2019_2020学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式本讲达标测试新人教A版选修4_5
第一讲不等式和绝对值不等式
(本卷满分150分，考试时间120分钟)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是
A.a＞b＋1
B.a＞b－1
C.a2＞b2
D.a3＞b3
解析A项：若a＞b＋1，则必有a＞b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但不能推出a＞b＋1，故a＞b＋1是a＞b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足a ＞b－1，反之，由a＞b－1不能推出a＞b；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但a ＞b不成立；D项：a＞b是a3＞b3的充要条件，综上所述答案选A.
答案 A
2.若a>b，x>y，则下列不等式不正确的是
A.a＋x>b＋y
B.y－a C.|a|x>|a|y D.(a－b)x>(a－b)y 答案 C 3.不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是 A.[－5，7] B.[－4，6] C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) D.(－∞，－4]∪[6，＋∞) 解析解法一当x≤－3时，不等式化为5－x－x－3≥10，即x≤－4； 当－3＜x＜5时，不等式化为5－x＋x＋3≥10， 即8≥10，故x∈?； 当x≥5时，不等式化为x－5＋x＋3≥10，即x≥6. 综上，原不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)，故选D. 解法二利用绝对值的几何意义，即在数轴上的点x到5和－3的距离之和不小于10，所以x≤－4或x≥6，故选D. 答案 D 4.若f (x )＝x 2 －2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为 A.(0，＋∞) B.(－1，0)∪(2，＋∞) C.(2，＋∞) D.(－1，0) 解析 f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x 2 －x －2） x ， 则f ′(x )＞0，也就是2（x 2 －x －2）x ＞0， 得－1＜x ＜0或x ＞2，又f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＞0的解集为{x |x ＞2}，故选C. 答案 C 5.若实数x ，y 满足1x 2＋1y 2＝1，则x 2＋2y 2 有 A.最大值3＋2 2 B.最小值3＋2 2 C.最大值6 D.最小值6 解析 由题意知，x 2 ＋2y 2 ＝(x 2 ＋2y 2 )·? ?? ??1x 2＋1y 2＝3＋2y 2 x 2＋x 2 y 2≥3＋22， 当且仅当x 2y 2＝2y 2 x 2时，等号成立，故选B. 答案 B 6.函数y ＝3x ＋12 x 2(x >0)的最小值是 A.6 B.6 6 C.9 D.12 解析 y ＝3x ＋ 12 x 2 ＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥ 3 33x 2·3x 2·12 x 2＝9? ?? ??当且仅当3x 2＝12x 2，即x ＝2时，等号成立. 答案 C 7.设x >0，则y ＝3－3x －1 x 的最大值是 A.3 B.3－3 2 C.3－2 3 D.－1 解析 y ＝3－3x －1x ＝3－? ?? ??3x ＋1x ≤3－2 3x ·1 x ＝3－2 3. 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝3 3时，等号成立. 答案 C 8.若a 、b ∈R，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是 A.a 2 ＋b 2 ＞2ab B.a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b ＞2ab D.b a ＋a b ≥2 解析 对A ：当a ＝b ＝1时满足ab ＞0，但a 2 ＋b 2 ＝2ab ，所以A 错；对B 、C ：当a ＝b ＝－1时满足ab ＞0，但a ＋b ＜0，1a ＋1b ＜0，而2ab ＞0，2 ab ＞0，显然B 、C 不对；对D ： 当ab ＞0时，由均值定理b a ＋a b ≥2 b a ·a b ＝2，故选D. 答案 D 9.某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9 n ，则此人应选 A.1楼 B.2楼 C.3楼 D.4楼 解析 设第n 层总的不满意度为f (n )， 则f (n )＝n ＋9 n ≥29＝6， 当且仅当n ＝9 n ，即n ＝3时等号成立. 答案 C 10.已知f (x )是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数， f (2)＝0，则不等式xf (x )<0的解集是 A.{x |－2 B.{x |x <－2，或0 C.{x |x <－2，或x >2} D.{x |－2 则当0＜x ＜2或x ＜－2时，f (x )＜0； 当x ＞2或－2＜x ＜0时，f (x )＞0. 所以x ·f (x )＜0??????f （x ）＜0x ＞0或? ????f （x ）＞0 x ＜0， 即为0＜x ＜2或－2＜x ＜0. 答案 D 11.若0＜x ＜12，则x 2 (1－2x )有 A.最小值1 27 B.最大值1 27 C.最小值1 3 D.最大值1 3 答案 B 12.设0 1－x ≥m 恒成立，则m 的最大值是 A.(a －b )2 B.(a ＋b )2 C.a 2b 2 D.a 2 解析 a 2x ＋b 21－x ＝? ?? ??a 2x ＋b 21－x [x ＋(1－x )] ＝a 2 ＋b 2 ＋a 2（1－x ）x ＋b 2x 1－x ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 ， 当且仅当x 1－x ＝a b 时取等号. 由a 2x ＋b 21－x ≥m 恒成立，可知m ≤(a ＋b )2. 故m 的最大值是(a ＋b )2 . 答案 B 二、填空题(每小题5分，共20分) 13.不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________. 解析 由题意得|x ＋1|≥|x －3|， ∴(x ＋1)2 ≥(x －3)2 ，即8x ≥8，∴x ≥1. 答案 [1，＋∞) 14.已知不等式|2x －t |＋t －1＜0的解集为? ?? ??－12，12，则t 的值为________. 解析 |2x －t |＜1－t ，t －1＜2x －t ＜1－t ，2t －1＜2x ＜1，t －12＜x ＜1 2 .∴t ＝0. 答案 0 15.设x ，y 为实数.若4x 2 ＋y 2 ＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________. 解析 依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·? ?? ??2x ＋y 22 ， 得58(2x ＋y )2 ≤1，即|2x ＋y |≤2105. 当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 达到最大值2105 . 答案 210 5 16.下面四个命题： ①若a >b ，c >1，则a lg c >b lg c ； ②若a >b ，c >0，则a lg c >b lg c ； ③若a >b ，则2c a >2c b ； ④若a c >0，则c a >c b . 其中正确命题的个数为________. 解析 ①正确，∵c >1，lg c >0，∴a lg c >b lg c ；②不正确，由于当0 b . 答案 3 三、解答题(共70分) 17.(10分)设不等式|x －2| )的解集为A ，且32∈A ，12?A . (1)求a 的值； (2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值. 解析 (1)因为32∈A ，且12?A ，所以??????32－2 又a ∈N * ，所以a ＝1. (2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3. 18.(12分)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值. 解析 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1. 故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}. (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组 ? ????x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或?????x ≤a ，a －x ＋3x ≤0. 即?????x ≥a ，x ≤a 4或? ????x ≤a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为??? ??? x ??? x ≤－a 2. 由题设可得－a 2 ＝－1，则a ＝2.