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概率论知识点总结及心得体会

概率论知识点总结及心得体会
概率论知识点总结及心得体会

概率论总结及心得体会

2008211208班

08211106号

史永涛

班内序号:01

目录

一、前五章总结

第一章随机事件和概率 (1)

第二章随机变量及其分布 (5)

第三章多维随机变量及其分布 (10)

第四章随机变量的数字特征 (13)

第五章极限定理 (18)

二、学习概率论这门课的心得体会 (20)

一、前五章总结

第一章随机事件和概率

第一节:1.、将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用E表示。

在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事件。

不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。

必然事件:在试验中必然出现的事情,记为S或Ω。

2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点,记作e 或ω. 全体

样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集,复合事件—多点集

一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件间的关系及运算,就是集合间的关系和运算。

3、定义:事件的包含与相等

若事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含A,记为B?A

或A?B。

若A?B且A?B则称事件A与事件B相等,记为A=B。

定义:和事件

“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件

A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A,或e∈B}。

定义:积事件

称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件,记为A∩

B或AB,用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。

定义:差事件

称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差

事件,记为A-B,用集合表示为 A-B={e|e∈A,e?B} 。

定义:互不相容事件或互斥事件

如果A ,B 两事件不能同时发生,即AB =Φ ,则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。 定义6:逆事件/对立事件

称事件“A 不发生”为事件A 的逆事件,记为ā 。A 与ā满足:A ∪ā= S,且A ā=Φ。 运算律:

设A ,B ,C 为事件,则有

(1)交换律:A ∪B=B ∪A ,AB=BA (2)结合律:A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC

(3)分配律:A ∪(B ∩C)=(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C)= AB ∪AC (4)德摩根律: 小结:

事件的关系、运算和运算法则可概括为 四种关系:包含、相等、对立、互不相容; 四种运算:和、积、差、逆;

四个运算法则:交换律、结合律、分配律、对偶律。 第二节:

B

A B A I Y =B

A B A Y I =

1、 设试验E 是古典概型, 其样本空间S 由n 个样本点组成 , 事件

A 由k 个样本点组成 . 则定义事件A 的概率为:P(A)=k/n =

A 包含的样本点数/S 中的样本点数。

2、 几何概率:设事件A 是S 的某个区域,它的面积为 μ(A ),则

向区域S 上随机投掷一点,该点落在区域A 的概率为:

P (A )=μ(A )/μ(S ) 假如样本空间S 可用

一线段,或空间中某个区域表示,并且向S 上随机投掷一点的含义如前述,则事件A 的概率仍可用(*)式确定,只不过把 理解为长度或体积即可. 概率的性质:

(1)P(φ)=0, (2)

(3) (4) 若A ?B ,则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A).

第四节:条件概率:在事件B 发生的条件下,事件A 发生的概率称为A 对B 的条件概率,记作P (A |B ).

而条件概率P (A |B )是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时A 发生的可能性大小,即P (A |B )仍是概率. 乘法公式: 若P (B )>0,则P (AB )=P (B )P (A |B )

()∑∞

=∞==???? ??1

1m m P P ΦΦY Θ();

,,,,2,1,,,1

1∑===???? ??≠=n

k k n k k j i A P A P j i n j i A A Y Λ则两两互不相容,),

(1)(A P A P -=()()

B P AB P B A P =

)|(

P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)

全概率公式:设A 1,A 2,…,A n 是试验E 的样本空间Ω的一个划分,且

P (A i )>0,i =1,2,…,n , B 是任一事件, 则 贝叶斯公式:设A 1,A 2,…,A n 是试验E 的样本空间Ω的一个划分,且

P (A i )>0,i =1,2,…,n , B 是任一事件且P (B )>0, 则

第五节 :若两事件A 、B 满足

P (AB )= P (A ) P (B ) 则称A 、B 独立,或称A 、B 相互独立. 将两事件独立的定义推广到三个事件: 对于三个事件A 、B 、C ,若

P (AC )= P (A )P (C ) P (AB )= P (A )P (B )

P (ABC )= P (A )P (B )P (C ) P (BC )= P (B )P (C ) 四个等式同时 成立,则

称事件 A 、B 、C 相互独立.

第六节:定理 对于n 重贝努利试验,事件A 在n 次试验中出现k 次的概率为 总结:

1. 条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有密切的关系,在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色。

2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用,请牢固掌握。

3. 独立性是概率论中的最重要概念之一,亦是概率论特有的概念,应正确理解并应用于概率的计算。

∑==n i i i A B P A P B P 1

)

()()(|∑==n

j j

j

i i i A B P A P A B P A P B A P 1

)

()()

()()|(||p

q n k q

p C k P k

n k k n n -===-1,,,1,0)(K

4.贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一,在应用上相当广

泛。

第二章:随机变量及其分布

1 、随机变量:分为离散型随机变量和连续型随机变量。

分布函数:设 X是一个r.v,x为一个任意实数,称函数

F(X)=P(X≤x)为X的分布函数。X的分布函数是F(x)记作

X ~ F(x)或F X(x).

如果将X看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数F(x) 的值就表示X落在区间(x≤X)。

3、离散型随机变量及其分布

定义1 :设x k(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值,称等式P(X=x k)=P K,为离散型随机变量X的概率

函数或分布律,也称概率分布.其中P K,≥0;ΣP k=1

分布律与分布函数的关系:

(1)已知随机变量X的分布律,可求出X的分布函数:

①设一离散型随机变量X 的分布律为 P{X=x k }=p k (k=1,2,…) 由概率的可列可加性可得X 的分布函数为

②已知随机变量X 的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。 (2)已知随机变量X 的分布函数,可求出X 的分布律:

一、 三种常用离散型随机变量的分布 . 1(0-1)分布:

设随机变量X 只可能取0与1两个值,它的分布律为 P{X=k}=p k (1-p)1-k , k=0,1. (0

X 0 1

P 1-p p 易求得其分布函数为

2.二项分布(binomial distribution): 定义:若离散型随机变量X 的分布律为

其中0

∑∑≤≤=

==≤=x

x k

x

x k k k p

x F x X

P x X P x F )(}

{}{)(即Λ

,3,2,1)

0()(}{=--==k x F x F x X P k k k ??

