文档视界 最新最全的文档下载
当前位置:文档视界 › 数学分析复习题及答案

数学分析复习题及答案

数学分析复习题及答案
数学分析复习题及答案

数学分析复习题及答案

一.单项选择题

1.已知x e x x f +=3)(,则)0(f '=( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2.设3)2

1(lim -∞

→=+e x kx x ,则=k ( )

A. 6-

B.23

C. 32-

D. 23

-

3.?=dx xe x ( )

A. C e x +

B. C e xe x x +-

C. C e x x +-

D. C e x ++1

4.下列函数在),(∞-∞内单调增加的是( )

A. x y =

B. x y -=

C. 3x y =

D. x y sin =

二、填空题

1.设函数==+dz e z y x 则全微分,2 2..______________23sin lim 0

=→x x

x

3.???????>+=<=0

)

1ln()(00

sin )(x x x k x k x x

x x f 为常数在0=x 处连续,则_________=a 三、判断题

1.若函数f 在区间),(b a 上连续,则f 在),(b a 上一致连续。( )

2.实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。( )

3.设f 为定义在)(0x U ?上的单调有界函数,则右极限)(lim 0

x f x x +→存在。( )

四、名词解释

1.用δε-的语言叙述函数极限的定义

2.用N -ε的语言叙述数列极限的定义

五、计算题

1.根据第四题第1小题证明04

)1(lim 2=--+∞→n n n

n 2.根据第四题第2小题证明5

311lim 22=++→x x x 3.设n

n n x x x x x x x ++=++==+11,,11110010 ,,求证n n x ∞→lim 存在,并求其值。 4.证明:2)(x x f =在[]b a ,上一致连续,但在()+∞∞-,上不一致连续。

5.证明:若)(0x f '存在,则=??--?+→?x

x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 6.证明:若函数)(x f 在0x 连续,则)(x f 与)(2x f 也在0x 连续,问:若在)(x f 或)

(2x f 在I 上连续,那么)(x f 在I 上是否必连续。

一、1.D 2.C 3. B 4.C

二、1. dy e dx e y x y x +++222 2.2

3 3. 1 三、1.× 2.√ 3.√

四、

1. 函数极限定义:设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'?x U 内有定义,A 为定数。 0>?ε,0>?δ,当δ<-<00x x 时,ε<-A x f )(,则A x f x x =→)(lim 0

。 2.数列极限定义:设为数列}{n a ,a 为定数,0>?ε,0>?N ,当N n >时,有ε<-a a n ,则称数列}{n a 收敛于a 。

五、1.证明:ε<-<-?++=-+<--+2

12121414)1(22n n n n n n n n n )2(>n 0>?∴ε,21+??

????=?εN ,当N n >时,ε<--+4)1(2n n n ;得证。 2. 证明:)13()2()

1(5)13)(2(531122+-<++-=-++x x x x x x x

令1)2(<-x ,则31<

∴0>?ε,?

?????=?10,1min εδ,当δ<-<20x 时,ε<-++53112x x 3. 证明:⑴211≤≤+n x ,2111≤++=+n n n x x x ⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而01x x >,由数学归纳法可知,n x 单调增加。 综合⑴,⑵可知n n x ∞

→lim 存在, 设A x n n =∞→lim ,则由),11(lim lim 1n n n n n x x x ++=∞→+∞→ =A A A ++11 解得=A 2

15+(负数舍去) 4. 证明:先证2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。 0>?ε,取)1(++=b a ε

δ,则当∈'''x x ,[]b a ,且有δ<''-'x x 时,有

[]δ?''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()( εε

<+?++≤)(2)1(2b a b a

故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。

但2)(x x f =在()+∞∞-,上不一致连续。

取10=ε,无论0>δ取得多小,由01lim =∞→n

n 知,只要n 充分大, 总可以使n n x 1'+=,n x ='' 的距离δ<=-n

x x 1''', 但0221)1(2)1()''()'(2ε=>+=-+=-n

n n n x f x f 故2)(x x f =在()+∞∞-,上不一致连续。

5.证明:若)(0x f '存在,则=??--?+→?x

x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 证明:由导数的定义, 有)(0x f 'x

x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000 ⑴ 而0→?x 等价于0→?-x ,故)(0x f 'x

x f x x f x ?--?-=→?-)()(lim 000 ⑵ ⑴和⑵相比,得)(20x f 'x

x f x x f x f x x f x ?-?---?+=→?))()(())()((lim 00000 x

x x f x x f x ??--?+=→?)()(lim 000 6. 证明:因为)(x f 在0x 连续,所以)()(lim 00x f x f x x =→,

