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(江西版)2020年高考数学总复习 第八章8.2 点与直线、直线与直线的位置关系教案 理 北师大版

2020年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.2 点与直线、直线与直线的

位置关系

考纲要求

1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

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知识梳理

1.两直线的位置关系

平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况. (1)两直线平行

对于直线l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2, l 1∥l 2?________________. 对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,

l 1∥l 2?__________________________. (2)两直线垂直

对于直线l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2, l 1⊥l 2?k 1·k 2=____.

对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, l 1⊥l 2?____________. 2.两直线的交点

设直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,将这两条直线的方程联立,得方程组??

?

A 1x +

B 1y +

C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0,

若方程组有唯一解,则l 1与l 2____,此解就是两直

线交点的坐标;若方程组无解,则l 1与l 2____;若方程组有无数个解,则l 1与l 2____.

3.有关距离 (1)两点间的距离

平面上两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离|P 1P 2|=____________. (2)点到直线的距离

平面上一点P(x 0,y 0)到一条直线l :Ax +By +C =0的距离d =____________. (3)两平行线间的距离

已知l 1,l 2是平行线,求l 1,l 2间距离的方法: ①求一条直线上一点到另一条直线的距离;

②设l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0,则l 1与l 2之间的距离d =________. 4.对称问题 (1)中点坐标公式

设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则线段AB 的中点坐标为____________. (2)中心对称

若点M(x 1,y 1)及N(x ,y)关于P(a ,b)对称,则由中点坐标公式得______. (3)轴对称

若两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)关于直线l :Ax +By +C =0对称,则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上,而且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴l.由方程组?????

A ? ????x 1

+x 2

2+B ? ????y 1

+y 2

2+C =0,y 1-y 2x 1

-x 2

=B A

可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2,

y 2)(其中A≠0,x 1≠x 2).

基础自测

1.过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ). A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0

2.点P 在直线x +y -4=0上,O 为坐标原点,则|OP|的最小值为( ). A .13 B .2 2 C . 6 D .2

3.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=( ).

A.2 B.1 C.0 D.-1

4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=( ).

A.-1 B.-1

2

C.2 D.

1

2

5.求与直线x-y+2=0平行,且它们之间的距离为32的直线方程.

思维拓展

1.研究两直线的位置关系时,若直线方程的系数含有变量应注意什么?

提示:在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时,若直线方程中y的系数含有字母参数,则斜率可能有不存在的情况.此时,应对其按y的系数为零(斜率不存在)和不为零(斜率存在)两种情况进行讨论.利用斜率相等研究两条直线平行时,要注意重合的情形.

2.运用距离公式时应注意什么?

提示:点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程,在运用该公式时,应首先把直线方程化为一般式;在运用两平行线间的距离公式时,要注意先把两直线方程中x,y的系数化成相等的形式.

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一、两直线的平行

【例1】直线l

1:2x+(m+1)y+4=0与直线l

2

:mx+3y-2=0平行,则m的

值为( ).

A.2 B.-3

C.2或-3 D.-2或-3

方法提炼1.判定两直线平行的方法:

(1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k

1=k

2

,且b

1

≠b

2

则两直线平行;若斜率都不存在,还要判定是否重合.

(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论:

设直线l

1:A

1

x+B

1

y+C

1

=0,l

2

:A

2

x+B

2

y+C

2

=0,l

1

∥l

2

?A

1

B

2

-A

2

B

1

=0且B

1

C

2

-B

2C

1

≠0.

2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),这也是

经常采用的解题技巧.

请做[针对训练]1

二、两直线的垂直

【例2】求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.方法提炼1.判定两直线垂直的方法:

(1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k

1·k

2

=-1,

则两直线垂直;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,两直线也垂直.

(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论:设直线l

1:A

1

x+B

1

y+

C 1=0,l

2

:A

2

x+B

2

y+C

2

=0,l

1

⊥l

2

?A

1

A

2

+B

1

B

2

=0.

2.与Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0,这也是经常采用的

解题技巧.

请做[针对训练]2

三、距离公式的应用

【例3-1】已知直线l过两直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点P,且与A(2,3),B(-4,5)两点距离相等,求直线l的方程.

【例3-2】已知直线l过点P(3,1),且被两平行线l

1:x+y+1=0,l

2

:x+y

+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.

方法提炼运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形式.请做[针对训练]3

四、对称问题

【例4-1】已知直线l

1

:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:

(1)点A关于直线l

1

的对称点A′的坐标;

(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l

1的对称直线l

2

的方程;

(3)直线l

1关于点A对称的直线l

3

的方程.

【例4-2】已知直线l

1:2x+y-4=0,求l

1

关于直线l:3x+4y-1=0对称

的直线l

2

的方程.

方法提炼1.在对称问题中,点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称.处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件,转化为代数关系列方程求解;线关于线的对称问题,可以转化为点关于直线的对称问题来解决;直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理,结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法.

