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【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 选修4系列理

选修4系列

N1选修4-1 几何证明选讲

图1－6

22．N1[20132新课标全国卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲如图1－6所示，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB＝DC；

(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

22．解：(1)证明：联结DE，交BC于点G.

由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.

而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.

又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，

由勾股定理可得DB＝DC.

(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，

故DG是BC的中垂线，所以BG＝

设DE的中点为O，联结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，

所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于

15．N1[20132广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－3所示，AB是圆O的直径，点C 在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________．

图1－3

15．2 3 [解析] 由题知∠ACB＝90°，又BC＝CD，

∴AD＝AB＝6，∠BAC＝∠CAE，∴AE＝AD－ED＝4.

∵CE为切线，∴∠ACE＝∠ABC.

∴∠ACE＋∠CAE＝∠ABC＋∠BAC＝90°.

在△ACD中，∠ACD＝90°，CE⊥AD，

∴CD2＝ED2DA＝12，解得CD＝2 3，故BC＝2 3.

图1－5

15．N1[20132湖北卷] (选修4－1：几何证明选讲)

如图1－5所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，则CE

的值为________．

15．8 [解析] 设AB ＝6k ，则AD ＝2k ，DO ＝k ，CO ＝3k ，设EO ＝x ，由射影定理：DO 2

＝EO2CO，k 2

＝x23k，x ＝k 3，故CE EO ＝3k －

k 3k

＝

图1－3

11．N1[20132湖南卷] 如图1－2所示，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P.PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________．

11.

[解析] 由相交弦定理可知PA2PB＝PC2PD，得PC ＝4，故弦CD ＝5，又半径r ＝7，记圆心O 到直线CD 的距离为d ，则d 2

＋? ??

??522＝7，即d 2

＝34，故d ＝32.

21．N1[20132江苏卷] A ．[选修4－1：几何证明选讲]

如图1－1所示，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC. 求证：AC ＝

2AD.

图1－1

证明：联结OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.

又因为∠A＝∠A，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB ，所以BC OD ＝AC AD

又BC ＝2OC ＝2OD. 故AC ＝2AD.

11．N1[20132北京卷] 如图1－2，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________．

图1－2

11.9

5 4 [解析] 由于PD∶DB＝9∶16，设PD ＝9a ，则DB ＝16a ，PB ＝25a ，根据切割线定理有PA 2＝PD2PB，∴a＝15，∴PD＝95，PB ＝5.又∵△PBA 为直角三角形，∴AB 2＋AP 2＝PB 2

，

∴AB＝4.

22．N1[20132辽宁卷] 选修4－1：几何证明选讲

如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，联结AE ，BE.证明：

(1)∠FEB＝∠CEB；

(2)EF 2

＝AD2BC.

图1－8

22．证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB＝∠EAB. 由AB 为⊙O 的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π

又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π

，

从而∠FEB＝∠EAB. 故∠FEB＝∠CEB.

(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF.

类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF.

又在Rt △AEB 中，EF⊥AB，故EF 2

＝AF2BF，

所以EF 2

＝AD2BC. N1[20132陕西卷]

B ．(几何证明选做题)如图1－4，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作B

C 的平行线与A

D 的延长线相交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则P

E ＝________.

图1－4

6 [解析] 利用已知可得，∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得PE PA ＝PD

PE ，

而PD ＝2DA ＝2，则PA ＝3，则PE 2

＝PA2PD＝6，PE ＝ 6.

15．C8，E8，N1[20132四川卷] 设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到P 1，P 2，…，P n 点的距离之和最小，则称点P 为P 1，P 2，…，P n 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．则有下列命题：

①若A ，B ，C 三个点共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)

15．①④ [解析] 对于①，如果中位点不在直线AB 上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB 上时，如果不与C 重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C 为唯一的中位点，①正确；

对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为5，显然2 5＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；

对于③，当A ，B ，C ，D 四点共线时，不妨设他们的顺序就是A ，B ，C ，D ，则当点P 在B ，C 之间运动时，点P 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；

对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．

13．N1[20132天津卷] 如图1－2所示，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ，若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．