?

??≥<≤-<=11

0100

)(x p x p x x F {}n

k q

p C k X P k

k k n ,,1,01Λ===-

4、 泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X 所有可能取的值

为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为: 其中 入 >0 是常数,则称 X 服从参数为 入 的泊松分布,记作

X ~P (入).、

连续型随机变量 1概率密度f(x)的性质 (1)f(x)≥0 (2) (3).X 落在区间(x 1,x 2)的概率 几何意义:X 落在区间(x 1,x 2)的概率P{x 1

(1)若连续型随机变量X 具有概率密度f(x ),则它的分布函数为 (2)若连续型随机变量X 的分布函数为F(x ),那么它的概率密度为f(x )=F′(x ).

注意:对于F(x )不可导的点x 处,f(x )在该点x 处的函数值可任意给出。

三种重要的连续型分布:

1.均匀分布(Uniform Distribution) 设连续随机变量X 具有概率密度

则称X 在区间(a ,b)上服从均匀分布,记为X ~U(a ,b).

,

,,,,!

)(ΛΛ210===-k k e

k X P k

λλ

1

)(=?∞

+∞-dt t f {}?=-=≤<2

1

)()()(1221x x

dx

x f x F x F x X x P dt

t f x F x ?∞

-=)()(???

??<<-=其他

1)(b x a a

b x f

若X~U(a,b),则容易计算出X的分布函数为

2. 指数分布入>0

则称X服从参数为入的指数分布.

常简记为X~E( 入)

指数分布的分布函数为

指数分布的一个重要特性是”无记忆性”.

设随机变量X满足:对于任意的s>o,t>0,有则称随机变量X具有无记忆性。

3. 正态分布

若r.v X的概率密度为

其中μ和都是常数,任意,μ >0,

则称X服从参数为μ和的正态分布. 记作

f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.

的正态分布称为标准正态分布.

标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通

过线性变换转化为标准正态分布.

随机变量函数的分布

?

?

?

<

=

-

)

(

x

x

e

x

f

λ

2

σ

)

,

(

~2

σ

μ

N

X

1

,0=

μ

?

?

?

??

?

?

-

-

<

=

b

x

b

x

a

a

b

a

x

a

x

x

F

1

)

(

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?

?

>

-

=

-

1

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(

x

x

e

x

F

{}{}t

X

P

s

X

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s

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P≥

=

+

≥|

<

<

-

=

-

-

x

e

x

f

x

,

)

(

)

(

2

2

2

2

1

σ

μ

π

σ

设X 为连续型随机变量,具有概率密度f x (x),求Y=g(X) (g 连续)的概率密度。

1.一般方法——分布函数法 可先求出Y 的分布函数F Y (y):

因为F Y (y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y},设l y ={x|g(x)≤y} 则

再由F Y (y)进一步求出Y 的概率密度

2. 设连续型随机变量X 的密度函数为?X (x), y=f(x)连续, 求Y= f(X)的密度函数的方法有三种: (1)分布函数法;

(2)若y=f(x)严格单调,其反函数有连续导函数,则 可用公式法;

(3)若y=g(x)在不相重叠的区间I 1,I 2,…上逐段严格单 调,其反函数分别为h 1(y), h 2(y), …,且h '1(y), h '2(y), …,均为连续函数,则Y= g(X)是连续型随机变量, 其密度函数为

对于连续型随机变量,在求Y =g (X ) 的分布时,关键的一步是把事件 { g (X )≤ y } 转化为X 在一定范围内取值的形式,从而可以利用 X 的分布来求 P { g (X )≤ y }.。 第三章 、多维随机变量

(){}?

?<==∈=y

x g X l X y Y dx

x f dx x f l X P y F y

)()()(())

(y F y f Y Y '=()()[]()()[]()Λ

+'

+'=y h y h y h y h y X X Y 2211???

. 分布函数的性质

对于任意固定的y , 对于任意固定的x ,

离散型随机变量的分布、

连续型随机变量及其概率密度

.,),(},{)}(){(),( :,

,,),( 的联合分布函数和量或称为随机变

的分布函数称为二维随机变量二元函数对于任意实数是二维随机变量设Y X

Y X y Y x X P y Y x X P y x F y x Y X ≤≤=≤≤=I ),

,(),(,,),(11212o

y x F y x F x x y y x y x F ≥>时当意固定的即对于任

的不减函数和是变量,

1),(02

o

≤≤y x F ,

0),(lim ),(==-∞-∞

→y x F y F x ,

0),(lim ),(==-∞-∞

→y x F x F y ,0),(lim ),(==-∞-∞-∞

→-∞

→y x F F y x .1),(lim ),(==+∞+∞+∞

→+∞

→y x F F y x .

,),(,

)0,(),(,),0(),(3

o

也右连续关于右连续关于即y x y x F y x F y x F y x F y x F +=+=,,),,(),,(421212211o

y y x x y x y x <<对于任意.

0),(),(),(),( 21111222≥-+-y x F y x F y x F y x F 有 . ,

),( ,

,2,1,,},{,,2,1,),,(),(的联合分布律和或随机变量的分布律变量称此为二维离散型随机记

值为所有可能取的设二维离散型随机变量Y X Y X j i p y Y x X P j i y x Y X ij j i j i ΛΛ=====.1,011

=≥∑∑∞=∞

=i j ij ij p p 其中.

