当前位置：文档视界 › 9矩阵、行列式、算法初步

9矩阵、行列式、算法初步

矩阵、行列式、算法初步

一、矩阵 1. 矩阵的概念

形如1231-?? ???

纵横排列的矩形二维数据表格叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元

素．矩阵的一行叫做矩阵的行向量，如(1,2)-；一列叫做矩阵的列向量，如13??

???

．

矩阵一般用大写字母来表示，例如m 行n 列的矩阵可记做m n A ?，简记为A ，也可以把第i 行第j 列的元素用圆括号括起来表示，即()ij A a =．

若()m n ij A a ?=、()m n ij B b ?=是两个行数与行数相等，列数与列数相等的矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，即(1,2,,;1,2,,)ij ij a b i m j n === ，称两矩阵相等，记作A B =．

行数与列数相等的矩阵称为方矩阵，简称方阵．

主对角线元素为1，其余元素均为0的矩阵叫做单位矩阵．如1001??

???

．

2. 矩阵的初等变换

（1）交换矩阵的两行（或两列）；

（2）将矩阵的某一行（或某一列）乘以一个非零常数；

（3）将矩阵的某一行（或某一列）乘以一个数加到另一行（或另一列）．

矩阵的初等变换实则对应了用加减消元法求解方程组的过程．

3. 矩阵与方程组

把方程组的系数写成矩阵叫做方程组的系数矩阵，把方程组的系数和常数项写成矩阵叫做方程组的增广矩阵．解n 元一次方程组的过程就是通过一系列的矩阵初等变换，使方程组的系数变为单位矩阵的过程，在系数矩阵变化过程中增广矩阵随之变化．最后增广矩阵的最后一列给出方程组的解．

4. 矩阵的运算

（1）加减法

当两个矩阵A 、B 的行数与列数分别相等时，将它们对应位置上的元素相加ij ij ij c a b =+（相减ij ij ij c a b =-），12,,;12,,i mj n

== ，所得到的矩阵()ij c 称为矩阵A 、B 的和

（差），记作()A B A B +-．

（2）数乘

设α为任意实数，我们把矩阵()ij A a =的所有元素都与α相乘所得到的矩阵()ij a α叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵，记作A α．

矩阵A 与实数α相乘满足如下交换律和分配律： 1°A A αα=

2°()A B A B ααα+=+

（3）乘法

设m k A ?，k n B ?，m n C ?，如果矩阵C 中第i 行第j 列的元素ij c 为A 的第i 个行向量与B 的第j 个行向量的数量积，1,2,,;1,2,,i m j n == ．那么矩阵C 叫做矩阵A 和矩阵B 的乘积．

由定义可知，只有当矩阵A 的列数等于矩阵B 的行数时，矩阵之积AB 才有意义．一般地，AB BA ≠．

二、行列式

1. 行列式的概念及运算

（1）二阶行列式

我们用记号

2a b a b 表示算式1221a b a b -，即1

112212

a b a b a b a b =-．

该记号叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式，算式1221a b a b -叫做行列式的展开式，其计算结果叫做行列式的值．1212,,,a a b b 都叫做行列式的元素．行列式一般可用大写字母

表示，如11

a b D a b =．

将实线表示的对角线（叫做主对角线）上的两个数的乘积减去虚线表示的对角线（叫做副对角线）上两个数的乘积所得的差即为1221a b a b -．利用对角线可把二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则．

（2）三阶行列式

我们用记号1

223

a b c a b c a b c 表示算式123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---，即

111

2221232313123212131323

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++---．该记号叫做三阶行列式，该算式叫做三阶行列式的展开式．,,(1,2,3)i i i a b c i =都叫做行列式的元素．

三阶行列式的两种展开方法： 1°按对角线展开

2°按一行（或一列）展开

一般地，把三阶行列式中某个元素ij a 所在的行和列划去，将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式，在余子式前添上(1)i j +-叫做元素ij a 的代数余子式，记作ij A ．

三阶行列式可以按其任意一行（或一列）展开成该行（或该列）元素与其对应的代数余子式的乘积之和．

例如：1

223

3a b c a b c a b c 按第一列展开112233a A a A a A =++，其中2

213

c A b c =，

1123

b c A b c =-

，11

b c A b c =

，它们分别是元素123,,a a a 的代数余子式．如果将三阶行列式的某一行（或一列）的元素与另一行（或一列）的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零．

2. 行列式与方程

（1）二阶行列式与二元一次方程组

设二元一次方程组111

222

a x

b y

c a x b y c +=??

+=?，它的系数行列式为1122a b D a b =

，记1

x c b D c b =，112

y a c D a c =

，即用常数项替换系数行列式中x 的系数列或y 的系数列．

当0D ≠时，方程组有唯一解x y

D x D

D y D

?=????=??．

当0x y D D D ===时，方程组有无穷多组解．当0D =，0x D ≠或0y D ≠时，方程组无解．

（2）三阶行列式与三元一次方程组

设三元一次方程组1111

22223

333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=??

++=??++=?，它的系数行列式为1112

2233

a b c D a b c a b c =，记

112

223

3x d b c D d b c d b c =，11122233

3y a d c D a d c a d c =，111

223

z a b d D a b d a b d =，即用常数项替换系数行列式中x 、y 或z 的系数列．

当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ?=??

=??

?=??

．

当0D =，,,x y z D D D 不全为零时，方程组无解．

当0x y z D D D D ====时，方程组或者无解或者有无穷多组解．

3. 行列式的应用

（1）三角形面积公式

在平面直角坐标系中，点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则△ABC 的面积为

1122331

121ABC x y S x y x y ?=

（行列式的绝对值）．于是可知，同一平面上,,A B C 三点共线的充要条件为1

31101

x y x y x y =．

（2）两向量的向量积

已知两个向量a 和b ，且它们的夹角为(0)θθπ≤≤，如果向量c

满足

（1）sin c a b θ=

；（2）c a ⊥ 且c b ⊥

（3）按,,a b c

的次序构成右手系，

那么把向量c 叫做向量a 与b 的向量积，记作c a b =?

．

根据定义，可知向量a 与b 的向量积仍是一个向量，它的模等于向量a 、b

构成的平行

四边形的面积，它的方向垂直于a

、b

所在的平面．

设111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==

，则

1221122112211

112

()()()i j k c a b y z y z i z x z x j x y x y k x y z x y z =?=-+-+-=

．利用行列式可以以简洁的表达式快速求出一个平面的法向量．

三、算法初步 1. 算法的概念

一般地，对于一类有待求解的问题，如果建立了一套通用的解题方法，按部就班地实施这套方法就能使该类问题得以解决，那么这套解题方法是求解该类问题的一种算法．

2. 算法结构

（1）顺序结构

如果在算法各步骤的前后顺序不能交换，否则会产生不一样的效果，这种语句结构叫做算法中的顺序结构．

（2）条件结构

先对条件作检验，如果“条件”成立，那么执行指令（组）A ；如果“条件”不成立（否则），那么执行指令（组）B ．这种语句结构叫做算法中的条件结构．

（3）循环结构

重复执行同样指令的结构叫做算法中循环结构．其中变量i 的数值决定了循环的“继续”还是“结束”，故称i 为循环变量，称重复执行的指令组为循环体．

3. 程序框图