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统计和概率知识点总结

统计和概率知识点总结
统计和概率知识点总结

数据的收集、整理与描述

1、全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。

2、抽样调查:调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。

3、总体:要考察的全体对象称为总体。

4、个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。

5、样本:被抽取的所有个体组成一个样本。

6、样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。

7、样本平均数:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。

8、总体平均数:总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。

9、频数:一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。

10、频率:频数与数据总数的比为频率。

11、组数和组距:在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。

数据的分析

1、平均数:一般地,如果有n 个数

,,,,21n x x x 那么,)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数,x 读作“x 拔”。

2、加权平均数:如果n 个数中,1x 出现1f 次,2x 出现2f 次,…,k x 出现k f 次

(这里n f f f k =++ 21)。那么,根据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为

n f x f x f x x k

k ++=2211,这样求得的平均数x 叫做加权平均数,其中k f f f ,,,21 叫做权。

3、中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

4、众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode )。

5、极差:组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。

6、在一组数据,,,,21n x x x 中,各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数,

叫做这组数据的方差。通常用“2s ”表示,即

])()()[(1222212x x x x x x n

s n -++-+-= 7、标准差:方差的算数平方根叫做这组数据的标准差,用“s ”表示,即

])()()[(1222212x x x x x x n

s s n -++-+-== 8、方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小,就越稳定。

概率

1、确定事件:必然发生的事件。在一定的条件下重复进行试验时,在每次试验中必然会发生的事件。P (A )=1

2、不可能发生的事件:有的事件在每次试验中都不会发生,这样的事件叫做不可能的事件。P (A )=0

3、随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不放声的事件,称为随机事件。

一般地,随机事件发生的可能性是有大小的,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

4、概率:一般地,在大量重复试验中,如果事件A 发生的频率

m

n 会稳定在某个常数p 附近,那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。

5.两种模型的概率

(1) 等可能性事件的概率:

在一次试验中,如果不确定现象的可能结果只有有限个,且每一个结果都是等可能的,求这种类型事件的概率称为等可能事件的概率型.如摸球、掷硬币、掷骰子等都属于等可能性.

在等可能事件中, 如果所有等可能的结果为n ,而其中所包含的事件A 可

能出现的结果数是m ,那么事件A 的概率P (A )=n

m . (2) 区域事件发生的概率:在与图形有关的概率问题中,概率的大小往往与面积有关,这种类型的概率称为区域型概率.在区域事件中,某一事件发生的概率等于这一事件所有可能结果组成的图形的面积除以所有可能结果组成的图形的面积.如P (小猫停留在黑砖上)=

地板砖总面积黑砖总面积. 6.确定事件概率

(1)当A是必然发生的事件时,P(A)=1

(2)当A是不可能发生的事件时,P(A)=0

7.列表法求概率

(1)、列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

(2)、列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法。

8.树状图法求概率

(1)、树状图法

就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果,求出其概率的方法叫做树状图法。

(2)、运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时,用列表法就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图法求概率。

9.利用频率估计概率

(1)、利用频率估计概率

在同样条件下,做大量的重复试验,利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数,可以估计这个事件发生的概率。

(2)、在统计学中,常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计,这样的试验称为模拟实验。

(3)、随机数

在随机事件中,需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。

概率统计知识点汇总

概率第一章 (一)概率的加减乘除运算 (二) 概率的计算 1. 古典概型的计算 2. 条件概率的计算 (三) 全概率公式与贝叶斯公式 (四) n 重伯努利试验 概率第二章 (一)随机变量分布函数 1. 分布函数的定义及性质 2. 学会用分布函数表示随机变量落入指定区域的概率 (二)离散型随机变量 1. 具体问题会求解离散型随机变量的分布列 分布列要满足的条件 2. 由分布列会求解分布函数 3. 由分布函数会求解分布列 4. 掌握三个常见的离散型随机变量 (三)连续型随机变量 1. 由分布函数会求解分布密度 2. 由分布密度会求解分布函数 3. 利用分布密度求解未知参数 4. 掌握三个常见的连续型随机变量 (四)随机变量函数的分布 1. 离散型随机变量的函数 2. 连续型随机变量的函数 概率第三章 二维随机向量 (一)联合分布函数的定义及性质 联合概率分布函数定义为____),(=y x F 联合分布函数的性质: ___),(____,),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F y F x F 用联合概率分布函数表示二维随机向量落入指定区域的概率 ____),(2121=≤<≤