1),(d d ),()2(=∞∞=?

?

∞+∞-∞+∞

-F y x y x f

性质

边缘分布 1离散型随机变量的边缘分布律

连续型随机变量的边缘分布

随机变量的独立性:

.

0),()1(≥y x f (3),(,)G xOy X Y G 设是平面上的一个区域点落在内的概率为.

d d ),(}),{(??=∈G

y x y x f G Y X P .

),()

,(,),(),()4(2y x f y

x y x F y x y x f =???则有连续在若.

),(),2,1(),2,1(,

,2,1},

{,

,2,1},{.

,2,1,,},{),(11的边缘分布律和关于关于为和分别称记律为的联合分布

设二维离散型随机变量Y X Y X j p i p j y Y P p p i x X P p p j i p y Y x X P Y X j i j i ij j i j ij i ij j i ΛΛΛΛΛ==============??∞

=?∞

=?∑∑.

),(,

d ),()(,

d ]d ),([),()(,),(,),(的边缘概率密度关于称其为随机变量记

由于

度为设它的概率密对于连续型随机变量X Y X v v x f x f u v v u f x F x F y x f Y X X x

X ???∞

-∞

-∞

∞-==∞=.

,

)()(),(},{}{},{, .),( )(,)(),(的是和则称随机变量即

有若对于所有函数的分布函数及边缘分布

量分别是二维随机变及 设相互独立Y X y F x F y x F y Y P x X P y Y x X P y x Y X y F x F y x F Y X Y X =≤≤=≤≤则有

边缘概率密度分别为的概率密度为设连续型随机变量,)(,)(,),(),()3(y f x f y x f Y X Y X 相互独立

和Y X ?).

()(),(y f x f y x f Y X =

两个随机变量函数的分布

一、 离散型随机变量函数的分布

二、 连续型随机变量函数的分布

第四章.、随机变量的数字特征 随机变量的数学期望

E (X )是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值. 2.连续型随机变量数学期望的定义

的分布律为

若二维离散型随机变量,

,2,1,,},{Λ====j i p y Y x X P ij j i 的分布律为

则随机变量函数),(Y X g Z =}

),({}{k k z Y X g P z Z P ===.),(~,.),(~

,),(~,,22

21

2122

221

1σσμμN Z Y X Z σμN Y σμN X Y X +++=且有仍然服从正态分布则相互独立且设

一般.

,,),,2,1(,,,,,12121分布的服从参数为则

分布的服从参数为且相互独立若Γ+++Γ=∑=βαX X X n i βαX X X X n

i i n i i n ΛΛΛ.

)(.)(,,.

,2,1,}{11

1∑∑∑∞

=∞

=∞

=====k k k k k k k k k k k p x X E X E X p x p x k p x X P X 即

记为的数学期望变量为随机则称级数绝对收敛若级数

的分布律为

设离散型随机变量Λ

数学期望的本质 —— 定积分 它是一个数不再是随机变量 3.数学期望的性质

E (C ) = C E (CX ) = CE (X )

E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )

当X ,Y 独立时,E (X Y ) = E (X )E (Y ) 若存在数 a 使 P (X ≥ a ) = 1, 则 E (X ) ≥ a ; 若存在数 b 使 P (X ≤ b ) = 1, 则 E (X ) ≤ b.

第二节:随机变量的方差 方差的定义

D (X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值

的平均偏离程度 5. 随机变量方差的计算

.

d )()(.)(,d )(,d )(,)(???∞

+∞-∞

+∞-∞

+∞-=x x f x X E X E X x x f x x

x f x x f X 即

记为的数学期望的值为随机变量

则称积分绝对收敛积分

若的概率密度为设连续型随机变量C X E a C X a E n

i i i n

i i i +=??? ??+∑∑==1

1)(,

}])([{,}])([{,22的方差为则称存在若是一个随机变量设X X E X E X E X E X --.

}])([{)Var()(,)Var()(2X E X E X X D X X D -==即

或记为

利用公式计算

方差的性质 1.D (C ) = 0 2.D (CX ) = C 2D (X )

D (aX+b ) = a 2D (X )

特别地,若X ,Y 相互独立,则

若X i ,X j 均相互独立,均为常数,则

2若X ,Y 相互独立可得 逆命题不成立;

3若X ,Y 相互独立可得 逆命题不成立。

4. 对任意常数C, D (X ) ≤ E (X – C )2 ,当且仅当C = E (X )时等号成立

5. D (X ) = 0 等价于P (X = E (X ))=1 称为X 依概率 1 等于常数

E (X )。

切比雪夫不等式

设随机变量X 有期望E (X )和方差 ,则对于 任给 >0, ()))())(((2)

()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --±+=±b a a a n ,,,,21Λ∑∑===??

? ??+n

i i i n i i i X D a b X a D 1

21)

.

)]([)()(22X E X E X D -=)

()()(Y D X D Y X D +=±)

()()(Y D X D Y X D +=±)

()()(Y E X E XY E =2

2

}|)({|ε

σε≤≥-X E X P 2

2

1}|)({|ε

σε-≥<-X E X P

第三节、协方差与相关系数

.

})]()][([{),ov(C ,),Cov(.}])([])([{Y E Y X E X E Y X Y X Y X Y E Y X E X E --=--即记为的协方差与称为随机变量量.

