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2015考研数学精品教案

2015年考研数学基础班讲义

（高等数学）

第一章函数极限连续

一、函数

1 函数的概念（定义域，对应法则，值域）

2 函数的性态：

单调性奇偶性周期性有界性有界性：

定义：若,0>?M 使得,I x ∈?恒有,)(M x f ≤则称)(x f 在I 上有界。 3 复合函数与反函数 (求复合函数和反函数) 4 基本的初等函数与初等函数 1）基本初等函数:

将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。了解它们的定义域、性质、图形. 2）初等函数：

由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数. 常考题型：

1。函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定； 2。复合函数；

【例1】 )(e |sin |)(cos +∞<<-∞=x x x x f x 是

（A ）有界函数. （B ）单调函数. （C ）周期函数（D ）偶函数. 【例2】已知[],1)(,sin )(2x x f x x f -==?则______)(=x ?的定义域为._______ 【解】 )1arcsin(2x -； ].2,2[-

【例3】设???≥-<=???>+≤-=0

,,0,)(,0,2,

0,2)(2x x x x x f x x x x x g 则[].________)(=x f g

【解】 =)]([x f g ???≥+<+.0,2,

0,22x x x x

二、极限 1 极限的概念 1) 数列极限:

A a n n =∞

→lim ：0 ,0>?>?N ε,当N n >时，恒有ε<-||A a n .

2）函数极限:

（1）A x f x =∞

→)(lim ： 0 ,0>?>?X ε,当X x >||时，恒有

ε<-|)(|A x f .

类似的定义 A x f x =-∞

→)(lim ，A x f x =+∞

→)(lim 。

A x f x =∞

→)(lim ? =-∞

→)(lim x f x A x f x =+∞

→)(lim

（2）A x f x x =→)(lim 0

：0 ,0>?>?δε,当δ<-<||00x x 时，恒有

ε<-|)(|A x f 。

左极限：=-→)(lim 0

x f x x )(0-

x f (或)0(0-x f )

右极限：=+→)(lim 0

x f x x )(0+

x f (或)0(0+x f )

A x f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0

几个值得注意的极限：

x e x x

x 1arctan lim ,lim 01

0→→，.1lim

,arctan lim ,lim 2x x x e x x x

x +∞→∞

→∞→ 2 极限的性质

1）局部有界性若)(lim 0

x f x x →存在，则)(x f 在0x 某去心邻域有界。

2）保号性设A x f x x =→)(lim 0

（1）如果0>A ,则存在0>δ,当),(0δx U x

∈时，0)(>x f . （2）如果当),(0δx U x

∈时,0)(≥x f ,那么0≥A . 3）有理运算性质若B x g A x f ==)(lim ,)(lim .

那么: B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[

B A x g x f x g x f ?=?=)(lim )(lim )]()(lim[ )0( )(lim )(lim )()(lim ≠==???

? ??B B A x g x f x g x f 两个常用的结论：1）)

()

(lim

x g x f 存在，;0)(lim 0)(lim =?=x f x g 2) ;0)(lim 0)(lim ,0)

()

(lim

=?=≠=x g x f A x g x f 4）极限值与无穷小之间的关系;

)()()(lim x A x f A x f α+=?=. 其中.0)(lim =x α

注：数列极限也有以上对应的四条性质。 3 极限的存在准则

1）夹逼准则：若存在N ，当N n >时，n n n z y x ≤≤，且,

lim lim a z x n n n n ==∞

→∞

→则.lim a y n n =∞

→

2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。 4 常用的基本极限

1sin lim 0=→x x x , e x x x =+→1

)1(lim 0, e x

x x =+∞→)11(lim 1)

1ln(lim 0=+→x

x x , 11lim

0=-→x e x x , a x a x x ln 1lim 0=-→ ,1

)1(lim

0αα=-+→x

x x .1lim =∞→n n n 5 无穷小量

1）无穷小量的概念: 若0)(lim 0

=→x f x x ，则称)(x f 为0x x →时的无穷小量.

2) 无穷小的比较: 设0)(lim ,0)(lim ==x x βα，且0)(≠x β. （1）高阶：若0)

()

(lim

=x x βα；记为));(()(x x βοα=

（2）同阶：若0)

()

(lim

≠=C x x βα；（3）等价：若1)

()

(lim

=x x βα；记为);(~)(x x βα （4）无穷小的阶: 若0)]

([)

(lim

≠=C x x k

βα，称)(x α是)(x β的k 阶无穷小. 3）常用的等价无穷小：当0→x 时,

x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~;1~)1ln(~-+x e x

cos 12

x x - ,~1)1(x x αα-+ ,ln ~1 a x a x -， 4）等价无穷小代换若,~,~ββαα 则 β

αβαlim lim

= 5)无穷小的性质:

（1）有限个无穷小的和仍是无穷小. （2）有限个无穷小的积仍是无穷小. （3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小. 6 无穷大量

