高考数学--导数中二次求导的运用汇编
高考数学--导数中二次求导的运用
【理·2010全国卷一第20题】已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.
（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；
（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥
解析：先看第一问，首先由()(1)ln 1f x x x x =+-+可知函数()f x 的定义域为()0,+∞，易得()()
11ln 11ln f x x x x x x '=++-=+ 则由2'()1xf x x ax ≤++可知21ln 1x x x ax x ?
?+
≤++ ???，化简得 2ln x x x ax ≤+，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子x ，而x 又大于零，所以两边同乘1x
可得ln x x a ≤+，所以有ln a x x ≥-，在对()ln g x x x =-求导有 ()11g x x
'=-，即当0＜x ＜1时，()g x '＞0，()g x 在区间()0,1上为增函数；当1x =时，()0g x =；当1＜x 时，()g x '＜0，()g x 在区间()1,+∞上为减函数。
所以()g x 在1x =时有最大值，即()()ln 11g x x x g =-≤=-。又因为ln a x x ≥-，所以1a ≥-。
应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。
要证(1)()0x f x -≥，只须证当0＜x 1≤时，()0f x ≤；当1＜x 时，()f x ＞0即可。
由上知()1ln f x x x
'=+
，但用()f x '去分析()f x 的单调性受阻。我们可以尝试再对()1ln f x x x '=+求导，可得()211f x x x
''=-，显然当0＜x 1≤时，()0f x ''≤；当1＜x 时，()f x ''＞0，即()1ln f x x x '=+在区间()1,+∞上为减函数，所以有当0＜x 1≤时， ()()11f x f ''≥=，我们通过二次求导分析()f x '的单调性，得出当0＜x 1≤时()1f x '≥，则()f x 在区间(]0,1上为增函数，即()()10f x f ≤=，此时，则有(1)()0x f x -≥成立。
下面我们在接着分析当1＜x 时的情况，同理，当1＜x 时，()f x ''＞0，即()f x '在区间()1,+∞上为增函数，则()()11f x f ''≥=，此时，()f x 为增函数，所以()()10f x f ≥=，易得(1)()0x f x -≥也成立。
综上，(1)()0x f x -≥得证。
下面提供一个其他解法供参考比较。
解：（Ⅰ）()1ln f x x x '=+
，则()ln 1xf x x x '=+ 题设2'()1xf x x ax ≤++等价于ln x x a -≤。
令()ln g x x x =-，则()11g x x
'=-。 当0＜x ＜1时，()g x '＞0；当1x ≥时，()0g x '≤，1x =是()g x 的最大值点，所以 ()()11g x g ≤=-。
综上，a 的取值范围是[)1,-+∞。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()11g x g ≤=-，即ln 10x x -+≤。
当0＜x ＜1时，()()1ln ln 1ln ln 1f x x x x x x x x x ?
?=+-+=++- ???
11ln ln 10x x x x ?
?=--+≤ ???
因为1x -＜0，所以此时(1)()0x f x -≥。
当1x ≥时，()()11ln ln 1ln ln
10f x x x x x x x x x ??=+-+=--+≥ ???