)

()(),Cov(的相关系数与为随机变量Y X Y D X D Y X ρXY ?=

若则称x ,y 不相关。

注:(1)X 和Y 的相关系数又成为标准协方差,它是一个无量纲的量。

2、若随机变量X 和Y 相互独立

协方差的计算公式

1、 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

2、 D(X+_Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 协方差的性质:

相关系数:

1、 二维正态分布密度函数中,参数p 代表了与Y 的相关系数。

,0=XY

ρ),(Cov 2)()(Y X Y D X D ++=)]}

()][({[),Cov(Y E Y X E X E Y X --=?)]

([)]([Y E Y E X E X E --=.

0=)]}

()][({[2 )()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+?).()(Y D X D +=

);,Cov(),Cov()1(X Y Y X =;

, , ),Cov(),Cov()2(为常数b a Y X ab bY aX =).

,Cov(),Cov(),Cov()3(2121

Y X Y X Y X X +=

+

2、 二维正态随机变量X 和Y 相关系数为零等价于X 和Y 相互独

立。

即 XY 相互独立 等价于 XY 不相关 不相关的充要条件

相关系数的性质:

第五章:极限定理

大数定理:设{Xn}为一随机变量序列,E(Xn)存在,记

则称{Xn}服从(弱)大数定律。

切比雪夫大数定律: 设 X 1,X 2, …是相互独立的随机变量序列,它们都有有限的方差,并且方差有共同的上界,即 D (X i ) ≤K ,

i =1,2, …,则对任意的ε>0

;

0,1o

=?XY ρY X 不相关;

0),Cov(,2

o

=?Y X Y X 不相关).

()()(,3o

Y E X E XY E Y X =?不相关.

1)1(≤XY ρ.

1}{,:1)2(=+==bX a Y P b a ρXY 使

存在常数的充要条件是()[]Λ

,2,111

=-=∑=n X E X n Y n

i i i n {}()[],11lim lim 1=??????<-=<∑=∞→∞→εεn

i i i n n

n X E X n P Y P 若∑∑==∞→=<-n i n

i i i n X E n X n P 11

1}|)(11{|lim ε

马尔科夫条件:在切比雪夫大数定理的证明过程中可以看出

只要 (△), 则大数定理就能成立。 切比雪夫大数定律的特殊情况:设X 1,X 2, …是独立随机变量

序列,且E (X i )= μ,D (X i )= , i =1,2,…,则对任给

>0,

辛钦大数定律:设随机变量序列X 1,X 2, …独立同分布,具有有限

的数学期E (X i )=μ, i=1,2,…, 则对任给ε >0 , 辛钦大数不要求随机变量的方差存在.它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 中心极限定理:

独立同分布下的中心极限定理:

设X 1,X 2, …是独立同分布的随机变量序列,且E (X i )=

D (X i )= ,i =1,2,…,则

二、心得体会

1、自己学习概率论的一些感想

刚刚拿到概率论课本时,翻看了前几节,感觉都是高中学过的,心里还有点小得意,后来第一节课上老师将那些知识一带而过,并声明了后面才是重点,我才开始重视起这门课。

2

σεμ2

σ

0)(1lim 1

2=∑=∞→n

i i n X D

n ?

=x

-2

t -dt e 212π

1}|1{|lim 1

=<-∑=∞→εμn

i i n X n P 1}|1{|lim 1

=<-∑=∞

→εμn

i i n X n P

通过这半个学期的学习,我感觉这门课想要大致掌握一些知识,不难;想学的很精通,不易。

我感觉自己在这门课上下的功夫远远不够,课下没有花时间去进行复习,而只是看看上节课老师讲的内容,然后做完作业就算没事了,这样导致上课的时候有时会跟不上老师的思路。比如老师在讲

后面的内容时用到前面的知识,就当做已知的内容去说,而我由于

对前面的知识掌握的不牢固,不知道老师的这个步骤是怎样得出的,还得花时间思考,有时还会影响接下来的听课。

所以,我觉得我们在学习这门课的过程中必须注意课下花时间去进行复习,不能说做完作业就没事了,必须牢固的掌握前面的知识,才会为后面的学习打下良好的基础。

2.、概率论这门课程在现实生活中的重要意义

从课本中的例题我们就可以看出,概率论在我们的日常生活中有

着重要的现实意义。例如根据机器发生故障的概率去设定配备工人

的数量;可以根据运动员平时得分的概率去决定重要的重要的比赛

派谁上场;再有选举的先后性,排序的公平性,我们可以利用概率

为生活中的很多判断做出依据,所以说概率论这门课程比起我们其

他的专业课来有着增为重要的现实意义。

(1)、利用概率游戏规则的公平性,判断实际生活中的一些现象

是否合理。

(2)、在风险与决策中经常会用到统计中的一些方法,从而做出

正确的判断与选择。

(3.)、在对各种自然现象、灾害的研究过程中经常会用到概率的思想进行预测。

概率统计知识点汇总

概率第一章 (一)概率的加减乘除运算 (二) 概率的计算 1. 古典概型的计算 2. 条件概率的计算 (三) 全概率公式与贝叶斯公式 (四) n 重伯努利试验 概率第二章 (一)随机变量分布函数 1. 分布函数的定义及性质 2. 学会用分布函数表示随机变量落入指定区域的概率 (二)离散型随机变量 1. 具体问题会求解离散型随机变量的分布列 分布列要满足的条件 2. 由分布列会求解分布函数 3. 由分布函数会求解分布列 4. 掌握三个常见的离散型随机变量 (三)连续型随机变量 1. 由分布函数会求解分布密度 2. 由分布密度会求解分布函数 3. 利用分布密度求解未知参数 4. 掌握三个常见的连续型随机变量 (四)随机变量函数的分布 1. 离散型随机变量的函数 2. 连续型随机变量的函数 概率第三章 二维随机向量 (一)联合分布函数的定义及性质 联合概率分布函数定义为____),(=y x F 联合分布函数的性质: ___),(____,),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F y F x F 用联合概率分布函数表示二维随机向量落入指定区域的概率 ____),(2121=≤<≤

概率论与数理统计知识点总结!

