?

令 222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222 v v v G x y z =++， 则该曲面块的面积为 S ∑ =。 例：求球面2 2 2 2 x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。 例：求球面2 2 2 2 x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。 二 化第一类曲面积分为二重积分 （1）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。曲面S 的方程为(),z f x y =。(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则 ()( ),,,,,xy S x y z dS x y f x y σφφ=??????。 （2）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。若曲面的方程为 () ()() ,,,x x u v y y u v z z u v =?? =?? =? 令 222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222 v v v G x y z =++， 则 ()()()( ),,,,,,,S x y z dS x u v y u v z u v φφ∑ =??????。 例：计算 ()S x y z dS ++?? ，S 是球面2222 x y z a ++=，0z ≥。 例：计算 S zdS ??，其中S 为螺旋面的一部分：

第一类曲线积分的计算

第一类曲线积分的计算 1、定义 定义1 ：设L 为平面上可求长度的曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段)n ,,2,1i (L i ，i L 的弧长记为i s ，分割T 的细度为i n i 1s max T ，在i L 上任取一点(i , ).n ,,2,1i )(i 若存在极限J s ),(f lim i i n 1 i i 0T 且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关，则称此极限为)y ,x (f 在L 上的第一型曲线积分，记作 .ds )y ,x (f L （1） 定义2： 若L 为空间可求长曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数，则可类似地 定义)z ,y ,x (f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为J s ),,(f lim i i i n 1 i i 0T ， (此处i s 为i L 的弧长,i n i 1s max T , J 为一常数),并且记作 L .ds )z ,y ,x (f （2） 2、物理意义 （1）设某物体的密度函数f （P ）是定义在 上的连续函数．当 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i （i=1，2，…，n)，并在每一个i 上任取一点P i 由于f （P ）为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时，每一小段i 的质量可近似地等于f （P i ） i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和式 i n 1 i i )P (f

第十章 曲线积分与曲面积分

(二) 线面积分的计算方法 1．曲线积分的计算 ⑴ 基本方法：曲线积分???→转化 定积分 第一类线积分：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为 (),(),x t y t ?ψ=??=? ，()t αβ≤≤,（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分） 其中(),()t t ?ψ在[,]αβ上具有一阶连续导数，且'2'2 ()()0t t ?ψ+≠，则 (,)[(),(,()L f x y ds f t t βα ?ψαβ=?=?所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧. 解 （法一）ds adt = =, 故 原式=22sin sin 333 3cos |0a t a t a t e adt ae ππππ??==?. （法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故 0y L xe ds =? 【例2】 求 ()L x y ds +?，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形(图10.1)边界. 解 ()()()()L OA AB BO x y ds x y ds x y ds x y ds +=+++++??? ?11 0001xdx ydy =++=???【例3 】求?,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=> 解 L 的极坐标方程为 cos (),22r a ds ad ππθθθθ=- ≤≤== 则222cos 2a ad a ππθθ-=?=?? 【例4】求22()L x y ds +?，其中L 是曲线(cos sin ),x a t t t =+ (sin cos ),(02,0)y a t t t t a π=-≤≤≥

第二类曲线积分典型例题解析

高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析 例1 若对任意的x ，y 有y P x Q ??≡??，设C 是有向闭曲线，则?+C y Q x P d d = ． 解：由格林公式将 y x y P x Q y y x Q x y x P D C d d )( d ),(d ),(??-??=+??? 其中D 为C l 围成的平面区域，及条件 y P x Q ??≡??知，应该填写：0 例2．_______d d =+-? y x x y l ，其中l 是延圆周1)1()1(2 2 =-+-y x 正向一周． 解：因为圆周1)1()1(2 2=-+-y x 所围圆面积D 为：π?2 1，由格林公式得： ?? ?+=+-D l y x y x x y d d )11(d d =π2，应该填写：π2 例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分? +l y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是（ ）． A ．在域D 内恒有 y Q x P ??=?? B ．在域D 内恒有y P x Q ??=?? C ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d ≠+?' l y Q x P D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分 0d d =+?' l y Q x P 解：若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则 ?+l y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x y P x Q ∈??=??? ),(,。 所以选择：B 例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的． A ．? +C y x x yx d d 332 B ．?-C y x x y d d C ． ?-C y x x xy d d 22 D ．?+C y y x yx d d 33 2 解：因为选项A 中， 23323)(,3)3(x x x x Q x y yx y P =??=??=??=??，由曲线积分与路径无关的充分必要条件知道，正确选择：A

第一型曲线积分

第一型曲线积分 标准式： dt t r t r f ds f ??'=Γ β α )()( 算法：参数法 1.求出Γ的一个向量参数方程)(t r r = 2.计算弧元dt t r ds )( '= 3.计算定积分dt t r t r f ?'β α )()( 特别地： 显示方程 )(x y ?= xoy 平面的圆的参数方程???==θ θ cos sin a y a x 为参数θ 第二型曲线积分 标准式： dt t r t r F p d p F ?? '?= ?Γ β α )()()(

其中),,(R Q P F = 符号按参数增加的方向积分为正 算法： 一．参数法 dt t z t y t x t r R t r Q t r P dz R Qdy Pdx p d p F ))(),(),(())(),(),(()('''?= ++= ???? Γ Γ β α 二．Green 公式（二维） （封闭曲线的积分 转化到 所围成曲面的积分即二重积分） dxdy y P x Q Qdy Pdx ???Ω ?Ω ??- ??= +)( （定向：一个人沿着Ω?走的正方向行进时，区域Ω总在这个人的左边） 三．Stokes 公式（三维） （封闭曲线的积分 转化到 封闭的曲面的积分 封闭的曲面即有所围区域体即二重积分之和） ?? ?∑ ∑ ??????= ++R Q P z y x dxdy dzdx dydz dz R Qdy Pdx 应用：求曲面面积 ??????= - =-= D D D xdy dx y ydx xdy D 2 1)(σ 第一型曲面积分 标准式：（1）dudv r r r f fd v u ? ?? ∑ ? ?= σ

第二类曲线积分典型例题解析

第二类曲线积分典型例 题解析 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析 例1 若对任意的x ，y 有y P x Q ??≡??，设C 是有向闭曲线，则?+C y Q x P d d = ． 解：由格林公式将 其中D 为C l 围成的平面区域，及条件y P x Q ??≡??知，应该填写：0 例2．_______d d =+-?y x x y l ，其中l 是延圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周． 解：因为圆周1)1()1(22=-+-y x 所围圆面积D 为：π?21，由格林公式得：???+=+-D l y x y x x y d d )11(d d =π2，应该填写：π2 例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分?+l y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是（ ）． A ．在域D 内恒有y Q x P ??=?? B ．在域D 内恒有y P x Q ??=?? C ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d ≠+?'l y Q x P D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d =+?' l y Q x P 解：若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则 ?+l y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x y P x Q ∈??=???),(,。 所以选择：B 例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的． A ．?+C y x x yx d d 332 B ．?-C y x x y d d C ．?-C y x x xy d d 22 D ．?+C y y x yx d d 332