2020年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何

《2018年高考文科数学分类汇编》

第九篇：解析几何

一、选择题

1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22

214

x y a +=的一个焦点为(20)，

，则C 的离心率为

A ．1

3

B ．12

C D

2.【2018全国二卷6】双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>

A ．y =

B ．y =

C ．y =

D ．y = 3.【2018全国二11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，

且2160PF F ∠=?，则C 的离心率为

A ．1

B ．2

C

D 1

4.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆

()

2

222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是

A ．[]26，

B ．[]48，

C ．

D ．??

5.【2018全国三卷10】已知双曲线22

221(00)x y C a b a b

-=>>：，，则点(4,0)

到C 的渐近线的距离为

A

B ．2

C ．

2

D ．

6.【2018天津卷7】已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直

于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1

d

和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为

A

22

1412

x y -=

B

22

1124

x y -= C

22

139

x y -=

D 22

193

x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线2

21 3=x y -的焦点坐标是

A ．(?2，0)，(2，0)

B ．(?2，0)，(2，0)

C ．(0，?2)，(0，2)

D ．(0，?2)，(0，2)

8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 25x + 23

y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）

A.2

B.2

C.2

D.4

二、填空题

1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则

AB =________．

2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线

段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.

3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为

5

2

，则a =_________. 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．

5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点

(,0)F c ，则其离心率的值是 ． 6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，

(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ?=，则点A 的横坐标

为 ．

7.【2018浙江卷17】已知点P (0，1)，椭圆24

x +y 2

=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则

当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．

8.【2018上海卷2】2.双曲线2

214

x y -=的渐近线方程为 . 9.【2018上海卷12】已知实数x ?、x ?、y ?、y ?满足：221x y +=??，221x y +=??，21

2

x x y y +=???，

的最大值为__________

三、解答题

1.【2018全国一卷20】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C

交于M ，N 两点．

（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．

2.【2018全国二卷20】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．

（1）求l 的方程；

（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．

3.【2018全国三卷20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22

143

x y C +

=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．

（1）证明：12

k <-

； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：

2||||||FP FA FB =+．

4.【2018北京卷20】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3

，焦距为.

斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .

（Ⅰ）求椭圆M 的方程；

（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；

（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44

Q -共线，求k .

5.【2018天津卷19】设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆

的离心率为

3

，||AB = （I ）求椭圆的方程；

（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．

6.【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1

)2，焦点

12(F F ，圆O 的直径为12F F ．

（1）求椭圆C 及圆O 的方程；

（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．

①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；

②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为

26

，求直线l 的方程． 7.【2018浙江卷21】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在

不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；

（Ⅱ）若P 是半椭圆

x 2+

2

4

y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． 8.【2018上海卷20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线τ：

28y x =00x t y （≦≦，≧），l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点.

（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；

（2）设t =3，

2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由. 参考答案 一、选择题

1.C

2.A

3.D

4.A

5.D

6.C

7.B

8.C 二、填空题

1. 22

2.)0,1(

3.4

4.022

2=-+x y x 5.2 6.3 7.5

8.x y 2

1

±= 9.32+

三、解答题

1.解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．

所以直线BM 的方程为y =112x +或1

12

y x =--．

（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．

当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．

由2(2)2y k x y x

=-??=?，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2

k ，y 1y 2=–4．

直线BM ，BN 的斜率之和为 122112

1212122()

22(2)(2)

BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=

+=++++．① 将112y x k =

+，222y

x k

=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()88

2()0y y k y y x y x y y y k k

++-++++=

==．

所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．

2.解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．

由2(1)

4y k x y x

=-??=?得2222(24)0k x k x k -++=． 2

16160k ?=+=，故2122

24

k x x k ++=

． 所以2122

44

(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．

由题设知22

44

8k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．

因此l 的方程为y =x –1．

（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+．

设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则

0022

000

5(1)(1)16.2

y x y x x =-+???-++=+??，

解得0032x y =??=?，或00116.x y =??=-?， 因此所求圆的方程为

22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．

3.解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，22

22

143

x y +=．

两式相减，并由

1212=y y k x x --得1212

043

x x y y k +++?=． 由题设知

1212x x +=，122y y m +=，于是3

4k m

=-

． 由题设得302m <<

，故1

2

k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则

331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．

由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．

又点P 在C 上，所以34m =

，从而3

(1)2P -，

2

3=．

于是11||(22

x

FA x ==-．

同理2

||=22

x FB -

． 所以121

4()32

FA FB x x +=-+=．

故2||=||+||FP FA FB ．

4.解：

（Ⅰ）由题意得2c =

，所以c =

又c e a =

=

，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2

213

x y +=．

（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，

由22

13

y x m x y =+???+=??消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2

2

2

3644(33)48120m m m ?=-?-=->，即24m <，

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，21233

4

m x x -=，

则12|||AB x x =-==

易得当20m =

时，max ||AB ，故||AB

． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，

则221133x y += ①，22

2233x y += ②，

又(2,0)P -，所以可设1

112

PA y k k x ==

+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122

(2)13

y k x x y =+???+=??消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2

1312

1

1213k x x k =--+，学科*网 又1112y k x =

+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(

,)4747x y C x x --++，同理可得22

22712(,)4747

x y D x x --++．

故3371(,)44QC x y =+

-，4471

(,)44

QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437

171()()()()04

4

4

4

x y x y +--+-=，

将点,C D 的坐标代入化简可得

12

12

1y y x x -=-，即1k =． 5. 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259

c a =，又由222

a b c =+，可得23a b =．

由||AB ==,从而3,2a b ==．

所以，椭圆的方程为22

194

x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，

点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得

||=2||PM PQ ，

从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．

易知直线AB 的方程为236x y +=，

由方程组236,,

x y y kx +=??