1) 无穷大量的概念: 若∞=→)(lim 0

x f x x ，称)(x f 为0x x →时的无穷大量；

2）常用的一些无穷大量的比较（1）当+∞→x 时

x a x x <<<<βαln 其中.1,0,0>>>a βα （2）当∞→n 时

n n n n a n n <<<<<<<>>a βα

3）无穷大量与无界变量的关系：无穷大量?无界变量 4）无穷大量与无穷小量的关系：

在同一极限过程中，如果)(x f 是无穷大，则

)

x f 是无穷小；反之，如果)(x f 是无穷小，且,0)(≠x f 则

)

x f 是无穷大；常考题型： 1）求极限；

2）无穷小量阶的比较；

1 求极限：

方法1 有理运算

【例1】 =++→x x x x x x )cos 1(1

cos

sin 3lim

. （2

3）

【例2】 .1111lim 3

x x

x x --+--+→ )23( 方法2 基本极限

【例1】 n

n n n

n c b a )3

(

lim ++∞→ ，其中.0,0,0>>>c b a )(3abc 【例2】极限.__________))((lim 2

=???

??+-∞→x

x b x a x x (A) 1. (B) e . (C) b a -e . (D) a b -e .

方法3 等价无穷小代换

【例1】 .

)1ln(lim 2tan sin 0x x e e x

x x +-→ )21(- 方法4 夹逼原理

【例1】 ???

?+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim ( 21 ) 【例2】 n n n n 321lim ++∞

→ ( 3 )

【例3】 .lim 21n n

m n n n a a a +++∞

→ 其中),2,1(,0m i a i => )(max i a

方法5 单调有界准则【例4】设.,2,121,0,011 =???

? ??+=

>>+n x a x x x a n n n ，求极限n n x ∞→lim . ( a ) 2 无穷小量阶的比较

【例1】当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，

则.______=k )4

(

【例2】设当0→x 时)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n x x sin 是比)1e (2

-x 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ B ）

（A ）1. （B ）2. （C ）3. （D ）4. 【例3】（2009数一、数二、数三）当0→x 时，ax x x f sin )(-=与

)1ln()(2bx x x g -=是等价无穷小，则（）

（A ）61,1-==b a . （B ）61

,1==b a .

（C ）61,1-=-=b a . （D ）6

,1=-=b a .

三、连续

1 连续的定义: 若)()(lim 00

x f x f x x =→（或0lim 0

=?→?y x ）则称)(x f 在0x 处连续。

左连续: 若),()(lim 00

x f x f x x =-→则称)(x f 在0x 处左连续。

右连续: 若),()(lim 00

x f x f x x =+→则称)(x f 在0x 处右连续。

)(x f 连续?)(x f 左连续且右连续

2 间断点（)(x f 在0x 某去心邻域有定义，但在0x 处不连续） 1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点可去间断点: 左极限=右极限跳跃间断点: 左极限≠右极限

2）第二类间断点: 左、右极限中至少有一个不存在的间断点

无穷间断点: 0x x →时,∞→)(x f 振荡间断点: 0x x →时,)(x f 振荡

3 连续函数性质

1）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍为连续函数； 2) 基本初等函数在其定义域内是连续的；初等函数在其定义区间内是连续的；

3）有界性：若)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上有界。

4）最值性:若)(x f 在],[b a 连续, 则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值。 5）介值性:若)(x f 在],[b a 连续,且)()(b f a f ≠，则对)(a f 与)(b f 之间任一数,C 至少存在一个),,(b a ∈ξ使得.)(C f =ξ

推论：若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 可取到介于最小值m 与

最大值M 之间的任何值.

6）零点定理:若)(x f 在],[b a 连续,且0)()(

0)(=ξf 。

常考题型

1。讨论函数的连续性及间断点的类型； 2。有关闭区间上连续函数性质的证明题; ．

【例1】已知?????=≠=0,

0,)(cos )(2

/1x a x x x f x 在0=x 处连续，则_____.=a . )(21

-e

【例2】讨论x

x x f --=

11)(的连续性并指出间断点类型.

【例3】函数1

sin

))(ln ()(22-+=

x x x x x x f 的可去间断点的个数为（）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

【例4】设)(x f 在],[b a 上连续,b d c a <<<.试证对任意的正数q p ,,至少存在一个],[d c ∈ξ,使)()()()(ξf q p d qf c pf +=+.

第二章导数与微分

一、导数与微分的概念

1 导数概念：=')(0x f x

x f x x f x ?-?+→?)

()(lim

000

=x y x x x f x f x x x ??=--→?→000lim )()(lim 0；

左导数：='-)(0x f x x f x x f x ?-?+-

→?)()(lim 000

；

右导数：='+)(0x f x

x f x x f x ?-?++

→?)

()(lim 000

；

可导?左右导数都存在且相等 2 微分的概念：

若)()()(00x x A x f x x f y ?+?=-?+=?ο，则称)(x f 在0x 处可微。其中x A ? 称为)(x f 在0x 处的微分，记为 x A y ?=d

3 导数与微分的几何意义: (会求切线、法线方程).

1）导数)(0x f '在几何上表示曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处切线的斜率。 2）微分dx x f dy )(0'=在几何上表示曲线)(x f y =的切线上的增量。 )()(00x f x x f y -?+=?在几何上表示曲线)(x f y =上的增量。 dy y ≈?