概率论重要知识点总结

概率论重要知识点总结 概率论重要知识点总结 第一章随机事件及其概率 第一节基本概念 随机实验:将一切具有下面三个特点: (1)可重复性 (2)多结果性 (3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用表示。 随机事件:在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为。必然事件:在试验中必然出现的事情,记为Ω。 样本点:随机试验的每个基本结果称为样本点,记作ω.样本空间:所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集,复合事件—多点集一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算(就是集合的关系和运算)包含关系:若事件发生必然导致事件B发生,则称B 包含A,记为,则称事件A与事件B 相等,记为A=B。 事件的和:“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A 与事件B 事件的积:称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。事件的差:称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为A-B。用交并补可以表示为互斥事件:如果A,B两事件不

能同时发生,即AB=Φ,则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A+B。对立事件:称事件“A不发生”为事件A 的对立事件(逆事件),记为A 。对立事件的性质:事件运算律:设A,B,C为事件,则有: (1)交换律:AB=BA,AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC (3)分配律:A(BC)=(AB)(AC)ABAC (4)对偶律(摩根律): 第二节事件的概率 概率的公理化体系:第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域,它的面积为μ(A),则向区域上随机投掷一点,该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段,或空间中某个区域表示,则事件A 的概率仍可用上式确定,只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率:在事件B 发生的条件下,事件A 发生的概率称为条件概率,记作乘法公式: P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)全概率公式:设第五节事件的独立性两个事件的相互独立:若两事件A、B 满足P(AB)=相互独立.三个事件的相互独立:对于三个事件A、B、C,若P(AB)=相互独立三个事件的两两独立:对于三个事件A、B、C,若P(AB)=两两独立独立的性质:若A 均相互独立总结: 1.条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有密切的关系,在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色。 2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用,应

初中统计与概率知识点精编

(一)统计篇 主要知识点(三种统计图,科学计数法,近似数,有效数字,平均数,众数,中位数,普查,抽查,频数,频率,极差,方差,标准差) 一、生活中的数据(一)(七年级上册第六章)三种统计图略 二、生活中的数据(二)(七年级下册第三章) 1.科学计数法: ①一个绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示成的形式,其中,n是负整数。 ②技巧:n的绝对值等于这个数的左边第一个非零数字前面的零的个数。 ③一百万=1×106 一亿=1×108 2.近似数和有效数字:目标:取近似数,能指出近似数的有效数字。 精确数是与实际完全符合的数,近似数是与实际非常接近的数。 有时我们根据具体情况,采用四舍五入法选择一个数的近似数。 注意:用四舍五入法取近似数时,很容易将小数点末尾的零去掉,一定要注意精确到的数位(及四舍五入到的数位)。如0.73049四舍五入到千分位是0.730,注意不要去掉末尾的零。四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。 对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确的数位(即四舍五入到的数位)止,所有的数字都叫做这个数的有效数字。 三、数据的代表(八年级上册第八章) 1.平均数:目标:会求一组数据的平均数与加权平均数 我们常用平均数(算术平均数)表示一组数据的“平均水平”。 在实际问题中,一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时,往往给每个数据一个“权”,这样的平均数叫做加