=?消去y ，可得26

32x k =+．

由方程组22

1,94,

x y y kx ?+

?=??=?

消去y ，可得12

94x k =+． 由215x x =，可得2945(32)k k +=+，两边平方，整理得2

182580k k ++=，解得

89k =-，或12

k =-．

当89k =-

时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，112

5

x =，符合题意． 所以，k 的值为1

2

-

． 6.解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，

可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1

(3,)2在椭圆C 上，

所以2222311,

43,

a b

a b ?+=???-=?

，解得2

24,1,a b ?=??=?? 因此，椭圆C 的方程为2

214

x y +=．

因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．

（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =-

-+，即000

3x y x y y =-+．

由22

0001,43,x y x y x y y ?+=????=-+??

消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，

所以222222000000()()(

24)(44364820)4x x y y y x ?=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==．

因此，点P 的坐标为(2,1)．

②因为三角形OAB 的面积为

26

， 所以21 26AB OP ?=

，从而42AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，

由（*）得22000001,22448(2)

x y x x ±-=

，

所以22

2

2

121()()x B y y x A =-+-2220002222

00048(2)(1)(4)x y x y x y -=+?+．

因为22003x y +=，

所以22

022

016(2)32

(1)49

x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则201

2

y =，因此P 的坐标为102(,)．

综上，直线l 的方程为532y x =-+．

7.解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(

,)4A y y ，2

221(,)4

B y y ．

因为PA ，PB 的中点在抛物线上，

所以1y ，2y 为方程2

02014()422

y x y y ++=?

即22

000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1202

12

002,

8,y y y y y x y +=???=-?? 所以2221200013||()384

PM y y x y x =

+-=-

，12||y y -= 因此，PAB △

的面积3

2212001||||4)24

PAB

S PM y y y x =?-=-△． 因为2

200

01(0)4

y x x +=<，所以22

00004444[4,5]y x x x -=--+∈．

因此，PAB △

面积的取值范围是4

． 8.解：（1）由抛物线的性质可知，抛物线x y 82=的准线为2-=x ，

抛物线上的点B 到焦点)0,2(F 的距离等于点B 到准线2-=x 的距离， 由题意知，点B 的横坐标为t ，则2+=t BF 。 （2）当3=t 时，)0,3(A 。

由曲线τ：x y 82

=)0,0(≥≤≤y t x 知： 点B 的纵坐标为6238=?，则)62,3(B 。

由于Q 在线段AB 上，则点Q 的纵坐标取值在]62,0[之间。 由题意)0,2(F ，2=FQ ，则Q 的纵坐标为31222=-，

故)3,3(Q ，OQ 的中点坐标为)2

3,23(Q 。 由于

22

3

≠，由题意可知PF 的斜率存在，则可设直线PF 的方程为：)2(-=x k y ， 所以将点)23,

2

3(Q 的坐标代入方程得)22

3(23-=k ， 解得3-=k ，则直线PF 的方程为)2(3--=x y 。 代入抛物线方程得3

2

=

P x 。 由于A 、Q 均在直线3=x 上，则AQP ?的AQ 边边长为303=

-，

AQ 边上的高等于3

7323=-

=-P A x x ， 则P AQP x AQ S -??=

?32136

737321=??=。 （3）存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上。 当8=t 时，)0,8(A ，点B 的纵坐标为888=?，则)8,8(B 。

设),8

(2

n n P ，80≤≤n 。

①若28

2

=n ，则点)4,2(P ，而点)0,2(F ，则x PF ⊥轴。 若以FP 、FQ 为邻边的四边形FPEQ 为矩形，则FQ PF ⊥， 则y FQ ⊥轴，故点)0,8(Q 。此时点)4,8(E ，由于4888≠=?， 则点E 不在τ上，此情况不成立。

②当282≠n 时，直线PF 的斜率可以表示为16828

22-=-=n n n n k PF

由于FQ PF ⊥，则直线FQ 的斜率可以表示为n

n k FQ

8162-=。

所以直线FQ 的方程为)2(8162

--=

x n

n y ，

当8=x 时，)28(8162--=n n y n n 4)

16(32-=， 所以)4

)16(3,

8(2n Q -。 而在以FP 、FQ 为邻边的四边形FPEQ 中，F 、E 为不相邻的两个顶点， 则=+。

而),28(2n n -=，)4)

16(3,

6(2n -=， 则)448

,

48(22n n n ++=。 故点)448

,

68(22n

n n E ++。 当点点E 在τ上时，有)68

(8)448(

2

22+=+n n n ， 移项后去分母整理得48152

=n ，解得5

16

2

=

n 。 而80≤≤n ，则554=

n ，故)5

5

4,

52(P 。 综上所述，存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上，此时点)5

5

4,

52(P 。