卧龙光线行测笔记-数学运算篇
卧龙光线行测笔记-数学运算篇
第一章基础篇
数字特性法：指不直接求得最终结果，而只需要考虑最终计算结果的某种“数字特性”，从而达到排除错误选项的方法。
数字特性分类：大小特性、奇偶特性、尾数特性、余数特性、因子特性、整除特性、幂次特性等
（一）奇偶运算基本法则
【基础】奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数
偶数±奇数=奇数奇数±偶数=奇数
【推论】
1、任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。
2、任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同
例题：某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？
A.33
B.39
C.17
D.16
【答案】D
【解析】答对的题目加答错的题目，一共是50道，是偶数，根据推论1，所以它们的差也是偶数，只有D是偶数，选D。
（二）尾数法
在运用尾数法解题之前，我们必须要知道自然数N次方尾数变化规律：
0的N次方尾数始终是0；
1的N次方尾数始终是1；
2的N次方尾数以“2，4，8，6”循环变化，循环周期为4；
3的N次方尾数以“3，9，7，1”循环变化，循环周期为4；
4的N次方尾数以“4，6”循环变化，循环周期为2；
5的N次方尾数始终是5；
6的N次方尾数始终是6；
7的N次方尾数以“7，9，3，1”循环变化，循环周期为4；
8的N次方尾数以“8，4，2，6”循环变化，循环周期为4；
9的N次方尾数以“9，1”循环变化，循环周期为2。
例题：72007的个位数加上32007的个位数的和是:
A．5 B.8 C. 10 D.13
【答案】C
【解析】7的N次方尾数以“7，9，3，1”循环变化，循环周期为4，2007除以4，余数是3，所以是第三个数，即72007的个位数是3，同理，3的N次方尾数以“3，9，7，1”循环变化，循环周期为4，32007的个位数是7,3+7=10，个位数和为10。
（三）阿三神算
“阿三神算”就是印度乘法口诀，其中除了我们所熟知的9以内的乘法之外，还衍伸到了19以内，即所谓19×19乘法表。具体乘法过程如下：
如： 13 × 12 ＝？
（被乘数）（乘数）
阿三是这样算的：
第一步：先把（13）跟乘数的个位数（2）加起来，13＋2＝15；
第二步后把第一步的答案乘以10； (→也就是说后面加个0)
第三步：再把被乘数的个位数（3）乘以乘数的个位数（2），2×3＝6
第四步：把两个结果加起来，150+6=156
所以13×12=（13+2）×10+（3×2）=156
运用阿三神算，19以内的乘法就变得很简单了，（so easy！妈妈再也不用担心我的乘法了）
（四）因子特性
因子：可以整除的数是被除数的因子，如1,2,3,4,6,12都能整除12，都叫做12的因子，当因子是质数时，叫做质因子，2,3是12的质因子，一般多用到质因子。
因子特性：即利用式子中是否包含某些特定因子（如质因子）来进行答案的排除及选择的一种方法，其应用的核心在于“见到乘法想因子”。包含两种
情况：
1、若等式一边包含某个因子，则等式另一边必然包括该因子。
2、若等式一边不包含某个因子，则等式另一边也必然不包括该因子。
例如：a=3b，等式右边含有因子3，所以等式的左边必然含有因子3，即a 一定能被3整除；ab=5×34，等式的右边不含有因子3，所以等式的左边也必然不含有3的因子，也就是说，a和b都不是3的倍数，都不能被3整除。
乘法公式：
乘法分配率：（a+b）c=ac+bc；
乘法结合率：ac+bc=（a+b）c；
例题：五个一位正整数之和为30，其中两个数为1和8，而这五个数的乘积为2520，则其余三个数为( )
A.6，6，9
B.4，6，9
C.5，7，9
D.5，8，8
【答案】C
【解析】假设另外三个数为abc，则1×8×abc=2520，等式右边2520含有因子5和因子3，所以等式的左边必然有因子5和因子3，由含有5排除AB，9里含有因子3，所以选择C。
2：甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙合修6天修好公路的1/3，乙、丙合修2天修好余下的1/4，剩余的三人又修了5天才完成。共得收入1800元，如果按工作量计酬，则乙可获得收入（）
A.330元
B.910元
C.560元
D.980元
【答案】B
【解析】求乙获得的收入，可以先找出乙修的天数，乙一共修了6+2+5=13天，所以乙的收入为13乘以每天的钱，由此可知乙的收入一定是13的倍数，看四个选项，只有B能被13整除，所以答案是B。
（五）公约数和公倍数
分解质因数：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程。分解质因数只针对合数，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，分解质因数的算式的叫短除法。
公约数：亦称“公因数”，它是几个整数同时均能整除的整数。如果一个
整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；公约数中最大的称为最大公约数
公倍数：指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。这些公倍数中最小的，就称为这些整数的最小公倍数运用短除法求最大公约数和最小公倍数，求最大公因数遍乘一边，求最小公倍数遍乘一圈。
（六）倍数关系
A扩大两倍，是A ×2=2A；
A增加两倍，是A+2A=3A；
A是B的1/5，A=1/5B或5A=B；
A的1/5是B，1/5A=B或A=5B;
A比B多1/5，A=B+1/5B=6/5B；
A是B、C和的1/3，则A=1/4（A+B+C)
例题：A比B多1/5，则B比A少多少？
【解析】假设B为5，则A为6，所以B比A少1/6
（七）整除特性
能被2整除：个位上的数能被2整除，那么这个数能被2整除（偶数都能被2整除）
能被3整除：各个数位上的数字和，能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除：末两位能被4整除，那么这个数能被4整除
能被5整除：个位上的数能被5整除（即个位为0或5），那么这个数能被5整除
能被6整除：如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除
能被7整除：末三法：这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7整除，这个数就能被7整除。一般末三法跟割尾法结合使用割尾法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；
