专升本高数知识点汇总

第一讲 函数、极限、连续
、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
、函数的性质，奇偶性、有界性
奇函数：，图像关于原点对称。
偶函数：，图像关于y轴对称
、无穷小量、无穷大量、阶的比较
设是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则
（1）若，则是比高阶的无穷小量。
2）若（不为0），则与是同阶无穷小量
特别地，若，则与是等价无穷小量
3）若，则与是低阶无穷小量
记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。
、两个重要极限
（1）
使用方法：拼凑 ，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致
（2）

使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 )()(xfxf)()(xfxfβα，0βαlimαβcβαlimαβ1βαlimαββαlimαβ100xxxxxxsinlimsinlim000sinlimsinlimexxxxxx10111)(limlime101)(lim
、
的最高次幂是n,的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷
,以相同的比例趋向于无穷大；，分母以更快的速度趋向于无穷大；，

、左右极限



、连续、间断
连续的定义：

间断：使得连续定义无法成立的三种情况

记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等
、间断点类型
（1）、第二类间断点：、至少有一个不存在
（2）、第一类间断点：、都存在
注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是
，左右不等是“跳跃”
、闭区间上连续函数的性质 mnmnmnbaXQxPmnx,,,lim000xPnxQmmnmnmnAxfxx)(lim0Axfxx)(lim0AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000充分必要条件是0)()(limlim0000xfxxfyxx)()(lim00xfxfxx)()(lim00xfxfxx)()(lim)(lim)()(00000xfxfxfxfxfxxxx不存在无意义不存在，)(lim0xfxx)(lim0xfxx)(lim0xfxx)(lim0xfxx)(lim)(lim)(lim)(lim0000xfxfxfxfxxxxxxxx跳跃间断点：可去间断点：
1） 最值定理：如果在上连续，则在上必有最大值最小值。
2） 零点定理：如果在上连续，且，则在内至少
，使得


中值定理及导数的应用
、 罗尔定理
满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3），
(a,b)内至少存在一点，使得

、 拉格朗日定理
满足（1）在闭区间上连续
（2）在开区间（a,b）内可导；
则在(a,b)内至少存在一点，使得


（*）推论1 ：如果函数在闭区间上连续，在开区间（a,b）内可导，且，
内=C恒为常数。 )(xfba,)(xfba,)(xfba,0)()(bfaf)(xfba,0)(f)(xfyba,)()(bfaf0)(f)(xfyba,abafbff)()()(b)(xfyba,

0)(xf),(ba)(xf ab
记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。
*）推论2：如果在上连续，在开区间内可导，且


记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等
、 驻点
的点，称为函数的驻点。
0的点，过此点切线为水平线
、极值的概念
在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有，则称为
的极大值，称为极大值点。
在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有，则称为
的极小值，称为极小值点。

、 拐点的概念

在原点即

、 单调性的判定定理
在内可导，如果，则在内单调增加；
，则在内单调减少。
记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，；
；
、 取得极值的必要条件
在点处取得极值的必要条件是
、 取得极值的充分条件 )(),(xgxfba,),(ba),(),()(baxxgxfcxgxf)()(0)(xf)(xf)(xf0x)()(0xfxf)(0xf)(xf0x)(xf0x)()(0xfxf)(0xf)(xf0x3xy)(xf),(ba0)(xf)(xf),(ba0)(xf)(xf),(ba0)(xf0)(xf)(xf0x0)(0xf

在点的某空心邻域内可导，且在处连续，则
1） 如果时，; ,那么在处取得极大值；
2） 如果时，；，那么在处取得极小值；
3） 如果在点的两侧，同号，那么在处没有取得极值；



在点的某邻域内具有一阶、二阶导数，且，
（1）如果，那么在处取得极大值；
（2）如果，那么在处取得极小值
、 凹凸性的判定
在内具有二阶导数，（1）如果，那么曲线在内
（2）如果，那么在内凸的。

凸的表现
、 渐近线的概念
在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。
1） 水平渐近线：若,则有水平渐近线