4 连续,可导,可微之间的关系二、微分法 1 求导公式

1）0)(='C 2）1)(-='αααx x 3）a a a x x ln )(=' 4）x x e e =')( 5）a x x a ln 1)(log =

' 6) x

x 1

)(ln =' 7) x x cos )(sin =' 8) x x sin )(cos -='

9) x x 2sec )(tan =' 10) x x 2csc )(cot -=' 11）x x x tan sec )(sec =' 12）x x x cot csc )(csc -=' 13) 2

11)(arcsin x

x -=' 14) 2

11)(arccos x

x --

15) 211)(arctan x x +=' 16) 2

)cot (x x arc +-

=' 2 求导法则

1．有理运算法则：

设)(),(x v v x u u ==在x 处可导，则

1）v u v u '±'='±)( 2）v u v u uv '+'=')(

3) 2

)(v v u v u v u '

-'=' )0(≠v 2．复合函数求导法：

设)(x u ?=在x 处可导，)(u f y =在对应点处可导，则复合函数)]([x f y ?= 在x 处可导，且

)()(x u f dx

du du dy dx dy ?''=?= 3．隐函数求导法：

设)(x y y =是由方程0),(=y x F 所确定的可导函数，为求得y '，可在方程

0),(=y x F 两边对x 求导，可得到一个含有y '的方程，从中解出y '即可。

注：y '也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式y x F F dx dy '

-=得到。 4．反函数的导数：

若)(y x ?=在某区间内单调、可导，且0)(≠'y ?，则其反函数)(x f y =在对应区间内也可导，且

)(1)(y x f ?'=

'；即dy

dx dy 1

5．参数方程求导法：

设)(x y y =是由参数方程???==)()

(t y t x ψ?，)(βα<

1) 若)(t ?和)(t ψ都可导，且0)(≠'t ?，则

)

()(t t dx dy ?ψ''= 2）若)(t ?和)(t ψ二阶可导，且0)(≠'t ?，则

)(1

))()((22t t t dt d dx y d ??ψ'?''=)()()()()(3

t t t t t ?ψ??ψ''''-'''= 6．对数求导法：

如果)(x y y =的表达式由多个因式的乘除、乘幂构成，或是幂指函数的形式，则可先将函数取对数，然后两边对x 求导。 7．高阶导数：

1）定义： x

x f x x f x f

n n x n ?-?+=--→?)

()(lim )(0)1(0)1(00)

(

00)1()1()

()(lim 0x x x f x f n n x x --=--→

2）常用公式：

1) ()

);2sin(sin )

(π?+=n x x n 2) );2cos()(cos )(π

?+=n x x n

3）)()

()

(n n n v u

v u ±=±； 4）.)

()

)()

(k n n

k k k n n v u C uv -=∑= 常考题型 1. 导数定义；

2. 复合函数、隐函数、参数方程求导；

3. 高阶导数；

【例1】设函数)(x f 在0=x 处可导，且,0)0(=f 则=-→3320)

(2)(lim x

x f x f x x （A ）).0(2f '- （B ）).0(f '-

（C ）).0(f ' （D ）0

【例2】设a x x f =在)(的某个邻域内有定义，则a x x f =在)(处可导的一个充分条件是

（A ）)]()1([lim a f h a f h h -++∞→存在；（B ）)]()1

([lim a f n

a f n n -+∞→存在；

（C ）h h a f h a f h 2)()(lim 0--+→存在；（D ）h h a f a f h )

()(lim 0--→存在；

【例3】设)()()(x g x f x F =，其中)(x f 可导，且,0)()(00='=x f x f )(x g 有界，求)(0x F '。 ]0[

【例4】已知函数)(x y y =由方程 0162=-++x xy e y 确定,则._______)0(=''y

]2[-

【例5】已知???=+=,

arctan )1ln(2t x t y 求x y

d d ，22d d x y . )]1(2;2[2t t +

【例6】设函数3

21+=x y ，则.________)0()

(=n y . ]3!2)1([

1+-n n n n 【例7】设x e x x f 22)(=，求).0()100(f ]29900[98?

第三章微分中值定理与导数的应用

一、微分中值定理 1）罗尔定理如果函数)(x f 满足（1）在],[b a 上连续；（2）在),(b a 内可导；（3）)()(b f a f =，

那么至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf . 2）拉格朗日中值定理如果函数)(x f 满足（1）在],[b a 上连续；（2）在),(b a 内可导，

那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使得

)()

()(ξf a

b a f b f '=--.

3）柯西中值定理

如果函数)(x f 及)(x F 满足（1）在],[b a 上连续；（2）在),(b a 内可导；

（3）对任一),(b a x ∈，,0)(≠'x F 那么至少存在一点),(b a ∈ξ，使得

)

()

()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--.

4）泰勒公式

定理1（拉格朗日型余项）

设)(x f 在含有0x 的区间),(b a 内1+n 阶可导,则对任一),(b a x ∈,有

)()(!

)()(!2)())(()()(00)(2

00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=

其中 ,)()!1()

()(10)1(++-+=n n n x x n f x R ξξ在0x 与x 之间.

定理2（佩亚诺型余项）设)(x f 在0x 点n 阶可导,则

)()(!

