高考数学压轴题专练
题型突破练——压轴题专练
压轴题专练(一)
建议用时：40分钟
1．[2015·山西质监]已知椭圆E 的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)，
且经过点?
??
???1，22. (1)求椭圆E 的方程；
(2)过P (－2,0)的直线l 交E 于A ，B 两点，且PB →＝3PA →，设A ，B 两点关于x 轴的对称点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程．
解 (1)由题意知c ＝1,2a －2
2
＝
22
＋? ??
??
?222
，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1，椭圆E 的方程为x 2
2
＋y 2＝1.
(2)设l ：x ＝my －2，代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2－4my ＋2＝0， 由Δ＝8m 2－16＞0得m 2＞2.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋2，①y 1y 2＝2
m 2＋2.②
由PB →＝3PA
→，得y 2＝3y 1.③
由①②③解得m 2＝4，符合m 2＞2.
不妨取m ＝2，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －2
3
，则
所求圆的圆心为? ??
??
－13，0.又B (0,1)，
∴圆的半径r ＝10
3
.
∴圆的方程为?
????x ＋132＋y 2
＝109.
2．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足
f (0)＝1，f (1)＝0.
(1)求实数a 的取值范围；
(2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值．
解 (1)由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋b ＝－1， 则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ，
f ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －a ]e x .
依题意知，对任意的x ∈[0,1]，有f ′(x )≤0.
当a ＞0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图象开口向上，而f ′(0)＝－a ＜0，所以f ′(1)＝(a －1)e ≤0，即0＜a ≤1；当a ＝0时，对任意的x ∈[0,1]，f ′(x )＝－x e x ≤0，符合条件；当a ＜0时，f ′(0)＝－a ＞0，不符合条件．
故实数a 的取值范围是[0,1]．
(2)因为g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ，g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x ， ①当a ＝0时，g ′(x )＝e x ＞0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.
②当a ＝1时，对任意的x ∈[0,1]有g ′(x )＝－2x e x ≤0，g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.
③当0＜a ＜1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a
2a
＞0.
a ．当1－a 2a ≥1，即0＜a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )
在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e.
b ．当1－a 2a ＜1，即13＜a ＜1时，g (x )在x ＝1－a 2a
处取得最大值
g ? ??
??1－a 2a ＝2a e 1－a 2a ，在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ，g (1)＝(1－a )e ，则当13＜a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)
＝1＋a ；当e －1
e ＋1
＜a ＜1时，g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.
3．选做题
(1)[选修4－1：几何证明选讲]如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明：
①BE ＝EC ； ②AD ·DE ＝2PB 2.
(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线
C 1的参数方程为?
??
??
x ＝2cos α
y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 为C 1上的动点，P
点满足OP →＝2OM
→，点P 的轨迹为曲线C 2. ①求C 2的参数方程；
②在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π
3
与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |. (3)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x －m |＋|x ＋6|(m ∈R )．
①当m ＝5时，求不等式f (x )≤12的解集；
②若不等式f (x )≥7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)证明：①∵PC ＝2PA ，PD ＝DC ，∴PA ＝PD ，△PAD 为等腰三角形．
连接AB ，则∠PAB ＝∠DEB ＝β，∠BCE ＝∠BAE ＝α， ∵∠PAB ＋∠BCE ＝∠PAB ＋∠BAD ＝∠PAD ＝∠PDA ＝∠DEB ＋∠
DBE ，
∴β＋α＝β＋∠DBE ，即α＝∠DBE ，即∠BCE ＝∠DBE ，所以
BE ＝EC .
②∵AD ·DE ＝BD ·DC ，PA 2＝PB ·PC ，PD ＝DC ＝PA ，
BD ·DC ＝(PA －PB )PA ＝PB ·PC －PB ·PA ＝PB ·(PC －PA )， PB ·PA ＝PB ·2PB ＝2PB 2.
(2)①设P (x ，y )，则由条件知M ? ??
??
x 2，y 2.由于
M 点在C 1上，所以
?????
x
2＝2cos αy 2＝2＋2sin α
，即???
??
x ＝4cos α
y ＝4＋4sin α
.