权平均数。 例如;你的小测成绩是80分,期末考成绩是90分,老师要计算总的平均成绩,就按照小测40%、期末成绩60%的比例来算,所以你的平均成绩是:80×40%+90×60%=86 学校食堂吃饭,吃三碗的有χ人,吃两碗的有y 人,吃一碗的z 人。平均每人吃多少?(3×χ + 2×y + 1×z)÷(χ + y + z) 这里x、y、z分别就是权数值,“加权”就是考虑到不同变量在总体中的比例份额。 2.中位数与众数:目标:能选用适当的数表示平均水平 (1)一般地,个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 (2)平均数、中位数、众数(数据的“三个代表”)的特征: 平均数、中位数和众数都是数据的代表,它们刻画了一组数据的“平均水平”。 计算平均数时,所有数据都参加运算,它能充分地利用数据所提供的信息,因此在现实生活中较为常用,但它易受极端值的影响。 中位数的优点是计算简单,受极端值的影响较小,所以当一组数据中个别数据的变化较大时,可用中位数来描述“平均水平”,但不能充分利用所有数据的信息。 一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们尤为关心的一个量。但各个数据重复的次数大致相等时,众数往往没有特别意义。 四、数据的收集与处理(八年级下册第五章) 1.调查方式:目标:学会选择适当的调查方式。 (1)为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普查。其中要考察对象的全体称为总体,而组成总体的每一个考察对象称为个体。 (2)从总体中抽到部分个体进行调查称为抽样调查,其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本的数量称为样本容量。 2.数据的收集: 为了获得较为准确的调查结果,抽样时要注意样本的代表性和广泛性。

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数:一组数据中,出现次数最多的数。 2、平均数:①、常规平均数:12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数:从大到小或者从小到大排列,最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差:2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积:f S y d ==?距;频率=频数/总数 2、频率之和:121n f f f ++???+=;同时 121n S S S ++???+=; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数:最高小矩形底边的中点。 2、平均数: 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数:从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值。 4、方差:22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程:???y bx a =+ 其中:1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ; 2、?0:b >正相关;?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程:???y bx a =+的斜率?b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差:??i i i e y y =-(残差=真实值—预报值)。分析:?i e 越小越好; 2、残差平方和:21?()n i i i y y =-∑, 分析:①意义:越小越好; ②计算:222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度(相关指数):221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑,分析:①.(]20,1R ∈的常数; ②.越大拟合度越高; 4、相关系数 :()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析:①.[r ∈-的常数; ②.0:r >正相关;0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈;相关性一般; [0.75,1]r ∈;相关性很强; 六、独立性检验 1、2×2列联表: 2、独立性检验公式 ①.2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②.犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤

北师版小学数学总复习《统计与概率》知识点归纳

统计与概率 一统计表 (一)意义 * 把统计数据填写在一定格式的表格内,用来反映情况、说明问题,这样的表格就叫做统计表。 (二)组成部分 * 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称,单位说明和制表日期;表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。 (三)种类 * 单式统计表:只含有一个项目的统计表。 * 复式统计表:含有两个或两个以上统计项目的统计表。 * 百分数统计表:不仅表明各统计项目的具体数量,而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。 (四)制作步骤 1搜集数据 2整理数据: 要根据制表的目的和统计的内容,对数据进行分类。 3设计草表: 要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法,规定横栏、竖栏各需几格,每格长度。 4 正式制表: 把核对过的数据填入表中,并根据制表要求,用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。 二统计图 (一)意义 * 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。 (二)分类 1 条形统计图 用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少画成长短不同的直条,然后把这些直线按一定的顺序排列起来。 优点:很容易看出各种数量的多少。 注意:画条形统计图时,直条的宽窄必须相同。 取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定; 复式条形统计图中表示不同项目的直条,要用不同的线条或颜色区别开,并在制图日期下面注明图例。 制作条形统计图的一般步骤: (1)根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线。

(2)在水平射线上,适当分配条形的位置,确定直线的宽度和间隔。 (3)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少。(4)按照数据的大小画出长短不同的直条,并注明数量。 2 折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来。 优点:不但可以表示数量的多少,而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 注意:折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时,不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。 制作折线统计图的一般步骤: (1)根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线。 (2)在水平射线上,适当分配折线的位置,确定直线的宽度和间隔。 (3)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少。(4)按照数据的大小描出各点,再用线段顺次连接起来,并注明数量。 3扇形统计图 用整个圆的面积表示总数,用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。优点:很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。制扇形统计图的一般步骤:(1)先算出各部分数量占总量的百分之几。 (2)再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。(3)取适当的半径画一个圆,并按照上面算出的圆心角的度数,在圆里画出各个扇形。(4)在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数,并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。 第五章简单的统计 一统计表 (一)意义 * 把统计数据填写在一定格式的表格内,用来反映情况、说明问题,这样的表格就叫做统计表。 (二)组成部分 * 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称,单位说明和制表日期;表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。 (三)种类 * 单式统计表:只含有一个项目的统计表。 * 复式统计表:含有两个或两个以上统计项目的统计表。 * 百分数统计表:不仅表明各统计项目的具体数量,而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。 (四)制作步骤 1搜集数据 2整理数据: 要根据制表的目的和统计的内容,对数据进行分类。 3设计草表:

