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2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查理科数学试卷-含答案

2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查理科数学试卷-含答案
2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查理科数学试卷-含答案

2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷

理 科 数 学

本试卷分第I 卷和第II 卷两部分.第I 卷1至3页,第II 卷3至5页,满分150. 考生注意:

1.答题前,考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.

3.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并交回 .

第I 卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的. 1.若复数2

2i +

1i

z =+,其中i 是虚数单位,则复数z 的模为 A

B

C

D .2

2.设集合201x A x

x ?+?

=≤??-??

,22{|log (23)}B x y x x ==--,则A B =

A .{}21x x -≤<-

B .{}11x x -<≤

C .{}21x x -≤<

D .{}11x x -≤<

3.已知等比数列{}n a 满足11

8

a =,243441a a a =-,则2a =

A .14±

B .14

C .116±

D .116

4.已知变量x ,y 满足约束条件1,

1,1,y x y y x ≤??

+≥??≥-?

则2x y +的最大值为

A .2

B .5

C .6

D .7 5.一个球体被挖去一个圆锥,所得几何体的三视图

如右图所示,则该几何体的体积为 A .

53

π B .7π C .323π D .13π

6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目: “一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个, 大、小和尚各几丁?”右图所示的程序框图反映了此题的 一个算法.执行右图的程序框图,则输出的n = A .25 B .45 C .60 D .75

7.若a ,b 为空间两条不同的直线,α,β则a α⊥的一个充分条件是

A .//a β且αβ⊥

B .a β?且αβ⊥

C .a b ⊥且//b α

D .a β⊥且//αβ 8.若实数x ,y ,z 满足23log log 2z x y ==,则

x ,y ,z 的大小关系是

A .x

B .x

C .z

D .z

9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称,斜率为过点A 交l 于点C ,若ABC ?的面积为2,则k 的值为

A .3或13

B .0

C .1

3

D .3

10.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:

2(0)C x py p =>的焦点F ,与抛物线C 交于

A ,B

两点,又直线l 与圆22

2

304

x y py p +--

=交于C ,D 两点.若||3||AB CD =,则k 的值为 A B . C .4 D .8

11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ω?ω=+>>的周期为π,(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的

图像与x 轴相邻的两个交点,点3,()2P a m a n ??

<< ???

在函数()f x 的图像上,且满足

2

12

MN PN π?=,则A 的值为

A .3

B .2 C

D

12.已知函数2

()ln cos ()2

a f x x x x a =

+-∈R ,以下四个命题: ①当e a ≤-时,函数()f x 存在零点; ②当0a <时,函数()f x 没有极值点;

③当0a =时,函数()f x 在(0,)π上单调递增;

④当2cos1a ≥时,()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立.其中的真命题为 A .②③ B .①④ C .①② D .③④

2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷

理 科 数 学

第II 卷

注意事项:

用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.

本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须做答. 第22、23题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.已知向量(1,2)=-a ,(,1)m m =-b ,若//a b ,则?a b = .

14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-,且2,[0,2),()36,[2,4),2

x a x f x x x ?+∈?

=?-+∈??

则1115f f +()()= .

15

.若sin()2cos )4

αααπ

++,则sin2α= .

16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中,正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ,

1BB 的距离之差为2.设11C D 的中点为E ,则PE 的最小值为 .

三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(12分)

已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112

a =,前n 项和为n S ,且2112n n n S S a +++=. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设1

(1)n n

b n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .

18.(12分)

如图,矩形ABCD ⊥平面EBC ,1AB =, 23

π

EBC

?,且M ,N 分别为AB ,CE 的中点.

(1)证明://MN 平面AED ;

(2)若2BC BE ==,求二面角E AD B --的大小.

19.(12分)

ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c

cos c C -=?

,c =

(1)求A ;

(2)若ABC ?为锐角三角形,D 为BC 中点,求AD 的取值范围.

20.(12分)

已知椭圆222

2

10:

()x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为

1

2

,过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,2ABF ?的周长为8. (1)求椭圆C 的标准方程;

(2)问:2ABF ?的内切圆面积是否有最大值?若有,试求出最大值;若没有,说明理由.

