2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷
理 科 数 学
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分.第I 卷1至3页,第II 卷3至5页,满分150. 考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.
3.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并交回 .
第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的. 1.若复数2
2i +
1i
z =+,其中i 是虚数单位,则复数z 的模为 A
B
C
D .2
2.设集合201x A x
x ?+?
=≤??-??
,22{|log (23)}B x y x x ==--,则A B =
A .{}21x x -≤<-
B .{}11x x -<≤
C .{}21x x -≤<
D .{}11x x -≤<
3.已知等比数列{}n a 满足11
8
a =,243441a a a =-,则2a =
A .14±
B .14
C .116±
D .116
4.已知变量x ,y 满足约束条件1,
1,1,y x y y x ≤??
+≥??≥-?
则2x y +的最大值为
A .2
B .5
C .6
D .7 5.一个球体被挖去一个圆锥,所得几何体的三视图
如右图所示,则该几何体的体积为 A .
53
π B .7π C .323π D .13π
6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目: “一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个, 大、小和尚各几丁?”右图所示的程序框图反映了此题的 一个算法.执行右图的程序框图,则输出的n = A .25 B .45 C .60 D .75
7.若a ,b 为空间两条不同的直线,α,β则a α⊥的一个充分条件是
A .//a β且αβ⊥
B .a β?且αβ⊥
C .a b ⊥且//b α
D .a β⊥且//αβ 8.若实数x ,y ,z 满足23log log 2z x y ==,则
x ,y ,z 的大小关系是
A .x B .x C .z D .z 9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称,斜率为过点A 交l 于点C ,若ABC ?的面积为2,则k 的值为 A .3或13 B .0 C .1 3 D .3 10.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2: 2(0)C x py p =>的焦点F ,与抛物线C 交于 A ,B 两点,又直线l 与圆22 2 304 x y py p +-- =交于C ,D 两点.若||3||AB CD =,则k 的值为 A B . C .4 D .8 11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ω?ω=+>>的周期为π,(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的 图像与x 轴相邻的两个交点,点3,()2P a m a n ?? << ??? 在函数()f x 的图像上,且满足 2 12 MN PN π?=,则A 的值为 A .3 B .2 C D 12.已知函数2 ()ln cos ()2 a f x x x x a = +-∈R ,以下四个命题: ①当e a ≤-时,函数()f x 存在零点; ②当0a <时,函数()f x 没有极值点; ③当0a =时,函数()f x 在(0,)π上单调递增; ④当2cos1a ≥时,()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立.其中的真命题为 A .②③ B .①④ C .①② D .③④ 2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷 理 科 数 学 第II 卷 注意事项: 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效. 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须做答. 第22、23题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.已知向量(1,2)=-a ,(,1)m m =-b ,若//a b ,则?a b = . 14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-,且2,[0,2),()36,[2,4),2 x a x f x x x ?+∈? =?-+∈?? 则1115f f +()()= . 15 .若sin()2cos )4 αααπ ++,则sin2α= . 16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中,正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA , 1BB 的距离之差为2.设11C D 的中点为E ,则PE 的最小值为 . 三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(12分) 已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112 a =,前n 项和为n S ,且2112n n n S S a +++=. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设1 (1)n n b n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.(12分) 如图,矩形ABCD ⊥平面EBC ,1AB =, 23 π EBC ?,且M ,N 分别为AB ,CE 的中点. (1)证明://MN 平面AED ; (2)若2BC BE ==,求二面角E AD B --的大小. 19.