文档视界 最新最全的文档下载
当前位置:文档视界 › 不等式证明

不等式证明

不等式证明
不等式证明

程氏教育 高一数学 地址:乐山市长江市场A 栋5楼

1

不 等 式

2.不等式的基本性质

(4)d b c a d c b a +>+?>>,(同向不等式相加)

(5)d b c a d c b a ->-?<>,(异向不等式相减)

(6)bc ac c b a >?>>0,

(7)bc ac c b a 0,(乘法单调性)

(8)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向不等式相乘)

(9)0,0a b a b c d c d >><(异向不等式相除)

(),4011011a b a b a b a b

>>?<< (11))1且,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n (平方法则)

(12))1且,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n (开方法则)

3.几个重要不等式

()a b ab a b R a b ab ab a b 222

222+≥∈+≥≤+?? ???+,;;求最值时,你是否注 意到“,”且“等号成立”时的条件,积或和其中之一为定a b R ab a b ∈++()()值?(一正、二定、三相等)

注意如下结论:

()

a b a b ab ab a b a b R 22222+≥+≥≥+∈+, 当且仅当时等号成立。a b =

()a b c ab bc ca a b R 222++≥++∈,

当且仅当时取等号。a b c ==

a b m n >>>>000,,,则

b a b m a m a n b n a b

<++<<++<1

(完整版)均值不等式及其证明

1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一,在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法,这里,我们选了部分具有代表意义的证明方法,其中用来证明平均值不等式的许多结论,其本身又具有重要的意义,特别是,在许多竞赛的书籍中,都有专门的章节介绍和讨论,如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等,这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地,假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数,它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥, 当且仅当12...n a a a ===时,等号成立。 上述不等式称为平均值不等式,或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单,容易记住,但它的证明和应用非常灵活、广泛,有多种不同的方法。为使大家理解和掌握,这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一(归纳法) (1) 当2n =时,已知结论成立。 (2) 假设对n k =(正整数2k ≥)时命题成立,即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么,当1n k =+时,由于

121 1 (1) k k a a a A k +++++= +,1k G +=, 关于121,,...,k a a a +是对称的,任意对调i a 与j a ()i j ≠,1k A +和1k G +的值不改变,因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=,{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤,以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +,得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而,有11k k A G ++≥ 证法二(归纳法) (1) 当2n =时,已知结论成立。 (2) 假设对n k =(正整数2k ≥)时命题成立,即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么,当1n k =+时,由于

证明不等式的种方法

证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛,还是其它类型的考试里,出现频率都是比较高,证明难度也是比较大的.因此,有必要总结证明不等式的基本方法,为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明,其证明方法基本并兼顾巧妙. 1.排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序,有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥,且1a b c ++=,求证: ()22229 1. a b c abc +++≥2.增量方法 在变量之间增设一个增量,通过增量换元的方法,便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈,试证:2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3.齐次化法 利用题设条件,或者其它变形手段,把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=,求证: 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4.切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线,利用切线段代替曲线段,来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=,求证: 323235 x y +≤++.. 5.调整方法 局部固定,逐步调整,探究多元最值,便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数,且1a b c ++=,求证:13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6.抽屉原理

在桌上有3个苹果,要把这3个苹果放到2个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象,就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理,证明某些不等式,能起到比较神奇的效果. 例6(《数学通报》2010年9期1872题)证明:在任意13个实数中,一定能找到两个实数,x y ,使得0.3.10.3x y x ->+7.坐标方法 构造点坐标,应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、,a 、b 不全为零,求证: ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8.复数方法 构造复数,应用复数模的性质,可以快速证明一些无理不等式. 例8(数学问题1613,2006,5)设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证:9.向量方法 构造向量,把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=,求证: 4 ≤. 10.放缩方法 不等式的证明,关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中,首项132 a = ,且对任意*1,n n N >∈,均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<

证明不等式的几种方法

证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要:不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词:不等式,公式法,构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象,难懂,证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换,通过化简后使不等式变得简单,更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证:)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母,则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23(*) 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. (*)式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数,且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证:n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-

