2.平方根与算术平方根的区别与联系 例2.求下列各数的平方根和算术平方根: (1)0.0009 (2)8125 (3)25-)( 知识点4:平方根的性质 平方根的性质:①正数有两个平方根,它们互为相反数;②0的平方根是0;③负数没有平方根. 规律小结:一个正数a 的平方根有两个记作a ± ,表示a 的正的平方根和负的平方根,其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根. 注:一个正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与,则a 的值为( ) A.2 B.-1 C.1 D.0
随堂巩固 一、选择题. 1. 4的算术平方根是( ) A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说确的是( ) A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中,与 最接近的是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在( ) A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是( ) A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是( ) A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ,3=b ,则a+b 的值是( ) A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简:(1)4 12= ; (2) = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ,则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数,且n m <<11,则n m += . 3004.0
平方根和立方根知识点
平方根: 概括1:一般地,如果一个数的平方等于a ,这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是 说,如果x 2 =a,那么x 就叫做a 的平方根。 如:23与-23都是529的平方根。 因为(±23)2 =529,所以±23是529的平方根。 问:(1)16,49,100,1 100都是正数,它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? (2)0的平方根是什么? 概括2:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没 有平方根。 知识点二: 概括3:求一个数a(a ≥0)的平方根的运算,叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0,它的平方数只有一个,正数或负数的平方都是正数,0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个,这两个数互为相反数,0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算,因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根,也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三: (1)625的平方根是多少?这两个平方根的和是多少? -7和7是哪个数的平方根? 正数m 的平方根怎样表示? (2)下列各数的平方根各是什么? 64; 0; (-0.4)2 ; )3 21(-(3)已知正方形的面积等于a, 3、例题讲解: 例1、求下列各数的平方根: (1)81; (2)1916; (3)0.09 例2、下列各数有平方根吗? 如果有,求出它的平方根;如果没有,请说明理由。 (1)-64; (2)0; (3)( - 例3、求下列各式的值: (1)10000; (2)144-;(4)0001.0-; (5)81 49±
平方根与立方根知识点
平方根与立方根知识点 1、平方根: (1)定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,a叫做被开方数 (2)开平方:求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。 (3)平方根的性质:A一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数 B零有一个平方根,它是零本身 C负数没有平方根 (4)平方根的表示:一个正数a的正的平方根,用符号“”表示, a叫做被开方数,2叫做根指数,正数a的负的平方根用符号“﹣”表示,a的平方根合起来记作“”,其中“”读作“二次根号”,“”读 作“二次根号下a”.当根指数为2时,通常将这个2省略不写,所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”. (5)算术平方根:注:1)算术平方根是非负数,具有非负数的性质;2)若两数的平方根相等或互为相反数时,这两数相等;反之,若两非负数相等时,它们的平方根相等或互为相反数;3)平方根等于本身的数只有0,算术平方根等于本身的数有0、1. 2.平方根说明:平方根有三种表示形式:±a,a,-a,它们的意义分别是 :非负数a的平方根,非负数a的算术平方根,非负数a的负平方根。要特别注意:a≠±a。 3.算术平方根性质:算术平方根a具有双重非负性: ①被开方数a是非负数,即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数,即a≥0。 4.平方根与算术平方根的区别与联系: 区别:1定义不同2个数不同:3表示方法不同: 2、立方根: 1.(1)定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,a叫做被开立方数 (2)开立方:求一个数a的立方根的运算叫做开平方。 (4)立方根的表示:数a的立方根我们用符号来表示,读作"三次根号a",其中a叫做被开方数,3叫做根指数,3且不能省略,否则与平方根混淆。 注:1)若两数的立方根相等,则这两数相等;反之,若两数相等,则这两数的立方根相等;2)立方根等于本身的数有0、1、-1.