)()(!2)())(()()(00)(2

00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=

其中 ,)()(0n n x x x R -=ο )(0x x →。二、导数的应用 1洛必达法则：若 1）

)(;0)(lim )(lim 0

∞==→→x F x f x x x x

2） )(x f 、)(x F 在0x 点的某去心邻域内可导，且;0)(≠'x F 3) A x F x f x x =''→)

()

(lim

（或∞）；则 .)

()(lim )()(lim

x F x f x F x f x x x x ''=→→ 注：洛必达法则可用来求七种类型不定式的极限，即

00，∞∞

，∞?0，∞-∞，∞1，0∞，00. 2 函数的单调性

设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导。

1）若在),(b a 内0)(>'x f ，则)(x f 在],[b a 上单调增； 2）若在),(b a 内0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上单调减； 3 函数的极值与最值

1）极值：

（1）极值的必要条件：设)(x f 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，则

;0)(0='x f

（2）极值的充分条件： a)（第一充分条件）

设0)(0='x f （或)(x f 在0x 处连续），且)(x f 在0x 的某去心邻域),(0δ

x U 内可导

（1）若),(00x x x δ-∈时，0)(>'x f ，而),(00δ+∈x x x 时，0)(<'x f ，则

)(x f 在0x 处取得极大值；

，（2）若),(00x x x δ-∈时，0)(<'x f ，而),(00δ+∈x x x 时，0)(>'x f ，则

)(x f 在0x 处取得极小值；

，（3）若),(0δx U x

∈时，)(x f '的符号保持不变，则)(x f 在0x 处没有极值； b) （第二充分条件）

若0)(0='x f ，,0)(0≠''x f 则)(x f 在0x 处取得极值。其中当0)(0>''x f 时极小，当0)(0<''x f 时极大。

2）最值：（1）求连续函数)(x f 在],[b a 上的最值；（2）应用题。 4 曲线的凹向与拐点 1）凹向：

（1）定义：凹 2)

()()2(

2121x f x f x x f +<

+ 凸 2)

()()2(2121x f x f x x f +>+

（2）判定：若在区间I 上0)(>''x f )0(<，则曲线)(x f y =在I 上是凹（凸）

的。

2）拐点：

（1）定义：连续曲线上两侧凹向发生变化的点；

（2）判定：（一个必要两个充分） 5 曲线的渐近线 1）水平渐近线

若A x f x =∞

→)(lim (或A x f x =-∞

→)(lim ，或A x f x =+∞

→)(lim ）那么A y =是曲线

)(x f y =水平渐近线.

2）垂直渐近线

若∞=→)(lim 0

x f x x (或∞=-→)(lim 0

x f x x ，或∞=+→)(lim 0

x f x x ）,那么0x x =是曲线

)(x f y =的垂直渐近线.

3）斜渐近线若 )

(lim

a x

x f x =∞

→且()b ax x f x =-∞→)(lim （或,-∞→x 或)+∞→x ，那么

b ax y +=是曲线)(x f y =的斜渐近线.

8 曲率与曲率半径:（数三不要求）

曲率2

1(||2y y '+''=

κ（直角）；2

/322)(|

|y x x y x y '+''''-'''=κ（参数）.

曲率半径 κ

常考题型

1. 洛必达法则求极限；

2. 求函数的极值和最值，确定曲线的凹向和拐点；

3. 求渐近线；

4. 方程的根；

5. 不等式的证明；

6. 中值定理证明题【例1】 .2

tan

)1(lim 21

x x x π

-→ )4

(π

【例2】 .)sin (

lim cos 11

x x

x -→ )(31

-e

【例3】 )(x f 二阶可导 2)0( ,1)0( ,0)0(=''='=f f f

求 2

)(lim

x f x -→ 【例4】已知0)(=x x f 在的某个邻域内连续，且2cos 1)

(lim

,0)0(0=-=→x

x f f x ，则

在点

0=x 处)(x f （A ）不可导. （B ）可导，且.0)0(≠'f （C ）取得极大值. （D ）取得极小值.

【例5】在半径为R 的球中内接一直圆锥,试求圆锥的最大体积. )81

32(3

R π 【例6】曲线++=

1ln(1

y e x )渐近线的条数为（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] 【例7】利用导数证明：当.1ln )1ln(,1x

x x x +>+>时

【例8】求证：方程0cos =++x q p x 恰有一个实根，其中q p ,为常数，且.10<

)1,0(内至少有一个实根.

【例10】设)(x f 在区间[]b a ,上连续，在),(b a 上二阶可导，且

),()()()(b c a c f b f a f <<==证明存在),(b a ∈ξ，使)(ξf ''＝0.

【例11】设)(x f 在],[b a 上二阶可导，,0)()(==b f a f 且存在),(b a c ∈使.0)(''<'ηξf f

第四章不定积分

1 两个概念:

1）原函数：如果在区间I 上恒有)()(x f x F ='成立，则称)(x F 为)(x f 在区

间I 上的原函数；

2）不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数项的原函数称为在区

间I 上的不定积分，记为

?+=C x F x x f )(d )(

2 基本积分公式：

1)?=C dx 0 2)C x dx x ++=

+?1

1ααα )1(-≠α 3)C x dx x

+=?ln 1 4)C a a dx a x x

+=?ln )1,0(≠>a a 5）C e dx e x x +=? 6）?+-=C x xdx cos sin 7）?+=C x xdx sin cos 8）C x xdx +=?tan sec 2 9）C x xdx +-=?cot csc 2 10）?+=C x xdx x sec tan sec 11）C x xdx x +-=?csc cot csc 12）C x dx x

+=-?arcsin 112

13）C x dx x +=+?arctan 11

14）C a x x a x +=-?arcsin d 2

2 15）C a

a x a x +=+?arctan 1d 22 16）

?++-=-.||ln 21d 22C a x a

x a a x x

17）?