概率论知识点总结

概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节:1.、将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结 果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用 E表示。 在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随 机事件,简称为事件。 不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。 必然事件:在试验中必然出现的事情,记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点,记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集,复合事件—多点集 一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算,就是集合间的关系和运算。 3、定义:事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含A,记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等,记为A=B。 定义:和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A,或e∈B}。 定义:积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件,记为A∩ B或AB,用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义:差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A-B,用集合表示为 A-B={e|e∈A,e?B} 。 定义:互不相容事件或互斥事件 如果A,B两事件不能同时发生,即AB=Φ,则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。 定义6:逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件,记为ā。A与ā满足:A ∪ā= S,且Aā=Φ。

最新统计概率知识点归纳总结大全

统计概率知识点归纳总结大全 1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 4.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. 5. 掌握离散型随机变量的分布列. 6.掌握离散型随机变量的期望与方差. 7.掌握抽样方法与总体分布的估计. 8.掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )=) ()(I card A card =n m ; 等可能事件概率的计算步骤: (1) 计算一次试验的基本事件总数n ; (2) 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; (3) 依公式()m P A n =求值; (4) 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P (A +B )=P (A )+P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )+P (A )=P (A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )=P (A )·P (B ); 特例:独立重复试验的概率:P n (k )=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: ① 求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P (i x =ξ)=i P ,则称下表.

概率论知识点总结

概率论知识点总结 第一章 随机事件及其概率 第一节 基本概念 随机实验:将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用 E 表示。 随机事件:在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事件。 不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。 必然事件:在试验中必然出现的事情,记为Ω。 样本点:随机试验的每个基本结果称为样本点,记作ω. 样本空间:所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集,复合事件—多点集 一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件的关系与运算(就是集合的关系和运算) 包含关系:若事件 A 发生必然导致事件B 发生,则称B 包含A ,记为A B ?或B A ?。 相等关系:若A B ?且B A ?,则称事件A 与事件B 相等,记为A =B 。 事件的和:“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为 A ∪B 。 事件的积:称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件,记为A∩ B 或AB 。 事件的差:称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A -B 。 用交并补可以表示为B A B A =-。 互斥事件:如果A ,B 两事件不能同时发生,即AB =Φ,则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时B A ?可记为A +B 。 对立事件:称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件(逆事件),记为A 。对立事件的性质: Ω=?Φ=?B A B A ,。 事件运算律:设A ,B ,C 为事件,则有 (1)交换律:A ∪B=B ∪A ,AB=BA (2)结合律:A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC (3)分配律:A ∪(B∩C)=(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC (4)对偶律(摩根律):B A B A ?=? B A B A ?=? 第二节 事件的概率 概率的公理化体系: (1)非负性:P(A)≥0; (2)规范性:P(Ω)=1 (3)可数可加性: ????n A A A 21两两不相容时

统计与概率知识点综合梳理

统计知识梳理 一.知识框架 ???????????? ????????????????????????????????????????方差极差离散程度众数中位数平均数集中趋势数据的描述直方图频数分布表与频数分布扇形统计图 折线统计图条形统计图数据的整理抽样调查普查查)形式数据的搜集(方式:调析数据的搜集、整理与分二、概念性知识解读: 1、普查、抽样调查及相关概念 普查:为一特定目的而对 考察对象作的全面调查叫普查; 抽样调查:为一特定目的而对 考察对象作的全面调查叫抽查。 总体是指_________________________,个体是指_______ ___________; 样本是指________________________,样本的容量叫做_ __________. 2.几种常见的统计图及优缺点: ⑴条形统计图: 优点: ⑵折线统计图: 优点: ⑶扇形统计图:用整个圆代表统计项目的 ,每一统计项目分别用