则 0>?ε,0>?δ,当δ<-<00x x 时,ε<-)()(0x f x f

则有 ε<-≤-)()()()(00x f x f x f x f ,所以)()(lim 00x f x f x x =→即)(x f 在点0x 连续。

又因为 =-)()(022x f x f )()()()(00x f x f x f x f -+ 且)(x f 在0x 连续,.0,0,0>>>?δN M 当δ<-0x x 时,M f N x f ≤≤)0(,)(0 0>?ε,},min{1δδδ'=取,则当10δ<-x x 时, 有

=-)()(022x f x f )()()()()(00N M x f x f x f x f +<-+ε 因此)()(l i m 0220x f x f x x =→

所以)(2x f 在点0x 连续。 若)(x f 在I 上某点0x 的值0)()(00≠-=x f x f ,则0x 是)(x f 的可去间断点,从而I 上未必连续

数学分析试卷及答案6套

数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.

数学分析期末考试题

数学分析期末考试题 一、单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分, 共20分) 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是( ) A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数,且在[-a,a ]上可积,则( ) A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中,收敛的积分是( ) A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的( ) A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是( ) A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛, ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散, ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散, ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散, ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ,b ]收敛于a (x ),且a n (x )可导,则( ) A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a (x )可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛,则a (x )必连续 7、下列命题正确的是( )

大一下学期 数学分析 第四套复习题

《数学分析》期末考试复习题(第四套) 班级 学 号 姓 名 一.( 满分 2 0 分,每小题 2 分)判断题: 1. 设ξ是数集E 的聚点 . 则存在0 >δ,使在) , (δξδξ+-外仅有数集E 的 有限个点. ( ) 2. 单调有界数列必为基本列 . ( ) 3. 闭区间] , [b a 上仅有一个间断点的函数必( R )可积 . ( ) 4. 当无穷积分 ? +∞ a dx x f )(和 ?+∞ a dx x g )(都收敛时,积分 ? +∞ a dx x g x f )()(必收敛 () 5. 若级数∑ +α 11n 收敛 , 则必有0>α. ( ) 6. 设0>n u 且) ( , 0∞→→n u n . 则级数∑+-n n u 1) 1 (必收敛 . ( ) 7. 设在区间I 上对n ?有)( |)(|x v x u n n ≤. 若级数∑)(x v n 在区间I 上 一致收 敛 , 则级数∑)(x u n 也在区间I 上 一致收敛 . ( ) 8. 设在区间I 上函数列)}({x f n 收敛于函数)(x f .若存在数列?} {n x I , 使 0|)()(|→/-n n n x f x f ,则函数列)}({x f n 在区间I 上非一致收敛 . ( ) 9. 设函数)(x f 在区间)0 ( ) , (>-R R R 内有任意阶导数 , 且其Maclaurin 级数 ∑ ∞ =0 ) (! ) 0(n n n x n f 在 ) , (R R -内收敛 . 则在 ) , (R R -内有= )(x f ∑ ∞ =0 ) (! ) 0(n n n x n f .() 二. ( 满分 1 0 分,每小题 2 分)填空题: 10. ()?-=+-+-1 1 52212sin ||dx x x x x x x . 11. = +? →3 2 )1ln(lim x dt t x x .