《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述,要求用运算关系符表示事件: 二、给出事件运算关系符,要求判断其正确性: §1.2 概率 古典概型公式:P (A )= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1:将n 个球随机地放到n 个盒中去,问每个盒子恰有1个球的概率是多少?解:设A : “每个盒子恰有1个球”。求:P(A)=?Ω所含样本点数:n n n n n =???... Α所含样本点数:!1...)2()1(n n n n =??-?-?n n n A P ! )(=∴ 补例2:将3封信随机地放入4个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少? 解:设A i :“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求:P(A i )=? Ω所含样本点数:6444 443==?? A 1所含样本点数:24234=?? 8 36424)(1== ∴A P A 2所含样本点数: 363423=??C 16 9 6436)(2== ∴A P A 3所含样本点数:443 3 =?C 16 1644)(3== ∴A P 注:由概率定义得出的几个性质: 1、0

P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n ) 推论2:设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组,则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1 推论3: P (A )=1-P (A ) 推论4:若B ?A ,则P(B -A)= P(B)-P(A) 推论5(广义加法公式): 对任意两个事件A 与B ,有P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(A B) 补充——对偶律: n n A A A A A A ???=???......2121 n n A A A A A A ???=??? (2121) §1.4 条件概率与乘法法则 条件概率公式:P(A/B)= )()(B P AB P (P(B)≠0)P(B/A)= ) () (A P AB P (P(A)≠0) ∴P (AB )=P (A /B )P (B )= P (B / A )P (A ) 有时须与P (A+B )=P (A )+P (B )-P (AB )中的P (AB )联系解题。 全概率与逆概率公式: 全概率公式: ∑==n i i i A B P A P B P 1 )/()()( 逆概率公式: ) () ()/(B P B A P B A P i i = ),...,2,1(n i = (注意全概率公式和逆概率公式的题型:将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用逆概率公式。) §1.5 独立试验概型 事件的独立性: )()()(B P A P AB P B A =?相互独立与 贝努里公式(n 重贝努里试验概率计算公式):课本P24 另两个解题中常用的结论—— 1、定理:有四对事件:A 与B 、A 与B 、A 与B 、A 与B ,如果其中有一对相互 独立,则其余三对也相互独立。 2、公式:)...(1)...(2121 n n A A A P A A A P ???-=??? 第二章 随机变量及其分布

概率论重要知识点总结

概率论重要知识点总结 概率论重要知识点总结 第一章随机事件及其概率 第一节基本概念 随机实验:将一切具有下面三个特点: (1)可重复性 (2)多结果性 (3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用表示。 随机事件:在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为。必然事件:在试验中必然出现的事情,记为Ω。 样本点:随机试验的每个基本结果称为样本点,记作ω.样本空间:所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集,复合事件—多点集一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算(就是集合的关系和运算)包含关系:若事件发生必然导致事件B发生,则称B 包含A,记为,则称事件A与事件B 相等,记为A=B。 事件的和:“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A 与事件B 事件的积:称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。事件的差:称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为A-B。用交并补可以表示为互斥事件:如果A,B两事件不

能同时发生,即AB=Φ,则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A+B。对立事件:称事件“A不发生”为事件A 的对立事件(逆事件),记为A 。对立事件的性质:事件运算律:设A,B,C为事件,则有: (1)交换律:AB=BA,AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC (3)分配律:A(BC)=(AB)(AC)ABAC (4)对偶律(摩根律): 第二节事件的概率 概率的公理化体系:第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域,它的面积为μ(A),则向区域上随机投掷一点,该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段,或空间中某个区域表示,则事件A 的概率仍可用上式确定,只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率:在事件B 发生的条件下,事件A 发生的概率称为条件概率,记作乘法公式: P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)全概率公式:设第五节事件的独立性两个事件的相互独立:若两事件A、B 满足P(AB)=相互独立.三个事件的相互独立:对于三个事件A、B、C,若P(AB)=相互独立三个事件的两两独立:对于三个事件A、B、C,若P(AB)=两两独立独立的性质:若A 均相互独立总结: 1.条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有密切的关系,在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色。 2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用,应

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数:一组数据中,出现次数最多的数。 2、平均数:①、常规平均数:12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数:从大到小或者从小到大排列,最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差:2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积:f S y d ==?距;频率=频数/总数 2、频率之和:121n f f f ++???+=;同时 121n S S S ++???+=; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数:最高小矩形底边的中点。 2、平均数: 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数:从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值。 4、方差:22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程:???y bx a =+ 其中:1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ; 2、?0:b >正相关;?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程:???y bx a =+的斜率?b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差:??i i i e y y =-(残差=真实值—预报值)。分析:?i e 越小越好; 2、残差平方和:21?()n i i i y y =-∑, 分析:①意义:越小越好; ②计算:222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度(相关指数):221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑,分析:①.(]20,1R ∈的常数; ②.越大拟合度越高; 4、相关系数 :()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析:①.[r ∈-的常数; ②.0:r >正相关;0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈;相关性一般; [0.75,1]r ∈;相关性很强; 六、独立性检验 1、2×2列联表: 2、独立性检验公式 ①.2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②.犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤

最新统计概率文科题型总结

精品文档 统计和概率高考题型总结 题型一、频率分布直方图 1.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计, 随机抽取M 名学生作为样本,得到这M 名学生参加社区服务的次数. 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下: (Ⅰ)求出表中,M p 及图中a 的值; (Ⅱ)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15) 内的人数; (Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间 [25,30)内的概率. 题型二、古典概型 2.某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: (I )若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a ,b ,c 的值; (Ⅱ)在(I )的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x 1,x 2,x 3,等级系数为5的2件日用品记为y 1,y 2,现从x 1,x 2,x 3,y 1,y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率. 题型三、回归方程 3.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5

