文档视界 最新最全的文档下载
当前位置:文档视界 › 导数在高中数学解题中的应用

导数在高中数学解题中的应用

导数在高中数学解题中的应用
导数在高中数学解题中的应用

导数在高中数学解题中的应用

高二年级数学组钱洪永

摘要:导数作为高中新教材的新增内容之一,它给高中数学增添了新的活力,特别是导数广泛的应用性,为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法,为我们展现出了一道亮丽的风景线,也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点.这几年的高考命题趋势表明:导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”,成为分析问题和解决问题的重要工具.将导数与传统内容结合,不仅能加强能力的考查力度,而且也使试题具有更广泛的实践意义。导数的思想方法在高中数学解题中是非常重要的,在解决许多问题上起到居高临下和以繁化简的作用。文章着重运用导数的基本知识和理论,来解决高中数学里的函数的图像、单调性、最值等函数问题以及导数在研究方程的根上的运用,结合实例阐述了导数在代数问题,解析几何及实际问题的一些应用。这对高中数学的教学具有一定的指导作用。

关键词:导数;高中数学;应用

1引言

导数是我们研究中学数学的一个有力工具,它使各个章节的内容联系的更加紧密,有助于我们对中学数学的深入学习。数的工具性微积分作为一种强有力的数学工具的地位是毋庸置疑的,而导数则以它优良的性质、广泛的用途扮演了重要的角色.以中学数学为例导数作为一个交汇点,联结起了函数、方程、向量、数列、不等式、解析几何等内容;并为解决这些提供了统一、有章可循的方法。导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位,在高中阶段学习函数时,为了理解函数的性态,学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。有利于学生更好地掌握函数思想数学上的许多问题,用初等数学方法是不能解决的,或者难以解决,而通过建立函数关系,利用函数思想,然后用导数来研究其性质,充分发挥导数的工具性和应用性的作用,可以轻松简捷地获得问题的解决。高中新课程改革的背景下,导数知识作为高等数学微积分中的内容在高中课程中做铺垫,又对导数内容的教材进行了修改。课程改革是导数知识在实践中经历了变化与发展的过程。应用非常广泛,涉及到中学数学的各个方面。我们应该把导数的工具作用发挥出来,在数学中应该加强导数的思想教学。

2文献综述

2.1国内外研究现状

在查阅到的文献资料中,大量学者对导数在高中数学中的应用有不同的见

解,华东师范大学数学系.数学分析(上册).第三版中提到导数在高中求极值问题; 陈应昌在文献[2]中讲述了在导数在高中数学中单调性的应用;郭金芝在文献[3]中讲述了导数在高中数学中求极值的应用;李汉云、张丽娟、窦宝权等人在文献[4]-[9]中谈到国导数在高中数学中利用导数求函数解析式和利用导数画函数图像以及利用导数在求切线解析式的应用;周国球在文献[10]中讲述了导数在高中数学解题中应注意的方面;王淑茂 ,吴永清文献[11]中讲述了导数应用的几个误区和怎样才能避免这些误区发生;肖志向、朱家俊文献[12]-[13]中用导数法证明了不等式和等式;秦学锋文献[14]讲述了在求和数列中的应用;张红文献[15]详细讲述了导数的发展。

2.2 国内外研究现状评价

在查到的文献[1]-[15]中,作者分别从不同的方面说明导数的一些应用及应该注意的一些问题,但是都过于单调,不够完善,不能体现导数在高中数学的重要性及广泛性。

2.3提出问题

以上文献针对导数在高中数学的重要性,从导数的基本定义在高中数学的应用,从导数的定义在高中数学中不同的应用,但不够完善,本文将导数在中学数学中的应用进行了一个综合,更能体现导数在高中数学中的重要性及广泛性。 3 预备知识

导数的定义

(1)导数第一定义:设函数 ()x f y = 在点0x 的某个邻域内有定义,当自变量x 在 0x 处有增量x ? (0x + x ? 也在该邻域内 ) 时,相应地函数取得增量 y ? = f ()x x ?+0 - f (0x ) ;如果 y ? 与 x ? 之比当 x ?→0 时极限存在,则称函数()x f y = 在点 0x 处可导,并称这个极限值为函数 ()x f y = 在

点 x0 处的导数记为 ()0'x f ,即 ()()()()000dy x dy ,lim lim

'00000'x x x x x x x x dx dy y x x f x x f x y x f ===→?→??-?+=??=或也可记作为导数第一定义

(2)导数第二定义:设函数 ()x f y = 在点 0x 的某个邻域内有定义,当

自变量x 在 0x 处有变化x ?()也在该领域内

0x x - 时,相应地函数变化()()0x f x f y -=?;如果 y ? 与 x ? 之比当0→?x 时极限存在,则称函数

()x f y = 在点 0x 处可导,

并称这个极限值为函数 ()x f y = 在点 0x 处的导数

记为 ()0'x f ,即()()()0

0'0lim x x x f x f x f x x o --=→为导数第二定义 (3)导函数与导数:如果函数 ()x f y = 在开区间I 内每一点都可导,就称函数()x f 在区间I 内可导。这时函数 ()x f y = 对于区间I 内的每一个确定的x 值,都对应着一个确定的导数,这就构成一个新的函数,称这个函数为原来函数 ()x f y = 的导函数,记作()()dx x df dx dy x f y /,/,,''。导函数简称导数。 4 导数在代数问题中的应用

(1)利用导数求函数的解析式

用解析式表示函数关系,便于研究函数的性质,而利用导数求函数的解析式,函数的一些基本性质就会显得更加的明了.

例1.设函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点,且曲线在P 点处的切线方程为0412=--y x ,若函数在2=x 处取得极值0,试确定函数的解析式.

解:因为函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点,所以P 点的坐标为()d ,0,又曲线在P 点处的切线方程为412-=x y ,P 点坐标适合方程,从而4-=d ,又切线斜率12=k ,故在0=x 处的导数120='=x y ,而

c bx ax y ++='232,c y x ='=0,从而12=c ,又函数在2=x 处取得极值0,所以

???=++=++.