12章平方根与立方根(教案)
§12.1 平方根与立方根 第一课时平方根(9月1日星期二) 教学目的: 1、使学生理解数的平方根的概念,能运用根号表示一个数的平方根; 2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法; 教学重点和难点: 重点:平方根的概念及求某些数的平方根的方法; 难点:平方根的概念; 关键:对符号“”意义的理解。 学法指导: 根据教师为主导,学生为主体的原则,始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。 教法指导: 1、针对八年级学生的认知特点,体现“以学生发展为本”的教育理念,发展学生的个性特长,让学生学会学习。本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法,教师引导为辅,学生自主思考解决问题为主。 2、数学概念的学习比较抽象、枯燥,用多媒体辅助教学,增加课堂的趣味性,提高学生的学习积极性。 教学过程: 一、引入新课: 我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算,但在现实生活中,有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。例如已知正方形一边长是4厘米,那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法,这种运算叫做开方。这节课我们就要学习开方运算和平方根。 可以先预练1—20的平方计算。 二、新课学习: 1、知识设疑: (1)计算:42;(-4)2 (0.8)2;(-0.8)
2、知识形成: 知识点一: 我们可以设这个数为x ,则2x =16,问题归结为求x 以通过乘方运算来解决。 因为42=16所以x =4 ;又因为(-4)2=16,所以x =-4 。4或-4的平方都等于16,可以表示为(±4)2=16。 因为4或-4的平方都等于16,我们把4概括1:一般地,如果一个数的平方等于a ,二次方根)。就是说,如果x 2=a,那么如:23与-23都是529的平方根。 因为(±23)2=529,所以±23是529问:(1)16,49,100,1 100根之间有什么关系? (2)0的平方根是什么? 概括2:一个正数有两个平方根,是0本身;负数没有平方根。 知识点二: 概括:求一个数a(a ≥0)个数可以是正数、负数或者是0平方都是正数,0的平方是0。互为相反数,0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算,因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根,也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三: (1)625-7和7是哪个数的平方根? 正数m 的平方根怎样表示? (2)下列各数的平方根各是什么? 64; 0; (-0.4)2; 2 )32 1( ; -(3)已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少?
八年级数学上册第2章平方根与立方根之间的区别与联系(北师大版)
平方根与立方根之间的区别与联系 平方根与立方根是两个很相近的概念,如果不正确地认识和理解它们的异同,在解题中很容易引起混淆而造成解题错误,为此,笔者将其区别与联系小结如下。 一、两者的区别 1、定义不同 平方根:如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根 立方根:如果a x =3 ,那么x 叫做a 的立方根 2、表示方法不同 正数a 的平方根记为a ±,数a 的立方根记为3a 。表示平方根时,根指数2一般省略不写,但是用根号表示立方根时,根指数3绝对不能省略,否则就与二次根式混淆了。 3、读法不同 正数a 的平方根记为a ± ,读作“正、负根号 a ”。 3a 读作“ 三次根号a 或a 的立方根”。 4、被开方数的取值范围不同 在平方根a ±中,被开方数a 是非负数,即 0≥a 。但在3a 中,a 可以是任意的数。 5、根的个数不同 一个正数的平方根有两个,它们是互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根。 任何数都存在立方根,一个正数有一个正的立方根,一个负数有一个负的立方根,0的立方根是0。 二、二者的联系 求平方根与立方根的运算都是开方运算,开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算,都是乘方的逆运算。 三、应用举例
例1、 求下列各式的值 (1)121 1- (2) 16.0± (3) 32764- (4)3216125 解:(1)1111211,1211)111( 2-=-∴=Θ (2)2(0.4)0.16,0.4±==±Q (3)3 42764,2764)34(33-=-∴-=-Θ (4)6 5216125,216125)65(33=∴=Θ 例2、 求下列各式中的x (1)48)43)(43(=-+x x (2)343)35(3=-x 解:(1)481692=-x 即9642= x 3 8964±=±=∴x (2)734335,343)35(33==-∴=-x x Θ 即2,105=∴=x x
平方根和立方根知识点总结及练习