(2) 垂直渐近线：若存在点，，则有垂直渐近线
)(xf0x)(xf0x0xx0)(xf0)(0xfxx时，)(xf0x)(0xf0xx0)(xf0)(0xfxx时，)(xf0x)(0xf0x)(xf)(xf0x)(xf0x0)(0xf0)(0xf0)(0xf)(xf0x)(0xf0)(0xf)(xf0x)(0xf)(xf),(ba),(,0)(baxxf)(xf),(ba),(,0)(baxxf)(xf),(ba)(xfAxfx)(lim)(xfyAy0x)(limxfx)(xfy0xx


2） 求斜渐近线：若，则为其斜渐近线。
、 罗比达法则
” 、“”，就分子分母分别求导，直至求出极限。
把函数变成“” 、“”。
导数与微分
、 导数的定义
1）、
2）、
3）、
后面和分母保持一致，不一致就拼凑。
、 导数几何意义：在处切线斜率
乘积为—1
、 导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。
、 求导方法总结 baxxfaxxfxx)(lim,)(limbaxy00)(ln)(xfexf000)()(limlim)(00000xfxxfyxfxxhxfhxfxfh)()(lim)(0000000)()(lim)(0xxxfxfxfxx0x)(0xf0xx)(0xf
1）、导数的四则运算法则
2）、复合函数求导：
是由与复合而成，则

3）、隐函数求导
对于，遇到y，把y当成

中间变量u，然后利用复合函数求导方法。
4）、参数方程求导
设确定一可导函数，则

、对数求导法
先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导
6）、幂指函数求导
幂指函数，利用公式
然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。
第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导

、 高阶导数
多次求导，直至求出。 vuvuuvvuvu)(2vuvvuvuxfy)(ufy)(xudxdududydxdy0),(yxF)()(tytx)(xfy)()(ttdtdxdtdydxdydtdxdtdxdyddxdxdyddxyd)()(22)()(xvxuyaealn)(ln)()(ln)(xuxvxueeyxv)(xf
、 微分

记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加，不需要单独记忆。
、 可微、可导、连续之间的关系
可导
连续，但连续不一定可导
、 可导与连续的区别。

1） （2）
x=0既连续又可导。 在x=0只连续但不可导。


不定积分

、 原函数：若，则为的一个原函数；
、 不定积分：的所有原函数+C叫做的不定积分，记作



、
、

积分方法
、 基本积分公式
、 第一换元积分法（凑微分法）

、 第二换元积分法
dxydydx2xyxy)()(xfxF)(xF)(xf)(xf)(xF)(xfCxFdxxf)()(dxxfdxxfdxfdxxf)()()()(或cxfdxxf)()(baxtbax令,


、 分部积分法

第五讲 定积分
、定积分定义

如果在上连续，则在上一定可积。

、定积分的几何意义
1） 如果在上连续，且，则表示由，x轴
S=。
2） 如果在上连续，且， S=。
、定积分的性质：
（1）
（2）=
3）
4）
5）如果，则
6）设m,M分别是在的min, max,则


M
taxaxtaxaxtaxxatansecsin222222令令令tttt2222sectan1,1cossinvduuvudvniiixbaxfdxxf10)(lim)()(xfba,)(xfba,)(xfba,0)(xfbadxxf)()(xf,,bxaxbadxxf)()(xfba,0)(xfbadxxf)(badxxkf)(badxxfk)(badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(cabcbadxxgdxxfdxxf)()()(abaabadxxfdxxfabdx)(0)(1badxxf)()()(xgxfbabadxxgdxxf)()()(xfba,)()()(abMdxxfabmba
m
记忆：小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积
7）积分中值定理
如果在上连续，则至少存在一点，使得


记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲

称为在上的平均值。
、 积分的计算
1）、变上限的定积分
是的一个原函数。而且变上限的定积分的自变
而不是t
2）、牛顿—莱布尼兹公式
设在上连续，是的一个原函数，则
由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分，

、 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分
1）、若在上为奇函数，则
（2）、若在上为偶函数，则