图1－2

13.83 [解析] 由切割线定理可得EA 2

＝EB2ED，有EB ＝4，ED ＝9. 因为AB ＝AC ，所以∠ABC＝∠C＝∠ADB，

由弦切角定理可得∠EAB＝∠ADB，所以∠EAB＝∠ABC，故AE∥BC.又BD∥AC，所以四边形AEBC 是平行四边形，可得BC ＝AE ＝6，又由平行线分线段成比例定理可得BF

AE ＝

BD DE ，因为AE ＝6，所以BF ＝103，故CF ＝BC －BF ＝83

. 22．N1[20132新课标全国卷Ⅱ] 选修4－1：几何证明选讲：

如图1－5，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC2AE＝DC2AF，B ，E ，F ，C 四点共圆．

(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；

(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．

图1－5

22．解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BC FA ＝DC

，

故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA. 因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．

(2)联结CE ，因为∠CBE＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，

有CE ＝DC ，又BC 2＝DB 2BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2

而DC 2＝DB2DA＝3DB 2

，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12

1－6

14．N1[20132重庆卷] 如图1－6所示，在△AB C 中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD⊥CD，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．

14．5 [解析] 联结CE.由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°.又在Rt △ABC 中，∠ABC＝30°，AC ＝1

2AB ＝10，所以CE ＝AC ＝10.在Rt △CDE 中，∠DCE

＝30°，故DE ＝1

CE ＝5.

N2 选修4-2 矩阵

21．[20132福建卷] N2(Ⅰ)选修4－2：矩阵与变换

已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝错误!)对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1. (1)求实数a ，b 的值；

(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ? ????x 0y 0)＝? ??

x 0y 0)，求点P 的坐标．

(Ⅰ)解：(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M(x ，y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是M′(x′，y′)．

由? ??

x′y′)＝错误!))错误!)＝错误!)，得错误! 又点M ′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1.

依题意得?????a ＝1，b ＋2＝1，解得?

????a ＝1，

b ＝－1.

(2)由A ? ????x 0y 0)＝? ????

x 0y 0)，得?

????x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.

又点P(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.

故点P 的坐标为(1，0)． N2[20132江苏卷]

B ．[选修4－2：矩阵与变换]

已知矩阵A ＝－1,0) 0,2)，B ＝1,0) 2,6)，求矩阵A －1

B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为a,c) b,d)，则－1,0) 0,2)a,c) b,d)＝1,0) 0,1)．即－a,2c) －b,2d)＝1,0) 0,1)，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝1

，

从而A 的逆矩阵为A

－1

＝????

??－1 0 0,1

)))．

所以A

－1

B ＝????

??－1 0 0,1

)))1,0) 2,6)＝－1,0) －2,3)．

2．N2，N3[20132浙江卷] 已知a∈R “矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块

(1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，并

在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2

sin θ＝1化成直角坐标方程．

(2)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：???x ＝2cos θ，

y ＝sin θ

(θ为参数)，过点P(2，1)的直线与

曲线C 交于A ，B 两点．若|PA|2|PB|＝8

，求|AB|的值．

2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3

sin θ＝ρ.

又在直角坐标系下，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2

，故化成直角坐标方程为x ＋y(x 2

＋y 2

)＝x 2

＋y 2

. 又(0，0)满足原极坐标方程．

故所求的直角坐标方程为x ＋y(x 2

＋y 2

)＝x 2

＋y 2

(2)由题意，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2

＝2. 设过点P(2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为

????x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)．及点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2.

将直线的参数方程代入x 2＋2y 2

＝2得

(2＋tcos α)2＋2(1＋tsin α)2

－2＝0.

即(1＋sin 2α)t 2

＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0.

则Δ＝16(2sin αcos α－sin 2

α)>0，且t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α）

1＋sin 2

，t 1t 2＝4

1＋sin 2

，由|PA|2|PB|＝83得|t 1t 2|＝41＋sin 2

α＝8

3. 故sin 2

α＝12.又由Δ>0得0

故t 1＋t 2＝8 23，t 1t 2＝8

所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）－4t 1t 2＝

4 2

. N3选修4-4 参数与参数方程

23．N3[20132新课标全国卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C 1的参数方程为?

???

?x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．

23．解：(1)将?????x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t

消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2

＝25，

即C 1：x 2＋y 2

－8x －10y ＋16＝0.