。 所以(1)()0x f x -≥
比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。
不妨告诉同学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！
【理·2010安徽卷第17题】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x R =-+∈。
（Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当a ＞ln21-且x ＞0时，x e ＞2
21x ax -+。
解析：第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数()221x g x e x ax =-+-，如果这一着就想不到，那没辙了。然后求导，结果见下表。
()22x g x e x a '=-+，继续对()g x '求导得()2x
g x e ''=-
由上表可知()()ln 2g x g ''≥，而
()()ln2ln 22ln 2222ln 222ln 21g e a a a '=-+=-+=-+，由a ＞ln21-知 ()ln 2g '＞0，所以()g x '＞0，即()g x 在区间()0,+∞上为增函数。
于是有()g x ＞()0g ，而()02
002010g e a =-+?-=， 故()g x ＞0，即当a ＞ln21-且x ＞0时，x e ＞2
21x ax -+。
求导法则与求导公式
§2.2 求导法则与导数的基本公式 教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用； 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。 教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2. 会求反函数的导数； 3. 会求复合函数的导数 前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。 一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则 定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证：' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。 注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±， 即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。
例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数 解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式 定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。 注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时， '''[()]()y cv x cv x ==， 即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得： ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。 例2 求下列函数的导数。 1）32 3254sin y x x x x =+-+； 解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+
导数二次求导
1.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. （Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥
2.设a 为实数，函数()22,x f x e x a x R =-+∈。 （Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值； （Ⅱ）求证：当a ＞ln 21-且x ＞0时，x e ＞2 21x ax -+。
1.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. （Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ 先看第一问，首先由()(1)ln 1f x x x x =+-+可知函数()f x 的定义域为()0,+∞，易得 ()()11ln 11ln f x x x x x x '=++-=+ 则由2'()1xf x x ax ≤++可知21ln 1x x x ax x ? ?+≤++ ??? ，化简得 2ln x x x ax ≤+，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子x ，而x 又大于零，所以两边同乘 1x 可得ln x x a ≤+，所以有ln a x x ≥-，在对()ln g x x x =-求导有 ()11g x x '=-，即当0＜x ＜1时，()g x '＞0，()g x 在区间()0,1上为增函数；当1x =时，()0g x =；当1＜x 时，()g x '＜0，()g x 在区间()1,+∞上为减函数。 所以()g x 在1x =时有最大值，即()()ln 11g x x x g =-≤=-。又因为ln a x x ≥-，所以1a ≥-。 应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。 要证(1)()0x f x -≥，只须证当0＜x 1≤时，()0f x ≤；当1＜x 时，()f x ＞0即可。 由上知()1ln f x x x '=+ ，但用()f x '去分析()f x 的单调性受阻。我们可以尝试再对()1ln f x x x '=+求导，可得()211f x x x ''=-，显然当0＜x 1≤时，()0f x ''≤；当1＜x 时，()f x ''＞0，即()1ln f x x x '=+在区间()1,+∞上为减函数，所以有当0＜x 1≤时， ()()11f x f ''≥=，我们通过二次求导分析()f x '的单调性，得出当0＜x 1≤时()1f x '≥，则()f x 在区间(]0,1上为增函数，即()()10f x f ≤=，此时，则有(1)()0x f x -≥成立。 下面我们在接着分析当1＜x 时的情况，同理，当1＜x 时，()f x ''＞0，即()f x '在区间()1,+∞上为增函数，则()()11f x f ''≥=，此时，()f x 为增函数，所以()()10f x f ≥=，易得(1)()0x f x -≥也成立。 综上，(1)()0x f x -≥得证。 下面提供一个其他解法供参考比较。 解：（Ⅰ）()1ln f x x x '=+ ，则()ln 1xf x x x '=+ 题设2'()1xf x x ax ≤++等价于ln x x a -≤。
2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y =的定义域为（ C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-， ， C ．(1)(1)-∞-+∞， ， D ．(10)(01)-，， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A B C D
C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，
(完整word版)导数的概念、导数公式与应用