,020********b a b a 解得2=a ,9-=b ,所以所求函数解析式为4129223-+-=x x x y .

(2)利用导数求函数的值域

求函数的值域是中学数学中的重点,也是难点,方法因题而异,不易掌握.但是,如果采用导数来求解,则较为容易,且一般问题都可行.

例2.求函数212)(+-+=x x x f 的值域.

分析 先确定函数的定义域,然后根据定义域判断)(x f '的正负,进而求出函数)(x f 的值域.

解:显然,)(x f 定义域为[)∞+-,21,由于

1

2221222221121)(+++-+=+-+=

'x x x x x x x f , 又 1222721222++++=+-+x x x x x , 可见当21->x 时,0)(>'x f .所以212)(+-+=x x x f 在[)∞+-,21上是增函数.而26)21(-=-f ,所以函数212)(+-+=x x x f 的值域是

),2/6[+∞-.

(3)利用导数求函数的最(极)值

求函数的最(极)值是高中数学的重点,也是难点,是高考经常要考查的内容之一,它涉及到了函数知识的很多方面,用导数解决这类问题可以使解题过程简化,步骤清晰,也容易掌握,从而进一步明确了函数的性态.

一般地,函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可导,则)(x f 在[]b a ,上的最值求法:

(1) 求函数)(x f 在()b a ,上的极值点;

(2) 计算)(x f 在极值点和端点的函数值;

(3) 比较)(x f 在极值点和端点的函数值,最大的是最大值,最小的是最小值.

例3.求函数x x x f 3)(3-=在[]233,-上的最大值和最小值.

分析 先求出)(x f 的极值点,然后比较极值点与区间端点的函数值,即可得该函数在区间[]233,-上的最大值和最小值.

解:由于)1)(1(3)1(333)(22-+=-=-='x x x x x f ,则

当[)1,3--∈x 或(]23,1∈x 时,0)(>'x f ,所以[]13--,,[]231,为函数)(x f 的单调增区间;当()1,1-∈x 时,0)(<'x f ,所以[]11,

-为函数)(x f 的单调减区间. 又因为18)3(-=-f ,2)1(=-f ,2)1(-=f ,9)23(-=f ,所以,当3-=x 时,)(x f 取得最小值18-;当1-=x 时,)(x f 取得最大值2.

(4)利用导数作函数图像

中学数学教材中介绍的描点法作函数图像, 作图比较粗糙不准确, 一般只适用于简单的函数, 但对比较复杂的函数就很难做出.现用导数的知识来作函数图像就相当的简便.作函数图像的一般步骤:

(1) 求出函数的定义域;

(2)考察函数的奇偶性、周期性;

(3)求函数的一些特殊点, 如与两坐标轴的交点等(列表);

(4)确定函数的单调区间, 极值点, 凸性区间及拐点(列表);

(5)考察渐近线;

(6)画图.

例4.作函数2015623--+=x x x y 的图像.

解:(1) 函数的定义域),(+∞-∞

(2) 曲线与x , y

轴交点分别为(20)--. (3) 令0)1)(5(3151232=-+=-+='x x x x y 解得1,5-=x

令0)2(6126=+=+=''x x y 解得2-=x

(6) 作图:

(5)在一些含位置参数的题中, 有我们通过运用导数之似乎可以化简函数, 从而更快速的求出参数.

例 5.已知函数()22()2

x a f x x R x -=∈+在区间[-1, 1]上是增函数, 求实数a 的取

值所组成的集合A . 解:222222)

2()2(2)2(224)(+---=+-+='x ax x x x ax x f 又()f x 在[-1, 1]上是增函数

0)(≥'x f 对[]1,1-∈x 恒成立, 即022≤--ax x 对[]1,1-∈x 恒成立.

设2)(2--=ax x x ?, 那么问题就等价于

()()???≥-≤0101?? 即?

??≥-+≤--021021a a 故11≤≤-a 所以 {}11≤≤-=a a A

(6)研究方程的根

我们知道在解决一元二次方程根的时候通常会用到伟大定理, 但有很多关于方程根的问题如果仅仅用伟大定理来解决的话会显得很吃力, 并且找不着下手的方向.此时我们可以尝试用导数的方法来解决有关问题.

例6.若3m >, 则方程0123=+-mxx x 在[]0,2上有多少根?

解:设()123+-=mx x x f , 则

()mx x x f 232-='

当3m >且()2,0∈x 时, ()0<'x f ,

故)(x f 在()0,2上单调递减, 而)(x f 在0x =与2x =处都连续, 且(0)10f =>, (2)940f m =-<

故 )(x f 在[]0,2上只有一个根.

导数有一个很好的作用就是降次, 我们可以三次函数降为更为熟悉的二次函数, 从而达到化简的目的.

例7.(2005年山东卷)已知函数1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点, 其中,m n R ∈, 0m <.

(1)求m 与n 的关系表达式;

(2)求()f x 的单调区间;

(3)当[1,1]x ∈-时, 函数()y f x =的图像上任意一点的切线斜率恒大于3m ,

求m 的取值范围.

分析:这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识, 第1小题根据极值点处导数为零, 可确定m 与n 的关系;第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到, 列出表格, 答案一目了然;第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论.