【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 (1)平方根的定义:如果一个数x 的平方等于a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根.即: 如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根. (2)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 (3)平方与开平方互为逆运算:±3的平方等于9,9的平方根是±3 (4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果; 一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 (5)符号:正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根; 正数a 的负的平方根可用-a 表示. (6)a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 (1)算术平方根的定义: 一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,2 个正数x 叫做a 的算术平方根.a “根号 a”,a 叫做被开方数. 规定:0的算术平方根是0. 也就是,在等式a x =2 (x≥0)中,规定a x =。 (2)a 的结果有两种情况:当a 是完全平方数时,a 是一个有限数; 当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数。 (3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大; 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说,被开放数扩大(或缩小)a 倍,算术平方根扩大(或缩小)a 倍,例如错误!未找到引用源。=5,错误!未找到引用源。=50。 (4)夹值法及估计一个(无理)数的大小 (5)a x =2 (x≥0) <—> a x = a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x (6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 a (a ≥0) 0≥a
(完整版)平方根与立方根及实数(综合提高)
平方根与立方根知识点小结及练习 一、知识要点 1、平方根: ⑴、定义:如果x 2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“(a 称为被开方数)。 ⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。 ⑶、算术平方根:正数a 的正的平方根叫做a ”。 2、立方根: ⑴、定义:如果x 3=a ,则x 叫做a ”(a 称为被开方数)。 ⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。 3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。 二、规律总结: 1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。 3≥0有意义的条件是a ≥0。 4、公式:⑴)2=a (a ≥0)=(a 取任何数)。 5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握)。 例1 求下列各数的平方根和算术平方根 (1)64;(2)2 )3(-; (3)49151; ⑷ 2 1(3)-; (5)100; (6)25 121 (7)0.25 例2 求下列各式的值 (1)81±; (2)16-; (3)25 9; (4)2 )4(-.
(5)44.1,(6)36-,(7)49 25 ±(8)2)25(- 例3、求下列各数的立方根: ⑴ 343; ⑵ 10 227 -; ⑶ 0.729;(4) 343 ;(5) 2168-;(6)-0.0064;(7)-729 二、巧用被开方数的非负性求值. 当a ≥0时,a 的平方根是±a ,即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根. 练习:1、已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值. 2、已知233(2)0x y z -+-++=,求xyz 的值。 3、已知互为相反数,求a ,b 的值。 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 当a ≥0时,a 的平方根是±a ,而.0)()(=-++a a 例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a ,求a 的平方的相反数的立方根. 练习:若32+a 和12-a 是数m 的平方根,求m 的值.
平方根和立方根经典讲义
实数可按下图进行详细分类: 0???????????? ?????? ?? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ???? ?? ?? 正整数 整数 负整数有理数 有限小数或无限循环小数 正分数 实数分数 负分数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数 实数与数轴上的点一一对应. ( 以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法: 如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根. 也就是说,若2 x a = ,则x 就叫做 a 的平方根. 一个非负数a 的平方根可用符号表示为 “ ” . 算术平方根: 一个正数 a 有两个互为相反数的平方根,其中正的平方根叫做a 的算术平方根,可用符号表示为 ; 有一个平方根,就是0, 0的算术平方根也是 0,负数没有平方根,当然也没有算术平方根 .(负数的平方根在实数域内不存在,具体内容高中将进学习研究) 一个非负数的平方根不一定是非负数,但它的算术平方根一定是非负数,即若 0a ≥ . 平方根的计算: 知识点睛 中考要求 平方根和立方根