数学分析(1)复习题

数学分析(1)复习题(一) 一、按要求写出下列定义的数学描述(4?/5=20/) 1、A x f x ≠+∞ →)(lim 的X -ε正面描述为 2、由Cauchy 收敛准则,若数列{}n x 收敛,则 3、η为非空数集S 的下确界即 4、a 为无限集合S 的聚点即 5、区间套[]{}n n b a ,的定义为 二、计算题(8?/6=48/) 1、求2 1 0)sin (lim x x x x →. 2、求)sin 2 sin 1(sin lim 2 2 2 n n n n n +???++++∞ →π π π . 3、确定x x x f sin )(=的间断点并判断其类型. 4、设x x x x f x x sin )(sin +=,求)(x f '. 5、x y 3sin =,求)(n y . 6、求x e x x f 2)(=带有Lagrange 余项的n 阶Maclaurin 展式. 7、设)7ln 12(4-=x x y ,试确定其凹凸区间及拐点. 8、确定,,b a 使函数???≥++<+=0,10,2)(2x bx x x a e x f x 在0=x 处连续. 三、证明题(4?/8=32/) 1、用δε-定义证明.10 3 1lim 2 3 =+→x x x 2、设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,证明至少存在(),,b a ∈ξ使得下式成 立: .ln )()()(a b f a f b f ξξ'=- 3、证明:若f 在[]b a ,上连续,)(lim x f x +∞ →存在且有限,则f 在[)+∞,a 上一致连续.

4、设f 在()+∞,a 内可微并且,0)(lim ='+∞ →x f x 证明0) (lim =+∞ →x x f x . 数学分析(1)复习题(二) 一、单项选择题(5?/3=15/) 1、=∞→n n n 2lim ( ) A.0;B 、2 1;C 、1;D 、2. 2、设函数是n 次多项式,则=+)()1(x f n ( ) A 、n ;B 、n+1;C 、0;D 、1. 3、如果当0→x 时,)(x f 是x 的高价无穷小量,则=→x x f x sin ) (lim 0 ( ). A. 2 1 ; B 、0; C 、2; D 、1. 4、设f 在x 的某邻域内有有定义,则下列命题哪一个为假?( ) A.f 在点x 可微,则f 在点x 连续; B 、f 在点x 不连续,则f 在点x 一定不可导; C 、f 在点x 连续,则f 在点x 可微; D 、f 在点x 可导当且仅当f 在点x 可微. 5、函数2)(x x f =与x x g =)(定义在[)∞,0上,它们在定义区间上是一致连续的 吗?( ) A.两个都是一致连续的; B 、两个都不是一致连续的; C 、f 是一致连续的,g 不是一致连续的; D 、f 不是一致连续的,g 是一致连续的. 二、填空题(5?/3=15/) 1、如果要使函数x x x f 1 sin )(=在点0=x 连续,需重新定义=)0(f 2、设1)(0='x f ,则=--+→h h x f h x f h ) ()(lim 000 3、函数???≤>+=,1,, 1,)(2x x x b ax x f 在1=x 处可导,则=+2013b a 4、设)(x y y =由方程e xy e y =+确定,则=')0(y 5、设???-=-=t y t t x cos 1sin ,则 == 2 π t dx dy

数学分析专题研究试题及参考答案

数学分析专题研究试题及参考答案 一、填空题(每小题3分,共18分) 1.集合X 中的关系R 同时为反身的,对称的,传递的,则该关系R 为 . 2.设E 是非空数集,若存在实数β,满足1)E x ∈?,有β≥x ;2) ,则称β是数集E 的下确界。 3.函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义,若 存在,则称函数)(x f 在点 0x 可导。 4.若)(x f y =是对数函数,则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5.若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+,则函数)(x f 是 函数。 6.设函数)(x f 定义在区间),(b a 上,对于任意的),(,21b a x x ∈,)1,0(∈?α,有 成 立,则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题(每小题3分,共18分) 1.设f :Y X →,X A ??,则A ( )))((1 A f f - A. = B. ≠ C. ? D. ? 2.已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导,),(b a x ∈?,有1)(0<)(x ?' D. 前三个结论都不对 4.已知???∈∈=]2,1(2]1,0[1)(t t t f ,对于]2,0[∈x ,定义?=x t t f x F 0d )()(,则)(x F 在区 间[0,2]上( )。 A. 连续 B. 不连续 C. 可导 D. 前三个结论都不对 5.已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数,则( )。