、 广义积分 )(xfba,ba,))(()(abfdxxfbabad

xxfab)(1)(xfba,xaxfdttf)())((xadttfx)()()(xfx)(xfba,)(xF)(xf)()()()(aFbFxFdxxfbaba分部积分法第二换元积分法分法）第一换元积分法（凑微基本积分公式)(xfaa,0)(xfaa)(xfaa,aaadxxfxf0)(2)(
1） 无穷积分



、 定积分关于面积计算


面积，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界上的定积分。

d

c
面积S=
记忆方法：把头向右旋转90°就是第一副图。
、 旋转体体积
1） y

a b x
绕 轴旋转一周所得旋转体体积 ：
（2）、

a b
阴影部分绕绕 轴旋转一周所得旋转体体积：
（3）、 cacadxxfdxxf)(lim)(bccbdxxfdxxf)(lim)(ccdxxfdxxfdxxf)()()()(xf)(xgdxxgxfSba)()(ba,)(yx)(yxdyyydc)()()(xf)(xfxdxxfVbax2)()(xf)(xgxdxxgxfVbax)(22
y
d

c
x
轴旋转一周所得旋转体体积 ：
(4)、
y
d

c
x
阴影部分绕绕轴旋转一周所得旋转体体积:
向量、空间解析几何

、 定义：与起点无关，既有方向又有大小的量称为向量。（生活来源：力、速度、加速度，位移）
、 向量的表示：
，
为向量在 轴，轴，轴上的投影。
为向量在轴，轴，轴上的单位向量 )(yx)(yxydyyVdcy2)()(yx)(yxydyyyVdcy)()(22321,,aaakajaia321321,,aaaxyzkji,,xyz

、 向量的模：，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做0向量。
、 向量的方向余弦：

并且：
与轴，轴，轴的正方向的夹角，叫做 的方向角。
、 ，则

，
1）线性运算

2）两向量的数量积


，的夹角 ：
注：因为
3）两向量的向量积
定义： ，满足下述规则
1、
2、，
3、成右手系 1,0,0,0,1,0,0,0,1kji232221aaa2322211cosaaaa2322212cosaaaa2322213cosaaaa1coscoscos222xyz),,(,),,(1110000zyxMzyxM),,(01010110zzyyxxMM321,,aaa321,,bbb332211,,bababa321,,aaa,cos332211bababa232221232221332211,cosbbbaaabababa002cos,cosc,sincccc,,
称为的向量积，记作:
向量积的坐标表示：
∥的充要条件为：或
注：因为
、直线与平面的相关考试内容

表示空间一张平面，这里A,B,C不同时
A,B,C为向量坐标构成得向量叫做平面得法向量。即。
1）平面的位置
A=0,即该平面平行轴。同理B=0,平面平行于y轴。C=0,平面平行于z轴。D=0,

“谁”的系数为0，平面平行于“谁”轴。

, (一次项系数不成比例)
注：两个平面相交

注：（）为直线上一已知点，向量为直线的方向向量

、总结：专升本考试中重点考察两平面

的位置关系，两直线的位置关系，直线与平面的位置关系，记忆

1）平面的法向量为, c,c321321bbbaaakjic0332211bababa00sin,sin0DCzByAxπCBAn,,ππn0DCzByx0022221111DzCyBxADzCyBxAl:czzbyyaxxl000:000zyx,,cba,,ctzzbtyyatxxl000:0DCzByAxCBA,,
2）直线的方向向量为
3）向量平行需满足：或或
4）向量垂直需满足

设有两直线

1）的充要条件为
（2）∥得充要条件为
3）直线得夹角可由来确定。

设直线方程为
：
1）的充要条件为
2）∥的充要条件为
3）直线与平面的夹角可由来确定。

设有两平面

czzbyyaxxl000:cba,,0βαλβα332211bababa0332211bababaβα1111111czzbxxaxxl:2222222czzbyyaxxl:21ll0021212121ssccbbaa即,1l2l021212121ssccbbaa即,21ll,212121ssssss,cosczzbyyaxxl000:π0DCzByAxπl0nsCcBbAa即,lπ00nscCbBaA即,lπφ222222CBAcbacCbBaAφsin011111DzCyBxAπ：022222DzCyBxAπ:
1ππ0021212121nnCCBBAA即,
的充要条件是
的夹角可由确定。
、曲面的相关考试内容