从而C 2的参数方程为
?????
x ＝4cos α
y ＝4＋4sin α
(α为参数)．
②曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为
ρ＝8sin θ.
射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π
3，
射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π
3.
所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.
(3)①当m ＝5时，f (x )≤12即|x －5|＋|x ＋6|≤12， 当x ＜－6时，得－2x ≤13， 即x ≥－
132，所以－13
2
≤x ＜－6； 当－6≤x ≤5时，得11≤12成立，所以－6≤x ≤5； 当x ＞5时，得2x ≤11， 即x ≤112，所以5＜x ≤11
2
.
故不等式f (x )≤12的解集为???
x ?????
?
－132
≤x ≤112.
②f (x )＝|x －m |＋|x ＋6|≥|(x －m )－(x ＋6)|＝|m ＋6|， 由题意得|m ＋6|≥7，则m ＋6≥7或m ＋6≤－7，解得m ≥1或m ≤－13，
故m 的取值范围是(－∞，－13]∪[1，＋∞)．
压轴题专练(二)
建议用时：40分钟
1．如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 是椭圆的
两个顶点，椭圆的离心率为1
2，点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三
点确定的圆M 恰好与直线x ＋3y ＋3＝0相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F 作一条与两坐标轴都不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NF 恰好为△PNQ 的内角平分线，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意可知F (－c,0)，
∵e ＝12，∴b ＝3c ，即B (0，3c )，∵k BF ＝3c 0－(－c )＝3，
又∵k BC ＝－3
3，∴C (3c,0)，
圆M 的圆心坐标为(c,0)，半径为2c ， 由直线x ＋3y ＋3＝0与圆M 相切可得|c ＋3|1＋(3)
2
＝2c ，∴c ＝1.
∴椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)假设存在满足条件的点N (x 0,0)
由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ∵NF 为△PNQ 的内角平分线， ∴k NP ＝－k NQ ，即y 1
x 1－x 0
＝－
y 2
x 2－x 0
，
∴
k (x 1＋1)x 1－x 0＝－k (x 2＋1)
x 2－x 0
?(x 1＋1)(x 2－x 0)＝－(x 2＋1)(x 1－
x 0)．∴x 0＝x 1＋x 2＋2x 1x 2
x 1＋x 2＋2
.
又?????
y ＝k (x ＋1)x 2
4＋y
2
3
＝1，∴3x 2＋4k 2(x ＋1)2＝12.
∴(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.
∴x 0＝－8k 23＋4k 2＋
8k 2－243＋4k 2
2－
8k 2
3＋4k 2
＝－4，
∴存在满足条件的点N ，点N 的坐标为(－4,0)．
2．[2015·沈阳质监(一)]已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)，e 为自然对数的底数．
(1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值；
(2)当x ＞0时，求证：f (x )≥a ?
????
1－1x ；
(3)在区间(1，e)上f (x )
x －1＞1恒成立，求实数a 的取值范围．
解 (1)f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a
2
＝2，a ＝4.
(2)令g (x )＝a ? ????
ln x －1＋1x ，g ′(x )＝a ? ????1x －1x 2.
令g ′(x )＞0，即a ? ??
??
1x －1x 2＞0，解得x ＞1，
所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
所以g (x )的最小值为g (1)＝0，所以f (x )≥a ?
????
1－1x .
(3)令h (x )＝a ln x ＋1－x ，则h ′(x )＝a
x
－1，令h ′(x )＞0，解
得x ＜a .
当a >e 时，h (x )在(1，e)上单调递增，所以h (x )＞h (1)＝0. 当1＜a ≤e 时，h (x )在(1，a )上单调递增，在(a ，e)上单调递减， 所以只需h (e)≥0，即a ≥e －1.
当a ≤1时，h (x )在(1，e)上单调递减，则需h (e)≥0， 而h (e)＝a ＋1－e ＜0，不合题意． 综上，a ≥e －1.
3.选做题
(1)[选修4－1：几何证明选讲]
如图所示，AB 为圆O 的直径，CD 为圆O 的切线，切点为D ，AD ∥OC .
①求证：BC 是圆O 的切线； ②若AD ·OC ＝2，试求圆O 的半径． (2)[选修4－4：坐标系与参数方程]
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种
坐标系中取相同的单位长度．设圆C ：???
