高考数学试题分类汇编(导数)

2007年高考数学试题分类汇编（导数）

（福建理11文）

已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<，

（海南理10）

曲线12

e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ）

Ａ．29

e 2

Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e

（海南文10）

曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ）

Ａ．294e

Ｂ．2

2e

Ｃ．2

e

Ｄ．2

2

e

（江苏9）

已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，

则(1)'(0)

f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3

2

（江西理9）

12．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ）

Ａ．充分不必要条件

Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充分必要条件

Ｄ．既不充分也不必要条件

（江西理5）

5．若π

02

x <<，则下列命题中正确的是（ D ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >

Ｃ．2

24sin π

x x <

Ｄ．2

24sin π

x x >

（江西文8）

若π

02x <<

，则下列命题正确的是（ B ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3

sin π

x x >

（辽宁理12）

已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．

出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值

（全国一文11）

曲线313y x x =+在点413??

???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ）

Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23

（全国二文8）

已知曲线2

4

x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

（浙江理8）

设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）

(北京文9)

()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数，则(1)f '-的值是＿＿＿＿．3

（广东文12）

函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．1,e ??

+∞????

（江苏13）

已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿．32

（湖北文13）

已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1

22

y x =+，则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿．3

（湖南理13）

函数3()12f x x x =-在区间[33]-，

上的最小值是＿＿＿＿．16-

（浙江文15）

曲线32242y x x x =--+在点(13)-，

处的切线方程是＿＿＿＿．520x y +-=

（安徽理 18）

设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）.

（Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.

本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分． （Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x a

f x x x x

'=-

+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22

()10x F x x x x

-'=-=>，， 列表如下：

x

(02)，

2 (2)+，∞

()F x ' -

0 +

()F x

极小值(2)F

故知()F x 在(02)，

内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．

（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>．

从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，

∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．

(安徽文 20)

设函数f （x ）=-cos 2x -4t sin 2

x

cos 2

x +4t 2+t 2-3t +4,x ∈R,其中t ≤1，将f (x )的最小值记为g (t ).

(Ⅰ)求g (t )的表达式；

(Ⅱ)诗论g (t )在区间（-1,1）内的单调性并求极值.

本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力． 解：（I ）我们有

232()cos 4sin cos 43422

x x

f x x t t t t =--++-+

222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+

23(sin )433x t t t =-+-+．

由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即

3()433g t t t =-+．

（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，． 列表如下：

t

121?

?-- ??

?，

1

2

-

1221??- ???

， 12 112?? ???

， ()g t '

+

0 - 0

+

()g t

极大值12g ??

- ???

极小值12g ??

???

由此可见，()g t 在区间112??-- ???，和112?? ???，单调增加，在区间1122??

- ???，单调减小，极小值为

122g ??= ???，极大值为42g 1??

-= ???

． （北京理 19）

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆

上，记2CD x =，梯形面积为S ．

（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值．

解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ．

点C 的纵坐标y 满足方程22

221(0)4x y y r r

+=≥，

解得222(0)y r x x r =-<<

221

(22)22

S x r r x =

+- 222()x r r x =+- ， 其定义域为{}0x x r <<．

（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得1

2

x r =． 因为当02r x <<

时，()0f x '>；当2

r

x r <<时，()0f x '<，所以12f r ??

???

是()f x 的最大值．

因此，当1

2

x r =

时，S 也取得最大值，最大值为213322f r r ??= ???

．

即梯形面积S 的最大值为

2

332

r ． 4r

C

D

A

B

2r

C

D A B O

x

y

（福建理 22）

已知函数()e x f x kx x =-∈R ，

（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1

2

(1)(2)()(e

2)()n n F F F n n +*>+∈N ．

本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．

解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-． 由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，

． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．

于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．

①当(01]k ∈，

时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．

②当(1)k ∈+∞，

时，ln 0k >．

当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：

x

(0ln )k ，

ln k

(ln )k +∞，

()f x ' - 0

+ ()f x

单调递减

极小值

单调递增

由此可得，在[0)+∞，

上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，

． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+ ，

12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，

1(1)()e 2n F F n +∴>+，

11(2)(1)e 2

()(1)e 2.