+++=+C a x x a x x )ln(d 222

2 18）?

+-+=-C a x x a x x ||ln d 222

19）.|tan sec |ln d sec ?++=C x x x x 20）?++-=.|cot csc |ln d csc C x x x x 3 三种主要积分法

1）第一类换元法（凑微分法）

若C x F x x x f C u F u u f +='+=??))((d )())((则,)(d )(???

2）第二类换元法：

C x F C t F dt t t f t x x x f +=+='=-??))(()()())(()(d )(1

???

常用的三种变量代换

)cos (sin , i)22t a t a x x a =-

a x x a tan , ii)22=+

t a x a x sec ,

iii)22=-

3）分部积分法 ??-=vdu uv udv

“适用两类不同函数相乘”

???x x e x x x x x x e x x

n n x

n d sin ,

cos )(p ,

d sin )(p ,d )(p βαααα，

????x x x x x x x x x x x e n

d arcsin )(p ,d tan arc )(p ,d ln )(p ,d cos βα

4 三类常见函数的积分 1)有理函数积分 ?x x R d )(

（1）部分分式法（一般方法）；

（2）简单方法（拆项、凑微分绛幂）； 2)三角有理式积分 ?x x x R d )cos ,(sin （1）万能代换（一般方法）令t x

tan

（2）简单方法（三角变形，换元，分部） 3)简单无理函数积分 x d

cx b

ax x R n d ),(?++

令 t d

cx b

ax n =++ 常考题型

求不定积分（换元、分部）【例１】 ?

=--._________1)2(x x dx

【例2】设???<≥=,0,cos ,

0,)(x x x e x f x 则?=._________)(dx x f

【例3】计算).0(2

2>-?

a dx x

a x

【例4】计算.d e

e arctan ?=x I x

【例5】计算.sin 22sin ?

x dx

第五章定积分

一、定积分

1 定义 ∑?=→??n

i i i b

a x f x x f 1

)(lim d )(ξλ

2 几何意义

3 可积性

1）必要条件：)(x f 有界；

2）充分条件：)(x f 连续或仅有有限个第一类间断点； 4 计算 1）牛顿-莱布尼茲公式 )()(d )(a F b F x x f b

a -=?

2）换元法 ??'=β

??dt t t f dx x f b a

)()]([)( ))((t x ?=

3）分部积分法 ??-=b

b a

vdu uv udv

4）利用奇偶性，周期性（1）????

?=??

-为偶函数，为奇函数)()(2)(,

0)(0

x f dx x f x f dx x f a a a

（2）若)x f （是以T 为周期的连续函数，则 ??

=+T

T a a

dx x f dx x f 0

)()(

5）利用公式

)

)(d )(sin 2d )(sin (2)奇1,3

231偶,221231d cos d sin (1)0

020连续（其中数的为大于数为正x f x x f x x f x n n n n n n n n n n x x x x π

n n ?

???=

????

????---???---==π

5 变上限积分 ?x

t t f d )(

1）定理：设],[)(b a x f 在上连续，则?x

t t f d )(在],[b a 上可导且

).()d )((x f t t f x

='?

2）变上限求导的三个类型：

2015年考研数学一真题与解析

2015年考研数学一真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设211 23 ()x x y e x e = +-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A ）321,,a b c =-==- （B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-== （D ）321,,a b c === 【详解】线性微分方程的特征方程为2 0r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得 213212(),a b =-+=-=?=，同时*x y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ）３．若级数 1 n n a ∞ =∑ 条件收敛，则3x x ==依次为级数 1 1() n n n na x ∞ =-∑的（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛等价于幂级数 1 n n n a x ∞ =∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11lim n n n a a +→∞=，所以11()n n n na x ∞ =-∑的收敛半径1 11lim ()n n n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,) ，显然3x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy == 与直线,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在

2015年考研数学真题答案(数一-)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C). 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】★★ 【详解】 211,23 x x e e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =-

3、若级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛，则x = 3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的：（A ）收敛点，收敛点（B ）收敛点，发散点（C ）发散点，收敛点（D ）发散点，发散点【答案】(B) 【考点】级数的敛散性【难易度】★★★ 【详解】因为 1 n n a ∞=∑条件收敛，故2x =为幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，进而得 ()11n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 () 1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛区间仍为()0,2，因而x = 3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛点、发散点. 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则 (,)D f x y dxdy =?? （A ） 12sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? （C ） 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? 【答案】(D) 【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4 π θ= ；由y =得，3 π θ= 由21xy =得，2 2cos sin 1, r r θθ== 由41xy =得，2 4cos sin 1, r r θθ==