??
x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)
上的点到直线l ：ρcos ?
????
θ－π4＝2k 的距离为d .
①当k ＝3时，求d 的最大值；
②若直线l 与圆C 相交，试求k 的取值范围． (3)[选修4－5：不等式选讲] 设f (x )＝|x －3|＋|2x －4|. ①解不等式f (x )≤4；
②若对任意实数x ∈[5,9]，f (x )≤ax －1恒成立，求实数a 的取
值范围．
解 (1)①证明：如图，连接BD 、OD . ∵CD 是圆O 的切线，∴∠ODC ＝90°. ∵AD ∥OC ，∴∠BOC ＝∠OAD . ∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA . ∴∠BOC ＝∠DOC .
又∵OC ＝OC ，OB ＝OD ，∴△BOC ≌△DOC . ∴∠OBC ＝∠ODC ＝90°，即OB ⊥BC . ∴BC 是圆O 的切线．
②由①知∠OAD ＝∠DOC ，∴Rt △BAD ∽Rt △COD ，
∴AD AB ＝OD OC
. AD ·OC ＝AB ·OD ＝2r ×r ＝2，∴r ＝1.
(2)①由l ：ρcos ?
????
θ－π4＝32，得
l ：ρcos θcos π
4
＋ρsin
θsin π
4
＝32，整理得l ：x ＋y －6＝0.
则d ＝|2cos θ＋2sin θ－6|2＝
?????
?2sin ?
????θ＋π4－62
∴d max ＝
8
2
＝4 2. ②将圆C 的参数方程化为普通方程得x 2＋y 2＝2，直线l 的极坐标方程化为普通方程得x ＋y －k ＝0.
∵直线l 与圆C 相交，∴圆心O 到直线l 的距离d <2，
即|－k |2
＜2，解得－2＜k ＜2.
(3)①当x ＜2时，f (x )＝7－3x ≤4，得1≤x ＜2； 当2≤x ≤3时，f (x )＝x －1≤4，得2≤x ≤3； 当x ＞3时，f (x )＝3x －7≤4，得3＜x ≤11
3
.
综上可得不等式f (x )≤4的解集为??????
???
?x ?
??
1≤x ≤
113 ②∵x ∈[5,9]，∴f (x )≤ax －1即3x －7≤ax －1， ∴a ≥3－6x ，即a ≥3－69＝7
3
.
压轴题专练(三)
建议用时：40分钟
1．[2015·河南洛阳统考]已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为2
2，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直
线的距离为2
2
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得|MP |＝|MQ |？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，F (c,0)(c ＞0)，由坐
标原点O 到直线x －y －c ＝0的距离为2
2
，
得|0－0－c |2
＝22，解得c ＝1.
又e ＝c a ＝2
2
，故a ＝2，b ＝1.
∴所求椭圆方程为x 2
2
＋y 2＝1.
(2)假设存在点M (m,0)(0＜m ＜1)满足条件，则以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．
∵直线l 与x 轴不垂直，
∴设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．
由?????
x 2＋2y 2
＝2y ＝k (x －1)
可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，
Δ＞0恒成立，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.
设线段PQ 的中点为N (x 0，y 0)， 则x 0＝
x 1＋x 2
2＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k
1＋2k 2
. ∵|MP |＝|MQ |，∴MN ⊥PQ ，∴k MN ·k PQ ＝－1， 即－k
1＋2k 2
2k 2
1＋2k 2－m ·k ＝－1，
∴m ＝k 21＋2k 2
＝
1
2＋
1k 2
.∵k 2
＞0，∴0＜m ＜1
2
. 2．[2015·九江一模]设函数f (x )＝12x 2
－(a ＋b )x ＋ab ln x (其中
e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R )，曲线y ＝
f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝－12
e 2
.
(1)求b ；
(2)若对任意x ∈????
??
1e ，＋∞，f (x )有且只有两个零点，求
a 的取
值范围．
解 (1)f ′(x )＝x －(a ＋b )＋ab x ＝(x －a )(x －b )
x
，
∵f ′(e)＝0，a ≠e ，∴b ＝e.