n n F F n F n F ++->+>+

由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故1

2

(1)(2)()(e

2)n n F F F n n +*>+∈N ，．

（福建文 20）

设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；

（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，

恒成立，求实数m 的取值范围． 本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，

∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-， 即3()1h t t t =-+-．

（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--， 由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：

t

(01)，

1

(12)，

()g t ' + 0 - ()g t

递增

极大值

1m -

递减

()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-．

()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，

即等价于10m -<， 所以m 的取值范围为1m >．

(广东理、文 20)

已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有 零点，求a 的取值范围．

解: 若0a = , ()23f x x =- ,显然在上没有零点, 所以 0a ≠ 令 ()248382440a a a a ?=++=++= 得 37

2

a -±= 当 37

2

a --=

时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; 当 ()()()()11150f f a a -=--< 即 15a << 时, ()y f x =也恰有一个零

点在[]1,1-上;

当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则

()()208244011121010a a a a f f >???=++>??-<-

1121010a a a a f f

??=++>??-<-

?

-≤?

解得5a ≥或35

2

a --<

因此a 的取值范围是 1a > 或 35

2

a --≤ ;

（海南理 21）

设函数2()ln()f x x a x =++

（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2

． 解：（Ⅰ）1

()2f x x x a

'=

++， 依题意有(1)0f '-=，故32

a =

． 从而2231(21)(1)

()3322

x x x x f x x x ++++'==++．

()f x 的定义域为32??

-+ ???，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；

当1

12x -<<-时，()0f x '<；

当1

2

x >-时，()0f x '>．

从而，()f x 分别在区间31122????---+ ? ?????，，，∞单调增加，在区间112?

?-- ???，单调减少．

（Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221

()x ax f x x a

++'=+．

方程22210x ax ++=的判别式248a ?=-．

（ⅰ）若0?<，即22a -<<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?=，则2a -或2a =-．

若2a =，(2)x ∈-+，∞，2

(21)()2x f x x -'=

+． 当2

2x =-时，()0f x '=，当22222x ????∈---+ ? ? ? ?????

，，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值．

若2a =-，(2)x ∈+，∞，2

(21)()02

x f x x -'=

>-，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即2a >或2a <-，则22210x a x ++=有两个不同的实根

2122a a x ---=

，222

2

a a x -+-=． 当2a <-时，12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值． 当2a >时，1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．

综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为(2)+，∞．

()f x 的极值之和为

2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22

e

f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．

（海南文 19）

设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）求()f x 在区间3144??

-????，的最大值和最小值．

解：()f x 的定义域为32??

-+ ???

，∞．

（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323

x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -

<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当1

2

x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间312??-- ???，，12??-+ ???，∞单调增加，在区间112??-- ??

?，单调减少．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144??

-????

，的最小值为

11ln 224f ??

-=+ ???

．

又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ????

??--

=+--=+=- ? ? ???

??

??0<．

所以()f x 在区间3144??

-????

，的最大值为

11

7ln 416

2f ??=+ ???．

（湖北理 20）

已知定义在正实数集上的函数2

1()22

f x x ax =

+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）．

本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．

解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．

()2f x x a '=+∵，23()a g x x

'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．

即22

0002

00123ln 232x ax a x b a x a x ?+=+????+=??，，由200

32a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有2222215

23ln 3ln 22

b a a a a a a a =

+-=-． 令225

()3ln (0)2

h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是

当(13ln )0t t ->，即1

3

0t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13

t e >时，()0h t '<．

故()h t 在1

3

0e ?? ???，为增函数，在13e ??+ ???

，

∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，

∞的最大值为12

3

3

32

h e e ??= ???． （Ⅱ）设2

21()()()23ln (0)2

F x f x g x x ax a x b x =-=

+-->， 则()F x '23()(3)

2(0)a x a x a x a x x x -+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，

∞为增函数， 于是函数()F x 在(0)+，

∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．

（湖北文 19）

设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与

1

16

的大小．并说明理由． 本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．

解法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，

则由题意可得01012

(1)0(0)0a g g ?>??-?<

?

