当前位置：文档视界 › 2001-2010年(数学一)真题

2001-2010年(数学一)真题

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.

(2)222z y x r ++=

,则(1,2,2)

div(grad )

r -= _____________.

(3)交换二次积分的积分次序:

--01

),(y dx y x f dy ＝_____________.

(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________. (5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X

P _____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数

)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为

(A) (B)

(2)设

),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则

(A)(0,0)|3dz dx dy =+

(B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}

(C)曲线

(,)

z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}

(D)曲线 (,)

z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}

(3)设

0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导?

(A)20(1cos )lim h f h h

→-存在

(B) 0(1e )

lim h h f h

→-存在

(sin )

lim

h f h h h →-存在

(D)h

h f h f h )

()2(lim

-→存在

(4)设11114

0001

1110000,111100001

0????

? ? ? ?== ? ? ? ?????

A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似

(D)不合同且不相似

(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为

(A) -1 (B)0

(C)

(D)1

三、(本题满分6分)

求2arctane e x

dx ?.

四、(本题满分6分) 设

函

数

)

,(y x f z =在点

可微,且

3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =?,求

)(=x x dx

d ?.

五、(本题满分8分)

设()f x = 21a r c t a n 010

x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞

=--1241)1(n n n

的和.

六、(本题满分7分) 计算222222

()(2)(3)L

I y z dx z x dy x y dz =-+-+-? ,其中L 是平面 2=++z y x 与柱面

1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.

七、(本题满分7分) 设

)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:

(1)对于)1,0()0,1( -∈?x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使 )(x f =)0(f +))((x x f x θ'成

立.

(2)5.0)(lim 0

=→x x θ.

八、(本题满分8分) 设有一高度为

t t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程

)

()

(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积

成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?

九、(本题满分6分)

设12,,,s ααα 为线性方程组=AX O 的一个基础解系,

1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα ,

其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ 也为=AX O 的一个基础解系?

十、(本题满分8分)

已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2

,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x .

(1)记2

(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP .

(2)计算行列式+A E .

十一、(本题满分7分)

设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为

(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:

(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

十二、(本题满分7分) 设2~(,)X

N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥

样本均值∑==n

i i X n X 2121,∑=+-+=n

i i n i X X X Y 1

2)2(,求().E Y

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)

∞+e

x dx

2ln = _____________.

(2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02

='+''y y y 满足初始条件1

(0)1,(0)2

y y '==的特解是_____________.

(4)已知实二次型3231212

32221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换

可化为标准型

216y f =,则a =_____________.

(5)设随机变量

),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则

μ=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:

①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③

),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在.

则有:

(A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?①

(D)③?①?④

(2)设0≠n

u ,且1lim

=∞→n

n u n ,则级数)11

()1(11+++

-∑n n n u u 为 (A)发散

(B)绝对收敛

(C)条件收敛

(D)收敛性不能判定.

(3)设函数

)(x f 在+R 上有界且可导,则

(A)当0)(lim =+∞

→x f x 时,必有0)(lim ='+∞

→x f x (B)当)(lim x f x '+∞

→存在时,必有

0)(l i m ='+∞

→x f x

→x f x 时,必有0)(lim 0='+

→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+

→存在时,必有

0)(lim 0='+

→x f x .

(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程

组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为

(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分

布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则

(A)

)(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数

(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变

量的分布函数.

三、(本题满分6分)

设函数

)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若

)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.

四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0

e x t y dt -=?

在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并

求极限)2(

lim n

nf n ∞

→.

五、(本题满分7分) 计算二重积分

2max{,}

e x y D

dxdy ??,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .

六、(本题满分8分) 设函数

)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起

点为(b a ,),终点为(d c ,).

记dy xy f y y

dx xy f y y I

]1)([)](1[1222-++=?,

(1)证明曲线积分I 与路径L 无关.

(2)当cd ab =时,求I 的值.

七、(本题满分7分)

(1)验证函数∑∞

==03)!

3()(n n

n x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e x y y y '''++=.

(2)求幂级数∑∞

==03)!

3()(n n

n x x y 的和函数.

八、(本题满分7分)

设有一小山,取它的底面所在的平面为

xoy 面,其底部所占的区域为

}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.

(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.

(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.

九、(本题满分6分)

已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα,

1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性

无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.

十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,

(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.

十一、(本题满分7分)

设维随机变量X 的概率密度为

()f x = 1c o

s 022

0 x

x x

≤≤其它

对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3

π的次数,求2

Y 的数学期望.

十二、(本题满分7分) 设总体的概率分布为

其中θ(02

<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.