导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从 到的平均变化率。 注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。 （2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在 处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ， 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )， 即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。
高考数学--导数中二次求导的运用
高考数学--导数中二次求导的运用 【理·2010全国卷一第20题】已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. （Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ 解析：先看第一问，首先由()(1)ln 1f x x x x =+-+可知函数()f x 的定义域为()0,+∞，易得()() 11ln 11ln f x x x x x x '=++-=+ 则由2'()1xf x x ax ≤++可知21ln 1x x x ax x ? ?+≤++ ??? ，化简得 2ln x x x ax ≤+，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子x ，而x 又大于零，所以两边同乘1x 可得ln x x a ≤+，所以有ln a x x ≥-，在对()ln g x x x =-求导有 ()11g x x '=-，即当0＜x ＜1时，()g x '＞0，()g x 在区间()0,1上为增函数；当1x =时，()0g x =；当1＜x 时，()g x '＜0，()g x 在区间()1,+∞上为减函数。 所以()g x 在1x =时有最大值，即()()ln 11g x x x g =-≤=-。又因为ln a x x ≥-，所以1a ≥-。 应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。 要证(1)()0x f x -≥，只须证当0＜x 1≤时，()0f x ≤；当1＜x 时，()f x ＞0即可。 由上知()1ln f x x x '=+ ，但用()f x '去分析()f x 的单调性受阻。我们可以尝试再对()1ln f x x x '=+求导，可得()211f x x x ''=-，显然当0＜x 1≤时，()0f x ''≤；当1＜x 时，()f x ''＞0，即()1ln f x x x '=+在区间()1,+∞上为减函数，所以有当0＜x 1≤时， ()()11f x f ''≥=，我们通过二次求导分析()f x '的单调性，得出当0＜x 1≤时()1f x '≥，则()f x 在区间(]0,1上为增函数，即()()10f x f ≤=，此时，则有(1)()0x f x -≥成立。
2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题
2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题 精心校对版 △注意事项： 1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。 2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。 3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本 4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科 一 、解答题（本大题共22小题，共0分） 1.（2017北京东城区高三一模数学(文)）设函数ax x x x f +-=232131)(，R a ∈． (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性； (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围； (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由． 2.（2017北京丰台区高三一模数学(文)） 已知函数1()e x x f x +=，A 1()x m ,，B 2()x m ,是曲线()y f x =上两个不同的点. （Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：120x x +>. 3.（2017北京丰台区高三二模数学(文)） 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程； 姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封------------ --线------ --------内------ ------- -请------- -------不-------------- 要--------------答--------------题-------------------------●
二次求导问题
北京华罗庚学校 为全国学生提供优质教育 二次求导问题 导数既是高中数学的一个重要内容，又是高考的一个必考内容．近几年高考中，出现了一种新的“导数”，它是对导函数进行二次求导而产生的新函数，尤其是近几年作为高考的压轴题时常出现． 利用二次求导求函数的单调性 [典例] 若函数f(x)＝ sinx ，0
2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题
2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●
导数中的二次求导问题
2019高考数学热点难点突破技巧第03讲： 导数中的二次求导问题 【知识要点】 1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应用，既是高考考查的重点，也是难点和必考点. 利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大. 2、在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题“一次求导”，不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. “再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径. 【方法讲评】 对函数一次求导得到 难度较 的单调性，得到函数的最值，即可得到 到函数 【例1】(理·2010全国卷Ⅰ第20题)已知函数. （Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明：
化简得， 所以两边同乘可得，所以有，在对求导有 ，即当＜＜时，＞0，在区间上为增函数；当时， ；当＜时，＜0，在区间上为减函数. 所以在时有最大值，即.又因为，所以 . 当时，同理，当时，＞，即在区间上为增函数，则 ，此时，为增函数，所以，易得 也成立. 综上，得证. 方法二：（Ⅰ），则 题设等价于. 令，则. 当＜＜时，＞；当时，，是的最大值点，所以 . 综上，的取值范围是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即. 当＜＜时， 因为＜0，所以此时. 当时，. 所以 【点评】（1）比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出.（2）大家一定要理解二次求导的使用情景，是一次求导得到之后，解答难度较大甚至解不出来. （3） 二次求导之后，设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数 的单调性. 【例2】设函数 （Ⅰ）若在点处的切线为，求的值；（Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若，求证：在时，＞． 【解析】（Ⅰ）∵∴， ∵在点处的切线为，即在点的切线的斜率为，