将?

????x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2

－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝

所以C 1的极坐标方程为ρ2

－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2

－2y ＝0，

由?????x 2

＋y 2

－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2

－2y ＝0解得?????x ＝1，y ＝1或?????x ＝0，

y ＝2.

所以C 1与C 2交点的极坐标分别为?

????2，π4，? ????2，π2.

7．N3[20132安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分

别为( )

A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2

B ．θ＝π

2(ρ∈R )和ρcos θ＝2

C ．θ＝π

(ρ∈R )和ρcos θ＝1

D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1

7．B [解析] 圆的直角坐标方程为x 2＋y 2

－2x ＝0，故垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程为x ＝0，x ＝2，其极坐标方程分别为θ＝π

(ρ∈R )和ρcos θ＝2.

9．N3[20132北京卷] 在极坐标系中，点?

????2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于

________．

9．1 [解析] 极坐标系中点的?

????2，π6对应直角坐标系中的点的坐标为(3，1)，极坐标

系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，所以距离为1.

N3(Ⅱ)选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为? ????2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ?

????θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；

(2)圆C 的参数方程为????

?x ＝1＋cos α，y ＝sin α

(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．

(Ⅱ)解：(1)由点A 2，π4在直线ρcos θ－π

4＝a 上，可得a ＝ 2.

所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，

从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.

(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2

＝1. 所以圆C 的圆心为(1，0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝

12＝2

<1，所以直线l 与圆C 相交．

14．N3[20132广东卷] (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为

?x ＝2cos t ，

y ＝2sin t

(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，则l 的极坐标方程为________．

14．ρsin ? ????θ＋π4＝ 2 [解析] 曲线C 的参数方程化为普通方程是x 2＋y 2

＝2，点(1，

1)在曲线上，易求得过(1，1)作圆C 切线的方程是：x ＋y ＝2，其极坐标方程是ρ(cos θ＋sin θ)＝2，即ρsin ?

????θ＋π4＝ 2.

16．N3[20132湖北卷] (选修4－4：坐标系与参数方程)

在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为????

?x ＝acos φ，y ＝bsin φ

(φ为参数，a>b>0)．在极坐

标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin θ＋π4＝2

2m(m 为非零常数)与ρ＝b.若直线l 经过

椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．

16.

[解析] 直线l 的直角坐标方程为x ＋y －m ＝0，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2

＝b 2

，由直线与圆相切得：m 2

＝2b 2

.又椭圆C 的一般方程为x 2

a 2＋y

b 2＝1，直线过椭圆焦点，故m ＝

c ，

所以c 2＝2b 2

e ＝c a ＝63

9．N3[20132湖南卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：?????x ＝t ，

y ＝t －a (t 为参数)过椭圆

C ：?

????x ＝3cos φ，

y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________． 9．3 [解析] 将参数方程化为普通方程可得，直线l ：?

????x ＝t ，y ＝t －a ，即y ＝x －a ，椭圆C ：

????x ＝3cos φ，y ＝2sin φ，即x 29＋y 2

4＝1，可知其右顶点为(3，0)，代入直线方程可得a ＝3.

N3[20132江苏卷]

C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为????

?x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方

程为?

????x ＝2tan 2

θ，

y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐

标．

解：因为直线l 的参数方程为?

????x ＝t ＋1，

y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝

2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2

＝2x.

联立方程组?????y ＝2（x －1），y 2＝2x ，

解得公共点的坐标为(2，2)，1

2，－1.

15．[20132江西卷] N3(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为?

????x ＝t ，

y ＝t 2(t

为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极

坐标方程为________．

N4[20132江西卷] (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为__________________．

15．(1)ρcos 2

θ－sin θ＝0 (2)[]0，4

[解析] (1)曲线方程为y ＝x 2，将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入得ρcos 2

θ－sin θ＝0.

(2)－1≤|x－2|－1≤1 0≤|x －2|≤2 －2≤x－2≤2，得0≤x≤4. 23．N3[20132辽宁卷] 选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ?

????θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；

(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为????

?x ＝t 3

＋a ，y ＝b 2t 3

＋1(t∈R 为参数)，求a ，b 的值．

23．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2

＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.