13数学分析期末复习题02

重积分复习题 一、计算题 1.设f 在(-∞,+∞)上连续,化重积分I= ??≤≤+1 ||||22)( x y dxdy y x f 为定积分。 2. 计算???Ω -++dxdydz z y x |1|222,其中Ω是由z=22y x +与z=1所围成的立体。 3. 求I=? ? ++-AnB x x dy x y e dx y e x )3sin ()cos (2 ,其中? AnB 是由A(0,2)沿右半圆周到B(0,0)的路径。 4. 求I=??++S dS z y x )(,S :x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0)。 5.求曲线积分?=+--+2 22 22 )2sin 2(cos ) (R y x y x xydy xydx e ,其中闭曲线取正向。 6. 计算??+ S xyzdxdy ,其中S + 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧,在x ≥0,y ≥0的部分。 7. ??∑ ++dxdy z dzdx y dydz x 222,其中∑是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧。 8. 化以下第二型曲线积分为定积分(不计算定积分):I=? +C xydy dx y 2 ,C 为曲线:14 )2(9)1(2 2=-+-y x 上从点(1,4)到(4,2)的一段。 9. 计算??++S dxdy z dxdz y dydz x 333,其中S 为球x 2+y 2+z 2=a 2的外表面。 10. 试用格林公式计算I=?-++C y dy ye x dx x xy )()sin 3(2之值,其中C 是曲线y=x 2-2x 上以O(0,0)为始点,A(4,8) 为终点的曲线段。 11. 求????? ? ??+-D dxdy y x y x cos ,D 是由x+y=1,x 轴及y 轴围成的平面区域。 12.求由曲面z=22y x +,x 2-2x+y 2=0及平面z=0围成的立体之体积。 13. 2 ) ()2(y x ydy dx y x +++是否为某个函数u 的全微分?若是求u(x,y)。 14. 计算:??+-D dxdy y x y x )cos()(,其中D 由0≤x-y ≤ 2π,0≤x+y ≤2 π 所围成。 15. 计算??∑ +++++dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([,其中f(x,y,z)为连续函数,∑为平面 x-y+z=1在第四卦限部分的上侧。 16. 计算二重积分??D ydxdy x 2,其中D 为由y 2=x ,y=x+2,x=0及x=2所围成的平面区域。 17. 求积分值I=?+L ds y n y x n x )],cos(),cos([ ,其中L 为包围有界区域D 的闭曲线,n 为L 的外法线方向。 18.求曲线积分?=+--+2 22 22 )2sin 2(cos ) (R y x y x xydy xydx e ,其中闭曲线取正向。 19. 求:I=???++V dv z y x )(222,其中V :x 2+y 2+z 2≤2z 。 z

数学分析大一上学期考试试题 B

数学分析第一学期期末考试试卷(B 卷) 一、叙述题(每题5分,共10分) 1.上确界; 2.区间套的定义。 二、填空题(每题4分,共20分)1.函数|3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是. 2.定义在]1,0[区间上的黎曼函数的连续点为. 3.)1ln()(2 x x f +=,已知5 6)2()(lim 000=--→h h x f x f h ,=0x .4.正弦函数x y sin =在其定于内的拐点为.5.点集}1)1({n S n +-=的所有聚点为.三、计算题(每题4分,共28分)(1)求]1 21 11[lim 222n n n n n ++++++∞→ ;(2)求30sin tan lim x x x x -→;(3)求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→;(4)求2210)21(e lim x x x x +-→;(5)求)1ln(2x x y ++=的一阶导; (6)求3)(sin )(+=x x x f 的一阶导; (7)求???==; cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。四、讨论题(共12分)1.极限x x 1sin lim 0 →是否存在,说明原因。2.设000)()(=≠?????-=-x x x e x g x f x ,其中)(x g 具有二阶连续导数,且

1)0(,1)0(-='=g g .求)(x f '并讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 五、证明题(共30分)1.证明.x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续. 2.设f 在],[b a 上连续,],[,,,21b a x x x n ∈ ,另一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明:存在一点],[b a ∈ξ,使得 )()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++= . 3.设函数)(x f 在[]b a ,上连续,在),(b a 内可导,且0>?b a .证明存在),(b a ∈ξ,使得)()()()(1 ξξξf f b f a f b a b a '-=-.