又例如，判断233856是否7的倍数的过程如下：233856末三位是856,856与前面的233差856-233=623，然后运用割尾法，623去掉尾数3还余62，减去尾数的2倍，62-3×2=56,56是7的倍数，所以233856也是7的倍数。
能被8整除：末三位能被8整除，那么这个数能被8整除
能被9整除：各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）
能被11整除：“奇偶位差法”奇数位（从末位往前数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。例如：2717，奇数位上有7与7，它们的和14，偶数位是是1与2，它们的和是3，二者的差是11，11是11的倍数，所以2717能被11整除（0也是11的倍数）。
能被12整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除
能被13整除：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
能被17整除：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
能被19整除：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除
能被25整除：十位和个位所组成的两位数能被25整除。
能被125整除：百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。
可以把能被7,13,17,19整除的特性放在一起记，这几个数都用的是割尾法，对应的倍数分别是-2，+4，-5，+2，谐音（爱死我了）
整除性质：
1.整除的传递性
如果数a能被b整除，数b能被c整除，则数a能被c整除。
2.整除的可加减性
如果数a能被c整除，数b能被c整除，则a＋b、a－b均能被c整除。
（八）余数特性
定理一：如果a ,b分别除以余数相同，就称a和b对于除数c是同余的，且a和b的差能被c整除，例如7除以5余2,32除以5也余2,32与7的差25，就能被5整除
定理二：a与b的和除以c的余数，等于a和b分别除以c的余数之和；例如，18除以7余4,22除以7,余1，则18与22的和40除以7的余数为5=4+1；
定理三：a与b的积除以c的余数，等于a和b分别除以c的余数之积；例如23除以3余2,4除以3余1，则23×4=92，除以3余2=2×1 一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；
一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数；
一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。
一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数
（九）等差与等比
等差数列：是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的
前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
等差公式：
等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d
推论：an=am+(n-m)d 如：a11=a4+7d （m、 n均属于正整数）
公差d=(an-a1)÷（n-1）
项数=（末项-首项）÷公差+1
前n项和公式为：Sn=n(a1+an)/2或 Sn=a1n+n（n-1）d/2
等差数列基本性质：
1.数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S =An2 +Bn 的形式(其中A、B为常数)．
2.在等差数列中，当项数为2n (n∈ N+)时，S偶－S奇 = nd；
当项数为(2n－1）(n∈ N+)时，S奇—S偶=an（中）
3.记等差数列的前n项和为S,①若a >0，公差d<0，S有最大值；
②若a <0 ，公差d>0，S有最小值．
4. an+ am =ak+aj (n+m=k+j)
5. 数列为奇数项时，前n项的和=中间项×项数
等比数列：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)且等比数列a1≠ 0。当q=1时，an为常数列。
等比公式：
（1）通项公式：an=a1×q(n-1)
（2）求和公式：sn=n×a1(q=1)
sn=a1×（1-qn)/(1-q)(q≠1）
求和公式用文字来描述就是：S=（末项×公比-首项）÷（公比-1）
若m、n、p、q都是正整数，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq
（九）阶乘，幂
正整数阶乘：指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数。例如所要
求的数是4，则阶乘式是1×2×3×4，得到的积是24，24就是4的阶乘。注意：0的阶乘是存在的，0！=1
1！=1， 2！=2， 3！=6， 4！=24， 5！=120， 6！=720，
幂：通俗的说就是我们通常所说的多少次方，比如平方叫二次幂，立方叫三次幂
下表要求记住：
第二章模块篇
数字计算
【知识普及】江苏省公务员行测考试数学运算中的数字计算基本分为纯数字计算、化简、特殊符号计算以及等差、等比公式运用等几种，其中化简类考查较多。
1、尾数法
掌握自然数N次方尾数变化规律：（参考基础）
例1:72007的个位数加上32007的个位数的和是:
A．5 B.8 C. 10 D.13 【答案】C
【解析】7的N次方尾数以“7，9，3，1”循环变化，循环周期为4；3的N次方尾数以“3，9，7，1”循环变化，循环周期为4；所以72007的尾数是3，32007的尾数是7，个位数之和为10.
2、巧算
①乘11和9，以及101,1001,10001等——错位相加减
如24*11=264, 64*9=576，57*101=5757
逆向思维：看到20092009,789789等重复数字，要反映出是所重复数字与10001,1001等数字的乘积。
②乘以1.5——减半相加
如64*1.5=64+32=96
乘5,25,125——变除(乘10除以2，乘100除以4，乘1000除以8）
例2:20102010×2009-2010×2009×10001=()
A.2010
B.2009
C.1001
D.0
【答案】D
【解析】20102010=2010×10001，所以原式=2010×10001×2009-2010×2009×10001=0，答案为0.