解????

?x 2

＋（y －2）2

＝4，x ＋y －4＝0得?????x 1＝0，y 1＝4，?????x 2＝2，y 2＝2.

所以C 1与C 2交点的极坐标为?

????4，π2，? ????2 2，π4.

注：极坐标系下点的表示不唯一．

(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. 由参数方程可得y ＝b 2x －ab

2＋1，

所以?????b

2＝1，－ab 2＋1＝2，

解得a ＝－1，b ＝2.

C ．N3[20132陕西卷]

(坐标系与参数方程选做题)如图1－5，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2

－x ＝0的参数方程为________．

图1－5

????x ＝cos 2

θ，y ＝cos θ2sin θ(θ为参数) [解析] 设P(x ，y)，则随着θ取值变化，P 可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x 2＋y 2－x ＝0 x －122＋y 2

＝14，表示以12，0为圆心，半径为

的圆，可得弦OP ＝13cos θ，所以?????x ＝OP2cos θ，y ＝OP2sin θ，可得?????x ＝cos 2

θ，

y ＝cos θ2sin θ，故已知圆的参数方程为?

???

?x ＝cos 2

θ，y ＝cos θ2sin θ(θ为参数)．

11．N3[20132天津卷] 已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为4，π

，则|CP|＝________.

11．2 3 [解析] ∵圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，∴圆心C 的直角坐标为(2，0)．∵P

点极坐标?

????4，π3，∴化为直角坐标为(2，23)，∴|CP|＝（2－2）2＋（0－2 3）2

＝2 3.

23．N3[20132新课标全国卷Ⅱ] 选修4—4：坐标系与参数方程

已知动点P ，Q 都在曲线C ：?

????x ＝2cos t ，

y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝

2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．

(1)求M 的轨迹的参数方程；

(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．

23．解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．

M 的轨迹的参数方程为?

????x ＝cos α＋cos 2α，

y ＝sin α＋sin 2α

(α为参数，0<α<2π)．

(2)M 点到坐标原点的距离

d ＝x 2

＋y 2

＝2＋2cos α(0<α<2π)．

当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．

2．N2，N3[20132浙江卷] 已知a∈R “矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块

(1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，并

在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2

sin θ＝1化成直角坐标方程．

(2)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：???x ＝2cos θ，

y ＝sin θ

(θ为参数)，过点P(2，1)的直线与

曲线C 交于A ，B 两点．若|PA|2|PB|＝8

，求|AB|的值．

2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3

sin θ＝ρ.

又在直角坐标系下，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2

，故化成直角坐标方程为x ＋y(x 2

＋y 2

)＝x 2

＋y 2

. 又(0，0)满足原极坐标方程．

故所求的直角坐标方程为x ＋y(x 2

＋y 2

)＝x 2

＋y 2

(2)由题意，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2

＝2. 设过点P(2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为

????x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)．及点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2.

将直线的参数方程代入x 2＋2y 2

＝2得

(2＋tcos α)2＋2(1＋tsin α)2

－2＝0.

即(1＋sin 2α)t 2

＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0.

则Δ＝16(2sin αcos α－sin 2

α)>0，且t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α）

1＋sin 2

，t 1t 2＝4

1＋sin 2

，由|PA|2|PB|＝83得|t 1t 2|＝41＋sin 2

α＝8

3. 故sin 2

α＝12.又由Δ>0得0

故t 1＋t 2＝8 23，t 1t 2＝8

所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）－4t 1t 2＝

4 2

. 15．N3[20132重庆卷] 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建

立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线?

????x ＝t 2

，

y ＝t 3

(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________．

15．16 [解析] 直线的普通方程为x ＝4，代入曲线的参数方程得t ＝±2，当t ＝2时x ＝4，y ＝8；当t ＝－2时x ＝4，y ＝－8，即有A(4，8)，B(4，－8)，于是|AB|＝8－(－8)＝16.

N4(Ⅲ)选修4－5：不等式选讲

24．N4[20132新课标全国卷Ⅰ] 选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

(2)设a ＞－1，且当x∈????

??－a 2，12时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f(x)

y ＝?????－5x ，x<1

，

－x －2，12

≤x≤1，

3x －6，x>1.