(12分) ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c cos c C -=? ,c = (1)求A ; (2)若ABC ?为锐角三角形,D 为BC 中点,求AD 的取值范围. 20.(12分) 已知椭圆222 2 10: ()x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为 1 2 ,过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,2ABF ?的周长为8. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)问:2ABF ?的内切圆面积是否有最大值?若有,试求出最大值;若没有,说明理由. 21.(12分) 已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b +=?--∈R . (1)若0b =,曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行,求a 的值; (2)若2b =,且函数()f x 的值域为[)2,+∞,求a 的最小值. 请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 在平面直角坐标系xOy 中,圆22:(1)(1)1C x y -+-=.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为 极轴,直线l 的极坐标方程为(0)2 θααπ =<<,直线l 交圆C 于A ,B 两点,P 为AB 中点. (1)求点P 轨迹的极坐标方程; (2)若||||AB OP ?α的值. 23.[选修4—5:不等式选讲](10分) 已知1 1212 x x m ++-?在R 上恒成立. (1)求m 的最大值M . (2)若a ,b 均为正数,且1 1 a M b +=-,求2a b -的取值范围. 2020年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学(理科)试题参考答案及评分标准 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考 生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决 定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分. 1.B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分20分. 13.5- 14.12 15.3 5 - 16 三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.本小题主要考查数列及数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想等,满分12分. 17. 解:(1)由2 11 2 122(2) n n n n n n S S a S S a n ++-?+=??+=≥??两式相减,得: 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥,……………………………… 2分 又 0n a >,∴11 (2)2 n n a a n +-=≥,………………………………3分 当1n =时,22122S S a +=且112 a = , 故222210a a --=,得21a =(21 02 a =-<舍去), ∴2111 122 a a -=- =,………………………………4分 ∴数列{}n a 为等差数列,公差为 1 2 ,………………………………5分 所以1 2 n a n = .………………………………6分 (2)由(1)及题意可得 1 112()11(1)2 n b n n n n = =-++?,………………………………8分 所以123n n T b b b b =++++ 11111 11 2[(1)()()()223341 n n =-+-+-+ +-+]………………………………10分 122(1)11 n n n =- =++.………………………………12分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分12分. (1)证明:取DE 中点F ,分别连结AF ,FN 又N 为BC 中点, 所以1 //,2 FN CD FN CD =,.…………………… 1分 因为矩形ABCD 中,M 为AB 的中点, 所以1 //,2 AM CD AM CD = 所以//,AM FN AM FN =,……………… 2分 所以四边形AMNF 为平行四边形,…………3分 所以//AF MN ,……………… 4分 又因为AF ?平面AED ,MN ?平面AED , 所以//MN 平面AED .………………………5分 (2)因为矩形ABCD ⊥平面EBC , 矩形ABCD 平面EBC BC =, AB BC ⊥ 所以AB ⊥平面EBC .………………………………6分 如图,以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -, 则(0,0,0)B ,(0,0,1)A ,(0,2,1)D ,1,0)E -,………7分 因为x 轴⊥平面ABCD , 所以1(1,0,0)=n 为平面ABCD 的一个法向量,………………………………8分 设2(,,)x y z =n 为平面AED 的法向量, 因为(0,2,0)AD =,(3,1,1)AE =--, y 所以22 00AD AE ??=???=??n n ,得200y y z =??--=, 故可取2=n ,………………………………11分 则1212121cos ,2 ?<>= =?n n n n n n , 由图可知二面角的平面角为锐角, 所以二面角E AD B --的大小为3 π .………………………………12分 解法二: (1)取CD 中点F ,分别连结FM ,FN . 又矩形ABCD 中,M 为AB 中点, 所以//,AM DF AM DF =, 所以四边形AMFD 为平行四边形, 所以//MF AD ,…………… 1分 又AD ?平面AED ,MF ?平面AED , 所以//MF 平面AED .………………… 2分 因为F 、N 分别为CD 、CE 的中点. 