解:(1) 2()36(1)3f x mx m x m n '=-+++

由1x =是()f x 的一个极值点, 知(1)0f '=, 即36(1)0m m n -++=, 36n m ∴=+

(2) 由(1), 得2()36(1)35f x mx m x m '=-+++23(1)[(1)]m x x m

=--+

由0m <知, 211x

>+, 当x 变化时, ()f x 与()f x '的变化如下: 由上可知, ()f x 在区间(1,)+∞和(,1)m -∞+上递减,在区间(1,1)m +上递增. (3) 由已知得()3f x m '>,即22(1)20mx m -++>,即当11x -≤≤时,有

2122(1)0x x m m

-+

+<.① 设212()2(1)g x x x m m =-++,其函数开口向上,由题意①式恒成立,所以()()???<<-0101g g 即?????<-<+++0

102221m m 解之得, 43m -<,又0m <,所以403

m -<<.即m 的取值范围为4(,0)3-. 例8.(2012全国卷) 设函数()2--=ax e x f x

(Ⅰ)求f(x)的单调区间

(Ⅱ)若a=1,k 为整数,且当x>0时,1)()(++'-x x f k x >0,求k 的最大值 解:(Ⅰ)a e x f x -=')(

当0≤a ,0)(>'x f ,)(x f 在),(+∞-∞是增函数;

当0>a ,当)ln ,(a x -∞∈时,0)(<'x f ;当),(ln +∞∈a x 时,0)(>'x f

所以)(x f 在)ln ,(a -∞是减函数,)(x f 在),(ln +∞a 是增函数

(Ⅱ) a=1时,且当x>0时01)1)((1)()(>++--=++'-x e k x x x f k x x

x e x k x +-+x ;令x e x x g x +-+=11)(,2

)1()2()(---='x x x e x e e x g 由(Ⅰ)知2)(--=x e x h x 在),0(+∞是增的,0)2(,0)1(>

当),0(a x ∈时,0)(<'x g ;当),(+∞∈a x 时,0)(>'x g ,所以)(x g 在),0(+∞的最小值为)(a g 。又0)(='a g 得2+=a e a ,所以)3,2(1)(∈+=a a g ,所以)(a g k <,k 的最大值为2.

(7)导数在数列问题中的应用 数列是高中数学中一个重要的部分, 也是个难点.事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数, 所以可以利用数列和函数的关系, 运用导数来解决数列的有关问题.

例9.已知数列{}n a 的通项)10(2n n a n -=()*Z ∈n , 求数列{}n a 的最大项. 解:作辅助函数)0)(10()(2>-=x x x x f , 则2320)(x x x f -='.

令0)(>'x f 得3

200<

20>x . )(x f 在区间)320,0(上是增函数, 在区间),3

20(+∞是减函数. 因此, 当320=x 时函数)(x f 取到最大值. 对*Z ∈n , )10()(2n n n f -=,

144)6(147)7(=>=f f

147)(max =n f

所以数列{}n a 的最大项为1477=a .

5 导数在解析几何问题中的应用

导数进入中学数学, 丰富了中学数学知识和解法, 给许多繁难问题提供了

一种通用的解题方法, 也给许多常规问题的解法提供了新的视角.利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题, 正是其中一个方面.

(1)利用导数求解切线方程

利用导数的几何意义, 把二次曲线方程看作:y 是x 的函数, 利用复合函数求导法则, 可轻松求出切线的斜率.如对圆()()22

2x a x b R -+-=, 两边对x 求导, 则有()()022='-+-x y b y a x , 所以在切点(),m n 处的切线斜率

b n a m y k n y m x x ---='===,|.从而求出切线方程是()()()()2x a m a y b n b R --+--=.类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程.

如果以圆、椭圆等图形的中心为中心, 按比例缩小图形, 则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB 中点M 相切(如图1).此时缩小的曲线方程如

()()()222x a x b tR -+-=, ()()2

2221x y ta tb +=, 两边对x 求导, 可发现并不改变原程

求导的结果.因此, 利用导数法求中点弦的斜率, 就是x y '在中点处的值.

图2

例10.已知双曲线方程2222x y -=, (1)求以()1,2A 为中点的双曲线的弦所在的直线方程;(2)过点()1,1B , 能否作直线L , 使L 与所给双曲线交于Q P 、两点, 且点B 是弦PQ 的中点?这样的直线如果存在, 求出它的方程;如果不存在, 说明理由.

解:对2222x y -=两边求导, 得024='-x y y x

(1) 以()1,2A 为中点的弦的斜率2|1,2='===y x x y k , 所以所求中点弦所在直线方程为12(1)y x -=-

(2) 以()1,1B 为中点的弦的斜率2|1,2='===y x x y k , 所以所求中点弦所在直线方程为12(1)y x -=-, 即210x y --=,但与双曲线方程2222x y -=联立消去y 得

22430,80x x -+=?=-<, 无实根.因此直线l 与双曲线无交点, 所以满足条件的直线l 不存在.

点评:(1)求出的方程只是满足了必要性, 还必须验证其充分性, 即所求直线与双曲线确实有两个交点

(2)证明与中点弦有关的不等式

我们已经学过椭圆的中点弦公式,已知椭圆122

22=+b

y a x ,则中点弦所在直线方程为2

022020202y a x b y y a x x b +=+,下面就用导数的方法来证明与中点弦有关的不等式以及与中点弦有关的轨迹问题

例11.已知椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x , A 、B 是椭圆上两点, 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P )0,(0x , 求证:a b a x a b a 2

2022-<<--. 证明: 设AB 的中点是()n m P ,, 则中点P 在椭圆内,

所以a m a <<- ① 对椭圆122

22=+b

y a x 两边求导 有02222='+x y b y a x , 得22

ya

xb y x -=' 故中点弦AB 的斜率22

.|na

mb y k n y m x x -='=--, 所以线段AB 的垂直平分线斜率满足:2

2

0mb na x m o n =--, 得2220b a a x m -=. 代入①式得a

b a x a b a 2

2022-<<--. 例12.已知定点A (0, 2), 椭圆12

122=+y x , 过A 任意引直线与椭圆交于两点Q P 、, 求线段PQ 中点的轨迹方程.

解:设线段PQ 的中点为()y x M ,. 对椭圆12

122=+y x 两边求导, 得x y y x '+2=0

所以PQ 的斜率为y x k 2-

=.又PQ AM k k =, 所以y x x y 212-=--.

化简即得04222=-+y y x (在椭圆12

122=+y x 内的部分). 综上所述, 在中学数学中解决函数、解析几何时我们可以充分考虑导数这一个有力工具, 有些题通过导数的使用可以达到简化题目、降低难度的作用, 但在应用导数时不能盲目使用.相信有了导数这一工具会使大家解决中学数学题时多以选择.