其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x∈(0，2)时，y<0，所以原不等式的解集是

{x|0

(2)当x∈????

??－a 2，12时，f(x)＝1＋a. 不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.

所以x≥a－2对x∈??????－a 2，12都成立，故－a 2≥a －2，即a≤43，从而a 的取值范围是?

????－1，43

设不等式|x －2|

)的解集为A ，且32∈A ，12

(1)求a 的值；

(2)求函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|的最小值．

(Ⅲ)解：(1)因为32∈A ，且12 A ，所以??????32－2

.又因为a∈N *

，所以a ＝1.

(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x＋1)－(x －2)|＝3，

当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3. 13．N4[20132湖北卷] 设x ，y ，z∈R ，且满足：x 2

＋y 2

＋z 2

＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.

13.3 147 [解析] 由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(1＋4＋9)＝14≥(x＋2y ＋3z)2＝14，当

x 1

＝y 2＝z 3时取“＝”，故x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，则x ＋y ＋z ＝3 147

. 10．N4[20132湖南卷] 已知a ，b ，c∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2

的最小值为________．

10．12 [解析] 因a ＋2b ＋3c ＝6，由柯西不等式可知(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12

)≥(a＋2b ＋3c)2，可知a 2＋4b 2＋9c 2

已知a≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2

证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b)＝2a(a 2－b 2)＋b(a 2－b 2)＝(a 2－b 2

)(2a ＋b)＝(a －b)(a ＋b)(2a ＋b)．

因为a≥b>0，所以a －b≥0，a ＋b>0，2a ＋b>0.

从而(a －b)(a ＋b)(2a ＋b)≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2

b.24.N4[20132辽宁卷] 选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x －a|，其中a>1.

(1)当a ＝2时，求不等式f(x)≥4－|x －4|的解集；

(2)已知关于x 的不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{}x|1≤x≤2，求a 的值．

24．解：(1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝????

?－2x ＋6，x≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x≥4.

当x≤2时，由f(x)≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；

当2＜x ＜4时，f(x)≥4－|x －4|无解；

当x≥4时，由f(x)≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x≤1或x≥5}． (2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，则 h(x)＝????

?－2a ，x≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x≥a.

由|h(x)|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.

又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，

15．N4[20132陕西卷] (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所

做的第一题评分)

A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值为________．

2 [解析] 利用柯西不等式式可得：(am ＋bn)(bm ＋an)≥(am an ＋bm bn)2

＝mn(a ＋b)2

＝2.

14．N4[20132天津卷] 设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|

b 取得最小值．

14．－2 [解析] 12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥a

4|a|

＋2

b 4|a|3|a|

≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a|＝|a|b

时，等号成立．联立a ＋b ＝2，b>0，a<0.可解得a ＝－2. 24．N4[20132新课标全国卷Ⅱ] 选修4－5：不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca≤1

由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2

＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤1

1．N4[20132浙江卷] (1)解不等式|x －1|＋|x －4|≥5.

(2)求函数y ＝|x －1|＋|x －4|＋x 2

－4x 的最小值．

1．解：(1)当x<1时，1－x ＋4－x≥5，得x ≤0，此时x≤0；当1≤x≤4时，x －1＋4－x≥5，得3≥5，此时x∈ ；当x>4时，x －1＋x －4≥5，得x≥5，此时x≥5.

综上所述，原不等式的解集是(－∞，0]∪[5，＋∞)． (2)因为|x －1|＋|x －4|≥|(x－1)－(x －4)|＝3，当且仅当1≤x≤4时取等号； x 2－4x ＝(x －2)2

－4≥－4，当且仅当x ＝2时取等号．

故|x －1|＋|x －4|＋x 2

－4x≥3－4＝－1，当x ＝2时取等号．

所以y ＝|x －1|＋|x －4|＋x 2

－4x 的最小值为－1.

16．N4[20132重庆卷] 若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是________．

16．(－∞，8] [解析] 要使不等式无解，则a 必须小于或等于|x －5|＋|x ＋3|的最小值，而|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，则a≤8，所以实数a 的取值范围是(－∞，8]．

N5 选修4-7 优选法与试验设计

1．[20132云南师大附中月考] 如图X8－4，已知圆O 外有一点P ，过P 作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，联结PA 并延长，交圆O 于点C ，

联结PB 交圆O 于点D ，若MC ＝BC.