(完整word版)北京高考导数大题分类.doc
导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤： ① 确定定义域（易错点） ②求导函数 f ' (x) ③对 f ' ( x) 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理 . ④ f ' ( x) 中 x 的最高次系数是否为 0，为 0 时求出单调区间 . 例 1： f ( x) a x 3 a 1 x 2 x ，则 f ' ( x) (ax 1)( x 1) 要首先讨论 a 0 情况 3 2 ⑤ f ' ( ) 最高次系数不为 0，讨论参数取某范围的值时， 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递增； x 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递减 . 例 2： f (x) a x 2 ln x ，则 f ' ( x) = ax 2 1 , ( x 0) ，显然 a 0时 f ' ( x) 0 ，此时 f (x) 的 2 x 单调区间为 (0, ) . ⑥ f ' ( ) 最高次系数不为 0，且参数取某范围的值时，不会出现 f ' (x) 0 或者 f ' ( x) 0 的情况 x 求出 f ' ( x) =0 的根，（一般为两个） x 1 , x 2 ，判断两个根是否都在定义域内 . 如果只有一根在定义域 内，那么单调区间只有两段 . 若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数 . 则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间， 即 x 1 x 2 , x 1 x 2 , x 1 x 2 . 例 3: 若 f ( x) a x 2 (a 1)x ln x, (a 0) ，则 f ' ( x) ( ax 1)( x 1) ， (x 0) 解方程 f ' ( x) 2 1 x 0 得 x 1 1, x 2 a a 0时，只有 x 1 1 在定义域内 . a 0 时 , 比较两根要分三种情况： a 1,0 a 1, a 1 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论 f ' ( x) 在每个子区间内的正负，求得 f (x) 的单调区间。
2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编
导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ，
求导法则及求导公式
§2 求导法则 上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数： x x x f cos sin )(1+= x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2?= )sin()(2ax x g = x x x f a log cos )(3= x x g arcsin )(3= x c x f sin )(4= x x g arccos )(4= 一、导数的四则运算 问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f . 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== .即 )'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=± 一般地,有如下和的导法则： 定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算） 证明 令 )()()(x g x f x y += 。时当0)()()()()()()]()([)]()([→?'+'→?-?++ ?-?+=?+-?++?+=??x x g x f x x g x x g x x f x x f x x g x f x x g x x f x y 问题2 设x a x x f ?=sin )(,则a a x a x x f x x ln cos )'()'(sin )('??=?=对吗？
二次求导问题
二次求导问题 导数既是高中数学的一个重要内容，又是高考的一个必考内容．近几年高考中，出现了一种新的“导数”，它是对导函数进行二次求导而产生的新函数，尤其是近几年作为高考的压轴题时常出现． [典例] 若函数f (x )＝sin x x ，0
二次求导法解高考导数题
二次求导法解高考导数题 胡贵平（甘肃省白银市第一中学 ，甘肃 白银 730900） 导数是研究函数性质的一种重要工具，用导函数判断原函数的单调性，如果导函数大于零，则原函数为增，导函数小于零，则原函数为减.而当导数与0的大小确定不了时，对导函数或导函数中的一部分再构造，继续求导，也就是二次求导，不失为一种妙法，下面我们结合高考题来看看二次求导数题中的应用. １ （2017年高考课标Ⅱ卷（文）（21））设函数2()(1)e x f x x =-. （I ）讨论()f x 的单调性； (II)当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围. 解：（I ）略. (II)当0x ≥时，()1f x ax ≤+等价于2(1)1x ax x e ≥--. 若=0x ，显然成立，a R ∈. 若0x >时，2(1)1x x e a x --≥，设2(1)1()x x e g x x --=， 2232222(1)(1)1(1)1()x x x x xe x e x x e x x x e g x x x ????-+------+-+????'== ， 令32()(1)1x h x x x x e =--+-+，32()(4)0x h x e x x x '=-++<，所以()h x 在(0,)x ∈+∞内是减函数，易知(0)=0h ，所以当(0,)x ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递减，所以
22022000 (1)1(101(1)1lim lim (1)1x x x x x x x e e x e x e x x →→=??-------'????==--??）20(21)=1x x x x e =??=--+??，所以1a ≥， 综上所述，a 的取值范围是[)1 +∞，. ２ （2016年高考课标Ⅱ卷（文）（20）） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 解：（I ）略. (II)当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 1x x a x +< -，设(1)ln ()1x x g x x +=-， 2221(ln )(1)(1)ln 2ln 1()(1)(1)x x x x x x x x x g x x x x ++ --+--'==-- ， 令2()2ln 1h x x x x =--，()22ln 22(ln 1)0h x x x x x '=--=-->，所以()h x 在()1,x ∈+∞内是增函数，易知(1)=0h ，所以当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，所以()g x 在()1,x ∈+∞上单调递增，所以 []111 1(1)ln (1)ln (11)ln1(1)lim lim (1)ln ln 211x x x x x x x x x x x x x x x →→==++-++??'==+=+=??--??，所以2≤a ，即a 的取值范围是(],2-∞. 3 （2010年高考安徽卷（理）（17））设a 为实数，函数()22,x f x e x a x R =-+∈.