(2)由(1)得f (x )＝12x 2
－(a ＋e)x ＋a eln x ，f ′(x )＝
(x －a )(x －e )
x
，
①当a ≤1e 时，由f ′(x )＞0得x >e ；由f ′(x )<0得1
e
＜x ＜e.
此时f (x )在? ??
??
1e ，e 上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增．∵f (e)
＝12e 2－(a ＋e)e ＋a elne ＝－12
e 2
＜0， f (e 2
)＝12e 4－(a ＋e)e 2＋2a e ＝12e(e －2)(e 2
－2a )≥12
e(e －
2)?
????
e 2－2e ＞0，
(或当x →＋∞时，f (x )＞0亦可)
∴要使得f (x )在????
??
1e ，＋∞上有且只有两个零点，
则只需f ? ????1e ＝12e
2－a ＋e e ＋a eln 1e ＝(1－2e 2)－2e (1＋e 2)a
2e 2
≥0，即a ≤1－2e 2
2e (1＋e 2)
. ②当1e ＜a ＜e 时，由f ′(x )＞0得1
e
＜x ＜a 或x ＞e ；由f ′(x )
＜0得a ＜x ＜e.此时f (x )在(a ，e)上单调递减，在? ??
??
1e ，a 和(e ，＋∞)
上单调递增．
f(a)＝－1
2
a2－a
e＋a eln a＜－
1
2
a2－a e＋a elne＝－
1
2
a2＜0，∴此
时f(x)在
?
?
?
?
?
?
1
e
，＋∞上至多只有一个零点，不合题意．
③当a＞e时，由f′(x)＞0得
1
e
＜x＜e或x＞a，由f′(x)＜0
得e＜x＜a，此时f(x)在
?
?
?
?
?
1
e
，e和(a，＋∞)上单调递增，在(e，a)上单调递减，且f(e)＝－
1
2
e2＜0，∴f(x)在
?
?
?
?
?
?
1
e
，＋∞上至多只有一个
零点，不合题意．
综上所述，a的取值范围为
?
?
?
?
?
－∞，
1－2e2
2e(1＋e2)
.
3．选做题
(1)[选修4－1：几何证明选讲]
如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，BC＝3，CD＝5.求对角线BD、AC的长．
(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]
已知直线l的参数方程为
??
?
??x＝12t，
y＝1＋
3
2
t
(t为参数)，曲线C
的极坐标方程为ρ＝22sin
?
?
?
?
?
θ＋
π
4
，直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P.
①求曲线C 的直角坐标方程； ②求1
|PA
|＋1
|PB |的值．
(3)[选修4－5：不等式选讲]
已知实数m ，n 满足：关于x 的不等式|x 2＋mx ＋n |≤|3x 2－6x －9|的解集为R .
①求m ，n 的值；
②若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝m －n ，求证：a ＋b ＋c ≤ 3. 解 (1)如图，延长DC ，AB 交于点E .
∵∠BAD ＝60°，∴∠ECB ＝60°， ∵∠ABC ＝90°，BC ＝3，CD ＝5， ∴∠EBC ＝90°，∴∠E ＝30°，
∴EC ＝2BC ＝2×3＝6，∴EB ＝3BC ＝33， ∴ED ＝DC ＋EC ＝5＋6＝11， ∵EC ×ED ＝EB ×(EB ＋AB )，
则6×11＝33×(33＋AB )，解得AB ＝1333，
∴AC ＝
32
＋? ??
???13332＝1433. ∵∠EDB ＝∠EAC ，∠E ＝∠E ，
∴△EDB ∽△EAC ，∴BD AC ＝BE
CE
，
∴BD ＝AC ·BE
CE ＝143
3×336
＝7.
(2)①利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程ρ＝22
sin ?
????
θ＋π4化为ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，
∴普通方程是x 2＋y 2＝2y ＋2x ， 即(x －1)2＋(y －1)2＝2.
②∵直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，
把直线l 的参数方程?????
x ＝1
2
t ，y ＝1＋3
2t
代入曲线C 的普通方程
(x －1)2＋(y －1)2＝2中，得t 2－t －1＝0，
∴?
??