故a 的值为2. 19.(12分)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2 －8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ， g (x )≤4的解集为N . (1)求M ； (2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2 ≤14 . 解析 f (x )＝? ??? ?3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）， 当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤4 3； 当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1. 所以f (x )≤1的解集为M ＝?????? x ? ??0≤x ≤43. (2)由g (x )＝16x 2 －8x ＋1≤4， 得16? ?? ??x －142 ≤4，解得－14≤x ≤34. 因此N ＝?????? x ???－14≤x ≤34. 故M ∩N ＝?????? x ? ??0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是 x 2 f (x )＋x [f (x )]2 ＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－? ????x －122≤1 4 . 20.(12分)(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围. 解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝???? ?2x ＋4，x ≤－1，2，－1 可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}. (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4. 而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立. 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2. 所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞). 21.(12分)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，求证： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件. 证明 (1)因为(a ＋b )2 ＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2 ＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2 >(c ＋d )2 . 因此a ＋b >c ＋d . (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2 <(c －d )2， 即(a ＋b )2 －4ab <(c ＋d )2 －4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2 >(c ＋d )2 ， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 于是(a －b )2 ＝(a ＋b )2 －4ab <(c ＋d )2 －4cd ＝(c －d )2 . 因此|a －b |<|c －d |. 综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件. 22.(12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a). (1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集； (2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值范围. 解析(1)当a＝1时， f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1). 当x＜1时，f(x)＝－2(x－1)2＜0； 当x≥1时，f(x)≥0. 所以，不等式f(x)＜0的解集为(－∞，1). (2)因为f(a)＝0，所以a≥1. 当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0. 所以，a的取值范围是[1，＋∞). 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式 （二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______． 1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为. 13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ）a b ＜1 （C ）lg(a -b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1+a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 第10课 绝对值不等式 ◇考纲解读 ①理解不等式a b a b a b -≤+≤+ ②掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； ◇知识梳理 1.绝对值的意义 ①代数意义：___,(0)___,(0)___,(0)a a a a >??= =?? 时， |()|f x a >?____________； |()|f x a - 例2. 解不等式125x x -++> 变式1：12x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式2：212x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式3：12x x a -++>恒成立，求a 的取值范围 ◇能力提升 1.（2008湛江二模）若关于x 的不等式||2x a a -<-的解集为{}42|< 第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0< （2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1> B ．2ab ab a >> C ．2ab ab a >> D ．2 ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．R B ．φ C ．),(+∞a b D ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤< B ．{|22}x x -<< C ．{|13}x x -<< D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．． 的是( ) A ． 11a b < B ．2b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( ) A ．y x ＋x y B ．4 5 22++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>x B ．01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a 一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为． 高中数学必修（5）不等式专题检测 说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷50分，第二卷100分，共150分；答题时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ） A ．c b c a -≥+ B ．bc ac > C ． 02 >-b a c D ．0)(2 ≥-c b a 2．若0< B ．a b a 1 1>- C ．3 131b a < D ．3 2 3 2b a > 3．若关于x 的不等式m x x ≥-42 对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3-≤m B ．3-≥m C ．03≤≤-m D ．03≥-≤m m 或 4．已知实数x ,y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有 （ ） A ．最小值 21 和最大值1 B ．最小值 4 3 和最大值1 C ．最小值21和最大值4 3 D ．最小值1 5．设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11， a 与b 的大小关系 （ ） A ．a >b B ．a ---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4-a C ．12->a D ．12---x a 则实数a 的取值范围是 （ ） A ．1||a D ．