21.(12分)

已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b +=?--∈R .

(1)若0b =,曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行,求a 的值; (2)若2b =,且函数()f x 的值域为[)2,+∞,求a 的最小值.

请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy 中,圆22:(1)(1)1C x y -+-=.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为

极轴,直线l 的极坐标方程为(0)2

θααπ

=<<,直线l 交圆C 于A ,B 两点,P 为AB 中点.

(1)求点P 轨迹的极坐标方程;

(2)若||||AB OP ?α的值.

23.[选修4—5:不等式选讲](10分)

已知1

1212

x x m ++-?在R 上恒成立. (1)求m 的最大值M . (2)若a ,b 均为正数,且1

1

a M

b +=-,求2a b -的取值范围.

2020年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学(理科)试题参考答案及评分标准

说明:

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考

生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决

定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.

三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分. 1.B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D

二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分20分.

13.5- 14.12 15.3

5

- 16

三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.本小题主要考查数列及数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想等,满分12分.

17. 解:(1)由2

11

2

122(2)

n n n n n n S S a S S a n ++-?+=??+=≥??两式相减,得: 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥,……………………………… 2分

0n a >,∴11

(2)2

n n a a n +-=≥,………………………………3分

当1n =时,22122S S a +=且112

a =

, 故222210a a --=,得21a =(21

02

a =-<舍去),

∴2111

122

a a -=-

=,………………………………4分 ∴数列{}n a 为等差数列,公差为

1

2

,………………………………5分 所以1

2

n a n = .………………………………6分

(2)由(1)及题意可得

1

112()11(1)2

n b n n n n =

=-++?,………………………………8分 所以123n n T b b b b =++++

11111

11

2[(1)()()()223341

n n =-+-+-+

+-+]………………………………10分

122(1)11

n n n =-

=++.………………………………12分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分12分. (1)证明:取DE 中点F ,分别连结AF ,FN 又N 为BC 中点,

所以1

//,2

FN CD FN CD =,.…………………… 1分

因为矩形ABCD 中,M 为AB 的中点, 所以1

//,2

AM CD AM CD =

所以//,AM FN AM FN =,……………… 2分 所以四边形AMNF 为平行四边形,…………3分 所以//AF MN ,……………… 4分 又因为AF ?平面AED ,MN ?平面AED , 所以//MN 平面AED .………………………5分 (2)因为矩形ABCD ⊥平面EBC , 矩形ABCD 平面EBC BC =, AB BC ⊥ 所以AB ⊥平面EBC .………………………………6分

如图,以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -,

则(0,0,0)B ,(0,0,1)A ,(0,2,1)D

,1,0)E -,………7分 因为x 轴⊥平面ABCD ,

所以1(1,0,0)=n 为平面ABCD 的一个法向量,………………………………8分 设2(,,)x y z =n 为平面AED 的法向量, 因为(0,2,0)AD =,(3,1,1)AE =--,

y

所以22

00AD AE ??=???=??n n

,得200y y z =??--=,

故可取2=n ,………………………………11分 则1212121cos ,2

?<>=

=?n n n n n n ,

由图可知二面角的平面角为锐角, 所以二面角E AD B --的大小为3

π

.………………………………12分 解法二:

(1)取CD 中点F ,分别连结FM ,FN . 又矩形ABCD 中,M 为AB 中点, 所以//,AM DF AM DF =, 所以四边形AMFD 为平行四边形,

所以//MF AD ,…………… 1分

又AD ?平面AED ,MF ?平面AED , 所以//MF 平面AED .………………… 2分 因为F 、N 分别为CD 、CE 的中点.

所以//FN DE ,

又DE ?平面AED ,FN ?平面AED , 所以//FN 平面AED .……………… 3分 又因为MF FN F ?=,

所以平面//FMN 平面AED ,………………4分 又MN ?平面FMN ,

所以//MN 平面AED .………………………………5分

(2)过点E 作EG CB ⊥交CB 的延长线于G ,过G 作GH DA ⊥交DA 的延长线于H ,连结EH , 又因为平面ABCD ⊥平面EBC ,矩形ABCD 平面EBC BC = 所以EG ⊥平面ABCD .