6 导数在实际问题中的应用.

正在生产生活中,常常会遇到在一定条件下使得利润最大、效率最高、用料最省、强度最大等问题,这些问题称为优化问题.优化问题往往可归结为求函数的最大值或最小值问题,而导数是求最值的有力工具,因此,熟练应用导数解决实际应用问题就非常重要.用导数解决优化问题的基本思路是认真分析实际问题,然后将其转化为数学问题,再用导数求解这个数学问题.

(1)成本问题

例13.在甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km 的B 处,乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ,两厂要在此岸边合建一个供水站C ,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元,问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省?

解:设∠BCD =θ,则BC =θ

sin 40,CD =θcot 40,(0<θ<π), ∴AC =50-θcot 40 甲

设总的水管费用为)(θf ,依题意有: 河 A C D θ

θθsin 405)cot 4050(3)(a a f +-= =θ

θsin cos 3540150-+a

a 图3 乙 B θ

θθθ?θθθ22sin cos 5340sin n si )cos 35(sin )cos 35(40)(-='--'-='a a f 令0)(='θf ,解得:5

3cos =θ 根据问题的实际意义,当5

3cos =θ时,函数取得最小值, 此时54sin =θ,所以:4

3cot =θ ∴AC=50-40θcot =20(km ),即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处,可使水管费用最省.

(2)制作容器

例14.在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?

分析:设箱底边长为x cm ,则箱高为h cm ,得箱子容积V 是箱底边长x 的函数,从而求得V ',令0='V ,求出一个值x ,这个值就是使容器的容积达到最大。

解:设此时底边的边长是x ,则高=h 2

30x - , (300<

30(2x x V -= 2

3602

x x V -='∴ 令:0='V ,解得:40=x

16000)40(max =∴V

所以箱底的边长为40cm 时,箱子的容积最大,最大容积是16000cm3

这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是三次函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识,求三次目标函数的最值就变得非常简单,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数,简单的分式函数,简单的无理函数,简单的指数,对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值. 可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.

通过上述的例子,我们可以看到导数在中学数学的联系非常密切,它把各章的内容联系起来,合理的构造导数应用,可以使我们在做题时事半功倍,让我们彻底了解导数的意义和作用,是我们辅助分析和解决问题必不可少的工具 7 结论

7.1 主要发现

导数在高中数学中的应用越来越广泛,也越来越重要,对高中学生的要求也越来越高。本文在文献[1]-[15]的基础上,着重运用导数的基本知识和理论,来解决高中数学里的函数的图像、单调性、最值等函数问题以及导数在研究方程的根上的运用,结合实例阐述了导数在代数问题,解析几何及实际问题的一些应用,并阐述了导数在一些解题中应该注意的问题。

7.2 主要启示

本文主要讲述了导数在一些代数和解析几何及实际问题的应用,结合实例阐述了在解题中应注意的问题,并寻找到一些解题的方法和技巧,使导数方法的思想更进一步扩大,丰富了导数方法的思想在高中数学的应用,这对高中数学的教学具有一定的指导作用。

7.3 局限性

本文用导数的基本理论和知识阐述了导数在高中数学中的应用,但由于导数的应用范围广,方法灵活多样,加之本人的水平和所查阅的资料有限,缺乏实际教学经验,未能将高等数学的相关知识用到高中数学中。

7.4 努力方向

鉴于导数应用的广泛性和多样性,我将在今后的工作和学习中,继续查阅相关资料,结合高中数学教学实际,寻求其它方法,并将高等数学的相关知识运用到高中数学中进行研究。

参考文献

[1]华东师范大学数学系. 数学分析[M](上册, 第三版).北京:高等教育出版社. 2001-6:

87-103.

[2]陈应昌.导数中的一个重要定理的应用[J].高中数学教与学. 2006(2):27-28.

[3]郭金芝.导数的应用[J].中学生数理化(教与学教研版). 2006(2):38-40 .

[4]李汉云.导数的基本应用举例[J].高中数学教与学. 2005(10):15-17

[5]张丽娟.导数的应用浅析[J]. 自然科学. 2009,26(3):44-48.

[6]窦宝泉.导数在中学数学中的应用[J].数学通讯. 2003(12):12-13

[7]杜忠芬.浅谈微积分在初等数学中的应用[J].同仁学院学报.2007, 1(6): 40-43.

[8]杜明华.新增内容导数在解题中的几点应用[J]. 新课程改革与实践.2009, 4(5):85-86.

[9] 周晓渝.高等数学在初等数学中的应用[J]. 科技信息. 2009, 30: 499-499.

[10]周国球 .运用导数解题应注意几个方面[J].中学数学教学. 2006(1):24-25.

[11]王淑茂,吴永清. 例谈导数应用中的几个误区[J]. 数学教学研究. 2006(1):35-36.

[12]肖志向.例说导数法证明不等式[J]. 中学数学研究. 2006(2):38-39.

[13]朱家俊.导数知识在不等式证明中的应用[J].镇江高考学. 2008.10(3):23-29

[14]秦学锋. 微积分在数列求和中的应用[J] .数学通报. 2001(2):36

[15]张红. 数学简史[M].科学出版社.2006(6):190-203.

人教版高中数学《导数》全部教案

导数的背景(5月4日) 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1:一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少? 析:大家知道,自由落体的运动公式是2 2 1gt s = (其中g 是重力加速度). 当时间增量t ?很小时,从3秒到(3+t ?)秒这段时间内,小球下落的快慢变化不大. 因此,可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到(3+t ?)秒这段时间内位移的增量: 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而,t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出,t ?越小,t s ??越接近29.4米/秒;当t ?无限趋近于0时, t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说,当t ?趋向于0时,t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时,平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度,也叫做 瞬时速度. 一般地,设物体的运动规律是s =s (t ),则物体在t 到(t +t ?)这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时,t s ??无限趋近于某个常数a ,就说当t ?趋向于0时,t s ??的极限为a ,这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2:P (1,1)是曲线2x y =上的一点,Q 是曲线上点P 附近的一个点,当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1.函数的平均变化率是什么? 答:平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么? 答:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么? 答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么? 答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些? 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些?