3、因式分解
①裂项法
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消
去一些项，最终达到求和的目的，通项分解（裂项）如：
（1）)1(1＋n n ＝n 1－11
＋n
（2）
)12(121＋）－（n n ＝21×（121－n －121
＋n ） 例3:
211
?＋3
21?＋…＋)1(1+?n n ＋…＝（ ）
A ．0
B ．0.5
C ．1
D ．2 【答案】 C
【解析】运用裂项法，原式＝1－21＋21－31＋31－…＋n 1－n 1－1
1
＋n ＝
1－1
1＋n ，当n 趋向于无穷大时，原式等于1。
②因式分解
因式分解（分解因式）Factorization ，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2
反过来为：a 2－b 2
＝（a ＋b ）（a －b ） 完全平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2
反过来为：a 2＋2ab ＋b 2＝（a ＋b ）2
立方和公式： a 3＋b 3
＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2
）； 立方差公式：a 3－b 3
＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2
）
例4:（2＋1）×（2
2＋1）×（4
2＋1）×（8
2＋1）×（16
2＋1）＝( ) A ．322＋1 B ．322 C ．322－1 D ．64
2＋1 【答案】C
【解析】本题考查的是添项因式，原式＝（2－1）×（2＋1）×（2
2＋1）×（4
2＋1）×（8
2＋1）×（162＋1） ＝（22－1）（22＋1）×（4
2＋1）×
（82＋1）×（162＋1）＝32
2－1。
4、等差等比数列（参考基础）
等差求和n S ＝2)
(1n a a n ＋
等比求和n S ＝q q a n 1)
1(1－
例5 :50个数1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8，…的和是（ ）
A ．568
B ．497
C ．523
D ．491 【答案】D
【解析】这50个数可以变成3组等差数列求和，第一组为1，2，3……17，第二组为2，3，4……18，第三组为3，4，5……18，第一组的和为153，第二组的和为170，第三组的和为168。三组之和即为要求的50个数的和，运用尾数法可知和的尾数为1，答案为D
5、平均数
平均数的计算方法有两种：
方法1：把所有数加起来，除以次数；
方法2：先设一个基数，求其他数与基数的差，再求这些差的平均值，最后加上基数
例6 :五个数写成一排，前三个数平均值是15，后两个数平均值是10，则这五个数的平均值是（ ）。
A. 11
B. 12.5
C. 13
D. 14
【答案】C
【解析】15×3+10×2=65,65÷5=13，所以平均值为13
习题
1、123456788×123456790－123456789×123456789＝( ） A.-1 B.0 C.1 D.2
2、（10江苏B ）1！＋2！＋3！＋…2010！的个位数是（ ）。 A ．1 B ．3 C ．4 D ．5
3、1.12
+1.22
+1.32
+1.42
的值是：（）
A ．5.04
B ．5.49
C ．6.06
D ．6.30
4、2007
1
＋2007
3
＋2007
5
＋2007
7
＋2007
9
值的个位数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．9
5、421+561+721+9011101的值是：（） A ．61 B ．665 C ．857
D ．12811
6、计算：11+192+1993+19994+199995所得和数的数字之和是多少？（） A ．12 B ．17 C ．20 D ．35
7、292929÷161616×112=？（）
A ．174
B ．190
C ．203
D ．206
8、计算110.12+1210.32+1220.42+1260.82的值为
A ．4555940.8
B ．4555940.9
C ．4555941.18
D ．4555940.29
9、12+22+32+···+1234567892 之和的个位数是多少？（） A ．6 B ．3 C ．4 D ．5
10、19982-19972+19962-19952+19942-19932+19922-19912的值是？（） A ．16966 B ．15956 C ．15866 D ．14968
11、计算：11+211
++3
211+++...+100...3211+++的值为（）
A.2
B.50502000
C.1201200
D.101
200
12、数列{a n }是等差数列，a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,则数列前13项之和是() A.32 B.36 C.156 D.182
13、有一堆粗细均匀的圆木最上面一层有6根，每向下一层增加一根；共堆了25层。这堆圆木共有多少根？
A．175 B．200 C．375 D．450
14、（12国考）对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，9名工人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少?
A.602
B.623
C.627
D.631
15、把自然数1,2,3,4,5……98,99分成三组，如果每组数的平均数刚好相等，那么此平均数为（）
A.55
B.60
C.45
D.50
16、有10名学生参加某次数学竞赛，已知前八名的平均成绩是90分，第九名比第十名多2分，所有学生的平均成绩是87分。问第九名学生的数学成绩是几分?( )
A．70 B．72 C．74 D．76
17、小明前三次数学测验的平均分数是88分，要想平均分数达到90分以上，他第四次测验至少要达到( )。
A.98分
B.96分
C.94分
D.92分
18（08江苏A）已知公差为2的正整数等差数列为a n，则该数列满足不等式7/16＜a n/5＜398/9的所有项的和为（）
A．12320 B．12430 C．12432 D．12543
19、1992是24个连续偶数的和，问这24个连续偶数中最大的一个是几？
A.58
B.60
C.28
D.106
多位数问题
【知识普及】多位数问题主要涉及一位数、两位数、三位数的构造、求值以及判定位置等问题。在这类问题中，考查重点是考生的分析能力，需要考生能够将题目条件迅速转化为相应的数字形式。多位数问题考查的技巧涉及多位数构造、数字拆分、数字结构分析、直接代入验证等多个技巧。
例1:某次考试中，小林的准考证号码是个三位数，个位数字是十位数字的2倍，十位数字是百位数字的4倍，三个数字的和是13，则准考证号码是( )
A.148
B.418
C.841
D.814
【答案】A
【解析】直接代入选项，由“个位数字是十位数字的2倍”排除B、C、D，选A。
例2：一个四位数与7的和是由没有重复数字组成的最小四位数，问原四位数的个位是多少？（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】没有重复数字组成的最小四位数是1023，因此1023-7=1016，故应选D。
习题
1、（09江苏B）可以分解为三个质数相乘的最小三位数是（）。
A.100
B.102
C.104
D.105
2、用数字0、1、2(即可全用也可不全用)组成的非零自然数，按从小到大排列，问“1010”排在第几个?（）
A．30 B．31 C．32 D．33
3、（08江苏B）五个一位正整数之和为30，其中两个数为1和8，而这五个数和乘积为2520，则其余三个数为（）
A.6，6，9
B.4，6，9 C．5，7，9 D．5，8，8
4、将1-9九个自然数分成三组，每组三个数，第一组三个数之积是 48。第二组三个数之积是 45，三组数字中数字之和最大是多少？
A.15
B.17
C.18
D.20
5、某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？
A.9
B.12
C.15
D.18