(1)求证：△APM∽△ABP；

(2)求证：四边形PMCD 是平行四边形．

1．证明：(1)∵PM 是圆O 的切线，NAB 是圆O 的割线，N 是PM 的中点，

∴MN 2＝PN 2

＝NA2NB，∴PN NB ＝NA PN

，

又∵∠PNA＝∠BNP，∴△PNA ∽△BNP， ∴∠APN ＝∠PBN，即∠APM＝∠PBA， ∵MC ＝BC ，∴∠MAC ＝∠BAC，

∴∠MAP ＝∠PAB，∴△APM ∽△ABP. (2)∵∠ACD＝∠PBN，

∴∠ACD ＝∠PBN＝∠APN，即∠PCD＝∠CPM， ∴PM ∥CD.∵△APM ∽△ABP ，∴∠PMA ＝∠BPA， ∵PM 是圆O 的切线，∴∠PMA ＝∠MCP，

∴∠PMA ＝∠BPA＝∠MCP，即∠MCP＝∠DPC， ∴MC ∥PD ，∴四边形PMCD 是平行四边形．

历年高考数学试题分类汇编

2008年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一．选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

高考数学试题分类大全

2014年高考全国2卷文科数学试题(含解析)

绝密★启用前 2014年高考全国2卷文科数学试题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释） 1．设集合2 {2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =I （） A ．? B ．{}2 C ．{0} D ．{2}- 2． 131i i +=-（） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i -- 3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（） A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρ ρ，则=?b a ρρ（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ． (1)2n n + D ．(1) 2 n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为（） A ． 2717 B ．95 C ．2710 D ．3 1 7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为（A ）3 （B ） 3 2 （C ）1 （D 3 D 1 1 A B 1 8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（）

2018-2020三年高考数学分类汇编

专题一集合与常用逻辑用语第一讲集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

2014年全国大纲卷高考理科数学试题真题含答案

2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设103i z i =+，则z 的共轭复数为（） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 【答案】D ． 2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N = （） A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[1,0)- D ．(1,0]- 【答案】B. 3.设sin33,cos55,tan35,a b c =?=?=?则（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 【答案】C ． 4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （） A ．2 B C ．1 D ． 2 【答案】B ． 5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（） A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种【答案】C ．

6.已知椭圆C ：22 221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ?的周长为C 的方程为（） A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．22 1124 x y += 【答案】A ． 7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（） A ．2e B ．e C ．2 D ．1 【答案】C ． 8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（） A ．814 π B ．16π C ．9π D ．274π 【答案】A ． 9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则 21cos AF F ∠=（） A ．14 B ．13 C ．4 D ．3 【答案】A ． 10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C ． 11.已知二面角l αβ--为60?，AB α?，AB l ⊥，A 为垂足，CD β?，C l ∈，135ACD ∠=?，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）

2019-2020高考数学试题分类汇编

2019---2020年真题分类汇编一、集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–11}，则A ∪B = （A ）（–1，1）（B ）（1，2）（C ）（–1，+∞）（D ）（1，+∞） 7，（天津文、理，1）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤∈R ，则A B = . 10，（上海1）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = ．一、集合(2020) 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则 a =（） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.

2014年高考数学全国卷1(理科)

绝密★启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 I 卷 ) 数学(理科 ) 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x 2 2x 3 0 } ，－ ≤＜＝，则A B = B={ x | 2 x 2 A .[-2,-1] B .[-1,2 ） C .[-1,1] D .[1,2） (1 i )3 2. (1 i ) 2 = A .1 i B .1 i C . 1 i D . 1 i 3.设函数 f ( x) ， g( x) 的定义域都为 R ，且 f ( x) 时奇函数， g (x) 是偶函数，则下列结论正确的是 A . f (x) g( x) 是偶函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 C .f (x) | g( x) 是奇函数 D .|f ( x) g ( x) 是奇函数 | | 4.已知 F 是双曲线 C ： x 2 my 2 3m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3 B .3 C . 3m D . 3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 A . 1 B . 3 C . 5 D . 7 8 8 8 8 6.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0, ]上的图像大致为