EG AH ∴⊥

又EG GH G =,

AH ∴⊥平面EGH , EH AH ∴⊥

所以EHG ∠即为二面角E AD B --的平面角,………………………………10分 因为1AB GH ==

,GE

所以tan EHG ∠=………………………………11分 由图可知二面角的平面角为锐角, 所以二面角E AD B --的大小为3

π

.……………………12分

19.本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等,考查应用意识.满分12分. 解:(1

cos c C -=?

,由正弦定理,得sin cos B C A C -……………1分

又sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+

cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=…………………………………2分

sin sin 0A C C -=,…………………………………3分 因为0C π<<,所以sin 0C ≠

所以cos 2

A =0A π<<………………………………………4分 所以4

A π

=

.……………………………………………………5分

(2)由(1)知4

A π

=

根据题意得4

02

2C C πππ?

<??,,

解得42C ππ<<. ……………………………………………………6分

在ABC ?中,由正弦定理得

sin sin c b

C B

=,

所以)

2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C

C A

π

+

+=

==+………………………………………7分

因为()42

C ππ

∈,,所以tan (1)A ∈+∞,

所以(24)b ∈,

……………………………………………………………8分 因为D 为BC 中点,所以1

()2

AD AC AB =+………………………………9分

所以22

1()4

AD AC AB =+

21

(48)4

b b =++ 21

(2)14

b =++………………………………10分 因为(24)b ∈,

所以AD

的取值范围为………………………………12分

解法二:(1)

cos c C -=?

222

2a b c c ab

+--=?

……………………1分

整理得

222b c a +-=………………………………2分

所以222cos 2a b c A bc +-==

………………………………4分 又0A π<<,所以4

A π

=………………………………5分

(2)由(1)知4

A π

=

,又c =,故2284a b b =+-.…………………………6分

因为ABC ?为锐角三角形,

所以222222222a b c b c a a c b ?+>?+>??+>?,即222222848

884848b b b b b b b b

?+->?+>+-??+-+>?………………………7分 所以(24)b ∈,

………………………………8分 延长AD 到点E ,使得DE AD =,连结BE ,CE .

则四边形ABEC 为平行四边形,所以34

4

ABE π

π

π∠=-

=

,BE AC b ==. 在ABE ?中,2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-?∠,………………………………9分 即2244+8AD b b =+

,所以AD =

………………………………10分 因为(24)b ∈,

,所以AD

的取值范围为.………………………………12分 20.本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的能力,满分12分.

解:(1)离心率为1

2

c e a =

=,∴2a c =,………………………………1分 2ABF ?的周长为8,∴48a =,得2a =,………………………………3分

∴1c =,2223b a c =-=,………………………………4分

因此,椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=.………………………………5分

(2)设2ABF ?的内切圆半径为r ,∴2221

(||||||)2

ABF S AF AB BF r ?=++?,

22||||||8AF AB BF ++=,∴24ABF S r ?=,

要使2ABF ?的内切圆面积最大,只需2ABF S ?的值最大.………………………………6分 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线:1l x my =-,

联立22

143

1x y x my ?+

=???=-?

消去x 得:22(34)690m y my +--=, 易得0?>,且122

634m y y m +=+,1229

34

y y m -?=+,………………………………7分

所以212121

||||2

ABF S F F y y ?=

?-=

==,………………………………8分

设1t =,则221212

1

313ABF t S t t t

?=

=++,………………………………9分 设13(1)y t t t =+≥,2130y t '=->,所以1

3y t t

=+在[1,)+∞上单调递增,……………10分

所以当1t =,即0m =时,2ABF S ?的最大值为3,………………………………11分

此时34r =

,所以2ABF ?的内切圆面积最大为916

π

.………………………………12分 (注:若讨论直线l 斜率存在或不存在,由此求得斜率不存在时面积最大值,酌情按步给分)

21.本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分12分.