6、一个五位数，左边三位数是右边俩位数的5倍，如果把右边的两位数移到前面，则所得新的五位数要比原来的五位数的2倍还多75，则原来的五位数是（）。
A．12525 B．13527 C．17535 D．22545
7、有一个两位数，如果把数字1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把l加写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。( )
A．35 B．43 C．52 D．57
8、下列四个数都是六位数，X是比10小的自然数，Y是零，一定能同时被
2、3、5整除的数是（）。
A. XXXYXX
B. XYXYXY
C. XYYXYY
D. XYYXYX
9、某两位数a是数b的4倍加3，两位数a的个位与十位互换后的新数c 正好是数b的15倍加6，则a为多少？
A．12 B．21 C．15 D．51
公务员行测必备数学公式总结(全)汇总
1.1基础数列类型 ①常数数列如7，7，7，7，7，7，7，7，…… ②等差数列如11，14，17，20，23，26，…… ③等比数列如16，24，36，54，81，…… ④周期数列如2，5，3，2，5，3，2，5，3，…… ⑤对称数列如2，5，3，0，3，5，2，…… ⑥质数数列如2，3，5，7，11，13，17 ⑦合数数列如4，6，8，9，10，12，14 注意：1既不是质数也不是合数 1.2 200以内质数表 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199 1.3 整除判定 能被2整除的数，其末尾数字是2的倍数（即偶数） 能被3整除的数，各位数字之和是3的倍数 能被5整除的数，其末尾数字是5的倍数（即5、0） 能被4整除的数，其末两位数字是4的倍数 能被8整除的数，期末三位数字是8的倍数 能被9整除的数，各位数字之和是9的倍数 能被25整除的数，其末两位数字是25的倍数
能被125整除的数，其末三位数字125的倍数 1.4 经典分解 91=7×13 111=3×37 119=7×17 133=7×19 117=9×13 143=11×13 147=7×21 153=9×17 161=7×23 171=9×19 187=11×17 209=19×11 1.5常用平方数 数字平方 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81 10 100 11 121 12 144 13 169 14 196 15 225 16 256 17 289 18 324 19 361 20 400 21 441 22 484 23 529 24 576 25 625
初一数学笔记
初一数学（上）应知应会的知识点 第一部分 有理数 1.有理数： (1)凡能写成) 0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称 整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ?? ? ? ??? ?? ??? ?负分数 负整数负有理数零 正分数正整数正有理数有理数 ② ?? ? ? ?? ? ?? ??????负分数 正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数? 0和正整数；a ＞0 ? a 是正数；a ＜0 ? a 是负数； a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数；a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
(2)绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a ) 0a (0)0a (a a 或?? ?<-≥=) 0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分 类讨论； (3) a 1a a >?= ； a 1a a
小学数学听课笔记记录
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2019年小学数学听课笔记(记录) 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 小学数学听课记录 教学过程： 一、创设情境，初步感知 谈话：看老师手中拿的是什么（三角板），你能找出它有多少个角吗 二、组织活动，探究新知 1．认识角 投影显示：投影课本里的图片 谈话：找一找，图片上哪些像角（学生回答） 追问：角在我们的生活中无处不在，一个角有几个顶点几条边能从我们身边的一些物体的面上找到角吗找到后指出它们的顶点和边。 2．折一个角 谈话：我们已经认识了角，能用自己灵巧的小手折一个角吗看谁折得快折得好。（用准备好的白纸折角） 3．角的大小比较 （1）提问：能使你折的角变得再大一些吗你是怎么办的能把它变得小一些吗又是怎么做到的 （2）钟面上的时针和分针转动时，形成了大小不同的角，同学们能比较出哪个角大些吗用什么方法比较
（3）谈话：观察老师手上的这两个三角形（两个纸做的一大一小的三角形），哪个三角形大些呢还是一样大呢你知道角的大小和什么有关吗 三、固应用，拓展延伸 1．课本练习第1题。谈话：机灵的小猴找来了一些图形，想考考小朋友，敢接受它的挑战吗投影展示图形：哪些是角，哪些不是角是角的你能指出它的顶点和边吗指名回答。 2．课本练习第2题。谈话：好学的小猫觉得小朋友学得不错，于是来请教我们了。投影展示，图中各有几个角，说给同桌听。 3．课本练习第3、第5题。谈话：聪明的小兔看到大家的本领这么棒，终于忍不住也要来考考我们，投影展示题目。同桌讨论后在班内交流。 4．课本练习第4题。谈话：山羊老师对大家很满意，决定带小朋友玩一玩。 动手拉、合剪刀。说说你看到的角有什么变化 四、总结全课，布置作业 谈话：通过这节课的学习，你有什么收获回家给爸爸妈妈展示一下你今天学到的本领，找找你们家哪些物体上有角。点评：充分利用学具，调动学生已有的生活经验，激发学生探求新知的强烈欲望，使学生获得对角的感性认识。通过“看”、“找”，体会角在面上，初步建立对角的概念。让学生用喜欢的方法折一个角，在实践中探索不同的折角方法，给学生留出充分的思考及表现自我的时间和空
数学课堂笔记
第八周10月18日～10月22日例题 例1. 解方程： (系数化1) (1) x =36 (2) x -=52 (3) x =164 (4) x -=2 105 (5) ..x =0311 (6) .x -=1580 例2. 解方程： (等式的性质) 例3. 解方程： (合并同类项) (1) x -=235 (2) .x +=1 0203 x x x --=13154 例4. 解方程： (移项) 例5. 解方程： (去括号) x x -=+320425 ()()x x x --=++371323 例6. 解方程： (去分母) (1) x x x x +++=21133327 (2) x x x ++--=-31233522510 (3) .....x x -+= 050130040206 绝对值方程 例1. 若||x =3，则x = . 例2. ||x +1=3 例3. ||x --12=3
例4. ||||x x ++-12=5 (利用“零点分段法”分类讨论并化简) 含参数的方程 例1. 解关于x 的方程：ax b = 例2. 解关于x 的方程：mx n x m +=-2 (m ≠2) 补充练习： (1)如果x x =-13122，那么x = (2)如果x y -=+11，那么x = (3)如果 a b =-1 33，那么a = (4)如果a -=23 32 ，那么a = (5)判断 A. 如果m n =，那么am an =. ( ) B. 如果am an =，那么m n =. ( ) C. 如果m n =，那么 m n a a =. ( ) D. 如果m n a a =，那么m n =. ( ) E. 若xy y =，则x =1. ( ) F. 若ax =1，则x a =1 . ( ) (6)下列各式是一元一次方程的有_______________ ①a -=530；②x +1；③m m -=263；④x y +=24；⑤ab c +=4；⑥x x -=51；⑦x =1 5；⑧x =1. (7)按要求填空，并写出计算过程： (?4 )(-?3 )=14. (1)括号内两数相同；(2)两数互为相反数；(3)两数之和为4.
