普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
数学(文史类)
一.选择题:本大题共12小题, 每小题5分, 共60分, 在每小题给出的四个选
项中, 只有一项是符合要求的
1.直线2y x x =关于对称的直线方程为 ( ) A .12
y x =-
B .12
y x =
C .2y x =-
D .2y x =
2.已知,02x π??∈-
???
, 54cos =x , 则2tg x = ( ) A .24
7
B .247-
C .7
24
D .7
24-
3.抛物线2
y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 ( )
A .
1
8
B .1
8
-
C .8
D .8- 4.等差数列{}n a 中, 已知1251
,4,33,3
n a a a a n =+==则为( )
A .48
B .49
C .50
D .51
5.双曲线虚轴的一个端点为M , 两个焦点为1212,,120F F F MF ∠=?, 则双曲线的离心率为( )
A
B C D 6.设函数?????-=-2112)(x
x f x 00>≤x x , 若1)(0>x f , 则0x 的取值范围是 ( ) A .(1-, 1) B .(1-, ∞+) C .(∞-, 2-)?(0, ∞+)
D .(∞-, 1-)
?(1, ∞+)
7.已知5
()lg ,(2)f x x f ==则( ) A .lg 2
B .lg32
C .1
lg
32
D .1lg 25
8.函数sin()(0)y x R ??π?=+≤≤=是上的偶函数,则( ) A .0
B .
4
π
C .
2
π
D .π
9.已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1,则( )
A
B .2
C 1
D 1
10.已知圆锥的底面半径为R , 高为3R , 它的内接圆柱的底面半径为3
4
R , 该圆柱的全面积为( )
A .2
2R π
B .24
9R π C .238
R π D .252R π
11.已知长方形的四个顶点A (0, 0), B (2, 0), C (2, 1)和D (0, 1),
一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后, 依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P (入射角等于反射角)若40P P 与重合, 则tg θ= ( )
A .3
1
B .
5
2
C .
2
1
D .1
12.一个四面体的所有棱长都为2, 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为( ) A .π3
B .π4
C .π33
D .π6
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数 学(文史类)
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二.填空题:本大题共4小题, 每小题4分, 共16分把答案填在题中横线上
13x <的解集是____________________.
14.92)21(x
x -的展开式中9
x 系数是 ________ .
15.在平面几何里, 有勾股定理:“设22,,ABC AB AC AB AC BC +=V 的两边互相垂直则”
拓展到空间, 类比平面几何的勾股定理, 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系, 可以得出的正确结论是:“设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC ACD ADB 、、两两互相垂直, 则______________________________________________.” 16.如图, 一个地区分为5个行政区域, 现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同一颜色,
现有4种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有 种_______________________数字作答)
三、解答题:本大题共6小题, 共74分, 解答应写出文字说明, 证明过程或或演算步骤 17.(本小题满分12分)
已知正四棱柱111111112ABCD A B C D AB AA E CC F BD -==,,,点为中点,点为点中点
(Ⅰ)证明11EF BD CC 为与的公垂线 (Ⅱ)求点1D BDE 到面的距离
18.(本小题满分12分)
已知复数z 的辐角为?60, 且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项, 求||z .
E
D
B
A
C
B
D C
A
F
M
19.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 满足1111,3(2).n n n a a a n --==+≥ (Ⅰ)求23,a a ;
(Ⅱ)证明2
n n a =
20.(本小题满分12分)
已知函数()2sin (sin cos f x x x x =+
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)在给出的直角坐标系中, 画出函数()y f x =在区间,22ππ??-????
上的图象 21.(本小题满分12分)
在某海滨城市附近海面有一台风, 据监测,
当前台风中心位于城市O (如图)的
东偏南(cos θθ=方向300km 的海面P
处, 并以20km/h 的速度向西偏北?45方向移动, 台风侵袭的范围为圆形区域,
当前半径为60km , 并以10km/h 的速度不断增大, 问几小时后该城市开始受到
台风的侵袭?
