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2015年全国高中数学联赛试题

2015年全国高中数学联赛试题
2015年全国高中数学联赛试题

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)

一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分

1.设,a b 为不相等的实数,若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =,则(2)f 的值为

2.若实数α满足cos tan αα=,则41cos sin αα

+的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=,其中i 为虚数单位,n z 表示n z 的共轭复数,则2015z 的值为

4.在矩形ABCD 中,2,1AB AD ==,边DC (包含点,D C )上的动点P 与CB 延长线上(包含点B )的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ?的最小值为

5.在正方体中随机取3条棱,它们两两异面的概率为

6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为

7.设ω为正实数,若存在,(2)a b a b ππ≤<≤,使得sin sin 2a b ωω+=,则ω的取值范围是

8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若 ,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则 ()()N P N Q -的值为

二、解答题:本大题共3小题,满分56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

9.(本题满分16分)若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=,求c 的最小值.

10.(本题满分20分)设1234,,,a a a a 是4个有理数,使得

{}311424,2,,,1,328i j a a i j ??≤<≤=----????

,求1234a a a a +++的值. 11.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2

212

x y +=的左、右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d ,如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列,求d 的取值范围.

2015年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)

一、(本题满分40分)设12,,

,(2)n a a a n ≥是实数,证明:可以选取{}12,,,1,1n εεε∈-,使得222111(1)n n n i i i i i i i a a n a ε===??????+≤+ ? ? ???????

∑∑∑. 二、(本题满分40分)设{}12,,,n S A A A =,其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合

(2n ≥),满足对任意的,i j A A S ∈,均有i

j A A S ∈,若1min 2i i n k A ≤≤=≥.证明:存在1n

i i x A =∈,使得x 属于12,,,n A A A 中的至少n k 个集合(这里X 表示有限集合X 的元素个数). 三、(本题满分50分)如图,ABC ?内接于圆O ,P 为BC 上一点,点K 在线段AP 上,使得BK 平分ABC ∠,过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于D ,连接BD 交圆Ω于点E ,连接PE 并延长与边AB 交于点F .证明:2ABC FCB ∠=∠.(解题时请将图画在答卷纸上)

四、(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :

对任意正整数n ,(1)12k n -+不整除()!!kn n .

P

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