>??，，，

，011322322a a a a ?>??-<+?，，，或，0322a ?<<-． 故所求实数a 的取值范围是(0322)-，．

（II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -== ，令2()2h a a =．

当0a >时，()h a 单调增加，∴当0322a <<-时，

20()(322)2(322)2(17122)

h a h <<-=

-=- 11

216

17122=<+ ，即1(0)(1)(0)16f f f -< ．

解法2：（I ）同解法1．

（II ） 2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I ）知0322a <<-， 41122170a -<-<∴2．又4210a +>，

于是 22111

2(321)(421)(421)0161616

a a a a -

=-=-+<， 即212016a -

<，故1

(0)(1)(0)16

f f f -<． 解法3：（I ）方程()0f x x -=?2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得

121x x a +=-，12x x a =，于是12121212

1200010(1)(1)0(1)(1)0

x x x x x x x x x x ?>??+>??

<<??-+->??-->?，

，，

，

01322322a a a a ?>?

?

<->+?，

，

或0322a ?<<-． 故所求实数a 的取值范围是(0322)-，．

（II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得

12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--

2

2

11221112216x x x x +-+-????

<= ? ?????

，故1(0)(1)(0)16f f f -<．

（湖南理 19）

如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<< ），且2

sin 5

θ=

，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为

2

a

万元/km ．当山坡上公路长度为l km （12l ≤≤）时，其造价为2(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，

3(km)OA =．

（I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；

（II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．

（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．

解：（I ）如图，PH α⊥，HB α?，PB AB ⊥， 由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥，所以PBH ∠是 山坡与α所成二面角的平面角，则PBH θ∠=，

1sin PH PB θ

==．

设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．则

2221PD x PB x =+=+[12]∈，

． 记总造价为1()f x 万元，

Ｏ

A

E

D

B

H P

α

A

O

E D

B

H

P

据题设有2211111

()(1)(3)224

f x PD AD AO a x x a =++

+=-++ 2

1433416x a a ????

=-++ ? ?????

当14x =

，即1

(km)4

BD =时，总造价1()f x 最小． （II ）设(km)AE y =，5

04

y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有

222131()13224f y PD y y a ??

??=++++-- ??????

?2433216y y a a ??=+-+ ???．

则()22123y f y a y ??' ?=- ?+??，由2()0f y '=，得1y =．

当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数；

当514y ??∈ ???，时，2()0f y '>，2()f y 在514??

???

，内是增函数．

故当1y =，即1AE =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为67

16

a 万元． （III ）解法一：不存在这样的点D '，E '．

事实上，在AB 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之

间．故可设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km)x ，1(km)AE y '=，123

02x y +≤≤，总造

价为S 万元，则221111113224x y S x y a ?

?=-++-+ ???．类似于（I ）、（II ）讨论知，2111216x x --≥，

2113322y y +-

≥，当且仅当11

4x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD '=

，1(km)AE =，S 取得最小值67

16

a ，点D E ''，分别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价．

解法二：同解法一得

221111113224x y S x y a ?

?=-++-+ ??

?

(

)(

)

2

22111111143

3

334416

x a y y y y a a ?

???=-++-+

+++ ??????

?

221111143

23(3)(3)416y y y y a a ?+-++?+≥ 67

16

a =． 当且仅当114x =且2211113(3)(3)y y y y +-++，即111

14

x y ==，同时成立时，S 取得最小值67

16

a ，以上同解法一．

（湖南文 21）

已知函数3211

()32

f x x ax bx =++在区间[11)

-，，(13]，内各有一个极值点． （I ）求24a b -的最大值；

（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．

解：（I ）因为函数3211

()32

f x x ax bx =++在区间[11)

-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)

-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是

2044a b <-≤，20416a b <-≤，

且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．

（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是

(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21

(1)32

y a b x a =++--，

因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，

所以21

()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则

1x =不是()g x 的极值点．

而()g x 321121

(1)3232

x ax bx a b x a =++-++++，且

22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++． 若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．

所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故3

21()3

f x x x x =

--． 解法二：同解法一得21

()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--

2133

(1)[(1)(2)]322

a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．

当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．

设233()1222a a h x x x ???

?=++-+ ? ??