圆中的 表示。扇形的大小反映部分在总体中 所占 的大小,这样的统计图叫扇形统计图。 优点: (4)频数与频率 频数: 频数。 各个小组的频数之和等于数据总数 。 (3)频率:每个小组的频数与数据总数n 的比值叫做这一小组的频率, 各小组频率之和为 . (5) ?=该项目所占的百分比 ?=?=扇形圆心角的度数4.描述一组数据的集中趋势的量有 、 、 . (1)平均数的类型与计算 ①算术平均数的计算公式 =x ②加权平均数:如果n 个数据中,1x 出现1f 次,2x 出现2f 次,……,k x 出现k f 次(这里n f f f k =+++Λ21),则)(12211k k f x f x f x n x +++= Λ ③平均数的简化计算: 当一组数据n x x x x ,,,,321Λ中各数据的数值较大,并且都与常数a 接近时, 设a x a x a x a x n ----,,,,321Λ的平均数为'x 则:a x x +='。 (2)中位数的意义、计算与注意点: 确定一组数据的中位数要先将该组数据 ,再确定数据 的 ;

概率统计知识点全面总结

知识点总结:统计与概率 I 统计 1.三大抽样 (1)基本定义: ① 总体:在统计中,所有考查对象的全体叫做全体. ② 个体:在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. ③ 样本:从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. ④ 样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量. (2)抽样方法: ①简单随机抽样:逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法:整体编号( 1~N )放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次,即可得样本容量为 n 的样本。 随机数表法:整体编号(等位数,如001、111不能是1、111) 从0~9中随机取一行一列然后初方向随机 (上、下、左、右)重复,超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样:容量大.等距,等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号,若N 无法被整除,则剔除后再分组,n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体,设为l ,则编号为l ,k+l ,2k+l ……(n-1)k ,抽出容量为n 的样本。(每组编号相同)。 ③分层抽样:总体差异明显.按所占比例抽取.等可能.=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成,经总体分成几个部分,然后按照所占比例进行抽样.抽样比为:k =n N 3.总体分布的估计: (1)一表二图: ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图: ①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据的分布,以及中位数.众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书写,相同的数据重复写。

统计和概率知识点总结

数据的收集、整理与描述 1、全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2、抽样调查:调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3、总体:要考察的全体对象称为总体。 4、个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。 5、样本:被抽取的所有个体组成一个样本。 6、样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。 7、样本平均数:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 8、总体平均数:总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。 9、频数:一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 10、频率:频数与数据总数的比为频率。 11、组数和组距:在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。 数据的分析 1、平均数:一般地,如果有n 个数,,,,21n x x x 那么,)(121n x x x n x +++= 叫 做这n 个数的平均数,x 读作“x 拔”。 2、加权平均数:如果n 个数中,1x 出现1f 次,2x 出现2f 次,…,k x 出现k f 次 (这里n f f f k =++ 21)。那么,根据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为n f x f x f x x k k ++=2211,这样求得的平均数x 叫做加权平均数,其中 k f f f ,,,21 叫做权。 3、中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 4、众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode )。 5、极差:组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P

统计初步与概率初步知识点总结

第五章 统计初步及概率初步 考点一、平均数 (3分) 1、平均数的概念 (1)平均数:一般地,如果有n 个数,,,,21n x x x 那么,)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数,x 读作“x 拔”。 (2)加权平均数:如果n 个数中,1x 出现1f 次,2x 出现2f 次,…,k x 出现k f 次(这里n f f f k =++ 21),那么,根据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++=2211,这样求得的平均数x 叫做加权平均数,其中k f f f ,,,21 叫做权。 2、平均数的计算方法 (1)定义法 当所给数据,,,,21n x x x 比较分散时,一般选用定义公式:)(121n x x x n x +++= (2)加权平均数法: 当所给数据重复出现时,一般选用加权平均数公式:n f x f x f x x k k ++=2211,其中n f f f k =++ 21。 (3)新数据法: 当所给数据都在某一常数a 的上下波动时,一般选用简化公式:a x x +='。 其中,常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数,a x x -=11',a x x -=22',…,a x x n n -='。)'''(1'21n x x x n x +++= 是新数据的平均数(通常把,,,,21n x x x 叫做原数据,,',,','21n x x x 叫做新数据)。 考点二、统计学中的几个基本概念 (4分) 1、总体 所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体 总体中每一个考察对象叫做个体。 3、样本 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本容量 样本中个体的数目叫做样本容量。 5、样本平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 6、总体平均数 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。 考点三、众数、中位数 (3~5分) 1、众数 在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 2、中位数 将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 考点四、方差 (3分)