求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方. 开平方与平方是互逆运算,可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根,以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根. 通过验算我们可以知道: ⑴ 当被开方数扩大(或缩小)2n 倍,它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥). ⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系: ①若0a ≥ ,则2a =;②不管a (0) ||(0)a a a a a ≥?==?- 注意二者之间的区别及联系. ⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间,即120a a a ≤<< 之间,即:0≤利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致 范围. 立方根的定义及表示方法: 如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根,也就是说,若3,x a =则x 就叫做a 的立方根, 一个数a 的立方根可用符号表 ,其中“3”叫做根指数,不能省略. 前面学习的 其实省略了根指数“2” “三次根号a ” “二次根号a ” “根号a ”. 任何一个数都有立方根,且只有一个立方根, 正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根为0. 立方根的计算: 求一个数的立方根的运算,叫做开立方,开立方与立方是互逆运算,可以通过立方运算来求一个数的立方根,以及检验一个数是不是另一个数的立方根. 通过归纳我们可以知道: ⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍,它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍. a = ,3a = ⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间,即12a a a <<, < 利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围. 重点:平方根和立方根的基本概念,以及灵活应用 难点:平方根的性质 重、难点
平方根和立方根(讲义及答案)
平方根和立方根(讲义) ?课前预习 1.填空: (_____)2=0;(_____)2=4;(_____)2=9;(_____)2=16. 由上述运算可知: ①零的平方是______;任何非零数的平方都是______;任何数的平方都是 _______;_______(“存在”或“不存在”)某个数的平方是负数. ②互为相反数的两个数的平方________. 2.做一做,想一想 把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为2的大正方形,设大正方形的边长为x,则x满足的条件为__________. ?知识点睛 1.平方根:一般地,如果一个_______________________,即__________,那么这个
________就叫做a 的平方根;也叫做____________;记作________,读作 “____________”. 2. 一个正数有_____个平方根,它们____________;0有____个平方根,是 ________;负数________平方根. 3. 算术平方根:一般地,如果一个_______________________ 这个________就叫做a 的算术平方根;记作______,读作“平方根是______. 4. 求一个数a 的平方根的运算,叫做_____,其中a 叫做_______5. 立方根:一般地,如果一个_______________________,即________就叫做a 的立方根;也叫做____________;记作“____________”. 6. 正数的立方根是______;0的立方根是______;负数的立方根是______. 7. 求一个数a 的立方根的运算叫做______,其中a 叫做_______. ? 精讲精练 1. 4121 的平方根是_________;(14-)2的算术平方根是_______. 2. 下列说法正确的是( ) A .-2是-4的平方根 B .2是(-2)2的算术平方根 C .(-2)2的平方根是2 D .8的平方根是4 3. 下列说法正确的是( ) A .-81的平方根是±9 B .任何数的平方是非负数,因而任何数的平方根也是非负数 C .任何一个数的算术平方根都是正数 D .2是4的平方根 4. 下列各式中,正确的是( ) A = B .0.6=± C 13= D 6=± 5. 下列各式中,正确的是( ) A .-(-7)=7 B .412=121
平方根与立方根