2.求与距离有关的最值问题,一般是通过作图,转化为对称问题加以解决.请做[针对训练]4

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考情分析

通过分析近几年的高考试题可以看出,对于本节内容的考查,主要侧重以下几个方面:(1)判断两直线平行与垂直的位置关系,或以平行、垂直的位置关系为载体求相关参数的值;(2)对距离公式的考查,主要是把它作为工具来使用;(3)对称问题侧重点与点关于直线的对称.思想方法主要侧重分类讨论、数形结合、方程思想等.考查的形式以选择题、填空题为主.

针对训练

1.与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程为__________.

2.(2020浙江高考,文12)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=________.

3.若P(a,b)在直线x+y+1=0上,求a2+b2-2a-2b+2的最小值.

4.(1)在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;

(2)在直线l:3x-y-1=0上求一点Q,使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.

参考答案

基础梳理自测 知识梳理

1.(1)k 1=k 2,且b 1≠b 2 A 1B 2-A 2B 1=0,且B 1C 2-B 2C 1≠0 (2)-1 A 1A 2+B 1B 2

=0

2.相交 平行 重合 3.(1)(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2 (2)|Ax 0+By 0+C|A 2+B 2 (3)②|C 1-C 2|A 2+B 2

4.(1)? ????

x 1+x 22,y 1+y 22 (2)??

?

x =2a -x 1,

y =2b -y 1

基础自测

1.A 解析:∵所求直线与直线x -2y -2=0平行,

∴所求直线的斜率为12,方程为y -0=1

2

(x -1),即x -2y -1=0.

2.B 解析:根据题意知,|OP|的最小值为原点O 到直线x +y -4=0的距离.根据点到直线的距离公式,得4

2

=2 2.

3.D 解析:∵两直线垂直, ∴a(a +2)=-1. ∴a =-1.

4.B 解析:解方程组??

?

2x +3y +8=0,

x -y -1=0,得??

?

x =-1,y =-2,

∴三条直线交于点(-1,-2). ∴-1-2b =0,即b =-1

2

.

5.解:设与直线x -y +2=0平行的直线方程为x -y +m =0,根据平行线间的

距离公式,得|2-m|

2=32?|2-m|=6?m =-4或m =8,即所求的直线方程为x

-y -4=0,或x -y +8=0.

考点探究突破

【例1】C 解析:解法一:当m =-1时,l 1:2x +4=0,l 2:-x +3y -2=0显然l 1与l 2不平行;

当m ≠-1时,因为l 1∥l 2,所以应满足-2m +1=-m 3且-4m +1≠23

,解得m =2或m =-3.

解法二:若l 1∥l 2,需2×3-m(m +1)=0,解得m =-3或m =2. 当m =-3或2时,-2(m +1)-12≠0. ∴m =-3或2为所求.

【例2】解:解法一:∵直线2x +y -10=0的斜率不为0, ∴直线l 的斜率存在,设直线l 的斜率为k. ∵直线l 与直线2x +y -10=0垂直, ∴k·(-2)=-1.∴k =1

2

.

又∵l 经过点A(2,1),∴所求直线l 的方程为y -1=1

2(x -2),即x -2y =0.

解法二:设与直线2x +y -10=0垂直的直线方程为x -2y +m =0. ∵直线l 经过点A(2,1), ∴2-2×1+m =0.∴m =0. ∴所求直线l 的方程为x -2y =0. 【例3-1】解:解方程组??

?

3x +4y -5=0,

2x -3y +8=0,得??

?

x =-1,

y =2.

故交点P(-1,2).

(1)当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y -2=k(x +1),即kx -y +k +2=0.

由题意得|2k-3+k+2|

k2+1

|-4k-5+k+2|

k2+1

,解得k=-

1

3

∴直线l方程为y-2=-1

3

(x+1)即x+3y-5=0.

(2)当直线l的斜率不存在时,则l的方程为x=-1,此时也符合题目要求.综合(1)(2)知,所求直线方程为x+3y-5=0或x=-1.

【例3-2】解法一:若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与

l 1,l

2

的交点分别是A(3,-4),B(3,-9),截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,

符合题意.

当直线l的斜率存在时,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l

1

l 2的方程联立,由

?

?

?y=k(x-3)+1,

x+y+1=0,

解得A

?

?

?

?

?

3k-2

k+1

1-4k

k+1

.

?

?

?y=k(x-3)+1,

x+y+6=0,

解得B

?

?

?

?

?

3k-7

k+1

1-9k

k+1

.

由两点间的距离公式,得

?

?

?

?

?

3k-2

k+1

3k-7

k+1

2+

?

?

?

?

?

1-4k

k+1

1-9k

k+1

2=25,解得k=0,

即所求直线方程为y=1.

综上可知,直线l的方程为x=3,或y=1.

解法二:因为两平行线间的距离d=

|6-1|

2

52

2

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如图,直线l 被两平行线截得的线段长为5, 设直线l 与两平行线的夹角为θ,

s in 2

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θ=, 所以θ=45°.

因为两平行线的斜率是1-, 故所求直线的斜率不存在,或为0. 又因为直线l 过点P(3,1), 所以直线l 的方程为x=3,或y=1. 【例4-1】解:(1)设A′(x,y), 由已知得???