数学分析(I)复习题

数学分析(I )复习题 一、确界原理 1.叙述函数)(x f 在0x 点局部无界的定义. 2.叙述函数)(x f 在数集D 上有上确界A 的定义. 3. 证明函数2 ()1x f x x =+在(,)-∞+∞上有界. 4. 证明函数2 1()f x x = 在(0,1)上无界. 5. 设x x S |{=为区间)1,0(中的无理数}.试按上、下确界的定义验证: .0inf ,1sup ==S S 6. 设g f ,为定义在D 上的有界函数,满足D x x g x f ∈≤),()(,证明: )(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤. 7. 设g f ,为定义在D 上的有界函数,证明: {})(sup )(sup )()(sup )(inf )(sup x g x f x g x f x g x f D x D x D x D x D x ∈∈∈∈∈+≤+≤+. 8. 设数集S 为非空有下界数集.证明:inf min S S S ξξ=∈?=. 9. 设非空数集S 有上界,sup S η=.证明: 1)存在数列{}n a S ?,使lim n n a η→∞ =. 2)若S η?,则存在严格递增的数列{}n a S ?,使lim n n a η→∞ =. 二、极限与连续 1. 用“δε-”语言叙述A x f a x ≠→)(lim 的定义. 2. 叙述lim ()x f x →+∞ =-∞的严格定义.

3.叙述lim ()x a f x - →不是无穷大的严格定义. 4. 叙述极限lim ()x f x →-∞ 存在的归结原则. 5. 叙述极限lim ()x a f x - →存在的柯西准则. 6. 按照函数极限的柯西准则,写出极限lim ()x f x →∞ 不存在的充要条件. 7. 设a x g x =+∞ →)(lim (a 为有限数),)(x f 在点a 连续,证明: )()]([lim a f x g f x =+∞ → 8. 用N ε-语言证明 (1)12lim lim n n n n a a a a a a n →∞ →∞ +++=?= ; (2 )0,lim lim n n n n a a a a →∞ →>=?=. 9. 设f 为0()U x + 上递增有界函数,证明)0(0+x f 存在,且 )(inf )0() (000 x f x f x U x +∈= + 10. 设3 3 1112 n a n =+ ++ ,证明{}n a 收敛. 11. 求下列极限. (1) 0 2 lim arcsin x x →-; (2) 0 lim ln sin x x x + →; (3) cot 0 lim (sin cos ) x x x x →+; (4) tan 0 1 lim () x x x + →; (5) 2 1cot lim x x x x →?? - ??? ; (6) 0 1lim x x e x →--. 12. 指出下列函数的间断点及其类型.

数学分析试题及答案解析

2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号(后两位)姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积,则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上() A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等,则() A.()x f 在[]b a ,上一定不可积;

B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ; C.()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ; D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性(每小题5分,共15分) 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113

2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性(每小题5分,共10分) 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八.

2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号(后两位)姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解:令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分

数学分析1-期末考试试卷(A卷)

数学分析1 期末考试试卷(A 卷) 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分) 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x , 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ,则函数的第一类间断点是 ,第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=,则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数,且dt t f x x f )(2)(1 0?+=,则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分) 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ,则下列断言正确的是( )。 (A )若n x 发散,则n y 必发散。 (B )若n x 无界,则n y 必无界。 (C )若n x 有界,则n y 必为无穷小。 (D )若n x 1 为无穷小,则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(,则)0(f '为( )。 (A ) 1。 (B )不存在。 (C ) 0。 (D ) -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(,-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ,则 )(x f 在),0(+∞内有( )。 (A )0)(,0)(<''>'x f x f 。 (B )0)(,0)(>''>'x f x f 。

(C )0)(,0)(<''<'x f x f 。 (D )0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数,且? -=dt t f x F x e x )()(,则)(x F '等于( ) 。 (A )() )(x f e f e x x ----。 (B )() )(x f e f e x x +---。 (C ) () )(x f e f e x x --- 。 (D )() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值,则( )。 (A ))3(,1πf a =是极小值。 (B ))3 (,1π f a =是极大值。 (C ))3(,2πf a =是极小值。 (D ))3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题(本题共7个小题,每小题6分,满分42分) 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ,求 b a 、。