行测数学运算经典题型总结
一、容斥原理 容斥原理关键就两个公式： 1. 两个集合的容斥关系公式：A+B=A∪B+A∩B 2. 三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C 请看例题： 【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( ) A.22 B.18 C.28 D.26 【解析】设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。答案为A。 【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问两个频道都没看过的有多少人？ 【解析】设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96； A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。 二、作对或做错题问题 【例题】某次考试由30到判断题，每作对一道题得4分，做错一题倒扣2分，小周共得96分，问他做错了多少道题？ A.12 B.4 C.2 D.5 【解析】 方法一 假设某人在做题时前面24道题都做对了,这时他应该得到96分,后面还有6道题,如果让这最后6道题的得分为0,即可满足题意.这6道题的得分怎么才能为0分呢?根据规则,只要作对2道题,做错4道题即可,据此我们可知做错的题为4道,作对的题为26道. 方法二 作对一道可得4分,如果每作对反而扣2分,这一正一负差距就变成了6分.30道题全做对可得120分,而现在只得到96分,意味着差距为24分,用24÷6=4即可得到做错的题,所以可知选择B
最新人教版六年级上数学超级笔记201712271
2020年六年级数学上册超级笔记（新人教版） 1相信自己,一定能考好2审题要精,读题读三遍3做题慢点,做快容易错 4打好草稿,草稿习惯好5不能心算,心算容易错 6及时检查,及时验算好7写完把试卷重新再算一遍 第一单元分数乘法 （一）分数乘法意义： 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。 ―分数乘整数‖指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。 2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 ―一个数乘分数‖指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以） （二）分数乘法计算法则： 1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。 （1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分）（2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数）。 2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母） （1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 （2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。 （3）在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）。 （4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。 （三）积与因数的关系： 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a。 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c 听 课 记 录 2014 年9月 21 日 授 课 教 师 李金山 学 科 数学 学 校 班 级 忠县中学 高一（3）班 课题 函数定义域，值域，函数值的求法 课型 新授课 教师教学过程记录： 引入新知： 一．函数定义域的求法 （一）简单函数的定义域 例1 求下列函数的定义域：（1）f(x)=1/x-2 (2) f(x)=35+x 求解步骤：由已知x-2≠0--------------------------写条件 x ≠2 ---------------------------解不等式（组） 所以函数的定义域为{x| x ≠2}-------下结论 总结：（1）若f(x)是整式，则定义域为R （2）若f(x)是分式，则分母不能为0 （3）f(x)为偶次根式，则根号下的式子大于或等于0 练习：1.（1）f(x)=3-5-x x （2）f(x)=x x -++21 （3）P19练习 总结：定义域：使每个式子有意义；生活中的实际 2.求下列函数的定义域 （1）y=2x+3 (2)f(x)=11+x （3）x x y -+-=11 (4)112-+=x x y (5) f(x)=11)1(0++-x x (二）复合函数的定义域 例2 已知f(x)的定义域为[0,2]，求f(2x-1)的定义域。 练习：1.已知f(2x-1)的定义域为（-1,5]，求f(x)的定义域。 2.已知函数f(x)的定义域为[0,2]，那么函数g(x)=15)1(++x x f 二．函数值的求解 1.已知f(x)=3x+2,求f(-1),f(a),f(1/a-1),f [f(π)] 2.已知f(x)=?????≥<<--≤+)2(2)21()1(22x x x x x x 求f(3),f(f(-1)) (分段函数） 3.已知f(3x-1)=4x+1,求f(2)=____ 三．求函数的值域（概念的理解，重点） （1)y=1+x (2) 642+-=x x y x ∈[1,5] 理解：2x y = （1）x ∈R 函数值域[0,+∞] 教学点评： 运用实例生动引出集 合元素的概念，为了 解集合含义作铺垫 充分体现了以学生为主体，教师为引导者的教学理念。 结合学生情况，充分调动课堂积极性 同一个f 括号内约束 条件相同；定义域的 概念 数学读书笔记 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】 《小学数学教学论》读书笔记 注重学生在数学课堂中情感态度的培养 学习了着名数学教育专家李光树老师的《小学数学教学论》第一章《小学数学的教学思想》，我颇有感悟，现浅谈一下自己的一点心得体会。 在数学课堂教学中，既需要注重学生知识、能力和培养，又要注重学生情感态度的培养。应该说，情感态度的培养比知识能力的培养更重要。小学数学课程标准中明确提出：“培养孩子积极思考的态度，使孩子在学习过程中增强学习数学的信心，培养孩子学习数学的兴趣。”我从这几句浅显的话语中悟出了许多深刻的道理。 现代社会是一个知识经济爆炸的年代，社会对孩子的需求也越来越高，作为新一代的教师，我们不仅要培养出成绩优异的孩子，而且要培养出具有自信心的良好心态的孩子。因为实践证明，良好的心态是成功的第一保障，现代儿童的心理问题已经给我们的教育提出了许多严峻的课题。因此，我认为数学课堂上也要注重学生情感态度的培养。 在这个问题上，我认为可以从以下三个方面重点培养，主要是积极主动的参与意识；学习数学的自信心；学习数学的兴趣。仔细思考了一下这三个方面应该是互相联系、辨证统一的。有了积极主动的参与意识，自信心就慢慢培养了起来，有了学习数学的自信心就有了学习数学的兴趣，如何培养孩子这些方面的情感态度。 首先，在课堂上要充分体现以学生为主体，真正体现学生是学习的主人，创设民主、和谐的课堂氛围。在课堂上，教师不能以传统填鸭式的方式教学，要让学生通过操作、实验、交流、讨论等活动，自己经历知识的形成过程，自己总结出结论，充分体现学生自主学习、自主探索，这样慢慢的培养起学生的自主参与意识。 其次，要多给孩子鼓励，多给孩子信心，任何孩子在成长中都会犯这样、那样的错误，在数学学习中也难免如此。这时，老师不要一味地批评，因为过度地批评会让孩子失去信心，会让孩子缺乏思考的勇气，久而久之就会使孩子只学会接受，没有自己的思考和思想，更谈不上学习的自信心和兴趣了。