精品文档 (I )从3月1日至3月5日中任选2天,记发芽的种子数分别为,,求事件“,均小于25”的概率; (II )请根据3月2日至3月4日的数据,求出y 关于x 的线性回归方程???y bx a =+; (III )若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方 程是可靠的,试问(II )所得的线性回归方程是否可靠? (参考公式:回归直线方程式???y bx a =+,其中1 2 2 1 ???,n i i i n i i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑) 题型四、独立性检验 4. 为了解学生喜欢数学是否与性别有关,对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表: (1(2(参考公式:2 () ()()()() n a d b c K a bc d a cb d -=+ +++,其中na b cd =+++ ) 题型五、茎叶图 5.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量它们的身高(单位:cm ),获得身高数据的茎叶图如图所示。 甲班 乙班 2 18 1 9 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 9 (1) 根据茎叶图判断哪两个班的平均身高较高; (2) 计算甲班的样本方差; (3) 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率。 题型六、分层抽样 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19. (1) 求x 的值;

概率论知识点总结

概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节:1.、将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结 果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用 E表示。 在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随 机事件,简称为事件。 不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。 必然事件:在试验中必然出现的事情,记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点,记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集,复合事件—多点集 一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算,就是集合间的关系和运算。 3、定义:事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含A,记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等,记为A=B。 定义:和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A,或e∈B}。 定义:积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件,记为A∩ B或AB,用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义:差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A-B,用集合表示为 A-B={e|e∈A,e?B} 。 定义:互不相容事件或互斥事件 如果A,B两事件不能同时发生,即AB=Φ,则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。 定义6:逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件,记为ā。A与ā满足:A ∪ā= S,且Aā=Φ。

高中数学统计与概率知识点(原稿)

高中数学统计与概率知识点(文) 第一部分:统计 一、什么是众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数。 众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多;②众数反映了一组数据的集中趋势,当众数出现的次数越多,它就越能代表这组数据的整体状况,并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是,当一组数据大小不同,差异又很大时,就很难判断众数的准确值了。此外,当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时,用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据;平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列,位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时,为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时,首先要先排序(从小到大或从大到小),然后根据数据的个数,当数据为奇数个时,最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时,最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时,就用各数据的总和除以数据的个数,得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的,可能是这组数据中的数据,也可能不是这组数据中的数据; ⑵求中位数时,先将数据有小到大顺序排列,若这组数据是奇数个,则中间的数据是中位数;若这组数据是偶数个时,则中间的两个数据的平均数是中位数; ⑶中位数的单位与数据的单位相同; ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数; ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关,它一定是一组数据中的某个数据,其单位与数据的单位相同; (6)众数可能是一个或多个甚至没有; (7)平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。

最新统计概率知识点归纳总结大全

统计概率知识点归纳总结大全 1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 4.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. 5. 掌握离散型随机变量的分布列. 6.掌握离散型随机变量的期望与方差. 7.掌握抽样方法与总体分布的估计. 8.掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )=) ()(I card A card =n m ; 等可能事件概率的计算步骤: (1) 计算一次试验的基本事件总数n ; (2) 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; (3) 依公式()m P A n =求值; (4) 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P (A +B )=P (A )+P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )+P (A )=P (A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )=P (A )·P (B ); 特例:独立重复试验的概率:P n (k )=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: ① 求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P (i x =ξ)=i P ,则称下表.

概率统计大题总结

概率与统计大题总结 一、 知识点汇编: 1.线性回归分析 (1)函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)线性回归分析:方法是画散点图,求回归直线方程,并用回归直线方程进行预报.其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为: 回归模型中,R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率.R 2越接近于1,表示回归的效果越好.如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析,也可以通过比较几个R 2,选择R 2大的模型作为这组数据的模型. 说明:r 只能用于线性模型,R 2则可用于任一种模型. 对线性回归模型来说,2 2 =R r . 3、独立性检验 (1)对于性别变量,其取值为男和女两种.这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类 别,像这类变量称为分类变量. (2)假设有两个分类变量X 和Y ,它们的值域分别为{}11x ,y 和{}12y ,y 其样本频数列联表

称为 y 1 y 2 总计 x 1 a b a +b x 2 c d c +d 总计 a +c b +d a + b + c +d (3)构造随机变量()()()()()() 2 2 +++-= ++++a b c d ad bc K ,a b c d a c b d 利用K 2的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”,这种方法称为 如:如果k >7.879,就有99.5%的把握认为“X 与Y 有关系”. 4、概率 事件的关系: ⑴事件B 包含事件A :事件A 发生,事件B 一定发生,记作B A ?; ⑵事件A 与事件B 相等:若A B B A ??,,则事件A 与B 相等,记作A=B ; ⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A 发生或B 发生,记作B A ?(或B A +) ; ⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A 发生且B 发生,记作B A ?(或 AB ) ; ⑸事件A 与事件B 互斥:若B A ?为不可能事件(φ=?B A ),则事件A 与互斥;

高考数学概率与统计知识点汇编

高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)=)()(I card A card =n m ; 等可能事件概率的计算步骤: 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P(A +B)=P(A)+P(B); 特例:对立事件的概率:P(A)+P(A )=P(A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P(A ·B)=P(A)·P(B); 特例:独立重复试验的概率:Pn(k)=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: 求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 例1. 在五个数字12345,,,,中,。 例2. 若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示). [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===?