???，则

当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102

a

h =?++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故3

21()3

f x x x x =--． （辽宁理 22）

已知函数2222()2()21t f x x t x x x t =-++++，1

()()2

g x f x =． （I ）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]

a b ，上是减函数； （III ）证明：3

()2

f x ≥．

（辽宁文 22）

已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数t 均有

(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤．

（I ）求函数()f x 的解析式；

（II ）若对任意的[266]m ∈-，

，恒有2()11f x x mx --≥，求x 的取值范围． （全国一 理20） 设函数()e e x x f x -=-．

（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；

（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+． 由于e e 2e e 2x -x x x -+= ≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则

()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，

（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x g x a a -'=+->-≥，

故()g x 在(0)+，∞

上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．

（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为214

ln 2a a x +-=，

此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．

所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．

（全国一文 20）

设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，

，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，

因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．

即6630241230a b a b ++=??++=?，．

解得3a =-，4b =．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，

2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--． 当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．

所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立， 所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >，

因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ ，

，．

（全国二理 22）

已知函数3()f x x x =-．

（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；

（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<． 解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：

()()()y f t f t x t '-=-，

即 23(31)2y t x t =--．

（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使

23(31)2b t a t =--．

于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程

32230t at a b -++=

有三个相异的实数根．

记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-

6()t t a =-．

当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：

t

(0)-∞，

0 (0)a ，

a ()a +∞，

()g t ' +

0 -

0 +

()g t

极大值

a b +

极小值

()b f a -

由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；

当0a b +=时，解方程()0g t =得302

a

t t ==

，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2

a

t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实

数根．

综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，

则0()0.

a b b f a +>??-

（全国二文 22）

已知函数321

()(2)13

f x ax bx b x =-+-+

在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；

（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

解：求函数()f x 的导数2()22f x ax bx b '=-+-．

（Ⅰ）由函数()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，知12x x ，是()0f x '=的两个根．

所以12()()()f x a x x x x '=--

当1x x <时，()f x 为增函数，()0f x '>，由10x x -<，20x x -<得0a >．

（Ⅱ）在题设下，12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>??'? 即202204420b a b b a b b ->??

-+-?．

化简得20

3204520b a b a b ->??

-+?

．

此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：203204520b a b a b -=-+=-+=，，

． 所围成的ABC △的内部，其三个顶点分别为：46(22)(42)77A B C ??

???

，，，，，．

z 在这三点的值依次为

16687

，，． 所以z 的取值范围为1687??

???

，．

（山东理 22）

设函数2

()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当1

2

b >

时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111

ln 1n n n

??+>- ???都成立．

解：（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，322()211b x x b f x x x x ++'=+=++ 设2()22g x x x b =-+，其图象的对称轴为1

(1)2

x =-∈-+∞，

， max 11()22g x g b ??

∴=-=-+ ???

．

当12b >

时，max 1

()02

g x b =-+>， 即2()230g x x x b =+->在(1)-+∞，上恒成立， ∴当(1)x ∈-+∞，

时，()0f x '>， ∴当1

2

b >

时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，

上单调递增．

b

a 2 1

2 4

O

4677A ?? ???

， (42)C ，

(22)B ，

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y =的定义域为（ C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-， ， C ．(1)(1)-∞-+∞， ， D ．(10)(01)-，， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A B C D

C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●

2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题

2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题 精心校对版 △注意事项： 1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。 2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。 3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本 4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科 一 、解答题（本大题共22小题，共0分） 1.（2017北京东城区高三一模数学(文)）设函数ax x x x f +-=232131)(，R a ∈． (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性； (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围； (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由． 2.（2017北京丰台区高三一模数学(文)） 已知函数1()e x x f x +=，A 1()x m ,，B 2()x m ,是曲线()y f x =上两个不同的点. （Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：120x x +>. 3.（2017北京丰台区高三二模数学(文)） 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程； 姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封------------ --线------ --------内------ ------- -请------- -------不-------------- 要--------------答--------------题-------------------------●

高考数学真题汇编——函数与导数

高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D

【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，， ， 据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y = C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ， ， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，， D ．(10)(01)- ， ， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A ． B ． C ． D ．

C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时 a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，

高考真题导数第一问分类汇总

切线问题 1 已知函数31()4 f x x ax =++，()ln g x x =-．当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线； 2 设函数1 (0ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+． 3已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．求a 、b 的值； 4 设函数()()23x x ax f x a R e +=∈若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； 5已知函数f(x)＝e x －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. 求a 的值及函数f(x)的极值； 6设函数，曲线在点处的切线方程为， 7已知函数．求曲线在点处的切线方程； 8设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2．求a ，b ，c ，d 的值； ()a x f x xe bx -=+()y f x =(2,(2))f (1)4y e x =-+()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f