所以，我们在教学中应该多以鼓励为主，多给孩子一些信心，相信你的学生是最棒的。 最后，我认为除了在思想、情感上多以积极的心态培养孩子外，还应该给孩子们创设学习数学的良好氛围，让孩子们在一个喜欢数学的环境中学习，受到熏染，培养孩子的兴趣。 自信心是成功的第一步阶梯，作为一个教师，有义务也有责任为这一步阶梯奠基，要让学校成为培养孩子自信心的摇篮，不要让孩子的自信心被扼杀在了摇篮里。 我要努力让自己的每节课既要注重学生知识能力的培养，又要注重情感态度的培养。 王蓉篇二：数学组业务学习笔记 如何上好小学数学课（2月份） 孔子曰：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。随着教学改革的深入，我们的数学课堂教学开始变得更自由、更灵活，学生也始终在愉快的状态下积极地学习数学，这的确是我们数学教学改革的一个可喜变化。着名数学家华罗庚曾说：“就数学本身来说，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……”入迷才能叩开思维的大门，智力和能力才能得到发展。教师要善于诱发学生的学习兴趣，要充分利用数学课堂，把它创设成充满活力、魅力无穷的空间，从而激发学生的思维，让他们积极地感受数学美，去追求数学美。如何上好数学课，使数学课灵动起来呢 一、从生活经验入手，创设情境调动课堂气氛 数学知识与现实生活是有密切联系的，新教材中也给出了许多例子，教师要尽量用学生熟悉的生活情境或生活经验入手引出学习内容，这样学生乐于接受。也可以让学生例举数学知识在生活中的应用。小学生有着好奇心、疑问心、爱美心强和活泼好动的特点。数学教师要从这些方面多去思考，充分地发挥小学生非智力因素在学习中的作用，在课堂中创设出学与“玩”融为一体的教学方法，学生在“玩”中学，在学中“玩”。例如在教学《轴对称图形》一课时，我运用事先准备好的漂亮的图片创设情境，讲故事引入：夏季的一天，一只小蜻蜓在 常用数学公式汇总 一、基础代数公式 1. 平方差公式：（a ＋b ）×（a －b ）＝a 2－b 2 2. 完全平方公式：（a±b）2＝a 2±2ab ＋b 2 完全立方公式：（a ±b ）3=（a±b）(a 2μab+b 2) 3. 同底数幂相乘: a m ×a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数，a≠0） 同底数幂相除：a m ÷a n ＝a m －n （m 、n 为正整数，a≠0） a 0＝1（a≠0） a -p ＝p a 1（a≠0，p 为正整数） 4. 等差数列： （1）s n ＝2)(1n a a n ?+＝na 1+2 1n(n-1)d ； （2）a n ＝a 1＋（n －1）d ； （3）n ＝d a a n 1-＋1； （4）若a,A, b 成等差数列，则：2A ＝a+b ； （5）若m+n=k+i ，则：a m +a n =a k +a i ； （其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，d 为公差，s n 为等差数列前n 项的和） 5. 等比数列： （1）a n ＝a 1q －1； （2）s n ＝q q a n -11 ·1）－（（q ≠1） （3）若a,G,b 成等比数列，则：G 2＝ab ； （4）若m+n=k+i ，则：a m ·a n =a k ·a i ； （5）a m -a n =(m-n)d （6）n m a a ＝q (m-n) （其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，q 为公比，s n 为等比数列前n 项的和） 6.一元二次方程求根公式：ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 其中：x 1=a ac b b 242-+-；x 2=a ac b b 242---（b 2-4ac ≥0） 根与系数的关系：x 1+x 2=-a b ，x 1·x 2=a c 二、基础几何公式 1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两 边之和大于第三边、任两边之差小于第三边； （1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。 （2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 （3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。 （4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 （5）内心：角平分线的交点叫做内心；内心到三角形三边的距离相等。 重心：中线的交点叫做重心；重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。 六年级上学期数学笔记 一单元《位置》 1、用数对表示物体位置的方法是先写列，再写行。（列，行） 2、竖为列，从左往右数；横为行，从下往上数。 二、三单元《分数乘、除法》 1、表示3个的和是多少。表示的是多少。 2、分数除法意义和整数除法意义一样，都是乘法的逆运算。 3、解决分数乘、除法应用题的基本思路： （1）、找分率。多几分之几（百分之几），分率是1+几分之几（或1+百分之几）； 少几分之几（或百分之几），分率是1-几分之几（或1-百分之几） （2）、找分率的单位“1”。 （3）、已知单位“1”的量，求部分量，用乘法：单位“1”的量×对应分率=对应量已知部分量，求单位“1”的量，用除法：对应量÷对应分率=单位“1”对应量。 4、乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。 真分数的倒数＞本身1的倒数=本身不包括1的假分数的倒数＜本身 5、两个数相除又叫做两个数的比。 比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。 比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。 比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。求比值，前项除以后项。 根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。例如：15:10也可以写成，仍读作“15比10”。 6、比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这是比的基本性质。 四单元《圆》 1、连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。通过圆心并且两端都 在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。圆心用字母o表示。 2、在同圆或等圆中，有无数条半径、无数条直径。在同圆或等圆中，直径的长度等于半 径的两倍。 3、圆心确定圆的位置，半径或直径确定圆的大小。用圆规画圆时，两脚间的距离是圆的 半径。 4、圆是轴对称图形，它的对称轴就是直径所在的直线，所以圆有无数条对称轴。 5、圆的周长与它的直径的比值是一个固定数，我们把它叫做圆周率，用字母∏表示。它 是无限不循环小数。 6、直径=半径×2 d = 2 r 半径=直径÷2 r= d÷2 圆周长=∏×直径C=∏d 圆周长=∏×2×半径C=2∏r 直径=周长÷∏d=C÷∏半径=周长÷∏÷2 r= C÷∏÷2 高中数学选修2----2知识点 第一章 导数及其应用 一． 导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容 易知道，割线n PP 的斜率是00 ()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数 有时也记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x '= 2）导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 3）复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 第一单元笔记 1、在数位顺序表中，个级包含的数位有（个位）、（十位）、（百位）、（千位）；万级包含的数位有（万位）、（十万位）、（百万位）、（千万位）；亿级包含的数位有（亿位）、（十亿位）、（百亿位）、（千亿位）。 