超几何分布与二项分布
超几何分布与二项分布
一．选择题（共9小题）
1．（2004?辽宁）已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）
ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m
A．B．C．D．
2．（2011?黄冈模拟）随机变量ξ的概率分布规律为（n=1、2、3、4、…），其中a是常数，则的值为（）
A．B．C．D．
3．（2008?石景山区一模）已知随机变量ξ的分布列为且设η=2ξ+1，则η的期望值是（）
A．1B．C．D．
4．设随机变量X的概率分布为P（X=k）=（k=1，2，3，4，5），则=（）A．B．C．D．
5．电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，
则P（1≤X≤2013）等于（）
A．B．C．D．
6．（2010?江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2．则（）
A．P1=P2B．P1＜P2
C．P1＞P2D．以上三种情况都有可能
7．（2011?潍坊二模）设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望EX=2，则P（X=2）等于（）
A．B．C．D．
8．（2012?衡阳模拟）已知随机变量ξ～N（0，a2），且p（ξ＞1）=p（ξ＜a﹣3）的值为（）A．2B．﹣2 C．0D．1
9．设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=（）
A．1﹣p B．p C．
+p D．
﹣P
二．填空题（共5小题）
10．（2010?上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是_________．11．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为_________．12．（2010?枣庄模拟）设随机变量X～B（n，0.5），且DX=2，则事件“X=1”的概率为_________（作数字作答．）13．若随机变量X服从二项分布，且X～B（10，0.8），则EX、DX分别是_________，_________．14．（2011?浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=_________．
三．解答题（共3小题）
15．（2009?朝阳区二模）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球．
（Ⅰ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．
16．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P=0.2．若从该批产品中任意抽取3件，
（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．
17．（2006?崇文区一模）某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队进入点球大战．假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为．现规定：
点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求：
（I）乙队以4：3点球取胜的概率有多大？
（II）设点球中乙队得分为随机变量ξ，求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望．
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2004?辽宁）已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）
ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m
A．B．C．D．
考点：离散型随机变量及其分布列．
专题：计算题．
分析：
由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，根据等比数列的求和公式，得到答案．
解答：解：∵由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，
∴根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，
∴S==1﹣，
∵S+m=1，
∴m=，
故选C．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，在一个试验中所有的变量的概率之和是1，本题又考查等比数列的和，是一个综合题．
2．（2011?黄冈模拟）随机变量ξ的概率分布规律为（n=1、2、3、4、…），其中a是常数，则的值为（）
A．B．C．D．
考点：离散型随机变量及其分布列；互斥事件的概率加法公式．
专题：计算题．
分析：估计所给的随机变量的分布列的特点，利用无穷等比递缩数列的各项之和写出所有的变量的概率之和，使它等于1，求出a的值，利用互斥事件的概率公式写出结果．
解答：
解：∵随机变量ξ的概率分布规律为（n=1、2、3、4、…），
∴a=1，
∴a=，
∴=P（ξ=1）+P（ξ=2）==
故选C．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，是一个综合题目，在解题时一定要注意所有的变量的概率之和的求法，注意应用分布列的性质．
3．（2008?石景山区一模）已知随机变量ξ的分布列为且设η=2ξ+1，则η的期望值是（）
A．1B．C．D．
考点：离散型随机变量及其分布列．
分析：由题目中所给的变量的分布列得到变量ξ的期望，根据η=2ξ+1关系，得到两个变量的关系，代入ξ的期望，求出结果．
解答：
解：由表格得到Eξ=﹣1×+1×=﹣，
Eη=E（2ξ+1）=2Eξ+1=2×（﹣）+1=，
故选C．
点评：本题考查有一定关系的两个变量之间的期望之间的关系，本题也可以这样来解，根据两个变量之间的关系写出η的分布列，再由分布列求出期望．
4．设随机变量X的概率分布为P（X=k）=（k=1，2，3，4，5），则=（）A．B．C．D．
考点：离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：
由题意可得P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=1，求出m的值，再根据=P （X=2）+P（X=3），进而求出答案．
解答：解：因为所有事件发生的概率之和为1，
即P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=1，
所以m（++++）=1，即m（1﹣）=1
所以m=．
所以P（X=k）=（k=1，2，3，4，5），
则=P（X=2）+P（X=3）=+=．
故选A．
点评：解决此类问题的关键是掌握所有事件发生的概率之和为1，进而求出随机变量的分布列即可得到答案．5．电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，
则P（1≤X≤2013）等于（）
A．B．C．D．
考点：超几何分布．
专题：概率与统计．
分析：先求出P（X=0），即第0次首次测到正品，即全是次品的概率，从而可得结论．
解答：
解：由题意，P（X=0）=
∴P（1≤X≤2013）=1﹣P（X=0）=
故选B．
点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，考查学生的计算能力，属于中档题．
6．（2010?江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2．则（）
A．P1=P2B．P1＜P2
C．P1＞P2D．以上三种情况都有可能
考点：二项分布与n次独立重复试验的模型；等可能事件的概率．
专题：计算题；压轴题．
分析：每箱中抽到劣币的可能性都相等，故可用独立重复试验求解，又因为事件“发现至少一枚劣币”的对立事件是“没有劣币”，概率好求．方法一概率为1﹣0.9910；方法二概率为1﹣（）5，做差比较大小即可．
解答：
解：方案一：此方案下，每箱中的劣币被选中的概率为，没有发现劣币的概率是0.99，故至少发现一枚劣币的总概率为1﹣0.9910；
方案二：此方案下，每箱的劣币被选中的概率为，总事件的概率为1﹣（）5，
作差得P1﹣P2=（）5﹣0.9910，由计算器算得P1﹣P2＜0
∴P1＜P2．
故选B