第一章复习题解答(数学分析)

第一章复习题 一.填空 1、数集,...}2,1:)1({=-n n n 的上确界为 1 ,下确界为 -1 。 2、 =∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 3、)(lim 2 n n n n -+∞ → = _______ 1 2 ________。 4、设数列}{n a 递增且 a a n n =∞ →lim (有限). 则有a = {}sup n a . 5. 设,2 12,21221 2n n n n n n x x +=-=- 则 =∞→n n x lim 1 二. 选择题 1、设)(x f 为实数集R 上单调增函数,)(x g 为R 上单调减函数,则函数 ))((x g f 在R 上( B )。 A、是单调递增函数; B、是单调递减函数; C、既非单调增函数,也非单调减函数 ; D、其单调性无法确定. 2、在数列极限的“δε-”极限定义中,ε与δ的关系是( B ) A 、 先给定ε后唯一确定δ; B 、 先给定ε后确定δ,但δ的值不唯一; C 、 先给定δ后确定ε; D 、 δ与ε无关. 3、设数列{}(0,1,2,...)n n a a n ≠=收敛,则下列数列收敛的是( D ) A 、}1 { 2n a ; B 、}1{a n ; C 、 }1{a n ; D 、}{n a . 4. 若数列}{n x 有极限a ,则在a 的ε邻域之外,数列中的点( B ) (A) 必不存在; (B) 至多只有有限多个; (C) 必定有无穷多个; (D) 可能有有限多个,也可能有无穷多个. 5.设a x n n =∞ →||lim ,则 ( D ) (A) 数列}{n x 收敛; (B) a x n n =∞ →lim ; (C) a x n n -=∞ →lim ; (D) 数列}{n x 可能收敛,也可能发散。 6. 设}{n x 是无界数列,则 ( D ) (A) ∞=∞ →n n x lim ; (B) +∞=∞ →n n x lim ;

数学分析试题及答案解析

2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院 班级 学号(后两位) 姓名 一. 判断题(每小题3分,共21分)(正确者后面括号内打对勾,否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续,则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为 ()C dt t f x a +?( ). 2.若()()x g x f ,为连续函数,则()()()[]()[]????=dx x g dx x f dx x g x f ( ). 3. 若()? +∞ a dx x f 绝对收敛,()?+∞ a dx x g 条件收敛,则()()?+∞-a dx x g x f ][必 然条件收敛( ). 4. 若()? +∞ 1 dx x f 收敛,则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛( ) 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛( ). 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛,则一定可以经过适当的重排使其发散于 正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同( ).

二. 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.若()x f 在[]b a ,上可积,则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ) A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等,则( ) A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积; B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ; C. ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ; D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑ ∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数,则下列说法正确的是( ) A.若0lim =∞ →n n u ,则级数∑ n u 一定收敛; B. 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛; C. 若1,1<>?+n n u u N n N ,时有当,则级数∑n u 一定收敛;