??
t 1·t 2＝－1，
t 1＋t 2＝1，
∴1
|PA |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2| ＝
|t 1－t 2|
|t 1t 2|
＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝12－4×(－1)＝ 5.
(3)①由于解集为R ，那么x ＝3，x ＝－1都满足不等式，即有
?????
|9＋3m ＋n |≤0|1－m ＋n |≤0
，
即?????
9＋3m ＋n ＝0
1－m ＋n ＝0
，解得m ＝－2，n ＝－3，
经验证当m ＝－2，n ＝－3时，不等式的解集是R .
②证明：a ＋b ＋c ＝1，a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， ∴(a ＋b ＋c )2＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a ＋b ＋
c )＝3，
故a ＋b ＋c ≤3(当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3
时取等号)．
压轴题专练(四)
建议用时：40分钟
1．[2015·九江一模]已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为
F (7，0)，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且△ADB 面积的最大值为12.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求证：当点P (x 0，y 0)在椭圆C 上运动时，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2与圆O ：x 2＋y 2＝1恒有两个交点，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．
解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
由已知可得(S △ADB )max ＝1
2·2a ·b ＝ab ＝12，①
∵F (7，0)为椭圆右焦点，∴a 2＝b 2＋7，②
由①②可得a ＝4，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 2
9＝1.
(2)证明：∵P (x 0，y 0)是椭圆上的动点，∴
x 2016＋y 2
9
＝1， ∴y 2
0＝9－9x 2016
，
∴圆心O 到直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2的距离d ＝2x 20＋y 20
＝2x 20
＋9－916
x 2
＝
2
716
x 2
0＋9＜1(0≤x 20≤16)， ∴直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2与圆O ：x 2＋y 2＝1恒有两个交点，
L ＝2r 2－d 2
＝2
1－
4
716
x 2
0＋9(r 为圆x 2＋y 2＝1的半径)， ∵0≤x 20
≤16，∴9≤716
x 2
0＋9≤16，
∴253
≤L ≤ 3.
2．[2015·唐山统考]已知函数f (x )＝a e x ＋x 2，g (x )＝sin x ＋bx ，直线l 与曲线C 1：y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线C 2：y ＝g (x )
切于点? ????
π2
，g ? ????π2.
(1)求a ，b 的值和直线l 的方程；
(2)证明：除切点外，曲线C 1，C 2位于直线l 的两侧． 解 (1)f ′(x )＝a e x ＋2x ，g ′(x )＝cos x ＋b ，
f (0)＝a ，f ′(0)＝a ，
g ? ????π2＝1＋π
2b ，g ′? ??
??π2＝b ，
曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝ax ＋a ，
曲线y ＝g (x )在点? ????
π2，g ? ????π2处的切线方程为y ＝
b ?
????x －π2＋1＋π
2b ，即y ＝bx ＋1.
依题意，有a ＝b ＝1，直线l 的方程为y ＝x ＋1. (2)证明：由(1)知f (x )＝e x ＋x 2，g (x )＝sin x ＋x .
设F (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x ＋x 2－x －1，则F ′(x )＝e x ＋2x －1， 当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )＜F ′(0)＝0； 当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＞F ′(0)＝0.
F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故F (x )≥F (0)＝0.
设G (x )＝x ＋1－g (x )＝1－sin x ，则G (x )≥0，
当且仅当x ＝2k
π＋π
2
(k ∈Z )时等号成立．
综上可知，f (x )≥x ＋1≥g (x )，且两个等号不同时成立，因此
f (x )＞
g (x )．
所以除切点外，曲线C 1，C 2位于直线l 的两侧． 3．选做题
(1)[选修4－1：几何证明选讲]
在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，以AB 为直径作圆O 交AC 于点D .
①求线段CD 的长度；
②点E 为线段BC 上一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与圆O 相切，并说明理由．
(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?????
x ＝－5＋2
2t ，y ＝5＋22t
(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为
极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
①求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；
②将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的1
2，再将所得曲线
向左平移1个单位，得到曲线C 1.求曲线C 1上的点到直线l 的距离的
最小值．
(3)[选修4－5：不等式选讲]
已知a ＋b ＝1，对?a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4
b
≥|2x －1|－|x ＋1|
恒成立，求x 的取值范围．
解 (1)
①连接BD ，在直角三角形ABC 中，易知AC ＝5，∠BDC ＝∠ADB ＝90°，
所以∠BDC ＝∠ABC ，又因为∠C ＝∠C ， 所以Rt △ABC ∽Rt △BDC ，
所以CD BC ＝BC AC ，所以CD ＝BC 2AC ＝95
.