考研数学三对微分方程的考查

考研数学三对微分方程的考查微分方程是考研数学一个重要但是很基础的一部分内容，这部分考题特点就是简单，只需正确的识别方程类型，然后按照固定的方法去解题就可以了，所以关键在识别二字上，这也提示2016的考生，只要把基础知识学好，得分是很简单的。数三对微分方程的考查分如下几类：1、可分离变量的微分方程;2、齐次微分方程;3、一阶线性微分方程;4、二阶常系数微分方程;5、差分方程。其中，差分方程是数三特有的考点，在求解方法上与二阶常系数线性微分方程类似，偶有考查，只需记忆齐次差分方程通解的求法及非齐次差分方程特解的设法即可。下面把2015年考研数学三中有关微分方程的考题分析如下。二阶常系数齐次线性微分方程 2015考研数学三微积分 2015考研数学三微积分 2015考研数学三微积分打好基础，做好基本题型的练习是考研数学制胜法宝。凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场“时间战”，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。 1.制定详细周密的学习计划。这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这一点是十分困难的，但却是非常必要的。我们要把学习计划精确到每一天，这样才能利用好每一天的时间。当然，总复习计划是从备考的第一天就应该指定的;月计划可以在每一轮复习开始之前，制定未来三个月的学习计划。以此类推，具体到周计划就是要在每个月的月初安排一月四周的学习进程。那么，具体到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的学习内容，或者是在每一天晚上做好第二天的学习计划。并且，要在每一天睡觉之前检查一下是否完成当日的学习任务，时时刻刻督促自己按时完成计划。方法一：规划进度。分别制定总计划、月计划、周计划、日计划学习时间表，并把它们贴在最显眼的地方，时刻提醒自己按计划进行。方法二：互相监督。和身边的同学一起安排计划复习，互相监督，共同进步。方法三：定期考核。定期对自己复习情况进行考察，灵活运用笔试、背诵等多种形式。 2.分配好各门课程的复习时间。一天的时间是有限的，同学们应该按照一定的规律安排每天的学习，使时间得到最佳利用。一般来说上午的头脑清醒、状态良好，有利于背诵记忆。除去午休时间，下午的时间相对会少一些，并且下午人的精神状态会相对低落。晚上相对安静的外部环境和较好的大脑记忆状态，将更有利于知识的理解和记忆。据科学证明，晚上特别是九点左右是一个人记忆力最好的时刻，演员们往往利用这段时间来记忆台词。因此，只要掌握了一天当中每个时段的自然规律，再结合个人的生活学习习惯分配好时间，就能让每一分每一秒都得到最佳利用。方法一：按习惯分配。根据个人生活学习习惯，把专业课和公共课分别安排在一天的不

2015考研数学二真题与答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。；；；，因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-∞,+∞)内 (A) (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B 【解析】这是“”型极限，直接有 , 在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数().若 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】易求出再有于是，存在此时. 当，， = 因此，在连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足则与依次是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在 D上连续，则 (A) (B) (C) (D) 【答案】 B

2015考研数学三真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)设是数列,下列命题中不正确的是： (A) 若,则(B) 若, 则 (C) 若,则(D) 若,则 (2)设函数在内连续,其2阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为： (A) (B) (C) (D) (3)设,函数在上连续,则 (A) (B) (C) (D) (4)下列级数中发散的是： (A) (B) (C) (D)

(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为： (A) (B) (C) (D) (6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为： (A) (B) (C)(D) (7)若为任意两个随机事件,则: (A)(B) (C) (D) (8)设总体为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则 (A) (B)(C)(D) 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) (10)设函数连续，若则 (11)若函数由方程确定，则 (12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则 (13)设阶矩阵的特征值为，其中E为阶单位矩阵，则行列式

(14)设二维随机变量服从正态分布，则三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分) 设函数，，若与在是等价无穷小，求的值. (16) (本题满分10 分) 计算二重积分，其中 (17) (本题满分10分) 为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，M C 为边际成本，为需求弹性. (I) 证明定价模型为； (II) 若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格. (18) (本题满分10分) 设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式. (19) (本题满分 10分) (I) 设函数可导，利用导数定义证明 (II) 设函数可导，，写出的求导公式.

2015考研数学真题(数一)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 3、若级数 1 n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的：（A ）收敛点，收敛点（B ）收敛点，发散点（C ）发散点，收敛点（D ）发散点，发散点 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则 (,)D f x y dxdy =?? （A ） 1 2sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? （C ） 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ?