所以//FN DE , 又DE ?平面AED ,FN ?平面AED , 所以//FN 平面AED .……………… 3分 又因为MF FN F ?=, 所以平面//FMN 平面AED ,………………4分 又MN ?平面FMN , 所以//MN 平面AED .………………………………5分 (2)过点E 作EG CB ⊥交CB 的延长线于G ,过G 作GH DA ⊥交DA 的延长线于H ,连结EH , 又因为平面ABCD ⊥平面EBC ,矩形ABCD 平面EBC BC = 所以EG ⊥平面ABCD . EG AH ∴⊥ 又EG GH G =, AH ∴⊥平面EGH , EH AH ∴⊥ 所以EHG ∠即为二面角E AD B --的平面角,………………………………10分 因为1AB GH == ,GE 所以tan EHG ∠=………………………………11分 由图可知二面角的平面角为锐角, 所以二面角E AD B --的大小为3 π .……………………12分 19.本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等,考查应用意识.满分12分. 解:(1 cos c C -=? ,由正弦定理,得sin cos B C A C -……………1分 又sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+ cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=…………………………………2分 sin sin 0A C C -=,…………………………………3分 因为0C π<<,所以sin 0C ≠ 所以cos 2 A =0A π<<………………………………………4分 所以4 A π = .……………………………………………………5分 (2)由(1)知4 A π = 根据题意得4 02 2C C πππ? <???+>??,, 解得42C ππ<<. ……………………………………………………6分 在ABC ?中,由正弦定理得 sin sin c b C B =, 所以) 2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C C A π + += ==+………………………………………7分 因为()42 C ππ ∈,,所以tan (1)A ∈+∞, 所以(24)b ∈, ……………………………………………………………8分 因为D 为BC 中点,所以1 ()2 AD AC AB =+………………………………9分 所以22 1()4 AD AC AB =+ 21 (48)4 b b =++ 21 (2)14 b =++………………………………10分 因为(24)b ∈, 所以AD 的取值范围为………………………………12分 解法二:(1) cos c C -=? 222 2a b c c ab +--=? ……………………1分 整理得 222b c a +-=………………………………2分 所以222cos 2a b c A bc +-== ………………………………4分 又0A π<<,所以4 A π =………………………………5分 (2)由(1)知4 A π = ,又c =,故2284a b b =+-.…………………………6分 因为ABC ?为锐角三角形, 所以222222222a b c b c a a c b ?+>?+>??+>?,即222222848 884848b b b b b b b b ?+->?+>+-??+-+>?………………………7分 所以(24)b ∈, ………………………………8分 延长AD 到点E ,使得DE AD =,连结BE ,CE . 则四边形ABEC 为平行四边形,所以34 4 ABE π π π∠=- = ,BE AC b ==. 在ABE ?中,2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-?∠,………………………………9分 即2244+8AD b b =+ ,所以AD = ………………………………10分 因为(24)b ∈, ,所以AD 的取值范围为.………………………………12分 20.本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的能力,满分12分. 解:(1)离心率为1 2 c e a = =,∴2a c =,………………………………1分 2ABF ?的周长为8,∴48a =,得2a =,………………………………3分 ∴1c =,2223b a c =-=,………………………………4分 因此,椭圆C 的标准方程为22 143 x y +=.………………………………5分 (2)设2ABF ?的内切圆半径为r ,∴2221 (||||||)2 ABF S AF AB BF r ?=++?, 又 22||||||8AF AB BF ++=,∴24ABF S r ?=, 要使2ABF ?的内切圆面积最大,只需2ABF S ?的值最大.………………………………6分 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线:1l x my =-, 联立22 143 1x y x my ?+ =???=-? 消去x 得:22(34)690m y my +--=, 易得0?>,且122 634m y y m +=+,1229 34 y y m -?=+,………………………………7分 所以212121 ||||2 ABF S F F y y ?= ?-= ==,………………………………8分 设1t =,则221212 1 313ABF t S t t t ?= =++,………………………………9分 设13(1)y t t t =+≥,2130y t '=->,所以1 3y t t =+在[1,)+∞上单调递增,……………10分 所以当1t =,即0m =时,2ABF S ?的最大值为3,………………………………11分 此时34r = ,所以2ABF ?的内切圆面积最大为916 π .………………………………12分 (注:若讨论直线l 斜率存在或不存在,由此求得斜率不存在时面积最大值,酌情按步给分) 21.本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分12分. 