高中数学导数及其应用电子教案

高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用; 2、求导公式与运算法则的运用; 3、导数的几何意义; 4、导数在研究函数单调性上的应用; 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用; 6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点 (一)导数 1、导数的概念 (1)导数的定义 (Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x(△x可 正可负),则函数y相应地有增量,这两个增量的比 ,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时,有极限,则说函数在点处可导,并把这个极限叫做在点 处的导数(或变化率),记作,即 。 (Ⅱ)如果函数在开区间()内每一点都可导,则说在开区间() 内可导,此时,对于开区间()内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数,这样在开区间()内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做在开区间() 内的导函数(简称导数),记作或,即 。 认知: (Ⅰ)函数的导数是以x为自变量的函数,而函数在点处的导数 是一个数值;在点处的导数是的导函数当时的函数值。 (Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量;

②求平均变化率; ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 (2)导数的几何意义: 函数在点处的导数,是曲线在点处的切线的斜率。 (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别: (Ⅰ)若函数在点处可导,则在点处连续; 若函数在开区间()内可导,则在开区间()内连续(可导一定连续)。 事实上,若函数在点处可导,则有此时, 记 ,则有即在点处连续。 (Ⅱ)若函数在点处连续,但在点处不一定可导(连续不一定可导)。 反例:在点处连续,但在点处无导数。

高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书( A 版)数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》,《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后,过渡到瞬时变化率,从而得出导数的概念,再从平均变化率的几何意义,迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一,是从生产技术和自然科学的需要中产生的,它深刻揭示了函数变化的本质,其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用,而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中,导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看,导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点,是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具, 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看,导数是函数一章学习的延续和深化,也是对极限知识的发展, 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础, 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度,因此,先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度, 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型, 并将瞬时变化率定义为导数,这是符合学生认知规律的. 而在第一课时平均变化率的学习中,课本给出了一个思考,观察函数 )(x f y 的图像,平均变化x y 表示什么?这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此,在将瞬时变化率定义为导数之后, 立即让学生继续探索导数的几何意义,学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知,解析式抽象三个角度认识导数的含义,应用导数的定义求简单函数在某点处的导数, 掌握求导数的基本步骤,初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力,通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观

高二数学导数及其应用练习题及答案

(数学选修1-1)第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于( ) A .sin α B .cos α C .sin cos αα+ D .2sin α 2.若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x 的图象是( ) 3.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是( ) A .),3[]3,(+∞--∞ B .]3,3[- C .),3()3,(+∞--∞ D .)3,3(- 4.对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足'(1)()0x f x -≥,则必有( ) A . (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5.若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A .430x y --= B .450x y +-= C .430x y -+= D .430x y ++= 6.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示, 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 二、填空题 1.若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值,则常数c 的值为_________;

2.函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3.设函数())(0)f x ??π=+<<,若()()f x f x '+为奇函数,则?=__________ 4.设3 2 1()252 f x x x x =- -+,当]2,1[-∈x 时,()f x m <恒成立,则实数m 的 取值范围为 。 5.对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1.求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2.求函数y = 3.已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围。 4.已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞,是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件:(1))(x f 在(0,1)上是减函数,在[)1,+∞上是增函数;(2))(x f 的最小值是1,若存在,求出a b 、,若不存在,说明理由. (数学选修1-1)第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1.A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版)

高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版) 1.若f (x )=sin π 3 -cos x ,则f ′(α)等于( ) A .Sin α B .Cos α C .sin π3+cos α D .cos π 3+sin α [答案] A [解析] ∵f (x )=sin π 3 -cos x ,∴f ′(x )=sin x ,∴f ′(α)=sin α,故选A. 2.设函数f (x )=x m +ax 的导数为f ′(x )=2x +1,则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n +1B .n +2n +1C.n n -1 D .n +1n [答案] A [解析] ∵f (x )=x m +ax 的导数为f ′(x )=2x +1,∴m =2,a =1,∴f (x )=x 2+x , ∴f (n )=n 2+n =n (n +1),∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为: S n =11×2+12×3+13×4+…+1 n (n +1)=????1-12+????12-13+…+????1n -1n +1 =1-1n +1=n n +1 ,故选A. 3.已知二次函数f (x )的图象如图所示,则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )=ax 2+c (a <0,且c >0),于是f ′(x )=2ax ,显然f ′(x )的图象为直线,过原点,且斜率2a <0,故选B. 4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2xf ′(e)+ln x ,则f ′(e)=( ) A .e - 1B .-1C .-e - 1 D .-e [答案] C [解析] ∵f (x )=2xf ′(e)+ln x ,∴f ′(x )=2f ′(e)+1x ,∴f ′(e)=2f ′(e)+1 e , 解得f ′(e)=-1 e ,故选C.

高中数学-导数的概念及运算练习

高中数学-导数的概念及运算练习 1.y =ln 1 x 的导函数为( ) A .y ′=-1 x B .y ′=1 x C .y ′=lnx D .y ′=-ln(-x) 答案 A 解析 y =ln 1x =-lnx ,∴y ′=-1 x . 2.(·东北师大附中摸底)曲线y =5x +lnx 在点(1,5)处的切线方程为( ) A .4x -y +1=0 B .4x -y -1=0 C .6x -y +1=0 D .6x -y -1=0 答案 D 解析 将点(1,5)代入y =5x +lnx 成立,即点(1,5)为切点.因为y ′=5+1x ,所以y ′|x =1=5+1 1=6. 所以切线方程为y -5=6(x -1),即6x -y -1=0.故选D. 3.曲线y =x +1 x -1在点(3,2)处的切线的斜率是( ) A .2 B .-2 C.12 D .-12 答案 D 解析 y ′=(x +1)′(x -1)-(x +1)(x -1)′(x -1)2=-2 (x -1)2,故曲线在(3,2)处的切线的斜率k = y ′|x =3=-2(3-1)2=-1 2 ,故选D. 4.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为s =13t 3-32t 2 +2t ,那么速度为零的时刻是( ) A .0秒 B .1秒末 C .2秒末 D .1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s=13t 3-32t 2+2t ,∴v =s ′(t)=t 2 -3t +2. 令v =0,得t 2 -3t +2=0,t 1=1或t 2=2. 5.(·郑州质量检测)已知曲线y =x 2 2-3lnx 的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为( ) A .3 B .2 C .1 D.12 答案 A