2014年高考新课标全国2卷数学(文)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）数学试题卷（文史类）注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的、号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合A={2-，0，2}，B={x |022 =--x x }，则A B= （A ）? （B ）{}2 （C ）{}0 （D ）{}2- （2） 131i i +=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i -- （3）函数()f x 在0x x =处导数存在．若p ：0'()0f x =；q ：0x x =是()f x 的极值点，则（A ）p 是q 的充分必要条件（B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件（C ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件（D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件（4）设向量a ，b 满足||a b +=，||a b -= ，则a b = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 （5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （A ）()1n n + （B ）()1n n - （C ） ()12 n n + （D ） ()12 n n - （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（A ） 1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）1 3

2014年高考理科数学全国卷1有答案

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2{|230}A x x x =--≥,{|22}B x x =-<≤,则A B = ( ) A .[2,1]-- B .[1,2)- C .[1,1]- D .[1,2) 2. 3 2 (1i)(1i)+=- ( ) A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()|f x ()g x 是奇函数 C .()f x |()|g x 是奇函数 D .|()()|f x g x 是奇函数 4.已知F 为双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ( ) A B .3 C D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) A .18 B .38 C . 58 D . 78 6.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ,则 ()y f x =在[0,π]的图象大致为 ( ) A . B . C . D . 7.执行如图的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3.则输出的M = ( ) A . 203 B . 72 C .165 D .158 8.设π(0,)2α∈,π(0,)2 β∈,且1sin tan cos β αβ+=,则 ( ) A .π32αβ-= B .π 32αβ+= C .π22αβ-= D .π 22αβ+= 9.不等式组1, 24x y x y +??-?≥≤的解集记为D ,有下面四个命题： 1p ：(,)x y D ?∈,22x y +-≥； 2p ：(,)x y D ?∈,22x y +≥； 3p ：(,)x y D ?∈,23x y +≤； 4p ：(,)x y D ?∈,21x y +-≤. 其中的真命题是 ( ) A .2p ,3p B .1p ,2p C .1p ,4p D .1p ,3p 10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =,则||QF = ( ) A .72 B .3 C .52 D .2 11.已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是 ( ) A .(2,)+∞ B .(1,)+∞ C .(,2)-∞- D .(,1)-∞- 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ( ) A .B .6 C .D .4 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 (用数字填写答案). 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时, 甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若1()2 AO AB AC =+,则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,2a =,且(2)(sin b A +- sin )()sin B c b C =-,则ABC △面积的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,0n a ≠,11n n n a a S λ+=-,其中λ为常数. （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ,使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 姓名________________ 准考证号_____________ -------------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ----------------

2014年江苏省高考数学试卷答案与解析

2015-2019全国卷高考数学分类汇编——集合

2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝（B ）｛0，1｝（C ）｛-1，0，1｝（D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（）（A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（）（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，

2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥

2020年高考数学试题分类汇编之立体几何

2018年高考数学试题分类汇编之立体几何一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）。（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角

2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合A={x |2 230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2.32 (1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x |()g x 是奇函数 C .()f x |()g x |是奇函数 D .|()f x ()g x |是奇函数 4.已知F 是双曲线C ：2 2 3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 A .18 B .38 C .58 D . 78 6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M = A . 203 B .165 C .72 D .158

2014年江苏省高考数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={}，，则 ▲ . 2. 已知复数(i 为虚数单位),则的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的的值是 ▲ . 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数与(0≤),zxxk 它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 7. 在各项均为正数的等比数列中,,则的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分别为，，若它们的侧面积相等，且，则的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为 ▲ . 10. 已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系中，若曲线(a ，b 为常数) zxxk 过点，且该曲线在点P 处的切线与直线平行，则的值是 ▲ . 12. 如图，在平行四边形中，已知，， 4,3,1,2--}3,2,1{-=B =B A 2)i 25(+=z z n x y cos =)2sin(?+=x y π?<3 π ?}{n a , 12=a 4682a a a +=6a 1S 2S 1V 2V 4 921=S S 2 1 V V xOy 032=-+y x 4)1()2(22=++-y x ,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(

【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 选修4系列 理

【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 选修4系列理