2015年考研数学真题(数二)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（）（A ） 2 +∞ ? （B ）2 ln x dx x +∞ ? (C)2 1 ln dx x x +∞ ? (D)2 x x dx e +∞ ? (2)函数2 0sin ()lim(1)x t t t f x x →=+在(,)-∞+∞内（）（A ）连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 (3)设函数1cos ,0 ()0,0x x f x x x α β?>?=??≤? (0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 (5).设函数(u v)f ，满足22 (,)y f x y x y x +=-，则 11 u v f u ==??与1 1 u v f v ==??依次是（）（A ） 12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12 (6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy == 与直线,y x y =围成的平面区域，函数 (,)f x y 在D 上连续，则(,)D f x y dxdy ??=（）

（A ） 12sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? （C ） 13sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? (7)．设矩阵A=211112a 14a ?? ? ? ???，b=21d d ?? ? ? ??? ,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ?Ω?Ω (B),a d ?Ω∈Ω (C),a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω (8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222 1232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若 132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（） (A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 222123 2y y y ++ 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设223 1arctan ,3t x t d y dx y t t ==?=?=+? 则（10）函数2 ()2x f x x =在0x =处的n 阶导数() (0)n f = （11）设函数()f x 连续，2 ()(),x x xf t dt ?= ? 若(1)?1=，'(1)5?=，则(1)f = （12）设函数()y y x =是微分方程'' ' 20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = （13）若函数(,)z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定，则(0,0)dz = （14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2 ()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，

2015年考研数学一真题及解析

考研数学真题及解析与 x = 3 依次为幂级数∑ n a (x -1) 的 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. (1) 设函数 f (x ) 在 (-∞, +∞) 内连续，其中二阶导数 f ''(x ) 的图形如图所示，则曲线 y = f (x ) 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设 y = 1 e 2 x + (x - 1 )e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 2 3 y '' + ay ' + by = ce x 的一个特解，则 ( ) (A) a = -3, b = 2, c = -1 (B) a = 3, b = 2, c = -1 (C) a = -3, b = 2, c = 1 (D) a = 3, b = 2, c = 1 (3) 若级数 ∑ a n 条件收敛，则 x = n =1 ∞ n n n =1 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 (4) 设 D 是第一象限由曲线2xy = 1， 4xy = 1与直线 y = x ， y = 面区域，函数 f ( x , y ) 在 D 上连续，则 ?? f ( x , y ) dxdy = D 3x 围成的平 ( ) ∞ 3

?π ? ?π ?π ? ?π 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (A) π 3 d θ 1 sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr 4 2 s in 2θ (B) π 3 d θ ? sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr 4 2 s in 2θ (C) π 3 d θ 1 sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr 4 2 s in 2θ (D) π 3 d θ ? sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr 4 2 s in 2θ ?1 1 1 ? ?1 ? (5) 设矩阵 A = 1 2 a ? ， b = d ? ，若集合Ω= {1, 2}，则线性方程组 ? ? 1 4 a 2 ? d 2 ? ? ? ? ? Ax = b 有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) a ?Ω, d ?Ω (B) a ?Ω, d ∈Ω (C) a ∈Ω, d ?Ω (D) a ∈Ω, d ∈Ω (6) 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换为 x = Py 下的标准形为2 y 2 + y 2 - y 2 ，其中 P = (e 1 , e 2 , e 3 ) 下的标准形为 ( ) ，若Q = (e 1 , -e 3 , e 2 ) ，则 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = Qy (A) 2 y 2 - y 2 + y 2 (B) 2 y 2 + y 2 - y 2 (C) 2 y 2 - y 2 - y 2 (D) 2 y 2 + y 2 + y 2 (7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) (C) P ( A B ) ≤ P ( A ) P ( B ) P ( A B ) ≤ P ( A ) P ( B ) 2 (B) (D) P ( A B ) ≥ P ( A ) P ( B ) P ( A B ) ≥ P ( A ) P ( B ) 2

2015考研数学二真题及答案

2015考研数学二真题及答案一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( ) (A) 2 +∞ ? (B) 2 ln x dx x +∞ ? (C) 2 1 ln dx x x +∞ ? (D) 2 x x dx e +∞ ? 【答案】(D) 【解析】(1)x x x dx x e e -=-+?，则 2222(1)3lim (1)3x x x x x dx x e e x e e e +∞+∞ ----→+∞=-+=-+=?. (2) 函数()2 sin lim(1) x t t t f x x →=+ 在(,)-∞+∞内 ( ) (A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点【答案】(B) 【解析】2 2 0sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x t t t f x e e x →→=+ ==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =.

(3)设函数()1cos ,00,0 x x x f x x α β?>?=?? ≤?(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A) 【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'= ()10 01 cos 010lim lim cos x x x x f x x x αβαβ+ + -+→→-'== 0x >时，()()()11111cos 1sin f x x x x x x αα βββαβ-+'=+-- 11 11cos sin x x x x ααβββαβ---=+ ()f x '在0x =处连续则：()()10 1 00lim cos 0x f f x x αβ + --+→''===得10α-> ()()++11 00110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→??''=+ ??? 得：10αβ-->，答案选择A (4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2

2015年考研数学(二)真题及答案详解

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分收敛的是( ) (A) 2 +∞ ? (B) 2 ln x dx x +∞ ? (C)21 ln dx x x +∞?(D) 2 x x dx e +∞ ? 【答案】(D) 【解析】(1)x x x dx x e e -=-+? ，则222 2(1)3lim (1)3x x x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞ =-+=-+=?. (2) 函数()2 sin lim(1) x t t t f x x →=+ 在(,)-∞+∞内( ) (A) 连续 (B) 有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点【答案】(B) 【解析】2 2 0sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x t t t f x e e x →→=+ ==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0 x x x f x x α β?>?=?? ≤?(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ->(D)02αβ<-≤ 【答案】(A) 【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'= ()10 01 cos 010lim lim cos x x x x f x x x αβαβ + +-+→→-'== 0x >时，()()()11 111cos 1sin f x x x x x x αα βββαβ-+'=+-- 11 11cos sin x x x x ααβββαβ---=+