单调性问题 1已知函数)(x f 满足212 1)0()1(')(x x f e f x f x +-=-．求)(x f 的解析式及单调区间； 2 讨论函数2()2 x x f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20x x e x -++>； 3已知函数()2x x f x e e x -=--. 讨论()f x 的单调性； 4 设1a >，函数a e x x f x -+=)1()(2．求)(x f 的单调区间 ； 5已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的 切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值； (2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； 6设，已知定义在R 上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．求的单调区间； 7已知函数()ln()x f x e x m =-+. 设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； a ∈Z 432 ()2336f x x x x x a =+--+(1,2)0x ()g x ()f x ()g x

(完整word版)北京高考导数大题分类.doc

导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤： ① 确定定义域（易错点） ②求导函数 f ' (x) ③对 f ' ( x) 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理 . ④ f ' ( x) 中 x 的最高次系数是否为 0，为 0 时求出单调区间 . 例 1： f ( x) a x 3 a 1 x 2 x ，则 f ' ( x) (ax 1)( x 1) 要首先讨论 a 0 情况 3 2 ⑤ f ' ( ) 最高次系数不为 0，讨论参数取某范围的值时， 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递增； x 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递减 . 例 2： f (x) a x 2 ln x ，则 f ' ( x) = ax 2 1 , ( x 0) ，显然 a 0时 f ' ( x) 0 ，此时 f (x) 的 2 x 单调区间为 (0, ) . ⑥ f ' ( ) 最高次系数不为 0，且参数取某范围的值时，不会出现 f ' (x) 0 或者 f ' ( x) 0 的情况 x 求出 f ' ( x) =0 的根，（一般为两个） x 1 , x 2 ，判断两个根是否都在定义域内 . 如果只有一根在定义域 内，那么单调区间只有两段 . 若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数 . 则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间， 即 x 1 x 2 , x 1 x 2 , x 1 x 2 . 例 3: 若 f ( x) a x 2 (a 1)x ln x, (a 0) ，则 f ' ( x) ( ax 1)( x 1) ， (x 0) 解方程 f ' ( x) 2 1 x 0 得 x 1 1, x 2 a a 0时，只有 x 1 1 在定义域内 . a 0 时 , 比较两根要分三种情况： a 1,0 a 1, a 1 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论 f ' ( x) 在每个子区间内的正负，求得 f (x) 的单调区间。

高考导数大题30道(2020年整理).doc

导数大题 1 ．已知函数()b ax x x f ++=2 3的图象在点P (1,0)处的切线与直线03=+y x 平行? (1)求常数a 、b 的值; (2)求函数()x f 在区间[]t ,0上的最小值和最大值(0>t )? 2 ．已知函数R a ax x x f ∈+-=,)( 3 (1)若)(x f 在),1[+∞上为单调减函数,求实数a 取值范围; (2)若,12=a 求)(x f 在[-3,0]上的最大值和最小值? 3 ．设函数x e x x f 22 1)(=. (1)求函数)(x f 的单调区间; (2)若当]2,2[-∈x 时,不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围. 4 ．已知函数.),2,1()(3)(3 l P P x f y x x x f 作直线过点上一点及-=-= (1)求使直线)(x f y l =和相切且以P 为切点的直线方程; (2)求使直线)(x f y l =和相切且切点异于P 的直线方程)(x g y =?

()I 求()f x 的单调区间; ()II 若()f x 在1x =-处取得极大值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围? 7 ．已知函数2 ()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y . (Ⅰ)求b a ,的值; (Ⅱ)若方程()f x m +=m 的取值范围(其中e 为自然对数的底数); 8 ．已知函数21 2 ()()ln f x a x x =-+.(R a ∈) (1)当a =1时,求()f x 在区间[1,e ]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方,求a 的取值范围。 10．已知函数2 ()sin 2(),()()2f x x b x b R F x f x =+-∈=+,且对于任意实数x ,恒有(5)(5)F x F x -=-? ⑴求函数)(x f 的解析式; ⑵已知函数()()2(1)ln g x f x x a x =+++在区间(0,1)上单调,求实数a 的取值范围; ⑶讨论函数21()ln(1)()2 h x x f x k =+- -零点的个数?

