08_09_05A

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《大学物理》作业 No.5 光的衍射

班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______

一、选择题：

1. 在如图所示的单缝夫琅禾费衍射装置中，设中央明纹的衍射角范围很小。若使单缝宽度a 变为原来的

2

3，同时使入射的单色光

的波长λ 变为原来的3 / 4，则屏幕E 上单缝衍射条纹中央明纹的宽度?x 将变为原来的

[ ] (A) 3 / 4倍 (B) 2 / 3倍 (C) 9 / 8倍 (D) 1 / 2倍 (E) 2倍 解：单缝衍射中央明纹两侧第一暗纹中心间距离为中央明纹线宽度： θtg 2f x =? 由第一暗纹中心条件： λθ=sin a 即

a

λ

θ=

sin

当θ 小时，有

θθsin tg ≈

∴

a

f

x λ

2≈?

已知题意：122

3a a =

， 4/312λλ= ,可得

()()1112

2

2

212212x a f a f

x ?=???

? ??

=

=?λλ ∴ a 、λ 改变后的中央明纹宽度(?x )2变为原来宽度(?x )1的1/2

故选D

2. 波长 λ=500nm(1nm=10-9

m)的单色光垂直照射到宽度a =0.25 mm 的单缝上，单缝后面

放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹。今测得屏幕上中央明条纹一侧第三个暗条纹和另一侧第三个暗条纹之间的距离为d =12 mm ，则凸透镜的焦距f 为

[ ] (A) 2 m (B) 1 m (C) 0.5 m (D) 0.2 m (E) 0.1 m 解：由单缝衍射第一暗纹中心条件： λθ±=sin a 可得中央明纹线宽度a

f

x λ2=?

而其余明纹线宽度a f x λ

='?

故中央明条纹一侧第三个暗条纹和另一侧第三个暗条纹之间的距离应是其余明纹线宽度6倍，即a

f

x d λ

66='?=，于是有m 110

50061225.066

=???=

=

-λ

ad f 故选B

3. 一束白光垂直照射在一光栅上，在形成的同一级光栅光谱中，偏离中央明纹最远的是 [ ] (A) 紫光 (B) 绿光

(C) 黄光 (D) 红光

解：由垂直入射光栅衍射极大条件（光栅方程）λ?k d =sin 知：

同一级光栅衍射光谱中，入射光波长越大，衍射角越小，白光中红光波长最大，故同一级光栅光谱中，偏离中央明纹最远的是红光 故选D

4. 一衍射光柵对某一定波长的垂直入射光，在屏幕上只能出现零级和一级主极大，欲使屏幕上出现更高级次的主极大，下列措施正确的是 [ ]

(A) 换一个光栅常数较小的光栅

(B) 换一个光栅常数较大的光栅

(C) 将光栅向靠近屏幕的方向移动 (D) 将光栅向远离屏幕的方向移动 解：据垂直入射光栅公式 ,......)2,1,0(sin ±±==k k d λ?，

有 λ

π?d k <<,2

，λ 一定，只有光栅常数d 增大时，屏幕上才能出现更高级次的主

极大。 故选B

5. 在光栅光谱中，假如所有偶数级次的主极大都恰好在单缝衍射的暗纹方向上，因而实际上不出现，那么此光栅每个透光缝宽度a 和相邻两缝间不透光部分宽度b 的关系为 [ ] (A) a=

2

1b (B) a=b

(C) a=2

(D) a=3 b

解：由垂直入射光栅衍射极大条件（光柵公式 ）,......)2,1,0(sin )(±±==+k k b a λ? 和单缝衍射的暗纹条件 ,......2,1(s i n ±±=''=k k a λ? 及题意光栅光谱中所有偶数级次的主极大都恰好在单缝衍射的暗纹方向上有 ,......)2,1(2±±=''=k k k

联解上述三个方程有 a=b 故选B

6. 在双缝衍射实验中，若每条缝宽a = 0.030 mm ，两缝中心间距d = 0.15 mm ，则在单缝衍射的两个第一极小条纹之间出现的干涉明条纹数为 [ ] (A) 2 (B) 5 (C) 9 (D) 12 解：由缺级条件：,......)2,1,0(sin ±±==k k d λ?

,......)2,1(sin ±±=''=k k a λ? 知：单缝衍射的两个第一极小条纹位置对应的干涉明条纹级次为：51030

.015.0=?=

'=

k a d k

于是在单缝衍射的两个第一极小条纹之间出现的干涉明条纹级次可为： 4,3,2,1,0±±±±=k 共有9条。

故选C

二、填空题：

1. 惠更斯－菲涅耳原理的基本内容是：波阵面上各面积元所发出的子波在观察点P 的 ， 决定了P 点的合振动及光强。 解：由惠更斯－菲涅耳原理知是 干涉（相干叠加）

2. 用波长为λ的单色平行光垂直入射在一块多缝光柵上，其光柵常数d =3μm ，缝宽a =1μm ，则在单缝衍射的中央明条纹中共有 条谱线(主极大)。 解：由缺级条件：,......)2,1,0(sin ±±==k k d λ?