②当点E 是BC 的中点时，ED 与⊙O 相切；
证明：连接OD ，∵DE 是Rt △BDC 的中线，∴ED ＝EB ， ∴∠EBD ＝∠EDB ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠ODE ＝∠ODB ＋∠BDE ＝∠OBD ＋∠EBD ＝∠ABC ＝90°， ∴ED ⊥OD ，∴ED 与⊙O 相切．
(2)①曲线C 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝4x ，即：(x －2)2＋y 2
＝4，
直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.
②将曲线C 上的所有点的横坐标缩为原来的1
2，得
(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2
＋y 2
4
＝1.
再将所得曲线向左平移1个单位，得C 1：x 2
＋y 2
4
＝1.
又曲线C 1的参数方程为?
??
??
x ＝cos θ
y ＝2sin θ(θ为参数)，
设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)，
则d p →l ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin (θ－φ)|
2≥
102(其中tan φ＝1
2
)， ∴点P 到直线l 的距离的最小值为102
. (3)∵a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1，
∴1a ＋4b ＝(a ＋b )? ??
??1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a
b
≥9，
故1a ＋4
b
的最小值为9，
因为对a ，b ∈(0，＋∞)，使1a ＋4
b
≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立，
所以|2x －1|－|x ＋1|≤9，
当x ≤－1时，2－x ≤9，∴－7≤x ≤－1， 当－1＜x ＜12时，－3x ≤9，∴－1＜x ＜1
2，
当x ≥12时，x －2≤9，∴1
2
≤x ≤11，∴－7≤x ≤11.
高考数学玩转压轴题专题4.4立体几何中最值问题
专题4.4 立体几何中最值问题 一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。 二．解题策略 类型一距离最值问题 AB=，若线段DE上存在点P 【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2 ⊥，则边CG长度的最小值为（） 使得GP BP A. 4 B. 43 C. D. 23 【答案】D
又22002B G a （，，），（，，），所以2,2,,,2,.2 2ax ax BP x GP x a ???? =--=-- ? ?????u u u r u u u r () 24022ax ax PB PG x x a ?? =-++-= ??? u u u n r u u u r .显然0x ≠且2x ≠.所以22 1642a x x =--. 因为()0,2x ∈，所以(]2 20,1x x -∈.所以当221x x -=， 2a 取得最小值12.所以a 的最小值为23. 故选D. 【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG 长度为a 及点P 的坐标，求BP GP u u u r u u u r 与的坐标， 根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式22 16 42a x x = --，利用函数求其最值。 举一反三 1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是_____。 【答案】 3254 2?? ??
高考数学中的放缩技巧
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i
[数学]数学高考压轴题大全
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
高考数学选择题之压轴题
高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若 对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b = 2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） A ． 1142+a b B ．2133+a b C ．11 24 +a b D ．1 233 + a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面 4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ） A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒 5、（2011广东） 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭
高考数学 玩转压轴题 专题4.2 与球相关的外接与内切问题
专题4.2 与球相关的外接与内切问题 一．方法综述 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体。 与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径。 二．解题策略 类型一构造法（补形法） 【答案】 9 【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解。长方体的外接球即为该三棱锥的外接球。 【例2】一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） 【答案】A 【解析】
【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可。 【举一反三】 1、如图所示，设A，B，C，D为球O上四点，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝3，若AD＝R(R为球O的半径)，则球O的表面积为( ) A．πB．2πC．4πD．8π 【答案】D 【解析】因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB＝AC＝3，所以AE＝6，AD＝R，DE＝2R，则有R2＋6＝(2R)2，解得R＝2，所以球的表面积S＝4πR2＝8π.故选D。 2、如图所示，已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝3，BC＝2，CD＝5，则球O的表面积为( ) A．12π B．7π C．9π D．8π 【答案】A
高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)
放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i
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