（1）柱面方程

球面方程

椭球面方程

4）旋转面方程
为母线，轴为旋转轴的旋转曲面方程为
多元函数微分学

，如果当相互独立的变量在一定范围内取定任意一对值时，按照一
称为的二元函数，记作。
坐标平面上的一个区域，二元函数是悬浮在空间的一个曲面。

设函数在点某邻域有定义（但点可以除外），如果当点无
时，都无限接近于唯一确定的常数A，则称当点趋
时，以A为极限，记为


若，则称在点连续。
的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条1π2π021212121nnCCBBAA，即1π2π212121nnnnnn,cos222ayx2222Rczbyax)()()(1222222czbyax00xzyfl),(:z022),(zyxfzyx,,yx,Dzzyx,),(yxfzyx,),(yxfz),(00yx),(00yx),(yx),(00yx),(yxfz),(yx),(00yx),(yxfzAyxfyxyx),(lim),(),(00),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx),(yxfz),(00yx),(yxfz










的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。

设，
则 ，
注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。

确定的隐函数为，则对等号两边同时对求导，遇到的函数，把


、 二元函数极值存在的必要条件
果在点处取得极值，且两个偏导数存在，则有

，则称是的驻点。
、 极值存在的充分条件
在点的某邻域内有连续的二阶偏导数，且是驻点，设
1）如果且，则是极大值 xyxfyxxfyxfxzxx),(),(lim),(0yyxfyyxfyxfyzyy),(),(lim),(0dyyzdxxzdz),(yxfz),(),,(),,(yxvyxuvufzxvvzxuuzxzyvvzyuuzyz0),,(zyxF),(yxfzxzz),(yxfz),(00yx0),(,0),(0000yxfyxfyx0),(,0),(0000yxfyxfyx),(00yx),(yxfz),(yxfz),(00yx),(00yx),(),(),(),(2yxfyxfyxfyxPyyxxxy,0),(
0yxP0),(00yxfxx),(00yxf
（2）如果且，则是极小值
（3）如果，则不是极值
（4）如果则此方法失效。

方法一：（1）从条件中求出
（2）将代

入化为一元函数
（3）利用一元函数求极值的方法求最值
方法二：拉格朗日乘数法
1） 作拉格朗日函数
2） ,，
3） 解上述方程组得驻点，则点就是函数的极值点，依题意，判定它是极大

多元函数积分学知识点

1、 ，几何意义：代表由，D围成的曲顶柱体体积。
2、性质：
（1）
（2）=+
（3）、
（4）,=+
(5)若，则
（6）若则
(7)设在区域D上连续，则至少存在一点，使

1） D: ,0),(00yxP0),(00yxfxx),(00yxf,0),(00yxP),(00yxf,0),(00yxP0),(yx)(xy)(xy),(yxfz),(),(),,(yxyxfyxF0xF0yF0F),(00yx),(00yxniiiidDfdxdyyxf10),(lim),(),(yxfDdxdyyxkf),(Ddxdyyxfk),(Ddxdyyxgyxf),(),(Ddxdyyxf),(Ddxdyyxg),(DdxdyD21DDDDdxdyyxf),(1),(Ddxdyyxf2),(Ddxdyyxf),(),(yxgyxfDdxdyyxf),(Ddxdyyxg),(,),(MyxfmMDdxdyyxfmDD),(),(yxfD),(Ddxdyyxf),(Df),()()(,
1xyxbxa
2） D：，
“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和