人教版高中数学《导数》全部教案课程

导数的背景 (5月4日) 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1:一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少? 析:大家知道,自由落体的运动公式是2 2 1gt s = (其中g 是重力加速度). 当时间增量t ?很小时,从3秒到(3+t ?)秒这段时间内,小球下落的快慢变化不大. 因此,可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到(3+t ?)秒这段时间内位移的增量: 从而,t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出,t ?越小,t s ??越接近29.4米/秒;当t ?无限趋近于0时,t s ??无限趋近于29.4 米/秒. 此时我们说,当t ?趋向于0时,t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时,平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度,也叫做瞬时速度. 一般地,设物体的运动规律是s =s (t ),则物体在t 到(t +t ?)这段时间内的平均速度为 t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时,t s ??无限趋近于某个常数a ,就说当t ?趋向于0时,t s ??的极限为a ,这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2:P (1,1)是曲线2x y =上的一点,Q 是曲线上点P 附近的一个点,当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 析:设点Q 的横坐标为1+x ?,则点Q 的纵坐标为(1+x ?)2,点Q 对于点P 的纵坐标的增量 (即函数的增量)22)(21)1(x x x y ?+?=-?+=?, 所以,割线PQ 的斜率x x x x x y k PQ ?+=??+?=??=2)(22.

高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用; 2、求导公式与运算法则的运用; 3、导数的几何意义; 4、导数在研究函数单调性上的应用; 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用; 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 (一)导数 1、导数的概念 (1)导数的定义 (Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x(△x可正可负),则函数y相应地有增量,这两个增量的比 ,叫做函数在点到这间的平均变化率。如

在点处的导数(或变化率),记作,即 。 (Ⅱ)如果函数在开区间()内每一点都可导,则说在开区间 ()内可导,此时,对于开区间()内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数,这样在开区间()内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做在开区间()内的导函数(简称导数),记作或,即 。 认知: (Ⅰ)函数的导数是以x为自变量的函数,而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当时的函数值。 (Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量; ②求平均变化率;

③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 (2)导数的几何意义: 函数在点处的导数,是曲线在点处的切线的斜率。 (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别: (Ⅰ)若函数在点处可导,则在点处连续; 若函数在开区间()内可导,则在开区间()内连续(可导一定连续)。 事实上,若函数在点处可导,则有此时,

高中数学导数知识点归纳总结

核心出品 必属精品 免费下载 导 数 考试内容: 导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.考试要求:(1)了解导数概念的某些实际背景.(2)理解导数的几何意义.(3)掌握函数,y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数.(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值. §14. 导 数 知识要点 1. 导数(导函数的简称)的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做

)(x f y =在0x 处的导数, 记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注:①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系: ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上,令x x x ?+=0,则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续,那么)(x f y =在点0x 处可导,是不成立的. 例:||)(x x f =在点00=x 处连续,但在点00=x 处不可导,因为x x x y ??= ??| |,当x ?>0时,1=??x y ;当x ?<0时, 1-=??x y ,故x y x ??→?0lim 不存在. 注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义: 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率,也就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ,切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则: ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=(c 为常数) )0(2''' ≠-=?? ? ??v v u v vu v u 注:①v u ,必须是可导函数. ②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、 积、商不一定不可导. 例如:设x x x f 2sin 2)(+=,x x x g 2 cos )(-=,则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导,但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导. 5. 复合函数的求导法则:)()())(('''x u f x f x ??=或x u x u y y '''?= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

高中数学-导数的概念几何性质及应用

高中数学 导数及其应用学案 类型一:利用导数研究函数的图像 例2、若函数的导函数... 在区间上是增函数,则函数在区间上的图象 可能是( ) (A) (B) (C) (D) 练习1.如右图:是f (x )的导函数, 的图象如右图所示,则f (x )的图象只可能是( ) (A ) (B ) (C ) (D ) ()y f x =[,]a b ()y f x =[,]a b )(/x f 例1、设a <b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o o y o y o y

2.设f '(x )是函数f (x )的导函数,y =f '(x )的图象如右图所示,则y =f (x )的图象最有 可能的是 ( ) A . B . C . D . 类型二:导数几何意义的应用 例3、(1)求曲线在点处的切线方程。(2)求抛物线y=2x 过点5,62?? ??? 的切线方程 32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+ ----练习:若存在过点()的直线和都相切,则等于()A.-1或-或或-或 7.曲线y =x 2-2x +a 与直线y =3x +1相切时,常数a 的值是________. 类型三:利用导数研究函数的单调性 例4、已知a ,b 为常数,且a ≠0,函数f (x )=-ax+b+axlnx ,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数). (I )求实数b 的值; (II )求函数f (x )的单调区间; 21x y x =-()1,1

例5、已知函数f(x)= ax 1x 2 ++在(-2,+∞)内单调递减,求实数a 的取值范围. 练习:若函数y =3 1x 3-21ax 2+(a -1)x +1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,试求实数a 的取值范围 类型四:导数与极值 ()ln 6x f x x = 例、求函数的极值。 ()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值,求常数的值。 练习1、已知f(x)=x 3+ax 2 +(a+6)x+1有极大值和极小值,则a 的取值范围是( ) (A )-1<a <2 (B )-3<a <6 (C )a <-1或a >2 (D )a <-3或a >6 2、直线y =a 与函数f(x)=x 3-3x 的图象有相异的三个公共点,则求a 的取值范围。 类型五:导数与最值 例8、已知函数f(x)=(x-k)e x . (1)求f(x)的单调区间;