求θ的矩估计和最大似然估计值.

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1))

1ln(10

(cos lim x x x +→ = .

(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 .

(3)设)(cos 0

ππ≤≤-=∑∞

=x nx a x

n n ,则2a = .

(4)从2

R 的基1211,01????==

? ?-????αα到基12

11,12????

== ? ?????

ββ的过渡矩阵为 . (5)设二维随机变量

(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =

x 01

x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .

(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .

(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数

()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有

(A)一个极小值点和两个极大值点

(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点

(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞

→n n a ,1lim =∞

→n n b ,∞=∞

→n n c lim ,则必有

(A)n n b a <对任意n 成立

(B)n n c b <对任意n 成立

(C)极限n n n c a ∞

→lim 不存在

(D)极限n n n c b ∞

→lim 不存在

(3)已知函数

(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)

(),(lim

220

,0=+-→→y x xy

y x f y x ,则 (A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点

(B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是

(,)f x y 的极小值点

(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为

(,)f x y 的极值点

(4)设向量组I:12,,,r ααα 可由向量组II:12,,,s βββ 线性表示,则 (A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关 (C)当s r <时,向量组I 必线性相关

(D)当s r >时,向量组I 必线性相关

(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ?矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解以上命题中正确的是 (A)①②

(B)①③

(C)②④ (D)③④

(6)设随机变量21),1)((~X

Y n n t X =

>,则 (A)2~()Y n χ

(B)2~(1)Y n χ-

(C)~(,1)Y

F n

(D)~(1,)Y

F n

三、(本题满分10分)

过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A .

(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .

四、(本题满分12分)

将函数x x

x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞

=+-01

2)1(n n n 的和.

五、(本题满分10分)

已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证:

(1)sin sin sin sin e

e e e y

x y x L L

x dy y dx x dy y dx ---=-?? .

(2)

sin sin 2

e e 2.y x L

x dy y dx π--≥?

六、(本题满分10分)

某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问

(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?

(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)

七、(本题满分12分) 设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函

数.

(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (3

2=++dy dx x y dy

x d 变换为()y y x =满足的微分方程.

(2)求变换后的微分方程满足初始条件2

)0(,0)0(='=y y 的解.

八、(本题满分12分) 设函数

()f x 连续且恒大于零,

?????

+++=Ω)

)

(222)()()(t D t d y x

f dv z y x f t F σ

-+=

t D dx

x f d y x f t G 1

)

2)()()(σ,

其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(2

22t y x y x t D ≤+=

(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2

)(t G t F π

九、(本题满分10分)

设矩阵322232223????=??????A ,010101001????=??????

P ,1*

-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,

其中*

A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.

十、(本题满分8分)

已知平面上三条不同直线的方程分别为

:1l 032=++c by ax ,

:2l 032=++a cy bx ,

:3l 032=++b ay cx .

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a

十一、(本题满分10分)

已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:

(1)乙箱中次品件数的数学期望.

(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

十二、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为

()f x =

2()2e 0

x θ-- 0x x θ>≤ 其中

>θ是未知参数. 从总体

X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记

).,,,min(?21n X X X =θ

(1)求总体X 的分布函数()F x .

(2)求统计量θ?的分布函数)(?x F θ

. (3)如果用θ

?作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知

(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .

(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分?-L ydx xdy 2的值

为__________.

(4)欧拉方程)0(0242

>=++x y dx dy

x dx

y d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001??

??=??????

A ,矩阵

B 满足**2=+ABA BA E ,其中*

A 为A 的伴随矩

阵,E 是单位矩阵,则

B =__________ .

(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >

= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把+

→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x

x x

???===0

sin ,tan ,cos 2

γβα

,使排在

后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,

(D)αγβ,,

(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得

(A)

()f x 在(0,)δ内单调增加

(B)

()f x 在)0,(δ-内单调减少

(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有

()(0)f x f >

(9)设

∑∞

n n

为正项级数,下列结论中正确的是

(A)若n n na ∞

→lim =0,则级数

∑∞

n n

收敛

(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞

→n n na lim ,则级数

∑∞

n n

发散

(C)若级数

∑∞

n n a 收敛,则0lim 2

=∞

→n n a n (D)若级数

∑∞

n n

发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞

→n n na lim

(10)设

()f x 为连续函数,??=t t

dx x f dy t F 1

)()(,则)2(F '等于

(A)2(2)f

(B)

(2)f

(C)(2)f -

(D) 0

(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,

则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为

(A)????

??????101001010

(B)?????