分析法证明不等式

分析法证明不等式 山东 林 博 分析法是不等式证明的基本方法,但它不失为不等式证明的重要方法.下面以几道不等式证明题作为分析法的范例加以阐释. 例1 已知:a b c +∈R ,,, 求证:3223a b a b c ab abc +++????-3- ? ????? ≤. 分析:这道题从考查思维的角度来看,方法基本,只要从分析法入手———步步变形,问题极易解决. 证明:为了证明3223a b a b c ab abc +++????-3- ? ????? ≤, 只需证明323ab c abc --≤, 即证明332abc c ab c ab ab +=++≤. 而3333c ab ab c ab ab abc ++=≥成立,且以上各步均可逆, ∴32323a b a b c ab abc +++????-- ? ????? ≤. 点评:分析法是思考问题的一种基本方法,容易找到解决问题的突破口. 例2 已知关于x 的实系数方程2 0x ax b ++=有两个实根αβ,,证明: (1)如果||2α<,||2β<,那么2||4a b <+,且||4b <; (2)如果2||4a b <+,且||4b <,那么||2α<,||2β<. 分析:本题涉及参数较多,应注意它们之间的等量关系. 证明:∵αβ,是方程20x ax b ++=的两个实根, ∴a αβ+=-,b αβ=. (1)欲证2||4a b <+,且||4b <. 只要证2||4αβαβ+<+,且||4αβ<, 而||2α<,||2β<,从而有||4αβ+<,40αβ+>. 故只要证224()(4)αβαβ+<+,只要证22(4)(4)0αβ-->.

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数,求证: a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明:∵a,b 均为正数, ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ,0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加,可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ,1=++c b a ,求证: 31222≥ ++c b a 证:2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 : ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理:a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈,求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明:∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+

高等数学不等式的证明试题及答案

微积分中不等式的证明方法讨论 不等式的证明题经常出现在考研题中,虽然题目各种各样,但方法无非以下几种: 1.利用函数的单调性证明不等式 若在),(b a 上总有0)(>'x f ,则)(x f 在),(b a 单调增加;若在),(b a 上总有0)(<'x f ,则)(x f 在),(b a 单调减少。 注:考研题的难点是,构造恰当的辅助函数,有时需要两次利用函数的单调性证明不等式,有时需要对),(b a 进行分割,分别在小区间上讨论。 例1:证明:当0a b π<<<时, sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<, 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+,且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<,(0,s i n 0x x x π<<>时), 故当0a x b π<≤≤<时,()f x '单调减少,即()()0f x f π''>=,则()f x 单调增加,于是()()0f b f a >=,即 sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 【评注】 证明数值不等式一般需构造辅助函数,辅助函数一般通过移项,使不等式一端为“0”,另一端即为所作辅助函数()f x ,然后求导验证()f x 的增减性,并求出区间端点的函数值(或极限值)。 例2:设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 2 22a b e a b ->-. 【分析】即证a e a b e b 2 222 4ln 4ln ->- 证明: 设x e x x 224ln )(-=?,则 24ln 2)(e x x x -='?, 2ln 12)(x x x -=''?, 所以当x>e 时,,0)(<''x ? 故)(x ?'单调减少,从而当2 e x e <<时,

不等式证明的常用基本方法(自己整理)

证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等 号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2 +1,则s 与t 的大小关系是( A ) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s0;②a 2+b 2≥2(a-b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2 +b 2 -2(a-b-1)=(a-1)2 +(b+1)2 ≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

不等式的证明方法习题精选精讲

不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质,由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的,对此,不仅要掌握性质的内容,还要掌握性质的证明方法,理解掌握性质成立的条件,把握性质之间的关联。只有理解好,才能牢固记忆及正确运用。 1.不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题,要注意不等式成立的条件,否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式,要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1:若0< B .a b a 11>- C .||||b a > D .22b a > 解:∵0<->-b a 。 由b a -< -11,b a 11>,∴(A )成立。 由0<< b a ,||||b a >,∴(C )成立。 由0>->-b a ,2 2 )()(b a ->-,2 2b a >,∴(D )成立。 ∵0<->-a b a , )(11b a a --<-,b a a ->11,∴(B )不成立。 故应选B 。 例2:判断下列命题是否正确,并说明理由。 (1)若0<c ,在2 2c b c a >两边同乘以2 c ,不等式方向不变。∴b a >。 (3)错误。b a b a 1 1,成立条件是0>ab 。 (4)错误。b a >,bd ac d c >?>,当a ,b ,c ,d 均为正数时成立。 2.不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3:下列不等式中不等价的是( ) (1)2232 >-+x x 与0432 >-+x x (2)13 8112++ >++ x x x 与82>x (3)35 7354-+>-+x x x 与74>x (4) 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A .(2) B .(3) C .(4) D .(2)(3) 解:(1)0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 (2)482>?>x x ,44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。