2||1< 高一数学不等式练习题 1、不等式1 1 2x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()0,∞-?(2,)+∞ 2、不等式2 01x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-， 3、已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（ ） （A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3} 4 ) A. D. 5、不等式203x x ->+的解集是（ ） (A)(-3,2) (B)(2,+∞) (C) (-∞,-3)∪(2,+∞) (D) (-∞,-2)∪(3,+∞) 6、若不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ???，成立，则a 的最小值为（ ） Ａ．0 Ｂ．2- Ｃ．5 2- Ｄ．3- 7、设x 、y 为正数，则有(x+y)(1 x ＋4 y )的最小值为（ ） A ．15 B ．12 C ．9 D ．6 8、.若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 9、下面给出的四个点中，位于???>+-<-+01, 01y x y x 表示的平面区域内的点是（ ） （A ）(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2) (D)(2,0) 10、已知函数()???≥ -<+-=01 1x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ） (A) {}121|-≤≤-x x (B) { }1|≤x x (C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x 解绝对值不等式 1、解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 变形三 解含参绝对值不等式 8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。 2）形如|()f x |a (a R ∈)型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ① 当a >0时，|()f x |a ?()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |a ?()f x ≠0 ③ 当a <0时，|()f x |a ?()f x 有意义。 9．解关于x 的不等式：()0922>≤-a a a x x 10．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。 变形4 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 11、若不等式|x －4|+|3－x |；()f x a <解集为空集()m i n a f x ?≤；这两者互补。()f x a <恒成立 ()m a x a f x ?>。 ()f x a ≥有解()m a x a f x ?≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ?>；这两者互补。()f x a ≥恒成立 ()min a f x ?≤。 不等式综合练习题 常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥≥+ ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时取=；) （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 常用的放缩技巧有：(1)21111111 1(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++-- <<= 1、对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ 2、已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 3、设0,10>≠>t a a 且，比较2 1log log 21+t t a a 和的大小 4、设2a >，1 2 p a a =+ -，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 5、比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 6、下列命题中正确的是 A 、1y x x =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2 C 、4 23(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =-->的最小值是2- 7、若21x y +=，则24x y +的最小值是______ 8、正数,x y 满足21x y +=，则 y x 1 1+的最小值为______ 9、如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________ 10、（1）已知c b a >>，求证：2 22222ca bc ab a c c b b a ++>++ ； (2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++； （3）已知,,,a b x y R +∈，且 11,x y a b >>，求证：x y x a y b >++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证： lg lg lg lg lg lg 222 a b b c c a a b c +++++>++； （5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22 ()c a abc a b c +≥++； (6)若* n N ∈(1)n +< n ； (7)已知||||a b ≠，求证：|||||||| |||| a b a b a b a b -+≤-+； （8）求证：222111 1223n ++++<。 11、解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。 12、不等式(0x -的解集是____ 一．选择题 1．（2016?济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A． B．2C．4 D．4 2．（2016?乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2016?合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 5．（2016?金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．（2015?福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于 （） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2015?红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2015?江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线 mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（） A．B．8 C．9 D．12 9．（2015?南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2015?湖南模拟）已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A．B．4 C．D．6 11．（2015?衡阳县校级模拟）若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．（2015春?哈尔滨校级期中）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值 为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．（2016?吉林三模）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．（2016?抚顺一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．（2016?丰台区一模）已知x＞1，则函数的最小值为．4．（2016春?临沂校级月考）设2＜x＜5，则函数的最大值 是． 5．（2015?陕西校级二模）函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 基本不等式 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且 仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，高中数学解不等式方法+练习题
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