(精心整理)高中数学导数知识点归纳总结

§14. 导 数 知识要点 1. 导数(导函数的简称)的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数, 记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注:①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系: ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上,令x x x ?+=0,则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→

高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点?1、导数定义的认知与应用; ?2、求导公式与运算法则的运用; ? 3、导数的几何意义; ?4、导数在研究函数单调性上的应用; 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用; 6、导数在解决实际问题中的应用。??三、知识要点? (一)导数?1、导数的概念?(1)导数的定义 (Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x(△x可正可负),则函数y相应地有增量,这两个增量的比 ,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果

时,有极限,则说函数在点处可导,并把这个极限叫做在点处的导数(或变化率),记作 ,即 。 ?(Ⅱ)如果函数在开区间()内每一点都可导,则说在开区间()内可导,此时,对于开区间()内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间()内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做在开区间( )内的导函数(简称导数),记作或, 即。??认知: (Ⅰ)函数的导数是以x为自变量的函数,而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当 时的函数值。 (Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量 ;? ②求平均变化率; ③求极限?上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。?? (2)导数的几何意义:?函数在点处的导数,是曲线在点 处的切线的斜率。? (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别:?(Ⅰ)若函数在点处可导,则在点处连续;?若函数在开区间()内可导,则在开区间()内连续(可

导一定连续)。??事实上,若函数在点处可导,则有 此 时,? ? ? ?记 ,则有即在点处连续。?(Ⅱ)若函数在点处连续,但在点处不一定可导(连续不一定可导)。?反例:在点处连续,但在点处无导数。 事实上,在点处的增量?当 时,, ;?当时,, 由此可知,不存在,故在点处不可导。??2、求导公式与 求导运算法则 (1)基本函数的导数(求导公式) 公式1 常数的导数:(c为常数),即常数的导数等于0。??公式2 幂函 数的导数:。? 公式3 正弦函数的导数:。??公式4 余弦函数的导数: ??公式5 对数函数的导数:? (Ⅰ); ?(Ⅱ)

高中数学-导数的计算练习

高中数学-导数的计算练习 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列求导运算正确的是 A .211()1x x x '+=+ B .21 (log )ln 2 x x '= C .3(3)3log x x x '= D .2 (cos )2sin x x x x '=- 【答案】B 【解析】因为211()x x '=- ,所以A 项应为2 11x -;由1(log )ln a x x a '=知B 项正确;由()ln x x a a a '=可知C 项错误;D 项中,2 2 (cos )2cos sin x x x x x x '=-,所以D 项是错误的,综上所述,正确选项为B . 2.已知函数3 ()f x x =在点P 处的导数值为3,则P 点的坐标为 A .(2,8)-- B .(1,1)-- C .(2,8)--或(2,8) D .(1,1)--或(1,1) 【答案】D 3.已知函数()f x 的导函数为()f x ',且满足()(1)2ln xf f x x ='+,则(1)f '等于 A .e - B . 1- C .1 D .e 【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x ',且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>, ∴1 ()1()2f x f x '='+ ,把1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+,解得(1)1f '=-.故选B . 4.曲线e x y =在点2 (2,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 A .2e 2 B .23e C .26e D .29e 【答案】A

高中数学导数教案

个性化教学辅导教案学科:数学任课教师:林老师授课时间:

.B ()()f x g x < .C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+ 问题2.()f x 的导函数()y f x '= 的图象如图所示,则()y f x =的图象最有可能的是 问题3.求下列函数的导数: ()1()2 1sin y x =+; ()41 1 x x e y e +=-; ()6ln x y e x =? () 7sin 1cos x y x = +; ()8()21sin cos y x x x x =-?+? ()932x x x y e e =?-+ ()10()()33421y x x x =-?- 问题4.()1求过点()1,1P 且与曲线3y x =相切的直线方程. ()2(06全国Ⅱ文)过点()1,0-作抛物线21y x x =++的切线,则其中一条切线为 .A 220x y ++= .B 330x y -+= .C 10x y ++= .D 10x y -+= ()3(08届高三攸县一中)已知曲线m x y += 3 3 1的一条切线方程是44y x =-,则m 的值为 .A 43 .B 283- .C 43或283- .D 23或13 3 - (三)课后作业: 1.若0()2f x '=,求0 lim →k k x f k x f 2) ()(00-- 2.(07届高三皖南八校联考)已知2()2(2)f x x xf =+',则(2)f '=

设函数)(x f 在[]b a ,上连续,在(,)a b 内可导,则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下: ()1求)(x f 在(,)a b 内的极值; ()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值p 9.求参数范围的方法:①分离变量法;②构造(差)函数法. 10.构造函数法是证明不等式的常用方法:构造时要注意四变原则:变具体为抽象,变常量为变量,变主 元为辅元,变分式为整式. 11.通过求导求函数不等式的基本思路是:以导函数和不等式为基础,单调性为主线,最(极值)为 助手,从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索. (二)典例分析: 问题1.()1函数)(x f y =在定义域)3,2 3 (-内可导,其图象如图所示,记)(x f y = 的导函数为 )(x f y '=,则不等式0)(≤'x f 的解集为 .A [)3,2]1,31 [Y - .B ]38,34[]21,1[Y - .C [)2,1]2 1 ,23[Y - .D ?? ??????? ??--3,38]34,21[1,23Y Y ()3设(),()f x g x 均是定义在R 上的奇函数,当0x <时,()()f x g x '+ ()()0f x g x '>,且(2)0f -=,则不等式()()0f x g x ?<的解集是 .A ()()2,02,-+∞U .B ()2,2- .C ()(),22,-∞-+∞U .D ()(),20,2-∞-U 问题2.()1如果函数3()f x x bx =-+在区间()0,1上单调递增,并且方程()0f x =的根都在区间 []2,2-内,则b 的取值范围为 ()2已知2()12f x x x =+-,那么[]()()g x f f x = .A 在区间()2,1-上单调递增 .B 在()0,2上单调递增 .C 在()1,1-上单调递增 .D 在()1,2上单调递增 ()3函数R x x x x f ∈+-=,56)(3, (Ⅰ)求)(x f 的单调区间和极值; (Ⅱ)若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根,求实数a 的取值范围. (Ⅲ)已知当(1,)x ∈+∞时,()f x ≥(1)k x -恒成立,求实数k 的取值范围.