数学二2015年考研真题及答案解析

Page 1 of 102015年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列反常积分收敛的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）2? 2ln x dx x +∞?21ln dx x x +∞?2x x dx e +∞?【详解】当且仅当时才收敛，所以（A ）是发散的；21p dx x +∞? 1p >2+∞?（B ）是发散的；22212ln (ln )|x dx x x +∞+∞==+∞? （C ）是发散的；221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞?事实上，对于（D ），应该选（D ）．22213()|x x x dx x e e e +∞ -+∞-=-+=?2．函数在内（）2 01sin ()lim x t t t f x x →??=+ ??? (,)-∞+∞（A ）连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点（D ）有无穷间断点【详解】220010 sin lim sin ()lim ,t x t x t x x t t t f x e e x x →?→??=+==≠ ???函数在处没有定义，而，所以应该选（B ）．0x =00 1lim ()lim x x x f x e →→==3．设函数，若在处连续，则（）100000cos ,(),(,),x x f x x x αβαβ?>?=>>??≤? ()f x '0x =（A ）（B ）（C ）（D ）1αβ->01αβ<-≤2αβ->02 αβ<-≤【详解】当时，，当时，，0x >1111()cos sin f x x x x x ααβββαβ---'=+0x <0()f x '=10011000cos (),()lim lim cos x x x x f f x x x αβαβ ++--+→→''===

考研数学真题数三

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.设{k x }是数列，下列命题中不正确的是（） (A)若lim k k x a →∞=，则221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==. (B)若221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞= (C)若lim k k x a →∞=，则321lim lim k k k k x x a +→∞→∞== (D)若331lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞ = 2.设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0(B)1(C)2(D)3 3.设{}2222(,)2,2D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y D 上连续，则(,)D f x y dxdy ??=（） 4.下列级数中发散的是（）（A ）13n n n ∞ =∑(B)11)n n n ∞=+(C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑(D)1! n n n n ∞ =∑ 5.设矩阵22111112,,14A a b d a d ???? ? ? == ? ? ? ????? 若集合(1,2)Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为（） 6.设二次型1,23(,)f x x x 在正交变换x py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)p e e e =，若132(,,),Q e e e =-则123(,,)x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（）

考研数学三历年真题及解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞ =n n x a ,则 221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (B) 若221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a , 则lim →∞ =n n x a (C) 若lim →∞ =n n x a ,则 331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (D) 若331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a ,则lim →∞ =n n x a 【答案】(D) 【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系. 数列()n x a n →→∞?对任意的子列{} k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D (2) 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C) 【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是不存在的点或的点处产生.所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C. (3) 设 (){} 2 222,2,2= +≤+≤D x y x y x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则 (),d d D f x y x y =?? ( ) (A) ()()2cos 2sin 420 4 d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θ θ θθθθθθπ ππ+???? (B) ()()2sin 2cos 420 00 4 d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθ θθθθθθπππ+? ? ?? ()f x ''()0f x ''=()y f x =()f x ''

2015年考研数学一真题及答案解析

2 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1:8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。 (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数 () ''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.

3 (2)设211()23 =+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程 '''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( ) (A) 3,2,1 =-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1 ===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程 20 r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选

2015年考研数学一真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1:8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为

32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛，则 = x 3=x 依次为幂级数1 (1)∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。【解析】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛，即2x =为幂级数 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，所以 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛区间还是(0,2)。因而x = 3x =依次为幂级数1 (1)n n n na x ∞ =-∑的收敛点，发散点.故选（B ）。 (4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x = ，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则 (),D f x y dxdy =?? ( ) (A) ()1 3sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r rdr π θπθ θθθ?? (B) ( )34 cos ,sin d f r r rdr π πθθθ? (C) ()13sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? (D) ( )34 cos ,sin d f r r dr π πθθθ? 【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D 的图形，

2015考研数学一真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程2 0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛，则 3= x 与3=x 依次为幂级数1 (1)∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点

2015年考研数学二真题及答案解析

https://www.docsj.com/doc/1310668578.html,/ 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。；；；，因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B 【解析】这是“”型极限，直接有 , 在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数， ().若在处连续，则 (A) (B) (C) (D)【答案】A

https://www.docsj.com/doc/1310668578.html,/ 【解析】易求出，再有不存在，，于是，存在，此时. 当时，， = 不存在，，因此，在连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足，则与依次是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D 【解析】先求出令于是因此

2015年考研数学一真题及答案(完整版)

2015年考研数学一真题及答案（完整版）一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1 为特征方程2 0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为

32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数 1 (1) ∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛，即2x =为幂级数1 (1) n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，所以 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛点，发散点.故选（B ）. (4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则 (),D f x y dxdy =?? ( ) (A) ()1 3sin214 2sin2cos ,sin d f r r rdr π θπθ θθθ?? (B) ()1sin 2314 2sin 2cos ,sin d f r r rdr π θπθθθθ?? (C) ()13sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? (D) ()1sin 2314 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? 【答案】（B ）