经典不等式证明的基本方法

不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质: ①、对称性: 传递性:_________ ②、 ,a+c >b+c ③、a >b , , 那么ac >bc ; a >b , ,那么ac <bc ④、a >b >0, 那么,ac >bd ⑤、a>b>0,那么a n >b n .(条件 ) ⑥、 a >b >0 那么 (条件 ) 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2(基本不等式) 如果a ,b>0,那么 当且仅当a=b 时,等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论:已知x, y 都是正数。(1)如果积xy 是定值p ,那么当x=y 时,和x+y 有最小值 ; (2)如果和x+y 是定值s ,那么当x=y 时,积xy 有最大值 小结:理解并熟练掌握基本不等式及其应用,特别要注意利用基本不等式求最值时, 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离: a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0> d c 2,≥∈n N n 2,≥∈n N n 2 a b +≥2 1 4 s 3 ,,3a b c a b c R a b c +++∈≥==定理如果,那么当且仅当时,等号成立。 即:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。2122,,,,n n n a a a a a n a a ++≥=== 11把基本不等式推广到一般情形:对于n 个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均,即: 当且仅当a 时,等号成立。

用放缩法证明不等式Word版

利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法:放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式问题。裂项放缩法 主要有两种类型: (1)先放缩通项,然后将其裂成某个数列的相邻两项的差,在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333 n n n S a +=-?+,1,2,3, n =。设2n n n T S =,1,2,3, n =,证明: 1 3 2 n i i T =< ∑。 证明:易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----, 11223 1 1 131131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评: 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---,然后再求和,即可达到目标。 (2)先放缩通项,然后将其裂成(3)n n ≥项之和,然后再结合其余条件进行二次放缩。 例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-,1n n b a =-,数列{}n b 的前n 和为n S , 2n n n T S S =-; (I )求证:1n n T T +>; (II )求证:当2n ≥时,2n S 711 12n +≥ 。 证明:(I )111 111 1()23 2212 2n n T T n n n n n n +-= +++ -++++++++ 111 21221n n n = +- +++10(21)(22) n n =>++ ∴1n n T T +>. (II ) 112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-+ +-+1221122n n T T T T S --=++ +++ 由(I )可知n T 递增,从而12222n n T T T --≥≥ ≥,又11217 ,1,212T S T ===, 12211222n n n S T T T T S --∴=+++++21171711 (1)(1)112212 n n T T S n +≥-++=-++= 即当2n ≥时,2n S 711 12 n +≥。

不等式的证明分析法与综合法习题

2.3不等式的证明(2)——分析法与综合法习题 知能目标锁定 1.掌握分析法证明不等式的方法与步骤,能够用分析法证明一些复杂的不等式; 2.了解综合法的意义,熟悉综合法证明不等式的步骤与方法; 重点难点透视 1.综合法与分析法证明不等式是重点,分析法是证明不等式的难点. 方法指导 1. 分析法 ⑴分析法是证明不等式的一种常用方法.它的证明思路是:从未知,看需知,逐步靠已知.即”执果索因”. ⑵分析法证明的逻辑关系是:结论A B B B B n ????? 21 (A 已确认). ⑶用分析法证题一定要注意书写格式,并保证步步可逆. ⑷用分析法探求方向,逐步剥离外壳,直至内核.有时分析法与综合法联合使用.当不等式两边有多个根式或多个分式时,常用分析法. 2. 综合法 ⑴综合法的特点是:由因导果.其逻辑关系是:已知条件 B B B B A n ????? 21(结论),后一步是前一步的必要条件. ⑵在用综合法证题时要注意两点:常用分析法去寻找证题思路,找出从何处入手,将不等式变形,使其结构特点明显或转化为容易证明的不等式. 一.夯实双基 1.若a>2,b>2,则ab 与a+b 的大小关系是ab( )a+b A.= B. < C.> D.不能确定 2.0>>a b 设,则下列不等式中正确的是( ) A.0 lg >b a B.a b a b ->- C. a a a a ++< +211 D. 1 1++< a b a b