2、一（个）、十、百、（千）、（万）、（十万）百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿……都是计数单位。 3、10个十万是（一百万），10个百万是（一千万），10个千万是（一亿），（10）个亿是十亿。 4、表示物体个数的0、1、2、3、4…都是（自然数），自然数的个数是（无限的），最小的自然数是（0），（没有）最大的自然数。 5、每相邻两个计数单位之间的进率是十，这种计数方法叫（十进制计数法）。 6、计算器上ON/C键能（清屏），而AC键能清除（所有计算结果）。 第二单元笔记 1、公顷和平方千米都是计量（面积）的单位，我们常用的面积单位还有（平方厘米）、（平方分米）、（平方米）。 2、除“1公顷=（10000）平方米”外，其余相邻两个面积单位的进率是（100）。例如：1平方千米=100公顷、1平方米=100平方分米、1平方分米=100平方厘米。 3、边长是1000米的正方形（注：1千米=1000米），面积是1平方千米。计量比较大的土地面积常用（平方千米）作单位，用字母（km2）。 例如：香港特别行政区的总面积是1100平方千米，我国的国土面积是960万平方千米。 4、边长是100米的正方形面积是1公顷。1公顷=10000平方米，测量土地的面积可以用（公顷）作单位。例如:北京故宫的占地面积是72公顷，杭州西湖的面积大约有639公顷，一座园林占地面积2公顷。 5、测量土地面积常用到的单位是（公顷）和（平方千米）。 6、边长是1米的正方形面积是1平方米，测量操场、教室、宅基地的地面大小，常用的面积单位是（平方米）。例如：我们教室的面积是48平方米、教室门的面积是2平方米、学校学生宿舍的占地面积是175平方米。 7、边长是1厘米的正方形面积是1平方厘米，测量如橡皮擦大小的东西，常用面积单位（平方厘米）。例如：一块橡皮的面积是5平方厘米。 8、面积单位转换关系图 高中数学听课记录范例 听课有利于青年教师学习优秀教师的先进教学经验，兴城良好的教学风气。那么高中数学听课记录怎么写呢？ 一、实例导入课题： 日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降,上下楼梯也是一样。（板书课题：函数的单调性） 二、推出新课： （一）、函数的单调性： 1、观察非典时期每日新增病例的变化统计图，对函数的单调性有感性的认识。 2、学生思考一次函数y=kx+b中，当k>0时，y的值随x的值的变化情况。总结该函数图像中点的坐标规律。 3、单调增（减）函数的定义： 一般地，设函数的定义域为I，区间AI，如果对于区间A内的任意两个值，当时都有，那么就说在这个区间上是单调增（减）函数。 （让学生思考交流之后，说出增、减函数定义中的关键词） （二）、单调函数、单调区间的概念：（教师板书，引导学生理解。） （三）、函数单调性的判断与证明 1、讲解例1：画出的图像，判断它的单调性，并加以证明。分析：画出图形，让学生归纳，并利用定义证明，教师板书。 例题中的注意点：（1）、解题格式；（2）、防止循环论证；（3）、作差同“0”比较。 2、师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤： （1）、取值；（2）、作差与变形；（3）、判断；（4）、结论。 3、讲解例2：求证：函数在区间上是单调增函数。 （学生小组讨论，集体思考证明过程，请完成的小组上黑板板演，其他小组分析纠错，教师做好点拨。） 三、课堂练习：1、P39页1、2、3题。 四、课堂小结：（学生总结知识点，教师补充。） 五、布置作业：1、P39页2、4、5题。 评价与建议 1、教学环节设计合理，思路清晰。 2、对概念的讲解很细致，教学作用点找的很好。 3、讲解、合作讨论、学生板演、核心指导相结合，防止学生疲劳而影响课堂效果。 4、教学中善于表扬学生、鼓励学生。 5、教学中要更多地深入学生之中，关注学生的实际学习情况，提高课堂效率。 6、这节课的知识比较抽象，学生能搞懂基本概念的来龙去脉，但更重要的是引导学生从具体实例抽象出数学概念的过程，在运用中逐步理解概念的本质需要加强。 第一章集合与函数概念 第一节集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋, 印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）V enn图: 4、集合的分类： 有限集含有有限个元素的集合 (1)无限集含有无限个元素的集合 (2)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B 或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集， 记作A B(或 B A) ③如果A?B, B?C ,那么A?C ④如果A?B 同时B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算 公务员考试行测数学公式大全 常见数学公式汇总 一、基础 代数公式 1. 平方差公式：（a＋b）·（a－b）＝a2－b2 2. 完全平方公式：（a±b)2＝a2±2ab＋b2 3. 完全立方公式：（a±b)3=（a±b）(a2μab+b2) 4. 立方和差公式：a3+b3=(a±b)(a2+μab+b2) 5. a m·a n＝a m＋n a m÷a n＝a m－n (a m)n=a mn (ab)n=a n·b n 二、等差数 列 （1）s n ＝ 2 ) ( 1n a a n+ ?＝na 1 + 2 1n(n-1)d； （2）a n＝a 1 ＋（n－1）d； （3）项数n ＝ d a a n1 -＋1； （4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b；（5）若m+n=k+i，则：a m+a n=a k+a i ； （6）前n个奇数：1，3，5，7，9，…（2n—1）之和为n2 （其中：n为项数，a 1为首项，a n 为末项，d为 公差，s n 为等差数列前n项的和）三、等比数 列 （1）a n ＝a 1q n －1 ； （2）s n ＝ q q a n -11 ·1）－（（q ≠1） （3）若a,G,b 成等比数列，则：G 2＝ab ； （4）若m+n=k+i ，则：a m ·a n =a k ·a i ； （5）a m -a n =(m-n)d （6）n m a a ＝q (m-n) （其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，q 为公比，s n 为等比数列前n 项的和） 四、不等式 （1）一元二次方程求根公式：ax 2 +bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 其中：x 1 = a ac b b 242-+-；x 2= a ac b b 242---（b 2 -4ac ≥0） 根与系数的关系：x 1+x 2=-a b ，x 1·x 2 =a c （2）ab b a 2 ≥+ ab b a ≥+2 )2 ( ab b a 222≥+ abc c b a ≥++3 )3 ( （3）abc c b a 3222 ≥++ abc c b a 3 3 ≥++ 推广：n n n x x x n x x x x (2132) 1 ≥++++ 三年级数学课本 第一单元元角分与小数 1.小数的读法：整数部分是“0”的就读作“零”；整数部 分不是“0”的按照整数读法来读；小数点读作“点”； 小数部分是几就依次读出来．将你读出来的内容用汉字写下来，就可以了. 2.小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”）小数点写在个位右下角点，小数部分顺次写出每一个数位上的数字．如：四点三九写作：4．39 零点四零八写作：0．408 三十点零一五写作：30．015 2.