2.3.1 等比数列的概念
2.3.1 等比数列的概念
教学目标：1. 体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等比数列的概念．
2. 利用等比数列解决实际问题．
教学重点：等比数列的概念．
教学难点：理解等比数列“等比”的特点．可以通过与等差数列进行类比来突破难点．
教学方法：启发式、讨论式．
教学过程：一、问题情境
情境1：某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为
1,2,4,8,16,
情境2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为
1111,,,,24816
情境3：某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为10﹪（就是说这辆车每年减少它的价值的10﹪），那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为
2336,360.9,360.9,360.9,???
问题：与等差数列相比，上面这些数列有什么特点？
二、学生活动
通过观察，发现：
1．上述数列的共同特征，从第2项起，每一项都与它的前一项的比等于同一个常数．而等差数列的特征是，从第2项起，每一项都与它的前一项的差等于同一个常数．
2．根据这一规律可以发现任何一项都可以找出来．
通过讨论，得到这些问题共同的特点是，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．
三、建构教学
1. 归纳总结，形成等比数列的概念：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示．
2. 符号记法，若数列{}n a 为等比数列，公比为q ，则)2(1
≥=-n q a a n n ． 问题1：下列数列是否为等比数列，如果是，公比是多少？
（1）1,1,1,1,1； （2）8,4,2,1,0； （3）16
1,81,41,21,1--； （4）432,,,x x x x ． 问题2：一个数列是等比数列，那么它的项和公比必须满足什么条件？
问题3：当等比数列的公比为负数的时候，数列每一项有什么样的特征？
（学生讨论回答）
答 问题1中（1）、（3）是等比数列，公比分别是1和21-
；（2）不是；（4）当x 不等于0的时候是，等于0的时候不是．
问题2中等比数列的每一项都不能为0，公比也不能等于0．
问题3中项是呈正负交替出现，形成摇摆数列．
3. 等比中项的概念．
若b G a ,,成等比数列，那么G 叫a 和b 的等比中项，且ab G ab G ±==,2．
注：同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数．
四、数学运用
1. 例题．
例1 求出下列等比数列中的未知项：（1）8,,2a ；（2）2
1,
,,4c b -．
例2 （1）在等比数列{}n a 中，是否有)2(112≥=+-n a a a n n n ？ （2）如果数列{}n a 中，对于任意的正整数()2≥n ，都有112
+-=n n n a a a ，那 么{}n a 一定成等比数列吗？
引导学生利用课本P 36例3的证明过程对等比数列进行讨论，只是要提醒学生等比数列每一项均不为0．所以（2）不一定成立，只有在每一项均不为0的时候才成立．
总结判定数列是否是等比数列的两个方法：定义法和等比中项法．
例3 已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ．
（1） 新数列1221,,,,,a a a a a n n n --也是等比数列吗？如果是，公比是多少？
（2） 依次取出数列{}n a 所有的奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等
比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？
（3） 数列{}()0≠c ca n 是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？
引导学生讨论，按照等比数列的定义，利用)2(1
≥=-n q a a n n 判断．归纳总结一般性的结论：如果取出的项下标成等差数列，按照原来的顺序排列形成的新数列依然是等比数列，公比是d q （d 为下标成等差数列
时的公差）
2. 练习．
（1） 已知下列数列是等比数列，请在括号内填上适当的数：
①（ ），3,27； ②3，（ ），5； ③1，（ ），（ ），8
81． （2） 直角三角形的三边c b a ,,成等比，c 为斜边，则___________sin =A ．
（3） 已知数列{}n a 满足：53lg +=n a n ，试用定义证明{}n a 是等比数列．
五、要点归纳与方法小结
1. 了解等比数列的概念，形成与等差数列的一个对比；
2. 对于等比数列的每一项均不为0要进行讨论；
3. 证明一个数列是等比数列要用定义法证明，即
()21≥=-n q a a n n ． 六、课外作业
课本练习P51第1，2，3，6题．