概率统计大题题型总结(理)学生版

统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.(2013广东理17)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.(2013新课标Ⅱ理)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆,理3】重庆市2013年各月的平均气温(o C )数据的茎叶图如下: 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是( ) A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t

概率论知识点总结

概率论知识点总结 第一章 随机事件及其概率 第一节 基本概念 随机实验:将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用 E 表示。 随机事件:在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事件。 不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。 必然事件:在试验中必然出现的事情,记为Ω。 样本点:随机试验的每个基本结果称为样本点,记作ω. 样本空间:所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集,复合事件—多点集 一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件的关系与运算(就是集合的关系和运算) 包含关系:若事件 A 发生必然导致事件B 发生,则称B 包含A ,记为A B ?或B A ?。 相等关系:若A B ?且B A ?,则称事件A 与事件B 相等,记为A =B 。 事件的和:“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为 A ∪B 。 事件的积:称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件,记为A∩ B 或AB 。 事件的差:称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A -B 。 用交并补可以表示为B A B A =-。 互斥事件:如果A ,B 两事件不能同时发生,即AB =Φ,则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时B A ?可记为A +B 。 对立事件:称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件(逆事件),记为A 。对立事件的性质: Ω=?Φ=?B A B A ,。 事件运算律:设A ,B ,C 为事件,则有 (1)交换律:A ∪B=B ∪A ,AB=BA (2)结合律:A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC (3)分配律:A ∪(B∩C)=(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC (4)对偶律(摩根律):B A B A ?=? B A B A ?=? 第二节 事件的概率 概率的公理化体系: (1)非负性:P(A)≥0; (2)规范性:P(Ω)=1 (3)可数可加性: ????n A A A 21两两不相容时

初中统计与概率知识点

(一)统计篇 主要知识点(三种统计图,科学计数法,近似数,有效数字,平均数,众数, 中位数,普查,抽查,频数,频率,极差,方差,标准差) 一、生活中的数据(一)(七年级上册第六章)三种统计图略 二、生活中的数据(二)(七年级下册第三章) 1.科学计数法: ①一个绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示成的形式,其中,n是负整数。 ②技巧:n的绝对值等于这个数的左边第一个非零数字前面的零的个数。 ③一百万=1×106一亿=1×108 2.近似数和有效数字:目标:取近似数,能指出近似数的有效数字。 精确数是与实际完全符合的数,近似数是与实际非常接近的数。 有时我们根据具体情况,采用四舍五入法选择一个数的近似数。 注意:用四舍五入法取近似数时,很容易将小数点末尾的零去掉,一定要注意精确到的数位(及四舍五入到的数位)。如四舍五入到千分位是,注意不要去掉末尾的零。四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。 对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确的数位(即四舍五入到的数位)止,所有的数字都叫做这个数的有效数字。 三、数据的代表(八年级上册第八章) 1.平均数:目标:会求一组数据的平均数与加权平均数 我们常用平均数(算术平均数)表示一组数据的“平均水平”。 在实际问题中,一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时,往往给每个数据一个“权”,这样的平均数叫做加权平均数。 例如;你的小测成绩是80分,期末考成绩是90分,老师要计算总的平均成绩,就按照小测40%、期末成绩60%的比例来算,所以你的平均成绩是:80×40%+90×60%=86 学校食堂吃饭,吃三碗的有χ人,吃两碗的有y人,吃一碗的z人。平均每人吃多少?

概率统计知识点全面总结

知识点总结:统计与概率 I 统计 1.三大抽样 (1)基本定义: ① 总体:在统计中,所有考查对象的全体叫做全体. ② 个体:在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. ③ 样本:从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. ④ 样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量. (2)抽样方法: ①简单随机抽样:逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法:整体编号( 1~N )放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次,即可得样本容量为 n 的样本。 随机数表法:整体编号(等位数,如001、111不能是1、111) 从0~9中随机取一行一列然后初方向随机 (上、下、左、右)重复,超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样:容量大.等距,等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号,若N 无法被整除,则剔除后再分组,n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体,设为l ,则编号为l ,k+l ,2k+l ……(n-1)k ,抽出容量为n 的样本。(每组编号相同)。 ③分层抽样:总体差异明显.按所占比例抽取.等可能.=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成,经总体分成几个部分,然后按照所占比例进行抽样.抽样比为:k =n N 3.总体分布的估计: (1)一表二图: ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图: ①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据的分布,以及中位数.众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书写,相同的数据重复写。

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P

初中数学统计与概率知识点精炼

统计与概率 一、统计的基础知识 1、统计调查的两种基本形式: 普查:对调查对象的全体进行调查; 抽样调查:对调查对象的部分进行调查; 总体:所要考察对象的全体; 个体:总体中每一个考察的对象; 样本:从总体中所抽取的一部分个体; 样本容量:样本中个体的数目(不带单位); 平均数:对于n 个数12,,,n x x x ,我们把121()n x x x n +++ 叫做这n 个数的平均数; 中位数:几个数据按大小顺序排列时,处于最中间的一个数据(或是最中间两个数据的平均数)叫做中位数; 众数:一组数据中出现次数最多的那个数据; 方差:2222121()()()n S x x x x x x n ??=-+-++-?? ,其中n 为样本容量,x 为样本平均数; 标准差:S ,即方差的算术平方根; 极差:一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差; 频数:将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数; 频率:每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率; ★ 频数和频率的基本关系式:频率 = —————— 各小组频数的总和等于样本容量,各小组频率的总和等于1; 扇形统计图:圆表示总体,扇形表示部分,统计图反映部分占总体的百分比,每个扇形的圆心角度数=360°× 该部分占总体的百分比; 会填写频数分布表,会补全频数分布直方图、频数折线图; 频数 样本容量 各 基 础 统 计 量 频 数 的 分 布 与 应 用 2、 3、