小数大小的比较方法：（1）先比较整数部分，整数部分 大的这个数就大. （2）整数部分相同就比较小数部分，小数点后十分位（第一位），小数点后第一位大这数就大.如果小数点第一位也相同，就比较小数点后第二位。 （3）依次类推. 3.小数加法计算方法：（1）先把加数的小数点对齐（2） 按照整数方法来计算，哪一位上相加满十就向前一位进 1. （3）在得数里点上小数点，使它与横线上的小数点 对齐. 4.小数减法的计算方法：（1）把被减数和减数的小数点对 齐，（2）从末位减起，哪一位上不够减就向前一位退一当十和本位上的数加起来再减，如果遇到0上有退位， 再向前一位退一当9来减。记得在差里点上正确的小数点。 第二单元对称、平移和旋转 5.把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重 合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，并且对称轴用虚线表示。二、平移和旋转平移和旋转都是物体或图形的位置变化。平移就是物体沿直线移动. 把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角， 第三单元乘法 1、7X1=7 7X10 =70,第一个乘数不变，第二个乘数扩大原来的10倍，积也扩大原来的10倍。 7X1=7 7X100=700，第一个乘数不变，第二个乘数扩大原来的100倍，积也扩大原来的100倍。 2.3X2=6 30X20=600, 第一个乘数扩大原来的10倍，第二个乘数扩大原来的10倍，积就扩大原来的100倍。 2、两位数乘两位数的乘法竖式计算： (1)用第2个乘数个位上的数去乘第一个乘数每位上的数，得数的末位和第2个数的个位对齐； (2)用第2个乘数十位上的数去乘第一个 公务员考试常用数学公式汇总(完整版) 一、基础代数公式 1. 平方差公式：（a ＋b ）3（a －b ）＝a 2－b 2 2. 完全平方公式：（a±b）2＝a 2±2ab ＋b 2 完全立方公式：（a ±b ）3=（a±b）(a 2 ab+b 2) 3. 同底数幂相乘: a m 3a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数，a≠0） 同底数幂相除：a m ÷a n ＝a m －n （m 、n 为正整数，a≠0） a 0＝1（a≠0） a -p ＝ p a 1 （a≠0，p 为正整数） 4. 等差数列： （1）s n ＝ 2 )(1n a a n ?+＝na 1+21 n(n-1)d ； （2）a n ＝a 1＋（n －1）d ； （3）n ＝ d a a n 1 -＋1； （4）若a,A,b 成等差数列，则：2A ＝a+b ； （5）若m+n=k+i ，则：a m +a n =a k +a i ； （其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，d 为公差，s n 为等差数列前n 项的和） 5. 等比数列： （1）a n ＝a 1q －1； （2）s n ＝q q a n -11 ·1） －（（q ≠1） （3）若a,G,b 成等比数列，则：G 2＝ab ； （4）若m+n=k+i ，则：a m 2a n =a k 2a i ； （5）a m -a n =(m-n)d （6） n m a a ＝q (m-n) （其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，q 为公比，s n 为等比数列前n 项的和） 6.一元二次方程求根公式：ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 其中：x 1=a ac b b 242-+-；x 2=a ac b b 242---（b 2-4a c ≥0） 根与系数的关系：x 1+x 2=-a b ，x 12x 2=a c 二、基础几何公式 1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两 边之和大于第三边、任两边之差小于第三边； （1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。 （2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 （3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。 （4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 （5）内心：角平分线的交点叫做内心；内心到三角形三边的距离相等。 重心：中线的交点叫做重心；重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。 垂线：高线的交点叫做垂线；三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。 外心：三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的 数学笔记知识点汇总 一、实数 2、平方根： ①如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根。 ②一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方。 ③求一个数a 的平方根运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。 3、算术平方根 如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根 4、立方根： ①如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根。 ②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。 ③求一个数a 的立方根的运算叫开立方，其中a 叫做被开方数。 10、非负数 11、零指数次幂、负指数次幂 二、代数式 3、整式运算： 4、分解因式：（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式 （2）方法：提公因式法/运用公式法/分组分解法/十字相乘法 （一提二套三分组） 6、分式的运算： 为同分母的分式，再加减。 0a ≥0≥20 a ≥0a 1(0)a =≠其中1(p p a p a -=≠为正整数,a 0) 7、二次根式 ①性质 ②运算 ③最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 ④同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。 ⑤有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘积不含有二次根式，则他们互为有理化 因式。如：⑥分母有理化：把分母中的根号化去。（方法：分子分母同乘以分母的有理化因式） 三、方程 （二）二次方程 1、概念 ①一元二次方程：只含有一个未知数．．．．．，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程 2、一元二次方程的解法：①直接开平方方法②因式分解法③配方法④公式法 3、一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 的两个实数根为x 1,x 2 则有 如：x 12+x 22=（x 1+x 2）2－2 x 1x 2 4、根的判别式 △=b 2-4ac ①△>0时，方程有两个不相等的实数根②△=0时，方程有两个相等的实数根③△<0时，方程没有实数根。 a c x x a b x x =?-=+2121,0,0)a b =≥≥0,0)a b =≥>0,0) a b =≥≥0,0) a b =≥>2 (0)a a =≥a =±±m 2 122 1 2 1 4)(x x x x x x -+=-最新高一数学听课记录
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