(推荐)高中数学导数及其应用专题

专题 导数及其应用 考点精要 1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 3.了解函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). 4.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 5.会利用导数解决某些实际问题. 热点解析 导数的几何意义及其应用,基本初等函数的导数公式及导数运算的四则运算法则是高考的重点与热点,要会利用导数求曲线的切线,注意区分在.某点处的切线与过. 某点的曲线的切线. 求函数在点(x 0,)(0x f )处的切线方程或切线斜率;求函数)(x f 的单调增区间或单调减区间;求函数在(a ,b ) 上的极值,求)(x f 在[a ,b ]上的最大值、最小值等等,在近几年高考试题中频频出现. 知识梳理 1.一般地,函数y=()f x 在x =x 0处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?=0lim ,x f x ?→??我们称它为函数y =()f x 在x =x 0处的导数,记作0()f x '或y ′|x =x 0 ,即 0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2.函数()f x 在x =x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ,即 k =000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?=0()f x ' 3.导函数()f x '= y ′=0 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?

14导数的定义及导数的计算

第11节 导数的定义及导数的计算 (14) 一.知识要点: 1.导数的定义:割线1l 的斜率=00()() f x x f x y x x +?-?=??,当x ? 趋于0时得到()f x 在0x 处切线的斜率:0000()()lim lim l x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==??也称()f x 在0x 处的导数。 2.导函数的定义:若()f x 在区间(,)a b 上的每一点x 处都有导数,导数记为 ()f x ',则0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?,称()f x '为()f x 的导函数。 3.导数的几何意义:()f x 在0x 处的导数值等于曲线()f x 在点00(,())P x f x 处切线的斜率。即:0()l k f x '=. 4.常见导数公式:0C '= 1 ()x x α αα-'= (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- ()ln x x a a a '=()x x e e '= 1(log )ln a x x a '= 1 (ln )x x '= 5.导数运算法则: (1).[]()()()()f x g x f x g x '''±=± (2)[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? (3)2 ()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x ''' ??-=???? 6.复合函数求导:(理) (()),(),()y f g x y f u u g x ===设,则()().y f u u x '''=? 二.考点评析 例1.利用导数定义求函数的导数 (1)2 348y x x =-+ (2)1y x x =+ y x l 1 l f(x 0) f(x 0+x) y x x 0x 0+x O y x L f(x) P(x 0,f(x 0)) o x 0

(word完整版)高二数学导数及其应用练习题

高二上学期《导数及其应用》 单元测试(数学文) (满分:150分 时间:120分钟) 一、选择题(本大题共10小题,共50分,只有一个答案正确) 1.函数()2 2)(x x f π=的导数是( ) (A) x x f π4)(=' (B) x x f 2 4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2.函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是( ) (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3.已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=,,且0x >时, ()0()0f x g x ''>>,,则0x <时( ) A .()0()0f x g x ''>>, B .()0()0f x g x ''><, C .()0()0f x g x ''<>, D .()0()0f x g x ''<<, 4.若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值,则( ) (A ) 10<b (D ) 2 1< b 5.若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A .430x y --= B .450x y +-= C .430x y -+= D .430x y ++= 6.曲线x y e =在点2 (2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.2 94 e B.2 2e C.2 e D.2 2 e

7.设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( ) 8.已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有 ()0f x ≥,则 (1) '(0) f f 的最小值为( ) A .3 B . 52 C .2 D .32 9.设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞,内单调递增,:5q m -≥,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10. 函数)(x f 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( ) (A ))2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< y (B ) )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< (C ))2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< (D ))3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二.填空题(本大题共4小题,共20分) 11.函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是____.

高中数学典型例题解析导数及其应用

三、经典例题导讲 [例1]已知2) 2 cos 1(x y+ =,则='y. 错因:复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为: ) 2 cos 1( 2 sin 2x x y+ - ='. 正解:设2 u y=,x u2 cos 1+ =,则) 2( ) 2 sin ( 2 ) 2 cos 1( 2' ? - ? =' + = ' ' = 'x x u x u u y y x u x ) 2 cos 1( 2 sin 4 2 ) 2 sin ( 2x x x u+ - = ? - ? =∴) 2 cos 1( 2 sin 4x x y+ - ='. [例2]已知函数 ? ? ? ?? ? ? > + ≤ + = )1 )(1 ( 2 1 )1 )(1 ( 2 1 ) ( 2 x x x x x f判断f(x)在x=1处是否可导? 错解:1 )1( ,1 )1 1( 2 1 ]1 ) 1 [( 2 1 lim 2 2 = ' ∴ = ? + - + ? + → ? f x x x 。 分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导. 解:1 )1 1( 2 1 ]1 ) 1 [( 2 1 lim lim 2 2 = ? + - + ? + = ? ? - -→ ? → ?x x x y x x ∴f(x)在x=1处不可导. 注:+ → ?0 x,指x?逐渐减小趋近于0;- → ?0 x,指x?逐渐增大趋近于0。 点评:函数在某一点的导数,是一个极限值,即 x x f x x f x? - ? + → ? ) ( ) ( lim0 ,△x→0,包括△x→0+,与△x→0-,因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数. [例3]求3 22+ =x y在点)5,1(P和)9,2( Q处的切线方程。 错因:直接将P,Q看作曲线上的点用导数求解。 分析:点P在函数的曲线上,因此过点P的切线的斜率就是y'在1 = x处的函数值; 点Q不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线. 解:4 . 4 ,3 2 1 2= ' ∴ =' ∴ + ==x y x y x y 即过点P的切线的斜率为4,故切线为:1 4+ =x y. 设过点Q的切线的切点为) , ( y x T,则切线的斜率为0 4x,又 2 9 - - = x y k PQ,

相关文档
相关文档 最新文档