解:(1)当0b =时,21

()ax f x x e

ax +=-,

1()(2)ax f x xe ax a +'=+-,………………………………1分

由1

(1)(2)2a f e a a +'=+-=,………………………………2分

得1

(2)(2)0a e

a a ++-+=,

即1

(1)(2)0a e

a +-+=,……………………………3分

解得1a =-或2a =-.………………………………4分

当1a =-时,0

(1)12f e =+=,此时直线2y x =恰为切线,故舍去,……………………5分 所以2a =-.………………………………6分 (2)当2b =时,21

()2ln ax f x x e

x ax +=--,

设21ax t x e +=,则ln 2ln 1t x ax =++,………………………………7分 故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11

()1t g t t t

-'=-

=

,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)+∞,

所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=,。………………………………8分 此时1t =,函数的()f x 的值域为[2,)+∞

问题转化为当1t =时,ln 2ln 1t x ax =++有解,………………………………9分

即ln12ln 10x ax =++=,得12ln x

a x

+=-

。 设12ln ()x h x x +=-,则2

2ln 1

()x h x x -'=,

故()h x

的单调递减区间为

,单调递增区间为)+∞, 所以()h x

的最小值为h =………………………………11分 故a

的最小值为………………………………………12分 22.选修44-;坐标系与参数方程

本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分10分. 解

1

C

的极坐标方程为

22(sin cos )10ρρθθ-++=,………………………………………1分

将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得:

22(sin cos )10ρραα-++=(0)2

π

α<<,

24(sin cos )40αα?=+->成立, 设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ,

所以1212

2(sin cos ),1,ρρααρρ+=+???=?,………………………………………3分

所以12

0sin cos 2

ρρραα+=

=+,………………………………………4分

所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+,(0,)2

π

θ∈. (5)

(2)由(1)得,1200|||||||||AB OP ρρρρ?=-?……………………………6分

|sin cos |αα+

|sin cos |αα=+=………………………………………7分

所以4sin 2(1sin 2)3αα+=,(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=,………………………………………8分

又(0,)2πα∈,所以26

πα=或526πα=,………………………………………9分

即12

π

α=

或512

π

α=

.………………………………………10分 解法二:

(1)因为P 为AB 中点,所以CP AB ⊥于P ,………………………………………1分 故P 的轨迹是以OC 为直径的圆(在C 的内部),………………………………………2分 其所在圆方程为:2

2

111222x y ?

???-+-= ? ??

???,………………………………………3分

即220x y x y +--=.

从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+,(0,)2π

θ∈. (5)

(2)由(1)得,1200|||||||||AB OP ρρρρ?=-?………………………………6分

|sin cos |αα+

|sin cos |αα=+=………………………………………7分

令sin cos t αα=+,因为(0,)2π

α∈,所以t ∈, 则21sin 2t α-=,

所以t 224(1)3t t -?=,………………………………………8分 即424430t t --=,解得232t =

(212t =-舍去),所以21sin 212

t α=-=, 又(0,)2πα∈,2(0,)απ∈,所以26

πα=或526π

α=,……………………………9分

即12

π

α=

或512

π

α=

. ………………………………10分 23.选修45-:不等式选讲

本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等. 满分10分. 23.解:(1)构造()|1||21|f x x x =++-,

1

()|1||21|2

f x x x m =+++≥-

在R 上恒成立,

∴min 1

()2

f x m ≥-

,………………………………………1分 又3,11()2,1213,2

x x f x x x x x ?

?-≤-?

?

=-+-<

?

≥??,………………………………………3分

∴min 3

()2

f x =

,∴2m ≤,………………………………………4分 ∴m 的最大值2M =.………………………………………5分

(2)由(1)得2M =,故1

21

a b +=-.

0,0a b >>,1232011

b a b b -∴=-

=>--, 3

2

b ∴>

或01b <<.………………………………………6分 故11

2222(1)11a b b b b b

-=-

-=-+

--.………………………………………7分 当01b <<时,011b <-<,

2a b -?

当且仅当1

2(1)1b b

-=

-

,即1b =-时取“=”;………………………………………8分 当32b >时,112

b ->,

1

22(1)1a b b b 轾犏-=--+?

-犏-臌

当且仅当1

2(1)1

b b -=

-,即1b =+=”.………………………………………9分

所以2a b -的取值范围是(,)-?+?U .………………………………………10分

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