初中数学统计与概率知识点精炼

统计与概率 一、统计的基础知识 1、统计调查的两种基本形式: 普查:对调查对象的全体进行调查; 抽样调查:对调查对象的部分进行调查; 总体:所要考察对象的全体; 个体:总体中每一个考察的对象; 样本:从总体中所抽取的一部分个体; 样本容量:样本中个体的数目(不带单位); 平均数:对于n 个数12,,,n x x x ,我们把121()n x x x n +++ 叫做这n 个数的平均数; 中位数:几个数据按大小顺序排列时,处于最中间的一个数据(或是最中间两个数据的平均数)叫做中位数; 众数:一组数据中出现次数最多的那个数据; 方差:2222121()()()n S x x x x x x n ??=-+-++-?? ,其中n 为样本容量,x 为样本平均数; 标准差:S ,即方差的算术平方根; 极差:一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差; 频数:将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数; 频率:每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率; ★ 频数和频率的基本关系式:频率 = —————— 各小组频数的总和等于样本容量,各小组频率的总和等于1; 扇形统计图:圆表示总体,扇形表示部分,统计图反映部分占总体的百分比,每个扇形的圆心角度数=360°× 该部分占总体的百分比; 会填写频数分布表,会补全频数分布直方图、频数折线图; 频数 样本容量 各 基 础 统 计 量 频 数 的 分 布 与 应 用 2、 3、

二、概率的基础知识 必然事件:一定条件下必然会发生的事件; 不可能事件:一定条件下必然不会发生的事件; 2、不确定事件(随机事件):在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件; 3、概率:某件事情A 发生的可能性称为这件事情的概率,记为P(A); P (必然事件)=1,P(不可能事件)=0,0<P(不确定事件)<1; ★概率计算方法: P(A) = ———————————————— 例如 注:对于两种情况时,需注意第二种情况可能发生的结果总数 例:①袋子中有形状、大小相同的红球3个,白球2个,取出一个球后再取出一个球,求两个球都是白球的概率;P = 1 10 ②袋子中有形状、大小相同的红球3个,白球2个,取出一个球后放回 ..,再取出一个球,求两个球都是白球的概率;P = 4 25 1、确定事件 事件A发生的可能结果总数 所有事件可能发生的结果总数 运用列举法(常用树状图)计算简单事件发生的概率 …………

统计和概率知识点总结

数据的收集、整理与描述 1、全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2、抽样调查:调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3、总体:要考察的全体对象称为总体。 4、个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。 5、样本:被抽取的所有个体组成一个样本。 6、样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。 7、样本平均数:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 8、总体平均数:总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。 9、频数:一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 10、频率:频数与数据总数的比为频率。 11、组数和组距:在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。 数据的分析 1、平均数:一般地,如果有n 个数 ,,,,21n x x x 那么,)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数,x 读作“x 拔”。 2、加权平均数:如果n 个数中,1x 出现1f 次,2x 出现2f 次,…,k x 出现k f 次 (这里n f f f k =++ 21)。那么,根据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++=2211,这样求得的平均数x 叫做加权平均数,其中k f f f ,,,21 叫做权。 3、中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 4、众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode )。 5、极差:组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 6、在一组数据,,,,21n x x x 中,各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数,

概率论与数理统计知识点总结!