解:(1)当0b =时,21 ()ax f x x e ax +=-, 1()(2)ax f x xe ax a +'=+-,………………………………1分 由1 (1)(2)2a f e a a +'=+-=,………………………………2分 得1 (2)(2)0a e a a ++-+=, 即1 (1)(2)0a e a +-+=,……………………………3分 解得1a =-或2a =-.………………………………4分 当1a =-时,0 (1)12f e =+=,此时直线2y x =恰为切线,故舍去,……………………5分 所以2a =-.………………………………6分 (2)当2b =时,21 ()2ln ax f x x e x ax +=--, 设21ax t x e +=,则ln 2ln 1t x ax =++,………………………………7分 故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11 ()1t g t t t -'=- = ,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)+∞, 所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=,。………………………………8分 此时1t =,函数的()f x 的值域为[2,)+∞ 问题转化为当1t =时,ln 2ln 1t x ax =++有解,………………………………9分 即ln12ln 10x ax =++=,得12ln x a x +=- 。 设12ln ()x h x x +=-,则2 2ln 1 ()x h x x -'=, 故()h x 的单调递减区间为 ,单调递增区间为)+∞, 所以()h x 的最小值为h =………………………………11分 故a 的最小值为………………………………………12分 22.选修44-;坐标系与参数方程 本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分10分. 解 法 一 : ( 1 ) 圆 C 的极坐标方程为 22(sin cos )10ρρθθ-++=,………………………………………1分 将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得: 22(sin cos )10ρραα-++=(0)2 π α<<, 24(sin cos )40αα?=+->成立, 设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ, 所以1212 2(sin cos ),1,ρρααρρ+=+???=?,………………………………………3分 所以12 0sin cos 2 ρρραα+= =+,………………………………………4分 所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+,(0,)2 π θ∈. (5) 分 (2)由(1)得,1200|||||||||AB OP ρρρρ?=-?……………………………6分 |sin cos |αα+ |sin cos |αα=+=………………………………………7分 所以4sin 2(1sin 2)3αα+=,(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=,………………………………………8分 又(0,)2πα∈,所以26 πα=或526πα=,………………………………………9分 即12 π α= 或512 π α= .………………………………………10分 解法二: (1)因为P 为AB 中点,所以CP AB ⊥于P ,………………………………………1分 故P 的轨迹是以OC 为直径的圆(在C 的内部),………………………………………2分 其所在圆方程为:2 2 111222x y ? ???-+-= ? ?? ???,………………………………………3分 即220x y x y +--=. 从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+,(0,)2π θ∈. (5) 分 (2)由(1)得,1200|||||||||AB OP ρρρρ?=-?………………………………6分 |sin cos |αα+ |sin cos |αα=+=………………………………………7分 令sin cos t αα=+,因为(0,)2π α∈,所以t ∈, 则21sin 2t α-=, 所以t 224(1)3t t -?=,………………………………………8分 即424430t t --=,解得232t = (212t =-舍去),所以21sin 212 t α=-=, 又(0,)2πα∈,2(0,)απ∈,所以26 πα=或526π α=,……………………………9分 即12 π α= 或512 π α= . ………………………………10分 23.选修45-:不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等. 满分10分. 23.解:(1)构造()|1||21|f x x x =++-, 1 ()|1||21|2 f x x x m =+++≥- 在R 上恒成立, ∴min 1 ()2 f x m ≥- ,………………………………………1分 又3,11()2,1213,2 x x f x x x x x ? ?-≤-? ? =-+-<? ? ≥??,………………………………………3分 ∴min 3 ()2 f x = ,∴2m ≤,………………………………………4分 ∴m 的最大值2M =.………………………………………5分 (2)由(1)得2M =,故1 21 a b +=-. 0,0a b >>,1232011 b a b b -∴=- =>--, 3 2 b ∴> 或01b <<.………………………………………6分 故11 2222(1)11a b b b b b -=- -=-+ --.………………………………………7分 当01b <<时,011b <-<, 2a b -? 当且仅当1 2(1)1b b -= - ,即1b =-时取“=”;………………………………………8分 当32b >时,112 b ->, 1 22(1)1a b b b 轾犏-=--+? -犏-臌 当且仅当1 2(1)1 b b -= -,即1b =+=”.………………………………………9分 所以2a b -的取值范围是(,)-?+?U .………………………………………10分