二、概率的基础知识 必然事件:一定条件下必然会发生的事件; 不可能事件:一定条件下必然不会发生的事件; 2、不确定事件(随机事件):在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件; 3、概率:某件事情A 发生的可能性称为这件事情的概率,记为P(A); P (必然事件)=1,P(不可能事件)=0,0<P(不确定事件)<1; ★概率计算方法: P(A) = ———————————————— 例如 注:对于两种情况时,需注意第二种情况可能发生的结果总数 例:①袋子中有形状、大小相同的红球3个,白球2个,取出一个球后再取出一个球,求两个球都是白球的概率;P = 1 10 ②袋子中有形状、大小相同的红球3个,白球2个,取出一个球后放回 ..,再取出一个球,求两个球都是白球的概率;P = 4 25 1、确定事件 事件A发生的可能结果总数 所有事件可能发生的结果总数 运用列举法(常用树状图)计算简单事件发生的概率 …………

统计和概率知识点总结

数据的收集、整理与描述 1、全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2、抽样调查:调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3、总体:要考察的全体对象称为总体。 4、个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。 5、样本:被抽取的所有个体组成一个样本。 6、样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。 7、样本平均数:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 8、总体平均数:总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。 9、频数:一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 10、频率:频数与数据总数的比为频率。 11、组数和组距:在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。 数据的分析 1、平均数:一般地,如果有n 个数 ,,,,21n x x x 那么,)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数,x 读作“x 拔”。 2、加权平均数:如果n 个数中,1x 出现1f 次,2x 出现2f 次,…,k x 出现k f 次 (这里n f f f k =++ 21)。那么,根据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++=2211,这样求得的平均数x 叫做加权平均数,其中k f f f ,,,21 叫做权。 3、中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 4、众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode )。 5、极差:组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 6、在一组数据,,,,21n x x x 中,各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数,

概率统计常见题型及方法总结

概率统计常见题型及方法 总结 Prepared on 22 November 2020

常见大题: 1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”,有多个“原因或者条件 i A ”可以导致B 这个“结果”发生,考虑结果B 发生的概率,或者求在B 发生的条件下,源于某个原因i A 的概率问题 全概率公式: ()()() 1B |n i i i P B P A P A ==∑ 贝叶斯公式: 1(|)()() ()()n i i i j j j P A B P A P B A P A P B A ==∑|| 一(12分)今有四个口袋,它们是甲、乙、丙、丁,每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋,再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋,然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋,最后从丁口袋中任取一球,问取到红球的概率为多少 解 i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球,4,3,2,1=i i A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球, 2分 则 b a a B P +=)(1, 2分

)()()()()(1111111B A P B P B A P B P A P += 111++++ ++++= b a a b a b b a a b a a b a a += 2分 依次类推 2分 b a a A P i += )( 二(10分)袋中装有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都出现国徽,问这只硬币是次品的概率为多少 、解 记B ={取到次品},B ={取到正品},A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n = = ++,()1P A B =,()1 2r P A B =―—5分 ()()1()212()()()()12 r r r n P B P A B n m n P B A n m n m P B P A B P B P A B m n m n ?+===++?+?++ 三、(10分)一批产品共100件,其中有4件次品,其余皆为正品。现在每次从中任取一件产品进行检验,检验后放回,连续检验3次,如果发现有次品,则认为这批产品不合格。在检验时,一件正品被误判为次品的概率为,而一件次品被误判为正品的概率为。(1)求任取一件产品被检验为正品的概率;(2)求这批产品被检验为合格品的概率。 解 设 A 表示“任取一件产品被检验为正品”, B 表示“任取一件产品是正品”,则 ()96100P B = ,()4100 P B =,()|0.95P A B =,()|0.01P A B = (1)由全概率公式得 ()()()()()||0.9124P A P B P A B P B P A B =+= (2)这批产品被检验为合格品的概率为 ()3 3 0.91240.7596p P A ===???? 四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’,统计资料表明,发出‘0’和‘1’的概率分别为和,由于存在干扰,发出‘0’时,分别以概率和接收到‘0’和‘1’,以的概率收为模糊信号‘x ’;发出‘1’时,分别以概率和收到‘1’和‘0’,以概率收到模糊信号‘x ’。

高中数学概率统计知识点总结

高中数学概率统计知识 点总结 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]

高中数学概率统计知识点总结 一、抽样方法 1.简单随机抽样 2.简单随机抽样常用的方法:(1)抽签法;⑵随机数表法。 3.系统抽样:K (抽样距离)=N (总体规模)/n (样本规模) 4.分层抽样: 二、样本估计总体的方式 1、用样本的频率分布估计总体分布 (1)频率分布直方图的画法;(2)频率的算法;(3)频率分布折线图;(4)总体密度曲线;(5)茎叶图。 茎叶图又称“枝叶图”,它的思路是将数组中的数按位数进行比较,将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干(茎),将变化大的位的数作为分枝(叶),列在主干的后面,这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数,每个数具体是多少。 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数的算法;(2)标准差、方差公式。 3、样本均值:n x x x x n +++= 21 4、.样本标准差:n x x x x x x s s n 2 22212)()()(-++-+-== 三、两个变量的线性相关 1、正相关 2、负相关 正相关:自变量增加,因变量也同时增加(即单调递增) 负相关:自变量增长,因变量减少(即单调递减) 四、概率的基本概念 (1)必然事件(2)不可能事件(3)确定事件(4)随机事件 (5)频数与频率(6)频率与概率的区别与联系 必然事件和不可能事件统称为确定事件 1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小; 2、频率一般是大概统计数据经验值,概率是系统固有的准确值; 3频率是近似值,概率是准确值

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