22.(本小题满分14分) 已知常数0>a , 在矩形ABCD 中, 4=AB , a BC 4=, O 为AB 的中点,
东
O
点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动, 且DA DC CD CF BC BE ==, P 为GE 与OF 的交
点(如图), 问是否存在两个定点, 使P 到这两点的距离的和为定值?若存在, 求出这两点的坐标及此定值;若不存在, 请说明理由
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数学试题(文)参考解答及评分标准
说明:
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生物解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定部分的给分, 但不得超过该部分正确解答得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分.
三. 解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分, 满分60分.
1.C 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.D 8.C 9.C 10.B 11.C 12.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
13.]4,2( 14.2
21-
15.2
222BCD ADB ACD ABC S S S S ????=++ 16.72 三、解答题:本大题共6小题, 共74分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17.(I )证明:取BD 中点M , 连结MC , FM ,
∵F 为BD 1中点, ∴FM ∥D 1D 且FM=2
1
D 1D 又EC=
2
1
CC 1, 且EC ⊥MC , ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1?面DBD 1,
∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线 (II )解:连结ED 1, 有V
由(I )知EF ⊥面DBD 1, 设点D 1到面BDE 的距离为d ,
则S △DBC ·d=S △DCD 1·EF . ∵AA 1=2·AB=1.
2
2
,2=
===∴EF ED BE BD 2
3
)2(2321,2222121=
??==??=
∴??DBC DBD S S 故点D 1到平面BDE 的距离为
3
3
2. 18.解:设z=2
),60sin 60(cos r z i r 的实邻为则复数ο
ο
+ 2,r z z r z z ==+∴
由题设|2||||1|2-?=-z z z
即||)1)(1(=--z z z 4212
2+-=+-r r r r r
12120
122
--=-==-+r r r r 解得(舍去) 即|z|=12-
19.(I )解∵1343,413,12
321=+==+=∴=a a a
(II )证明:由已知故,31
1--=-n n n a a
112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ =.2
1
3133
32
1
-=++++--n n n Λ
所以2
1
3-=n n a
20.解(I )x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2
+-=+= )4
2sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21π
ππ
-+=-?+=x x x
所以函数)(x f 的最小正周期为π, 最大值为21+.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
x
8
3π
-
8π-
8
π 83π 8
5π y
1
21-
1
21+
1
故函数)(x f y =在区 间]2
,2[π
π-上的图象是
22.解:根据题设条件, 首先求出点P 坐标满足的方程, 据此再判断是否存在两定点, 使得点P 到定点距离的和为定值.
按题意有A (-2, 0), B (2, 0), C (2, 4a ), D (-2, 4a )
设
)10(≤≤===k k DA
DC
CD CF BC BE , 由此有E (2, 4ak ), F (2-4k , 4a ), G (-2, 4a -4ak ). 直线OF 的方程为:0)12(2=-+y k ax , ① 直线GE 的方程为:02)12(=-+--a y x k a . ②
从①, ②消去参数k , 得点P (x , y )坐标满足方程0222
22=-+ay y x a ,
整理得1)(2
1222=-+a a y x . 当21
2
=
a 时, 点P 的轨迹为圆弧, 所以不存在符合题意的两点. 当2
12
≠a 时, 点P 轨迹为椭圆的一部分, 点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.
当2
12<
a 时, 点P 到椭圆两个焦点),21(),,21(22a a a a ---的距离之和为定值
2.
当2
1
2>
a 时, 点P 到椭圆两个焦点)21021,0(22-+--a a a a ,),(的距离之
和为定值a 2.
21.解:如图建立坐标系:以O 为原点, 正东方向为x 轴正向. 在时刻:t (h )台风中心),(y x P 的坐标为
???
???
??+?-=?-?=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是2
22)]([)()(t r y y x x ≤-+-, 其中10)(=t r t+60,
若在t 时, 该城市O 受到台风的侵袭, 则有
,)6010()0()0(222+≤-+-t y x
即,)6010()2
2201027300()2220102300(222+≤?+?-+?-?
t t t
即0288362
≤+-t t , 解得2412≤≤t . 答:12小时后该城市开始受到台风气侵袭