(完整版)专题05导数与函数的极值、最值—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编.doc

1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在 的解，附近，如 果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点， 2. 【 2015 高考福建，文A．充分而不必要条 件12】“对任意 B．必要而不充分条件 ，”是“ C ．充分必要条件 D ”的（） ．既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时，，构造函数，则 ．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数 ，则，故在递增，故 ”是“，则．综上 ”的必要不充分条件，选 所述，“ 对任 意B． ，

【考点定位】导数的应用． 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用， 根 据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 3 2 ＋ 1，若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x x x 0＞0，则 a 的取值范围是 ( ) ． A ． (2 ，＋∞ ) B ． (1 ，＋∞) C ． ( －∞，－ 2) D ．( －∞，－ 1) 答案： C 解析：当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3x 2＋ 1 存在两个零点，不合题意； 当 a ＞0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 ′( ) ＝ 0，得 x 1 ＝ 0， ， fx 所以 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一的零点，需 ，但这时零点 x 0 一定小于 0，不合题意； 当 a ＜0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 f ′(x ) ＝ 0，得 x 1＝0， ，这时 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一零点，应满足 ，解得 a ＜－ 2( a ＞ 2 舍去 ) ，且这时 零点 x 0 一定大于 0，满足题意，故 a 的取值范围是 ( －∞，－ 2) ． 名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想， 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取 值范围是（）

近五年高考试题分类汇编-导数部分(附答案解析)

2018年全国高考试题分类汇编-导数部分（含解析） 1.(2018·全国卷I 高考理科·T5)同(2018·全国卷I 高考文科·T6)设函数f (x )=x3+(a -1)x2+ax.若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 2.(2018·全国卷II 高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 3.(2018·全国卷II 高考文科·T13)曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=(ax +1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=exlnx,f ′(x)为f(x)的导函数,则f ′(1)的值为 . 6.(2018·全国卷I 高考理科·T16)已知函数f (x )=2sinx+sin2x,则f (x )的最小值是 . 7.(2017·全国乙卷文科·T14)曲线y=x 2 + 1 x 在点(1,2)处的切线方程为 . 8.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f (x )=(2x +ax-1)1x e -的极值点,则f (x )的极小值为 ( ) A.-1 B.-23e - C.53e - D.1 9.(2017 10.(2017递增,则称f (x )A.f (x )=2-x 11.(2017数a 12.(2017则称f (x )具有M ①f (x )=2-x ;②f (x

13.(2017·全国乙卷理科·T16)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 . 14.(2017·天津高考文科·T10)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax-lnx 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 15.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3 sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -?? ?? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 16.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的 切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 17.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 18.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1 与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 19.(2016·山东高考文科·T10)同(2016·山东高考理科·T10) 若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x 3 20.(2016·全国卷Ⅱ理科·T16)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= .

2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编

导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ，

高考文科数学专题复习导数训练题(汇编)

高考文科数学专题复习导数训练题（文） 一、考点回顾和基础知识 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 2.导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 3.求导数的四则运算法则： ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数）

2017年北京高三模拟题分类汇编之导数大题

2017年北京高三模拟题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2017北京市各城区一模二模真题。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共12小题，共0分）1.（2017北京东城区高三一模数学(文)）设函数ax x x x f 232131)(，R a ．(Ⅰ)若2x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性；(Ⅱ)已知函数3221)()(2ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围；(Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由．2.（2017北京丰台区高三一模数学(文)）已知函数1()e x x f x ，A 1()x m ,，B 2()x m ,是曲线()y f x 上两个不同的点. （Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围；（Ⅱ）证明：120x x . 3.（2017北京丰台区高三二模数学(文)）已知函数ln ()x f x ax (0)a . （Ⅰ）当1a 时，求曲线()y f x 在点(1(1)),f 处的切线方程；姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●

高考真题汇编(函数与导数)

函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.

点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D.

