北师大版八年级数学上册《正比例函数与一次函数》知识点归纳
《正比例函数与一次函数》知识点归纳
《正比例函数》知识点
一、表达式：y=kx （k≠0的常数）
二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的直线；
说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”；
三、性质特征：
1、图像经过的象限:
k>0时，直线过原点，在一、三象限；
k<0时，直线过原点，在二、四象限；
2、增减性及图像走向：
k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；
k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；
四、成正比例关系的几种表达形式:
1、y与x成正比例：y=kx (k≠0);
2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0);
3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0);
4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0);
《一次函数》知识点
一、表达式：y=kx+b（k≠0, k, b为常数）
注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1；
（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
二、图像：
一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。
说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”；
（2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）；
直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）.
三、性质特征：
1、图像经过的象限：
（1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限；
（2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限；
（3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限；
（4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限；
2、增减性及图像走向：
k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；
k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；
3、一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）中“k和b的作用”：
（1） k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向
k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；
k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；
（2）∣k∣的作用：∣k∣决定直线的倾斜程度
∣k∣越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大；
∣k∣越小，直线越平缓，直线越远离y轴，与x轴的夹角越小；
(3) b的作用：b决定直线与y轴的交点位置
b>0时，直线与y轴正半轴相交(或与y轴的交点在x轴的上方)；
b﹤0时，直线与y轴负半轴相交（或与y轴的交点在x轴的下方）；
（4）k和b的共同作用：k和b共同决定直线所经过的象限
四、直线的平移规律：直线y=kx+b可以由直线y=kx平移得到
当b>0时，将直线y=kx：向上平移b个单位得到直线y=kx+b；
当b﹤0时，将直线y=kx：向下平移∣b∣个单位得到直线y=kx+b；
五、两条直线平行和垂直：直线m：y=ax+b; 直线n: y=cx+d
（1）当a=c，b≠d时，直线m∥直线n,反之也成立；
例如：直线y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
（2）当ac=-1时，直线m⊥直线n。反之也成立；
例如：直线y=x+2与直线y=-2x+3互相垂直
六、直线y=kx+b与坐标轴围成的三角形的面积公式: S=
七、求一次函数解析式的方法：求函数解析式的方法主要有三种
(1)由已知函数推导或推证；
(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系；
(3)用待定系数法求函数解析式：
“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：
①利用一次函数的定义构造方程组。
②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。
③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。
④利用题目已知条件直接构造方程。
八、例题举例：
例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证：y与x也成正比例。
证明：∵与成正比例，
设=a(a≠0的常数),
∵y=, =(k≠0的常数),
∴y=·a=akx，
其中ak≠0的常数，
∴y与x也成正比例。
例2．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。
分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。
解：∵y=kx+b与y=5-4x平行，
∴k=-4,
∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，
∴b=18，
∴y=-4x+18。
说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。