点评：本题考查独立重复试验的概率和对立事件的概率问题，以及利用概率知识解决问题的能力．7．（2011?潍坊二模）设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望EX=2，则P（X=2）等于（）A．B．C．D．
考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．
专题：概率与统计．
分析：
根据X为随机变量，X～B和求服从二项分布的变量的期望值公式，代入公式得到n的值，再根据二项分布概率公式得到结果．
解答：
解：∵随机变量X为随机变量，X～B，
∴其期望EX=np==2，∴n=6，
∴P（X=2）==．
故选D．
点评：本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．
8．（2012?衡阳模拟）已知随机变量ξ～N（0，a2），且p（ξ＞1）=p（ξ＜a﹣3）的值为（）
A．2B．﹣2 C．0D．1
考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．
专题：计算题；概率与统计．
分析：利用正态曲线的对称性，可得曲线的对称轴是直线x=0，由此可得结论．
解答：解：由题意，∵ξ～N（0，a2），∴曲线的对称轴是直线x=0，
∵p（ξ＞1）=p（ξ＜a﹣3）
∴a﹣3+1=0
∴a=2
故选A．
点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．
9．设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=（）
A．1﹣p B．p C．
+p D．
﹣P
考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．
专题：概率与统计．
分析：随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），知正态曲线关于x=0对称，根据P（ξ≥1）=p，得到P（1＞ξ＞0）=﹣p，再根据对称性写出要求概率．
解答：解：∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），
∴正态曲线关于x=0对称，
∵P（ξ≥1）=p，
∴P（1＞ξ＞0）=﹣p，
∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，
故选D．
点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题的主要依据是曲线的对称性，这种问题可以出现在选择或填空中．
二．填空题（共5小题）
10．（2010?上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是．
考点：超几何分布；离散型随机变量的期望与方差．
专题：计算题．
分析：
设抽到次品个数为ξ，则ξ～H（3，2，10），利用公式Eξ=，即可求得抽到次品个数的数学期望的值．
解答：解：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H（3，2，10）
∴Eξ=
故答案为：
点评：本题考查离散型随机变量的数学期望，解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布，从而利用相应的期望公式求解．
11．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为．
考点：超几何分布．
专题：概率与统计．
分析：从10件产品任取3件的取法共有，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为，．利用互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式即可得出．
解答：解：从10件产品任取3件的取法共有，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为，．
因此所求的概率P==．
故答案为．
点评：本题考查了互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式，属于基础题．
12．（2010?枣庄模拟）设随机变量X～B（n，0.5），且DX=2，则事件“X=1”的概率为（作数字作答．）
考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．
专题：计算题．
分析：由随机变量X～B（n，0.5），且DX=2，知n×0.5×（1﹣0.5）=2，解得n=8．再由二项分布公式能够导出事件“X=1”的概率．
解答：解：∵随机变量X～B（n，0.5），且DX=2，
∴n×0.5×（1﹣0.5）=2，
∴n=8．
∴p（x=1）=．
故答案为：．
点评：本题考查二项分布的性质和应用，解题时要注意二项分布方差公式Dξ=np（1﹣p）的灵活运用．
13．若随机变量X服从二项分布，且X～B（10，0.8），则EX、DX分别是8， 1.6．
考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．
专题：计算题．
分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的两个未知量，做出概率．
解答：解：∵X服从二项分布X～B（n10，0.8）
由Eξ=10×0.8=8，①
Dξ=1=np（1﹣p）10×0.8×0.2=1.6，②
故答案为8；1.6
点评：本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．
14．（2011?浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=．
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题：计算题．
分析：根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望．
解答：解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，
∵P（X=0）=，
∴，
∴p=，
P（X=1）=+=
P（X=2）==，
P（X=3）=1﹣=，
∴E（X）==，
故答案为：
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是一个基础题目．
三．解答题（共3小题）
15．（2009?朝阳区二模）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球．
（Ⅰ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．
考点：超几何分布；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差．
专题：综合题．
分析：（Ⅰ）先求出从袋中任取1个球是红球的概率，再利用独立事件的概率公式可求三次取球中恰有2个红球的概率；
（Ⅱ）根据从袋中一次任取2个球，如果这2个球颜色相同的概率是建立等式关系，求出n的值，从而
求出红球的个数．
（Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，然后分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可；
解答：
解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则．
所以，．
答：三次取球中恰有2个红球的概率为．…（4分）
（Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则
，
整理得：n2﹣7n+12=0，解得n=3（舍）或n=4．
所以，红球的个数为3个．…（8分）
（Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，且，，
，，．
所以ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5 6
P
所以，．…（13分）
点评：本题以摸球为素材，主要考查相互独立事件的概率的求法，考查了离散型随机变量的期望与分布列，解题的关键是正确利用公式求概率．
16．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P=0.2．若从该批产品中任意抽取3件，
（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．