?????100101010 (C)????

?????110001010

(D)????

??????100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (13)设随机变量

X 服从正态分布(0,1),N 对

给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于

(A)2

αu

(B)2

1α-

1α-u

(D)

α-1u

(14)设随机变量

)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令

∑==n

i i X n Y 1

1,则

(A)2

1Cov(,)X Y n

σ=

(B)21Cov(,)X Y σ= (C)2

2)(σn

n Y X D +=

(D)2

11)(σn

n Y X D +=

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2

224

ln ()e

b a b a ->

-. (16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66?=k 问从着陆点算起,飞机滑行

的最长距离是多少?

(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分)

计算曲面积分

,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ??∑

-++=其中∑是曲面

)0(122≥--=z y x z 的上侧.

(18)(本题满分11分)

设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当

1α>时,级数1n n x α

∞

=∑收敛.

(19)(本题满分12分) 设(,)z z x y =是由2

226102180x

xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极

值点和极值.

(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组

121212(1)0,2(2)20,(2),()0,

n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=??++++=?≥?

?++++=?

试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

(21)(本题满分9分)

设矩阵12314315a -????=--??????

A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.

(22)(本题满分9分)

设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432

P A P B A P A B =

==,令 ;,,0,1不发生发生A A X ??

?= .,

,0,1不发生

发生B B Y ???= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ

(23)(本题满分9分)

设总体X 的分布函数为

,1,

0,11),(≤>?????-=x x x x F β 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β

为来自总体X 的简单随机样本,

求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)曲线1

+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.

(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足9

1)1(-=y 的解为____________.

(3)设函数181261),,(2

22z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)

3,2,1(n

??=.________.

(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω

的整个边界的外侧,则

??∑

=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.

(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵

123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,

如果

1=A ,那么=B .

(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为

X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则

}2{=Y P =____________.

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数

n n

n x

x f 31lim )(+=∞

→,则

()f x 在),(+∞-∞内

(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点

(D)至少有三个不可导点

(8)设()F x 是连续函数

()f x 的一个原函数,""N M ?表示"M 的充分必要条件是

",N 则必有

(A)()F x 是偶函数()f x ?

是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ?是偶函数

(C)()F x 是周期函数()f x ?是周期函数

(D)()F x 是单调函数()f x ?是单

调函数

(9)设函数?

+-+-++=y

x y

x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具有二阶导数,ψ

具有一阶导数,则必有

(A)2222y u

x u ??-=??

(B)2222y u x u ??=??

u y x u ??=???

(D)

222x

y x u ??=??? (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,

在此邻域内该方程

(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =

(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =

和(,)z z x y =

(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =

(11)设

21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则

1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是

(A)01≠λ (B)02≠λ

=λ

(D)02

=λ

(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,BA B 分别为,A B 的伴随矩阵,则

(A)交换*

A 的第1列与第2列得*

B (B)交换*A 的第1行与第2行得*

B (C)交换*

A 的第1列与第2列得*

-B

(D)交换*

A 的第1行与第2行得*

-B

(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为

已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则

(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b ==

(D)0.1,0.4a b ==

(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则

(A))1,0(~N X

(B)22~()nS n χ

(C))1(~)1(--n t S

X n

(D)

122

(1)~(1,1)i

i n X F n X

=--∑

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(22

≥≥≤+=y x y x

y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最

大整数. 计算二重积分

??++D

dxdy y x xy .]1[2

2 (16)(本题满分12分) 求幂级数

∑∞

=--+

-1

21))

12(1

1()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .

(17)(本题满分11分) 如图,曲线C 的方程为()y f x =

,点(3,2)是它的一个拐点,

直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为

(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分

'''+3

2.)()(dx x f x x

(18)(本题满分12分) 已知函数

()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明:

(1)存在),1,0(∈ξ 使得

ξξ-=1)(f .

(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f

(19)(本题满分12分)

设函数)(y ?具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分

()22L

y dx xydy

x y

φ++?

的值恒为同一常数.

(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24

()202C

y dx xydy

x y φ+=+?

(2)求函数)(y ?的表达式. (20)(本题满分9分)

已知二次型212

32221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.

(1)求a 的值；

(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形.

(3)求方程

),,(321x x x f =0的解.

(21)(本题满分9分)

已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ??

??=??????

B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.

(22)(本题满分9分)

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

(,)f x y = 10

01,02x y x

<<<<其它

求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X .

(2)Y X Z

-=2的概率密度).(z f Z

(23)(本题满分9分) 设

)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记

.,,2,1,n i X X Y i i =-=

求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y