3.若a,b,c + ∈R ,且a+b+c=1,那么 c b a 111+ + 有最小值( ) A.6 B.9 C.4 D.3 4.设2 6,37,2-=-== c b a ,那么a,b,c 的大小关系是( ) c b a A >>. b c a B >>. c a b C >>. a c b D >>. 5.若x>y>1,则下列4个选项中最小的是( ) A. 2 y x + B. y x xy +2 C.xy D. )11(21y x + 二.循序厚积 6.已知两个变量x,y 满足x+y=4,则使不等式m y x ≥+ 41恒成立的实数m 的取值范 围是________; 7.已知 a,b 为正数,且a+b=1则22+++b a 的最大值为_________; 8.若a,b,c + ∈R ,且a+b+c=1,则c b a ++的最大值是__________; 9.若xy+yz+zx=1,则222z y x ++与1的关系是__________; 10. b a n b a m b a -= - = >>,,0若,则m 与n 的大小关系是______. 三、提升能力 11. a 、b 、c 、d 是不全相等的正数,求证:(a b+cd)(ac+bd)>abcd 12.设x>0,y>0,求证: 2 2 y x y x +≤ + 13.已知a,b + ∈R ,且a+b=1,求证:2 25)1()1(2 2 ≥ + ++ b b a a .

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易.下面几种方法在证明不等式时也经常使用. 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种.这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”,所谓的“正难则反”就是这个道理. 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的. 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.例如要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A>B成立.对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效. 例1 设a、b、c、d均为正数,求证:下列三个不等式:①a+b<c+d; ②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确. 反证法:假设不等式①、②、③都成立,因为a、b、c、d都是正数,所以

不等式①与不等式②相乘,得:(a +b)2<ab +cd ,④ 由不等式③得(a +b)cd <ab(c +d)≤( 2 b a +)2 ·(c +d), ∵a +b >0,∴4cd <(a +b)(c +d), 综合不等式②,得4cd <ab +cd , ∴3cd <ab ,即cd <31 ab . 由不等式④,得(a +b)2<ab +cd < 34ab ,即a 2+b 2<-3 2 ab ,显然矛盾. ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确. 例2 已知a +b +c >0,ab +bc +ca >0,abc >0,求证:a >0,b >0, c >0. 证明:反证法 由abc >0知a ≠0,假设a <0,则bc <0, 又∵a +b +c >0,∴b +c >-a >0,即a(b +c)<0, 从而ab +bc +ca = a(b +c)+bc <0,与已知矛盾. ∴假设不成立,从而a >0, 同理可证b >0,c >0. 例3 若p >0,q >0,p 3+q 3= 2,求证:p +q ≤2. 证明:反证法 假设p +q >2,则(p +q)3>8,即p 3+q 3+3pq (p +q)>8, ∵p 3+q 3= 2,∴pq (p +q)>2. 故pq (p +q)>2 = p 3+q 3= (p +q)( p 2-pq +q 2), 又p >0,q >0 ? p +q >0, ∴pq >p 2-pq +q 2,即(p -q)2 <0,矛盾.

导数大题中不等式的证明题

导数大题中不等式的证明 1.使用前面结论求证(主要) 2.使用常用的不等关系证明,有三种:()ln 1x x +<,sin ,x x 时,比较()f x 与()n g x 的大小,并说明理由; (3)证明:()123222211e 2341n n g n ????????+++++< ? ? ? ? +???????? ≤L (* n ∈N ). 2、已知函数2 901x f x a ax = >+()() . (1)求f x ()在1 2 2[,]上的最大值; (2)若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线,求实数a 的值; (3)当2a =时,设1214122x x x ,?? ∈???? …,,, ,且121414x x x =…+++ , 若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()

恒成立,求实数λ的最小值. 3、已知,ln 2)(),0()(bx x x g a x a x x f +=>- =且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切. (1)若对),1[+∞内的一切实数x ,不等式)()(x g x f ≥恒成立,求实数a 的取值范围; (2)当a=1时,求最大的正整数 k ,使得对Λ71828.2](3,[=e e 是自然对数的底数)内的任意 k 个实数k x x x x ,,,,321Λ都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤++-Λ成立; (3)求证:)12ln(1 4412 +>-∑ =n i i n i )(* ∈N n