《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述,要求用运算关系符表示事件: 二、给出事件运算关系符,要求判断其正确性: §1.2 概率 古典概型公式:P (A )= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1:将n 个球随机地放到n 个盒中去,问每个盒子恰有1个球的概率是多少?解:设A : “每个盒子恰有1个球”。求:P(A)=?Ω所含样本点数:n n n n n =???... Α所含样本点数:!1...)2()1(n n n n =??-?-?n n n A P ! )(=∴ 补例2:将3封信随机地放入4个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少? 解:设A i :“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求:P(A i )=? Ω所含样本点数:6444443 ==?? A 1所含样本点数:24234=?? A 2所含样本点数: 36342 3=??C A 3所含样本点数:4433=?C 注:由概率定义得出的几个性质: 1、0

推论1:设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容,则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n ) 推论2:设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组,则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1 推论3: P (A )=1-P (A ) 推论4:若B ?A ,则P(B -A)= P(B)-P(A) 推论5(广义加法公式): 对任意两个事件A 与B ,有P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(A B) 补充——对偶律: §1.4 条件概率与乘法法则 条件概率公式:P(A/B)= )()(B P AB P (P(B)≠0)P(B/A)= ) () (A P AB P (P(A)≠0) ∴P (AB )=P (A /B )P (B )= P (B / A )P (A ) 有时须与P (A+B )=P (A )+P (B )-P (AB )中的P (AB )联系解题。 全概率与逆概率公式: 全概率公式: ∑==n i i i A B P A P B P 1 )/()()( 逆概率公式: ) () ()/(B P B A P B A P i i = ),...,2,1(n i = (注意全概率公式和逆概率公式的题型:将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用逆概率公式。) §1.5 独立试验概型 事件的独立性:贝努里公式(n 重贝努里试验概率计算公式):课本P24

高中数学概率统计知识点总结

高中数学概率统计知识 点总结 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]

高中数学概率统计知识点总结 一、抽样方法 1.简单随机抽样 2.简单随机抽样常用的方法:(1)抽签法;⑵随机数表法。 3.系统抽样:K (抽样距离)=N (总体规模)/n (样本规模) 4.分层抽样: 二、样本估计总体的方式 1、用样本的频率分布估计总体分布 (1)频率分布直方图的画法;(2)频率的算法;(3)频率分布折线图;(4)总体密度曲线;(5)茎叶图。 茎叶图又称“枝叶图”,它的思路是将数组中的数按位数进行比较,将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干(茎),将变化大的位的数作为分枝(叶),列在主干的后面,这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数,每个数具体是多少。 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数的算法;(2)标准差、方差公式。 3、样本均值:n x x x x n +++= 21 4、.样本标准差:n x x x x x x s s n 2 22212)()()(-++-+-== 三、两个变量的线性相关 1、正相关 2、负相关 正相关:自变量增加,因变量也同时增加(即单调递增) 负相关:自变量增长,因变量减少(即单调递减) 四、概率的基本概念 (1)必然事件(2)不可能事件(3)确定事件(4)随机事件 (5)频数与频率(6)频率与概率的区别与联系 必然事件和不可能事件统称为确定事件 1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小; 2、频率一般是大概统计数据经验值,概率是系统固有的准确值; 3频率是近似值,概率是准确值

概率论与数理统计知识点总结

《概率论与数理统计》复习参考资料 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述,要求用运算关系符表示事件: 二、给出事件运算关系符,要求判断其正确性: §1.2 概率 古典概型公式:P (A )= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1:将n 个球随机地放到n 个盒中去,问每个盒子恰有1个球的概率是多少?解:设A :“每个盒子恰有1个球”。求:P(A)=? Ω所含样本点数:n n n n n =???... Α所含样本点数:!1...)2()1(n n n n =??-?-? n n n A P ! )(=∴ 补例2:将3封信随机地放入4个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少? 解:设A i :“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求:P(A i )=? Ω所含样本点数:6444443 ==?? A 1所含样本点数:24234=?? 8 3 6424)(1==∴A P

A 2所含样本点数: 36342 3=??C 16 96436)(2== ∴A P A 3所含样本点数:443 3=?C 16 1 644)(3==∴A P 注:由概率定义得出的几个性质: 1、0

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