2017年北京高三模拟题分类汇编之导数大题
2017年北京高三模拟题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2017北京市各城区一模二模真题。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共12小题，共0分）1.（2017北京东城区高三一模数学(文)）设函数ax x x x f 232131)(，R a ．(Ⅰ)若2x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性；(Ⅱ)已知函数3221)()(2ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围；(Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由．2.（2017北京丰台区高三一模数学(文)）已知函数1()e x x f x ，A 1()x m ,，B 2()x m ,是曲线()y f x 上两个不同的点. （Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围；（Ⅱ）证明：120x x . 3.（2017北京丰台区高三二模数学(文)）已知函数ln ()x f x ax (0)a . （Ⅰ）当1a 时，求曲线()y f x 在点(1(1)),f 处的切线方程；姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●
导数中的二次求导问题
2019高考数学热点难点突破技巧第03 讲： 导数中的二次求导问题 【知识要点】 1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应用，既是高考考查的重点，也是难点和必考点. 利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大. 2、在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题“一次求导” ，不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. “再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学” 的新意识和新途径. 【方法讲评】 【例1】（理· 2010 全国卷Ⅰ第20题）已知函数. （Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明：
化简得 ， 所以两边同乘 可得 ，所以有 ，在对 求导有 ，即当 < < 时， > 0， 在区间 上为增函数； 当 时， ；当 < 时， <0， 在区间 上为减函数 . 所以 在 时有最大值，即 .又因为 ，所以 . 综上， 得证. ，则 题设 等价于 . 令 ，则 当 < < 时， > ；当 时， ， 是 的最大值点 当 < < 时， . 的最大值点，所以 当 时，同理，当 也成立 . 综上，
Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即. 当< <时 因为< 0，所以此时. 当时所以 【点评】（1）比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得 自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出.（2）大家一定要理解二次求导的使 用情景，是一次求导得到之后，解答难度较大甚至解不出来. （3） 二次求导之后，设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性. 【例2】设函数 （Ⅰ）若在点处的切线为，求的值；（Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若，求证：在时， > ． 【解析】（Ⅰ）∵ ∴ ， ∵ 在点处的切线为，即在点的切线的斜率 为， ∴ ，∴ ，∴切点为， 将切点代入切线方程，得，所以，；
高考导数大题大全理科答案
一、解答题 1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'11 2()e ln e e e .x x x x a b b f x a x x x x --=+-+ 由题意可得' (1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==. （Ⅱ）由(Ⅰ)知1 2e ()e ln ,x x f x x x -=+ 从而()1f x >等价于2 ln e .e x x x x ->- 设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，所以当1 (0,)e x ∈时，' ()0g x <; 当1 (,)e x ∈+∞时，' ()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e +∞单调递增， 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为1 1().e e g =-. 设函数2 ()e e x h x x -=-，则'()e (1)x h x x -=-，所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >； 当(1,)x ∈+∞时，' ()0h x <，故()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e h =- . 综上，当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. 2. 解题指南（1）根据导数公式求出函数的导数，利用分类讨论思想求解；（2）根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点，代入函数中求解. 解析（1）2/ 22 2(2)24(1) ()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ （*） 当1a ≥时，/ ()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，由/ ()0f x = 得1 x = （2x =-舍去）． 当1(0,)x x ∈时，/()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，/ ()0f x >． 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减，在区间1(,)x +∞上单调递增． 综上所述，当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，()f x 在区间(0, 上单调递减，在区间)+∞上单调递增． 由（*）式知，当1a ≥时，/ ()0f x >，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点， 必有01a <<．又()f x 的极值点只可能是1 x = 和2x =-，且由定义可知，1 x a >- 且2x ≠- ，所以1a ->- 且2-≠-，解得1 2 a ≠- 此时，由（*）式易知，12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点，而 令21a x -=，则01a <<且12a ≠-知：当102 a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<． 记2 2 ()ln 2g x x x =+-， （Ⅰ）当10x -< <时，2()2ln()2g x x x =-+-，所以/22 2222 ()0x g x x x x -=-=< 因此，()g x 在区间(1,0)-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当1 02 a << 时， 12()()0f x f x +<． （Ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x =+ -，所以/222222 ()0x g x x x x -=-=< 因此，()g x 在区间(0,1)上单调递减，从而()(1)0g x g >=，故当时 1 12 a <<，12()()0f x f x +>． 综上所述，满足条件的a 的取值范围为1 (,1)2． 3. (1)证明：因为对任意x ∈R ，都有() ()e e e e ()x x x x f x f x -----=+=+=，所以f (x )是R 上的偶函数． (2)解：由条件知(e e 1)e 1x x x m --+-≤-在(0，+∞)上恒成立． 令t = e x (x >0)，则t >1，所以m ≤211 11111 t t t t t -- =--+-++-对于任意t >1成立． 因为11111t t -+ +≥- = 3，所以1113111 t t - ≥--++-， 当且仅当t = 2，即x = ln2时等号成立．
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