数学分析3期末测试卷

2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》(三) 一、单项选择(将正确答案的序号填在括号内,每题2分,共20分) 1. 下列数项级数中收敛的是 ( ) A. 211 n n ∞ =∑; B. 2 1n n n ∞ =+∑; C. 1 1 n n ∞ =∑; D. 0 1 23n n n ∞ =++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是 ( ) A. 1(1)n n n ∞ =-∑ B. 1n n n ∞=1n n n n ∞= D. 1 sin n n n ∞ =∑ 3.函数项级数1n n x n ∞ =∑的收敛域是 ( ) A. (1,1)- B. (1,1]- C. [1,1)- D. [1,1]- 4.幂级数0 21n n n x n ∞ =+∑的收敛半径是 ( ) . A B C D 1 .2 .1 .02 5. 下列各区域中,是开区域的是 ( ) 2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥ 6.点集11{,|}E n N n n ?? =∈ ??? 的聚点是 ( ) A. ){0,0} B.()0,0 C. 0,0 D.{}{}0,0 7.点函数()f P 在0P 连续,是()f P 在0P 存在偏导数 ( ) A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微,则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =,则 z x ??等于 ( ) A. ()()u x v y x y ???? B. ()()du x v y dx y ?? C. () ()du x v y dx D. ()()u x v y x y ??+?? 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数. 二、填空题(将正确答案填在横线上,每题2分,共20分) 11. 若数项级数1 1n p n n ∞ =-∑() 绝对收敛,则p 的取值范围是 ; 12. 幂级数0(1)n n n x ∞ =+∑的和函数是 ; 13.幂级数2 01 (1)n n x n ∞ =-∑ 的收敛域是 . ; 14.平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______; 15.函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16.曲面221z x y =+-在点(2,1,4)的切平面是 ______________________ 17.函数y z x =,则 z y ?=? ______________________; 18.函数u xyz =在(1,1,1)沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ= 的方向导数是 ___________; 19.设cos sin x r y r ? ?=??=?,则 x x r y y r ?? ????=???? ; 20.若22arctan y x y x +=,则dy dx =______________________。 三、判断题(请在你认为正确的题后的括号内打“√”,错误的打“×”,每题 1分,共10 题号 一 二 三 四 五 总分 复核人 分值 20 20 10 32 18 100 得分 评卷人 得分 得分 得分

数学分析复习题及答案

数学分析复习题及答案 一.单项选择题 1.已知x e x x f +=3)(,则)0(f '=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.设3)2 1(lim -∞ →=+e x kx x ,则=k ( ) A. 6- B.23 C. 32- D. 23 - 3.?=dx xe x ( ) A. C e x + B. C e xe x x +- C. C e x x +- D. C e x ++1 4.下列函数在),(∞-∞内单调增加的是( ) A. x y = B. x y -= C. 3x y = D. x y sin = 二、填空题 1.设函数==+dz e z y x 则全微分,2 2..______________23sin lim 0 =→x x x 3.???????>+=<=0 ) 1ln()(00 sin )(x x x k x k x x x x f 为常数在0=x 处连续,则_________=a 三、判断题 1.若函数f 在区间),(b a 上连续,则f 在),(b a 上一致连续。( ) 2.实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。( ) 3.设f 为定义在)(0x U ?上的单调有界函数,则右极限)(lim 0 x f x x +→存在。( ) 四、名词解释 1.用δε-的语言叙述函数极限的定义 2.用N -ε的语言叙述数列极限的定义

五、计算题 1.根据第四题第1小题证明04 )1(lim 2=--+∞→n n n n 2.根据第四题第2小题证明5 311lim 22=++→x x x 3.设n n n x x x x x x x ++=++==+11,,11110010 ,,求证n n x ∞→lim 存在,并求其值。 4.证明:2)(x x f =在[]b a ,上一致连续,但在()+∞∞-,上不一致连续。 5.证明:若)(0x f '存在,则=??--?+→?x x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 6.证明:若函数)(x f 在0x 连续,则)(x f 与)(2x f 也在0x 连续,问:若在)(x f 或) (2x f 在I 上连续,那么)(x f 在I 上是否必连续。 一、1.D 2.C 3. B 4.C 二、1. dy e dx e y x y x +++222 2.2 3 3. 1 三、1.× 2.√ 3.√ 四、 1. 函数极限定义:设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'?x U 内有定义,A 为定数。 0>?ε,0>?δ,当δ<-<00x x 时,ε<-A x f )(,则A x f x x =→)(lim 0 。 2.数列极限定义:设为数列}{n a ,a 为定数,0>?ε,0>?N ,当N n >时,有ε<-a a n ,则称数列}{n a 收敛于a 。 五、1.证明:ε<-<-?++=-+<--+2 12121414)1(22n n n n n n n n n )2(>n 0>?∴ε,21+?? ????=?εN ,当N n >时,ε<--+4)1(2n n n ;得证。 2. 证明:)13()2() 1(5)13)(2(531122+-<++-=-++x x x x x x x