??

y +2x +1·23=-1,

2×x -12-3×y -22+1=0,

解得???

??

x =-3313,y =413.

故A ′? ??

??-3313,413.

(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M 关于l 1的对称点必在l 2上. 设对称点为M′(a,b),

则由???

??

2×a +22-3×b +02+1=0,b -0a -2×23=-1,

得M′? ????613,3013.

设m 与l 1的交点为N , 由??

?

2x -3y +1=0,3x -2y -6=0,

得N(4,3).

又l 2过N 点,由两点式得直线l 2的方程为9x -46y +102=0. (3)解法一:在l 1:2x -3y +1=0上任取两点,如M(1,1),N(4,3). 则M ,N 关于点A 的对称点M′,N′均在直线l 3上.

易知M′(-3,-5),N′(-6,-7),由两点式可得l 3的方程为2x -3y -9=0.

解法二:∵l 1∥l 3,∴可设l 3的方程为2x -3y +c =0(c ≠1). ∵点A 到两直线的距离相等,∴由点到直线的距离公式得|-2+6+c|

22+3

2

=|-2+6+1|

22+32

,得c =-9,

∴l 3的方程为2x -3y -9=0.

解法三:设P(x ,y)是l 3上任一点,则P(x ,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x ,-4-y).

∵P′在直线l 1上,

∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0. 整理得2x -3y -9=0.

【例4-2】解:方法一:由??

?

2x +y -4=0,

3x +4y -1=0,得l 1与l 的交点为P(3,-2),

显然P 也在l 2上.

设l 2的斜率为k ,又l 1的斜率为-2,l 的斜率为-3

4,则-3

4-(-2)1+? ????

-34×(-2)=

k -? ??

?

?-341+? ??

??

-34k ,解得k =-211.

故l 2的直线方程为y +2=-2

11

(x -3),即2x +11y +16=0.

方法二:在直线l 1上取一点A(2,0),又设点A 关于直线l 的对称点为B(x 0,y 0),则

?

????

y 0-0x 0

-2=43,3·2+x

2+4·0+y

2-1=0,

解得B ? ????4

5

,-85.

故由两点式可求得直线l 2的方程为2x +11y +16=0. 演练巩固提升 针对训练

1.3x +4y -11=0 解析:解法一:设直线l 的斜率为k. ∵l 与直线3x +4y +1=0平行, ∴k =-3

4

.

又∵l 经过点(1,2),可得所求直线方程为y -2=-3

4(x -1),即3x +4y -11=

0.

解法二:设与直线3x +4y +1=0平行的直线l 的方程为3x +4y +m =0. ∵l 经过点(1,2),∴3×1+4×2+m =0,解得m =-11. ∴所求直线方程为3x +4y -11=0.

2.1 解析:∵直线x -2y +5=0与2x +my -6=0互相垂直, ∴1×2+(-2)·m=0,即m =1.

3.解:∵a 2+b 2-2a -2b +2=(a -1)2+(b -1)2,可看成是点P(a ,b)与点(1,1)之间的距离.

又∵点P 是直线x +y +1=0上任一点,

∴(a -1)2+(b -1)2即是点(1,1)与直线x +y +1=0上任一点之间的距离. 因此,点(1,1)到直线x +y +1=0的距离即是(a -1)2+(b -1)2的最小值. 由于点(1,1)到直线x +y +1=0的距离为d =|1+1+1|12+12

=32

2,

故a 2+b 2-2a -2b +2的最小值为

3

2

2. 4.解:(1)如图甲所示,设点B 关于l 的对称点为B ′,连接AB′并延长交l 于P ,此时的P 满足|PA|-|PB|的值最大.

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图甲

设B′的坐标为(a ,b), 则k BB′·k l =-1, 即

b -4

a

·3=-1. ∴a +3b -12=0.①

又由于线段BB′的中点坐标为? ????

a 2,

b +42,且在直线l 上, ∴3×a 2-b +4

2-1=0,即3a -b -6=0.②

①②联立,解得a =3,b =3,∴B′(3,3).

于是AB′的方程为y -13-1=x -4

3-4,

即2x +y -9=0. 解方程组??

?

3x -y -1=0,

2x +y -9=0,

得??

?

x =2,y =5,

即l 与AB′的交点坐标为P(2,5).

(2)如图乙所示,设C 关于l 的对称点为C′,连接AC′交l 于点Q ,此时的Q 满足|QA|+|QC|的值最小.

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图乙

设C′的坐标为(x′,y′), ∴???

??

y′-4x′-3·3=-1,3·x′+32-y′+42-1=0.

解得?

??

??

x′=35,y′=245.∴C′? ??

??

35,245.

由两点式得直线AC′的方程为y -1245-1=x -4

35-4,

即19x +17y -93=0.

解方程组??

?

19x +17y -93=0,

3x -y -1=0,

得???

??

x =117,y =267.

∴所求点Q 的坐标为? ????

117,267.

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