不等式的常见证明方法

不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证:.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明:.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评:可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练:设c b a ,,都是正数。求证: .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知,对于任意的n 为正整数,求证: 1+221+321+K +n 21<4 7 分析:通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解:Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1(n ≥2) ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评:放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练:设c b a ,,都是正数,a+b>c,求证:a a +1+b b +1>c c +1

三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++0有不等式x x 11ln - ≥,如果令x=k k 1+,则有111ln +>+k k k ,如果令x=1+k k ,则k k k ->+11ln ,即k k k k 1ln )1ln(11<-+<+,然后叠加不等式即可。 解:设函数x x x x f ln 1)(+-=,则易证0)(≥x f ,即不等式x x 11ln -≥对于x>0恒成立, 令x=k k 1+,则有111ln +>+k k k ,令x=1+k k ,则k k k ->+11ln ,即k k k 11ln <+成立。从而有k k k k 1ln )1ln(11<-+<+。 在不等式k k k 11ln <+中,分别令,3,,2,1n n n k K ++=得到一系列不等式相加为 )13ln()2ln()2ln()1ln(312111++++-+++->+++++n n n n n n n K K 即n n n 312111+++++K >113ln ++n n 2ln 1 22ln =++≥n n 在不等式1 11ln +>+k k k 中,分别令k=n,n+1,K 3n-1,并把所得的不等式相加,得 n n n 312111+++++K <3ln 3ln 3ln )1ln()1ln(ln ==++-++-n n n n n n K 即不等式3ln 3121112ln <+++++

用放缩法证明不等式

用放缩法证明不等式 Company Document number:WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法:放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型: (1)先放缩通项,然后将其裂成某个数列的相邻两项的差,在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+,1,2,3, n =。设2n n n T S =, 1,2,3, n =,证明:1 32 n i i T =< ∑。 证明:易得12(21)(21),3 n n n S +=--11 32311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----, 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ =113113()221212 n +-<-- 点评: 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---,然后再求和,即可达到目标。 (2)先放缩通项,然后将其裂成(3)n n ≥项之和,然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-,1n n b a =-,数列{}n b 的前n 和为 n S ,2n n n T S S =-; (I )求证:1n n T T +>; (II )求证:当2n ≥时,2n S 711 12 n +≥ 。 证明:(I )111111 1()23 2212 2n n T T n n n n n n +-= +++ -+++ +++++ 111 21221n n n = +- +++10(21)(22) n n =>++ ∴1n n T T +>. (II )112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-+ +-+1221122n n T T T T S --=++ +++

不等式证明的基本方法

绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式; 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab ≥0时,等号成立。 几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a 与-b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。 定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立 ,即b落在a,c之间。 推论1

推论2 [不等式证明的基本方法] 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法:欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得,,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证:

反证法证明不等式

反证法证明不等式 教学目标 通过教学,学生掌握和应用反证法证明不等式. 教学重点和难点 反证法的证题格式并能熟练应用. 教学过程 一、 复习提问 前面所讲的几种方法,属于不等式的直接证法。也就是说,直接从题设出发,经过一系列的逻辑推理,证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性,而是证明它的反论题为假,或转而证明它的等价命题为真,以间接地达到目的。其中,反证法是间接证明的一种基本方法。 反证法在于表明:若肯定命题的条件而否定其结论,就会导致矛盾。具体地说,反证法不直接证明命题“若p 则q ”,而是先肯定命题的条件p ,并否定命题的结论q ,然后通过合理的逻辑推理,而得到矛盾,从而断定原来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤: 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论; 第二步 作出与所证不等式相反的假定; 第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步 断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确,于是原证不等式成立。 二、 例题讲解 例1、已知0>>b a ,求证:n n b a >(N n ∈且1>n ) 例1、设233=+b a ,求证.2≤+b a 证明:假设2>+b a ,则有b a ->2,从而 . 2)1(68126, 61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a 因为22)1(62≥+-b ,所以23 3>+b a ,这与题设条件233=+b a 矛盾,所以, 原不 等式2≤+b a 成立。 例2、设二次函数q px x x f ++=2)(,求证:)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于2 1. 证明:假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于 21,则 .2)3()2(2)1(<++f f f (1)