（3）极坐标下：


、第一型曲线积分的计算
（1）若积分路径为L：，则
=
（2）若积分路径为L：，则
=

3）若积分路为L：，，则
=
2、第二型曲线积分的计算
1） 若积分路径为L：，起点,终点，则
2） 若积分路径为L：，起点，终点，则
3） 若积分路为L：，起点，终点，则 )()(21),(),(xxbaDdyyxfdxdxdyyxf)()(,21yxydyc)()(21),(),(xxdcDdyyxfdydxdyyxfrdrddxdyryrx,sin,cos)(0)sin,cos(),(rDrdrrrfddxdyyxfbxaxy),(Ldsyxf),(dxxxxfba2))((1))(,(dycyx),(Ldsyxf),(dyyyyfdc2))((1)),(()()(tytxtLdsyxf),(dtttttf22))(())(())(),(()(xyaxbyLdyyxQdxyxP),(),(dxxxxQxxPba)())(,())(,()(yxcydyLdyyxQdxyxP),(),(dyyyQyyyPdc)),(()())),((
()(tytxtt
常微分方程

（1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。其中未知函数是一元函数的

（2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。
（3）微分方程的解：满足微分方程或。前者为显示解，后者称为隐式解
（4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解
（5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。
（6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。

1、可分离变量的微分方程
1）形如的微分方程。
，两边作不定积分求出通解。
（2）形如的微分方程。
解法：令，则，两边对x求导，然后代入原方程，则变量分离
2、一阶线性微分方程
一阶线性齐次微分方程 形如。解法：变量分离
一阶线性非齐次微分方程 形如 解法：常数变易法或公式法
注：一阶线性非齐次微分方程的通解公式为：
在通常使用中建议选择常数变易法

形如的微分方程

解法：作n次不等式
形如的微分方程 解法：令
LdyyxQdxyxP),(),(dttttQtttP)())(),(()())(),(()(xfy0),(yxf)()(ygxfdxdydxxfdyyg)()(1xyfdxdyuxyuxy0)(yxPdxdy)()(xQyxPdxdyCdxexQeydxxPdxxP)()()()(xfyn),(yxfyuy
形如的微分方程，称二阶常系数线性齐次微分方程
形如的微分方程，称二阶常系数线性非齐次微分方程。（其中，p,q均为常数）。
有关解的结构定理
(1) 定理1 若是二阶线性齐次方程的解，则其任意一个线性组合也

函数若满足为常数，称线性相关，若为常数，称 线性无关
定理2 若是二阶线性齐次方程的两个线性无关的解，则就是

定理3 设是二阶线性非齐次方程的解，是的解，
是方程的解。
定理4 设是二阶线性非齐次微分方程的特解，是与其对
的通解，则为方程的通解。
、 常系数二阶线性齐次方程
（1）

、写出（1）的特征方程
2）写出特征方程的两个根
3）按照下列规律写出（1）的通解


、 常系数二阶线性非齐次方程

1） 写出对应的齐次方程
2） 写出齐次方程的通解 0qyypy)(xfqyypy21,yy0qyypy2211ycyc21,yykkyy,2121,yykkyy,2121,yy21,yy0qyypy2211ycyc1y)(1xfqyypy2y)(2xfqyypy21yy)()(21xfxfqyypy*y)(xfqyypyxcxcy210qyypy*2211yycycy)(xfqyypy0qyypy02qprr21,rrxrxrececyrr212121rxexccyrrr)(2121)sincos(212,1xcxceyirax)(xfqyypy02qprr0qyypyy
3） 写出的一个特解
4） 即为的通解。
3、
其中为实常数，为x的n次多项式
特解可设为=
其中为x的n次多项式，k按是否为特征方程的根来确定：

、
特解可设为
其中C,D是待定的常数，k可按是否为特征方程的根来确定。

、得到特解后，通解即为=，（其中，为其齐次方程

)(xfqyypy*y*yyy)(xfqyypyxnexPqyypy)(,,qp)(xPn*yxnkexQx)()(xQn02qprr是特征方程的重根是特征方程的根不是特征方程的根210k)sincos(xBxAeqyypyx)sincos(*xDxCexyxki02qprr是特征方程的根不是特征方程的根iik10*y*yyy*2211yycycy2211ycyc