,......)2,1(sin ±±=''=k k a λ? 知：第一次缺级的级次(单缝衍射的两个第一极小条纹级次)为：51030

.015.0=?=

'=

k a d k

于是在单缝衍射的两个第一极小条纹之间出现的干涉明条纹级次为： 4,3,2,1,0±±±±=k

3. 单缝夫琅和费衍射实验中，屏上第三级暗条纹所对应的单缝处波面可划分为 个半波带，若将缝宽缩小一半，原来第三级暗纹处将是 纹。 解：由单缝衍射暗纹公式 λ?k a =s i n ，当k = 3时，2

63sin λ

λ??

==a

即第三级暗条纹所对应的单缝处波面可划分为6个半波带。

若将缝宽缩小一半，有光程差2

3sin 2

λ

?==?a ，即划分为3个半波带

由1,

12==+k k ，可知原来第三级暗纹处将是第一级明纹。

4. 用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上时，波长为λ1=660nm 的第2级光谱线，将与波长为

λ2 = nm 的第3级光谱线重叠。

解：光谱线重叠，即有光程差相等，则由平行光垂直入射在平面透射光栅上的光栅公式

λ?k d =sin 可知，2211λλk k =，所以(nm)4406603

212

12=?=

=

λλk k

5. 波长λ=550 nm(1nm=10?9m)的单色光垂直入射于光栅常数 d =2×10? 4

cm 的平面衍射光栅上，可能观察到的光谱线的最大级次

为 。

解：单色光垂直入射于光栅的最高级次为：

a

λ

a

λ

-

2a

λ-

2a

λθ

63.310

55010

10

29

2

4

≈???=

+<

---λ

b

a k m 3=m k

则可能观察到的光谱最大级次为3。

6. 如图所示为光栅衍射光强分布曲线图，光栅透光缝cm 1023-?=a 。问：该光栅的总缝数N = ， 缺级主明纹的级次为k = ，光栅常数为d = cm 。

解：由题图知：光栅衍射两主极大之间有2个次极大，光栅中一个单缝衍射的第一级暗纹出现在光栅衍射的第四级主极大处，则由总缝数N =光栅衍射两主极大之间次极大数+2 有总缝数N =2+2= 4 由缺级条件

k k a b a '

=+，有k k '=4，即缺级主明纹的级次为k = ±4，±8，±12，…… ，

光栅常数为 cm 10

810

21

43

3

--?=??='=

a k k d 。

三、计算题：

1. (1) 在单缝夫琅和费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长：1λ=4000 ?,2λ=7600 ?。已知单缝宽度2100.1-?=a cm ，透镜焦距f = 50cm 。求两种光第一级衍射明条纹中心之间的距离。

(2) 若用光栅常数3

100.1-?=d cm 的光栅替代单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主级大值之间的距离。

解：(1) 由单缝衍射明纹公式：,......)2,1(2

)12(sin ±±=+=k k a λ

?

取k ＝1，有

a 23sin 1

1λ?=

222

3

sin λ?=a

a

23sin 22λ?=

两种光第一级明纹在屏上的位置分别为

2

221

11sin tg sin tg ?????≈?=?≈?=f f x f f x

二者之间的距离为

)sin (sin 1212??-=-=?f x x x

(m)

10

27.0)10

400010

7600(10

0.12310

50)(232

10

10

4

2

12-----?=?-????

?=-?=λλa

f

(2) 由光栅公式：λ?k d =sin ，取k = 1, 有

111

111sin ,sin ,sin ?λ?λ??≈==f x d

d 222

222sin ,

sin ,

sin ?λ?λ??≈=

=f x d

d

两种光第一级主级大值之间的距离)sin (sin 1212??-=-=?f x x x

(m)10

8.1)10

400010

7600(10

10

0.11050)(2

10

10

2

3

2

12------?=?-?????=

-=λλd

f

2. 如图所示，设波长为λ 的平面波沿与单缝平面法线成 θ 角的方向入射，单缝AB 的宽度为a ，观察夫琅禾费衍射。试求出各极小值(即各暗条纹)的衍射角?。 解：1、2两光线的光程差，在如图情况下为

θ?sin sin a a CA BD -=-=?

由单缝衍射极小值（暗纹）条件 λθ?k a a ±=-=?sin sin k = 1, 2, ……（未排除k = 0 的扣1分）

得各极小值(即各暗条纹)的衍射角 )sin arcsin(θλ?+±

=a

k

3. 波长λ=5000?的单色光垂直入射到一光柵上，测得第二（改为三）级主级大的衍射角为30o ，且第五级是是第一次缺级。

(1) 光栅常数(a ＋b )等于多少？ (2) 透光缝可能的最小宽度a 等于多少

(3) 在选定了上述(a ＋b )和a 之后，求在屏幕上可能呈现的全部主极大的级次。 解：(1) 由垂直入射光栅衍射极大条件（光栅公式）：λ?k d =sin 和题意k = 3，得 光栅常数

(m)10

0.35

.010

5330

sin 36

7

--?=??=

=

+=

λb a d

(2) 因第五级是第一次缺级，故单缝第一级暗纹与光栅衍射第五级明纹重合

由缺级条件有：

5='

=

+k k a

b a

透光缝可能的最小宽度：

(m)10

6.010

0.35

156

6

--?=??=+=b a a

(3) 垂直入射时，衍射最大级次满足 5,610

510

0.3max 7

6

max ==??=<

--k d k λ 又k = 5缺级，所以在选定了上述(a ＋b )和a 之后屏上可能呈现的全部主极大的级次为：k = 0，±1，±2，±3，±4共9 个主极大。