数学分析期末考试题

数学分析期末考试题 一、叙述题:(每小题5分,共10分) 1、 叙述反常积分 a dx x f b a ,)(? 为奇点收敛的cauchy 收敛原理 2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题:(每小题8分,共40分) 1、)21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ 2、求摆线]2,0[)cos 1() sin (π∈? ??-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积 3、求?∞+∞-++dx x x cpv 211) ( 4、求幂级数∑∞ =-12 )1(n n n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y x xy f u =, 求y x u ???2 三、讨论与验证题:(每小题10分,共30分) 1、y x y x y x f +-=2 ),(,求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→;),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在?为 什么? 2、讨论反常积分 ? ∞ +0 arctan dx x x p 的敛散性。 3、讨论∑∞ =-+1 33))1(2(n n n n n 的敛散性。 四、证明题:(每小题10分,共20分) 1、 设f (x )在[a ,b ]连续,0)(≥x f 但不恒为0,证明0)(>? b a dx x f 2、 设函数u 和v 可微,证明grad (uv )=ugradv +vgradu

参考答案 一、1、,0.0>?>?δε使得δδδ<<?>?δε使得 D x x x x ∈<-?2,121,δ,成立ε<-)()(21x f x f 二、1、由于 x +11 在[0,1]可积,由定积分的定义知(2分) )21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ=2ln 11)11211111( 1lim 10=+=+++++?∞→dx x n n n n n n Λ(6分) 2、 、所求的面积为:220 23)cos 1(a dx x a ππ =-? (8分) 3、 解:π=++=++??-+∞→∞ +∞-A A A dx x x dx x x cpv 2 211lim 11) ( (3分) 4、解:11 lim 2=∞ →n n x ,r=1(4分) 由于x =0,x =2时,级数均收敛,所以收敛域为[0,2](4分) 5、解: y u ??=221y x f x f -(3分)3 22112212y x f xy f y f f y x u -++=???(5分) 三、1、解、 0lim lim lim ,1lim lim lim 2 02000200==+-==+-→→→→→→y y y x y x x x y x y x y x y x y x (5分)由于沿kx y =趋于(0,0)极限为k +11 所以重极限不存在(5分) 2、解:???∞+∞++=1100arctan arctan arctan dx x x dx x x dx x x p p p (2分),对?10arctan dx x x p ,由于 )0(1arctan 1+→→-x x x x p p 故p <2时?10arctan dx x x p 收敛(4分);?∞+1arctan dx x x p ,由于)(2arctan +∞→→x x x x p p π (4分)故p >1?∞+1arctan dx x x p 收敛,综上所述1

上海财经大学 数学分析 测试题 (大一)

《数学分析》考试题 一、(满分10分,每小题2分)单项选择题: 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列,且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c , ( ) A. {n a }和{n b }都收敛时,{n c }收敛; B. {n a }和{n b }都发散时,{n c }发散; C. {n a }和{n b }都有界时,{n c }有界; D. {n b }有界时,{n a }和{n c }都有界; 2、=)(x f ??? ????>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数) 函数 )(x f 在 点00=x 必 ( ) A.左连续; B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、''f (0x )在点00=x 必 ( ) A. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 02020 ; B. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; C. '000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0'0'0 ; 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续,在开区间(b a ,)内可微,但≠)(a f )(b f 。则 ( ) A. ∈?ξ(b a ,),使0)('=ξf ; B. ∈?ξ(b a ,),使0)('≠ξf ; C. ∈?x (b a ,),使0)('≠x f ; D.当)(b f >)(a f 时,对∈?x (b a ,),有)('x f >0 ; 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(, ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有 ( ) A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ; B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ; C. ?+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ;

《数学分析(上)》复习题

《数学分析(上)》复习题 一、 单项选择题: 1、x x x y arccos 21 )1ln(++++=的定义域为: ( ) A :),1(+∞- B :]1,1(- C:)1,1(- D:),1(+∞ 2、函数ln(1)1y x =+-的反函数是( ) A :11x y e +=+ B :11x y e +=- C :1x y e =- D :1x y e =+ 3、设? ??+=,2,)(2a x e x f x 00≥

相关文档