高考导数大题大全理科答案

一、解答题 1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'11 2()e ln e e e .x x x x a b b f x a x x x x --=+-+ 由题意可得' (1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==. （Ⅱ）由(Ⅰ)知1 2e ()e ln ,x x f x x x -=+ 从而()1f x >等价于2 ln e .e x x x x ->- 设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，所以当1 (0,)e x ∈时，' ()0g x <; 当1 (,)e x ∈+∞时，' ()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e +∞单调递增， 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为1 1().e e g =-. 设函数2 ()e e x h x x -=-，则'()e (1)x h x x -=-，所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >； 当(1,)x ∈+∞时，' ()0h x <，故()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e h =- . 综上，当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. 2. 解题指南（1）根据导数公式求出函数的导数，利用分类讨论思想求解；（2）根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点，代入函数中求解. 解析（1）2/ 22 2(2)24(1) ()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ （*） 当1a ≥时，/ ()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，由/ ()0f x = 得1 x = （2x =-舍去）． 当1(0,)x x ∈时，/()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，/ ()0f x >． 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减，在区间1(,)x +∞上单调递增． 综上所述，当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，()f x 在区间(0, 上单调递减，在区间)+∞上单调递增． 由（*）式知，当1a ≥时，/ ()0f x >，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点， 必有01a <<．又()f x 的极值点只可能是1 x = 和2x =-，且由定义可知，1 x a >- 且2x ≠- ，所以1a ->- 且2-≠-，解得1 2 a ≠- 此时，由（*）式易知，12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点，而 令21a x -=，则01a <<且12a ≠-知：当102 a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<． 记2 2 ()ln 2g x x x =+-， （Ⅰ）当10x -< <时，2()2ln()2g x x x =-+-，所以/22 2222 ()0x g x x x x -=-=< 因此，()g x 在区间(1,0)-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当1 02 a << 时， 12()()0f x f x +<． （Ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x =+ -，所以/222222 ()0x g x x x x -=-=< 因此，()g x 在区间(0,1)上单调递减，从而()(1)0g x g >=，故当时 1 12 a <<，12()()0f x f x +>． 综上所述，满足条件的a 的取值范围为1 (,1)2． 3. (1)证明：因为对任意x ∈R ，都有() ()e e e e ()x x x x f x f x -----=+=+=，所以f (x )是R 上的偶函数． (2)解：由条件知(e e 1)e 1x x x m --+-≤-在(0，+∞)上恒成立． 令t = e x (x >0)，则t >1，所以m ≤211 11111 t t t t t -- =--+-++-对于任意t >1成立． 因为11111t t -+ +≥- = 3，所以1113111 t t - ≥--++-， 当且仅当t = 2，即x = ln2时等号成立．

高考文科数学导数真题汇编(带答案)

高考数学文科导数真题汇编答案 一、客观题组 4 5. 7.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是

8设函数f （x ）= 2 x +lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=1 2为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 9、函数y= 12 x 2 -㏑x 的单调递减区间为 （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 11(2018年高考1卷) 12(2019年高考1卷) 一、 客观题答案1B ; 2.D; 3.y=x+1; 4.A . 5.y=2x-2 6D ,7C; 8D; 9B; 10.C 11.D; 12.y=3x 二、大题组 【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （1）求a 、b 的值； （2）证明：当0x >，且1x ≠时， f (x )>ln x x -1 【解析】

（1）22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= - + 由于直线230x y +-=的斜率为1 2 - ，且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =???=-?? 即1,1,22 b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。 （2）由（1）知f (x )=x x x 11ln ++，所以f (x )-ln x x -1=11-x 2 (2ln x -x 2-1 x )， 考虑函数，则2 2 222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='， 所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1)=0 故)1,0(∈x 时，h (x )>0可得，),1(+∞∈x 时，h (x )<0可得， 从而当，且时，. 【2012新课标】21. 设函数f (x ) = e x -ax -2 （1）求f (x )的单调区间 （2）若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x -k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 【解析】 （1） f (x )的定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-， 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增. 若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增. （2）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0) (1) x x k x x e +<+>-①. 令1()(1) x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+= --. 由（1）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >， 所以()h x ，在(0,)+∞存在唯一的零，故()g x '在(0,)+∞存在唯一的零点. 设此零点为a ，则(1,2)a ∈. 当(0,)x a ∈时，()0g x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0g x '>. 所以()g x 在(0,)+∞的最小值为()g a . 又由()0g a '=，可得2a e a =+，所以()1(2,3)g a a =+∈. 由于①式等价于()k g a <，故整数k 的最大值为2 【2013新课标1】20. 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； ln ()1x f x x > -ln ()1x f x x >-0x >1x ≠ln ()1 x f x x >-