Dong An Experimental School Attached to Northeast Normal University 八年级数学同修学案201721006 八年 班 姓 名 学号 命题人:肖允丹 2017年8月13日 学习内容: 11.1平方根与立方根 学习目标: 1.明确平方根、算术平方根的定义与区别,立方根的定义; 2.会对平方根和立方根的计算进行简单运用. 学习重点:平方根、算术平方根与立方根的定义. 学习难点:区别平方根和算术平方根. 学习过程: 1.平方根的性质:(1)正数的平方根有 ,它们互为 . (2)0的平方根是 ;(3)负数 平方根. 2.算术平方根 :正数a 的 平方根,叫做a 的算术平方根;0的算术平方根是 . 3.立方根的性质:正数的立方根是 ,负数的立方根是 ,0的立方根是 . 4.2)(a = (a ≥0);2 a = . 5.平方根是它本身的数有 ,算术平方根是它本身的数有 ,立方根是它本身的数有 . 典型学习任务 一、判断题 1.判断对错,对的打√,错的打×. (1)0.09的平方根是0.3 ( ) (2)16=±4 ( ) (3)0没有立方根 ( ) (4)1的立方根是±1 ( ) (5)40的算术平方根是20 ( ) 二、选择题 2.121的算术平方根是 ( ) A .±11 B .-11 C .11 D .±121 3.-8的立方根与16的平方根之和为 ( ) A .2 B .-6 C .2或-6 D .以上都不对 4.以下关于8的说法错误的是 ( ) A .8是8的算术平方根 B .8的平方根是8 C .2<8<3 D .8是正数 5.一个自然数的算数平方根是a ,则它后面一个数的算数平方根是 ( ) A .a +1 B .12 +a C .1+a D .12 +a 6.若021=-+-y x ,则y x 的值为 ( ) A .-1 B .1 C .2 D .-2 7.比较2 ( ) A .2< B .2< C 2 D 2< 8.64的立方根等于 ( ) A .4 B .-4 C .±4 D .2 9.若a 是2 )3(-的平方根,则3a 等于 ( ) A .-3 B .33 C .33或-33 D .3或-3 10.已知甲、乙两个正方体,甲的体积是乙的8倍,则甲的棱长是乙的( ) A .8倍 B .2倍 C .512倍 D .2 1 三、填空题 11.1.96是平方根是 .
七年级数学平方根和立方根同步练习__含答案
6.1 平方根立方根 一、基础训练 1.9的算术平方根是() A.-3 B.3 C.±3 D.81 2.下列计算不正确的是() A±2 B= C=0.4 D 3.下列说法中不正确的是() A.9的算术平方根是3 B 2 C.27的立方根是±3 D.立方根等于-1的实数是-1 4的平方根是() A.±8 B.±4 C.±2 D 5.-1 8 的平方的立方根是() A.4 B.1 8 C.- 1 4 D. 1 4 6_______;9的立方根是_______. 7______________(保留4个有效数字) 8.求下列各数的平方根. (1)100;(2)0;(3)9 25 ;(4)1;(5)1 15 49 ;(6)0.09. 9.计算: (1)234 二、能力训练 10.一个自然数的算术平方根是x,则它后面一个数的算术平方根是() A.x+1 B.x2+1 C
11.若2m-4与3m-1是同一个数的平方根,则m的值是() A.-3 B.1 C.-3或1 D.-1 12.已知x,y(y-3)2=0,则xy的值是() A.4 B.-4 C.9 4 D.- 9 4 13.若一个偶数的立方根比2大,算术平方根比4小,则这个数是_______. 14.将半径为12cm的铁球熔化,重新铸造出8个半径相同的小铁球,不计损耗,?小铁球的半径是多 少厘米?(球的体积公式为V=4 3 πR3) 三、综合训练 15.利用平方根、立方根来解下列方程. (1)(2x-1)2-169=0;(2)4(3x+1)2-1=0; (3)27 4 x3-2=0;(4) 1 2 (x+3)3=4.
平方根和立方根知识点总结及练习
【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 (1)平方根的定义:如果一个数x 的平方等于a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根.即: 如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根. (2)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 (3)平方与开平方互为逆运算:±3的平方等于9,9的平方根是±3 (4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果; 一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 - (5)符号:正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根; 正数a 的负的平方根可用-a 表示. (6)a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 (1)算术平方根的定义: 一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这 个正数x 叫做a 的算术平方根.a 的算术平方根记为a ,读作“根号 a”,a 叫做被开方数. { 规定:0的算术平方根是0. 也就是,在等式a x =2 (x≥0)中,规定a x = 。 (2)a 的结果有两种情况:当a 是完全平方数时,a 是一个有限数; 当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数。 (3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大; 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说,被开放数扩大(或缩小)a 倍,算术平方根扩大(或缩小)a 倍,例如=5, =50。 } (4)夹值法及估计一个(无理)数的大小 (5)a x =2 (x≥0) <—> a x =